Vector, valor i espai propis

Erro al crear miniatura:

Fig. 1. En esta transformació de la Mono Lisa, l'image s'ha deformat de tal forma que el seu eix vertical no ha canviat. (nota: s'han retallat els cantons en l'image de la dreta). El vector blau, representat per la flecha blava que va des del pit fins al muscle, ha canviat de direcció, mentres que el roig, representat per la flecha roja, no ha canviat. El vector roig és llavors un vector propi de la transformació, mentres que el blau no ho és. Ya que el vector roig no ha canviat de llongitut, el seu valor propi és 1. Tots els vectores d'esta mateixa direcció són vectores propis, en el mateix valor propi. Formen un subespacio del espai propi d'este valor propi.

En àlgebra llineal, els vectores propis, eigenvectores o autovectores d'un operador llineal són els vectores no nuls que, quan són transformats per l'operador, donen lloc a un múltiple escalar de sí mateixos, en lo que no canvien la seua direcció. Este escalar $\lambda$ rep el nom valor propi, autovalor o valor característic. A sovint, una transformació queda completament determinada per les seues vectores propis i valors propis. Un espai propi, autoespacio o subespacio fonamental associat al valor propi $\lambda$ és el conjunt de vectores propis en un valor propi comú.

Etimologia

La paraula alemana eigen (/'aj γen /), que es traduïx en espanyol com a propi, es va usar per primera volta en este context per David Hilbert en 1904 (encara que Helmholtz la va usar prèviament en un significat paregut). Eigen s'ha traduït també com a inherent, característic o el prefix auto-, a on s'aprecia l'émfasis en l'importància dels valors propis per a definir la naturalea única d'una determinada transformació llineal. Les denominacions vector i valor característics també s'utilisen habitualment. L'us del prefixe auto- és un cas propi i singular que es dona solament en espanyol, portugués i italià. En atres llengües (alemà, neerlandés, anglés, francés, rus, etc.) ningú sembla haver traduït eigen- (propi, pertanyent a, etc.) per auto- (que res té que vore en l'etimologia o el significat del prefix eigen).

Introducció

Les transformacions llineals de l'espai —com la rotació, la reflexió, l'eixamplada, o qualsevol combinació de les anteriors; en esta llista podrien incloure's atres transformacions— poden interpretar-se per mig de l'efecte que produïxen en els vectores. Els vectores poden visualisar-se com a fleches d'una certa llongitut apuntant en una direcció i sentit determinats.

• Els vectores propis de les transformacions llineals són vectores que, o no són afectats per la transformació o solament resulten multiplicats per un escalar; i, per tant, no varien la seua direcció.
• El valor propi d'un vector propi és el factor d'escala pel que ha segut multiplicat.
• Un espai propi és un espai format per tots els vectores propis del mateix valor propi, ademés del vector nul, que no és un vector propi.
• La multiplicitat geomètrica d'un valor propi és la dimensió de l'espai propi associat.
• El espectre d'una transformació en espais vectorials finitos és el conjunt de tots els seus valors propis.

Per eixemple, un vector propi d'una rotació en tres dimensions és un vector situat en l'eix de rotació sobre el qual es realisa la rotació. El valor propi corresponent és 1 i el espai propi és l'eix de gir. Com és un espai d'una dimensió, la seua multiplicitat geomètrica és un. És l'únic valor propi del espectre (d'esta rotació) que és un número real.

Definició

Formalment, es definixen els vectores propis i valors propis de la següent manera:

Siga $𝐀:V\to V$ un operador llineal en un cert $𝕂$-espai vectorial $V$ i $𝐯$ un vector no nul en $V$. Si existix un escalar $c$ tal que

llavors diem que $𝐯$ és un vector propi de l'operador A, i el seu valor propi associat és $c$. Observe que si $𝐯$ és un vector propi en el valor propi $c$ llavors qualsevol múltiple diferent de zero de $𝐯$ és també un vector propi en el valor propi $c$. De fet, tots els vectores propis en el valor propi associat $c$ junt en 0, formen un subespacio de V, el «espai propi» per al valor propi $c$. Observe ademés que un espai propi $𝐙$ és un subespacio invariante de $𝐀$, és dir donat un vector $𝐰$ en $𝐙$, el vector $𝐀𝐰$ també pertany a $𝐙$.

Eixemples

A mida que la Terra trencada, els vectores en l'eix de rotació permaneixen invariantes. Si es considera la transformació llineal que sofrix la Terra despuix d'una hora de rotació, una flecha que partira del centre de la Terra al pol Sur geogràfic seria un vector propi d'esta transformació, pero una flecha que partira del centre a un punt del equador no seria un vector propi. Ya que la flecha que apunta al pol no canvia de llongitut per la rotació, el seu valor propi és 1.

Un atre eixemple seria una làmina de metal que s'expandira uniformemente a partir d'un punt de tal manera que les distàncies des de qualsevol punt al punt fix es duplicaren. Esta expansió és una transformació en valor propi 2. Cada vector des del punt fix a qualsevol un atre és un vector propi, i l'espai propi és el conjunt de tots eixos vectores.

Una ona estacionaria en una corda fixa en les seues vetes o, més concretament, una funció pròpia de la transformació corresponent al transcurs del temps. A mida que varia el temps, l'ona estacionaria varia en amplitut, pero el seu periodo no es modifica. En este cas el valor propi és depenent del temps.

No obstant, l'espai geomètric tridimensional no és l'únic espai vectorial. Per eixemple, considere's una cuerdo subjecta pels seus extrems, com la d'un instrument de corda (mostrada a la dreta). La distància dels àtoms de la corda vibrant des de les seues posicions quan esta està en repòs poden interpretar-se com a components d'un vector en l'espai en tantes dimensions com a àtoms tinga dita corda.

Si se supon que la corda és un mig continu i es considera la transformació de la corda en el transcurs del temps, els seus vectores propis o funcions pròpies són les seues ones estacionarias—lo que, per mig de l'intervenció de l'aire circumdant, es pot interpretar com el resultat de tañer una guitarra. Les ones estacionarias corresponen a oscilacions particulars de la corda tals que la forma de la corda s'escala per un factor (el valor propi) en el pas del temps. Cada component del vector associat en la corda es multiplica per este factor depenent del temps. Les amplitut (valors propis) de les ones estacionarias decreixen en el temps si es considera l'atenuació. En este cas es pot associar un temps de vida al vector propi, i relacionar el concepte de vector propi en el concepte de resonància.

Casos d'interés especial

Intuitivamente, per a les transformacions llineals de l'espai de dos dimensions ${ℝ}^2$, els vectores propis són:

• rotació: cap vector propi de valors reals (existixen en canvi pares valor propi, vector propi complexos).

• reflexió: els vectores propis són perpendiculars i paralels a l'eix de simetria, els valors propis són -1 i 1, respectivament.

• escalat uniforme: tots els vectores són vectores propis, i el valor propi és el factor d'escala.

• proyecció sobre una recta: els vectores propis en el valor propi 1 són paralels a la llínea, vectores propis en el valor propi 0 són perpendiculars a la direcció de la proyecció

Equació del valor propi

Matemàticament, v_λ és un vector propi i λ el valor propi corresponent d'una transformació T si verifica l'equació:

a on T(v_λ) és el vector obtingut en aplicar la transformació T a v_λ.

Suponga's que T és una transformació llineal (lo que significa que $T(a𝐯+b𝐰)=aT(𝐯)+bT(𝐰)$ per a tots els escalares a, b, i els vectores v, w). Considere's una base en eixe espai vectorial. Llavors, T i v_λ poden representar-se en relació en eixa base per mig d'una matriu A_T i un vector columna v_λ—un vector vertical unidimensional. L'equació de valor propi en esta representació matricial es representa de la següent forma:

a on la yuxtaposició és un producte de matrius. Ya que en esta circumstància la transformació T i la seua representació matricial A_T són equivalents, a sovint podem amprar solament T per a la representació matricial i la transformació. Açò és equivalent a un conjunt de n combinacions llineals, a on n és el número de vectores de la base. En esta equació, tant el valor propi λ i les n components de v_λ són desconeguts. No obstant, a voltes és poc natural o inclús impossible escriure l'equació de valor propi en forma matricial. Açò ocorre, per eixemple, quan l'espai vectorial és de dimensió infinita, com per eixemple en el cas de la corda mostrada anteriorment. Depenent de la naturalea de la transformació T i l'espai al que s'aplica, pot ser ventajós representar l'equació de valor propi com un conjunt d'equacions diferencials, a on els vectores propis reben a sovint el nom de autofunciones de l'operador diferencial que representa a T. Per eixemple, la derivació mateixa és una transformació llineal, ya que (si f(t) i g(t) són funcions derivables i a i b són constants)

$\frac{d}{dt}(af+bg)=a\frac{df}{dt}+b\frac{dg}{dt}$

Considere's la diferenciació sobre $t$. Els seus autofunciones h(t) obedixen a l'equació de valor propi:

$\frac{dh}{dt}=\lambda h$,

a on λ és el autovalor associat en la funció. Una funció en el temps és constant si $\lambda =0$, creix proporcionalment a sí mateixa si $\lambda$ és positiva, i decreix proporcionalment a sí mateixa si $\lambda$ és negativa. Per eixemple, una població ideal de conills engendra en més freqüència a mida que hi ha més conills, i per tant satisfà l'equació per a lambda positiu.

La solució a l'equació de valor propi és $g(t)=\exp (\lambda t)$, la funció exponencial; puix eixa funció és una funció pròpia de l'operador diferencial d/dt en el valor propi λ. Si λ és negativa, l'evolució de g es denomina decaiguda exponencial; si és positiva es denomina creiximent exponencial. El valor de λ pot ser qualsevol número complex. L'espectre de d/dt és llavors el pla complex en la seua totalitat. En este eixemple l'espai vectorial en el que actua d/dt és l'espai de les funcions derivables d'una variable. Este espai té una dimensió infinita (puix no és possible expressar cada funció diferenciable com combinació llineal d'un número finit de funcions base). No obstant, l'espai propi associat a un valor propi determinat λ és unidimensional. És el conjunt de totes les funcions $g(t)=A\exp (\lambda t)$, a on A és una constant arbitrària, la població inicial en t=0.

Teorema espectral

Artícul principal → teorema espectral.

La teorema espectral mostra l'importància dels valors propis i vectores propis per a caracterisar una transformació llineal de forma única. En la seua versió més simple, la teorema espectral establix que, baix unes condicions determinades, una transformació llineal pot expressar-se com la combinació llineal dels vectores propis en coeficients de valor igual als valors propis pel producte escalar dels vectores propis pel vector al que s'aplica la transformació, lo que pot escriure's com:

$𝒯(𝐯)={\lambda }_1({𝐯}_1\cdot 𝐯){𝐯}_1+{\lambda }_2({𝐯}_2\cdot 𝐯){𝐯}_2+\dots$

a on ${𝐯}_1,{𝐯}_2,\dots$ i ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\dots$ representen als vectores propis i valors propis de $𝒯$. El cas més simple en el que té validea la teorema és quan la transformació llineal ve donada per una matriu simètrica real o una matriu hermítica complexa.

Si es definix l'enèsima potència d'una transformació com el resultat d'aplicar-la n voltes successives, es pot definir també el polinomi de les transformacions. Una versió més general de la teorema és que qualsevol polinomi P de $𝒯$ és igual a:

$P(𝒯)(𝐯)=P({\lambda }_1)({𝐯}_1\cdot 𝐯){𝐯}_1+P({\lambda }_2)({𝐯}_2\cdot 𝐯){𝐯}_2+\dots$

La teorema pot estendre's a atres funcions o transformacions tals com funcions analítiques, sent el cas més general les funcions de Borel.

Vectores propis i valors propis de matrius

Càlcul de valors propis i vectores propis de matrius

Si es vol calcular els valors propis d'una matriu donada i esta és menuda, es pot calcular simbòlicament usant el polinomi característic. No obstant, a sovint resulta impossible per a matrius extenses, cas en el que es deu usar un método numèric.

Càlcul simbòlic

Càlcul dels valors propis

Una ferramenta important per a trobar valors propis de matrius quadrades és el polinomi característic: dir que λ és un valor propi de A és equivalent a dir que el sistema d'equacions llineals A v = λ v → A v - λ v = 0 (factorizando per v queda) (A - λI) v = 0 (a on I és la matriu identitat) té una solució no nula v (un vector propi), i d'esta forma és equivalent al determinant:

$\det (A-\lambda I)=0$

La funció p(λ) = det(A - λI) és un polinomi de λ puix els determinants es definixen com sumixques de productes. Est és el polinomi característic de A: els valors propis d'una matriu són els zeros del seu polinomi característic.

Tots els valors propis d'una matriu A poden calcular-se resolent l'equació $p_A(\lambda )=0$.

Si A és una matriu n×n, llavors $p_A$ té grau n i A té com a màxim n valores propis.

El teorema fonamental de l'àlgebra diu que esta equació té exactament n raïls (zeros), tenint en conte el seu multiplicitat. Tots els polinomis reals de grau impar tenen un número real com a raïl, aixina que per a n impar tota matriu real té a lo manco un valor propi real. En el cas de les matrius reals, per a n parell i impar, els valors propis no reals són pares conjugats.

Càlcul dels vectores propis

Una volta que es coneixen els valors propis λ, els vectores propis es poden trobar resolent el sistema d'equacions homogéneu:

$(A-\lambda I)v=0$

Una forma més senzilla d'obtindre vectores propis sense resoldre un sistema d'equacions llineals es basa en el teorema de Cayley-Hamilton que establix que cada matriu quadrada satisfà el seu propi polinomi característic. Aixina, si ${\lambda }_1,{\lambda }_2,\mathrm{...},{\lambda }_n$ són els valors propis de A es complix que

$(A-{\lambda }_{1}I)(A-{\lambda }_{2}I)\mathrm{...}(A-{\lambda }_{n}I)=0$

per lo que els vectores columna de $(A-{\lambda }_{2}I)\mathrm{...}(A-{\lambda }_{n}I)$ són vectores propis de ${\lambda }_1$.

Eixemple de matriu sense valors propis reals

Un eixemple de matriu sense valors propis reals és la rotació de 90 graus en el sentit de les manetes del rellonge:

$\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right]$

el polinomi característic del qual és ${\lambda }^2+1$ i els seus valors propis són el parell de conjugats complexos i, -i. Els vectores propis associats tampoc són reals.

Eixemple

Considere's la matriu

$A=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& -1\\ 1& 1& 0\\ -1& 0& 1\end{array}\right]$

que representa un operador llineal R³ → R³. Si es desija computar tots els valors propis de A, es podria escomençar determinant el polinomi característic:

$p(x)=\det (A-xI)=\det \left|\begin{array}{ccc}-x& 1& -1\\ 1& 1-x& 0\\ -1& 0& 1-x\end{array}\right|$

$=-x^3+2x^2+x-2$

i perque p(x) = - (x - 2)(x - 1)(x + 1) es veu que els valors propis de sò 2, 1 i -1. El teorema de Cayley-Hamilton establix que cada matriu quadrada satisfà el seu propi polinomi característic. És dir

$(A-2I)(A-I)(A+I)=0$

Efectivament, per al cas del valor propi 2, es pot comprovar que

$(A-I)(A+I)=\left[\begin{array}{ccc}-1& 1& -1\\ 1& 0& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 1& 2& 0\\ -1& 0& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 1& -1\\ 1& 1& -1\\ -1& -1& 1\end{array}\right]$

d'a on (1, 1, -1) és un vector propi associat a 2.

$A\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}2\\ 2\\ -2\end{array}\right]=2\left[\begin{array}{c}1\\ 1\\ -1\end{array}\right]$

Càlcul numèric

En la pràctica, els valors propis de les matrius extenses no es calculen usant el polinomi característic. Calcular el polinomi resulta molt costós, i extraure les raïls exactes d'un polinomi de grau alt pot ser difícil de calcular i expressar: el teorema d'Abel-Ruffini implica que les raïls dels polinomis de grau alt (5 o superior) no poden expressar-se usant-se simplement raïls enèsimes. Existixen algoritmes eficients per a aproximar raïls de polinomis, pero chicotets errors en l'estimació dels valors propis poden donar lloc a errors grans en els vectores propis. En conseqüència, els algoritmes generals per a trobar vectores propis i valors propis són iterativos. La manera més fàcil és el método de les potències: es tria un vector aleatori $v$ i es calcula una seqüència de vectores unitaris:

$\frac{Av}{\Vert Av\Vert }$, $\frac{A^{2}v}{\Vert A^{2}v\Vert }$, $\frac{A^{3}v}{\Vert A^{3}v\Vert }$,...

Esta successió casi sempre convergirà a un vector propi corresponent al major valor propi. Este algoritme és senzill, pero no massa útil aisladament. No obstant, hi ha métodos més populars, com la descomposició QR, que es basen en ell.

Propietats

Multiplicitat algebraica

La multiplicitat algebraica d'un valor propi λ de A és l'orde de λ com zero del polinomi característic de A; en atres paraules, si λ és una de les raïls del polinomi, és el número de factors (t − λ) en el polinomi característic despuix de la factorisació. Una matriu n×n, en entrades complexes, té n valores propis, contats d'acort en la seua multiplicitat algebraica, ya que el seu polinomi característic té grau n.

Un valor propi de multiplicitat algebraica 1 rep el nom de "valor propi simple".

Per eixemple, es poden trobar exposicions com la següent en artículs de teoria de matrius:

"els valors propis d'una matriu A sò 4,4,3,3,3,2,2,1,"

lo que significa que la multiplicitat algebraica de 4 és dos, la de 3 és tres, la de 2 és dos i la d'1 és un. S'ampra este estil perque la multiplicitat algebraica és la clau de moltes demostracions matemàtiques en teoria de matrius.

Anteriorment s'ha definit la multiplicitat geomètrica d'un valor propi com la dimensió de l'espai propi associat, o el núcleu (espai propi dels vectores propis del valor propi nul) de λI - A. La multiplicitat algebraica també pot entendre's com una dimensió: és la dimensió del espai propi generalisat (ORD sentit) associat, que és el núcleu de la matriu (λI - A)^k per a k suficientment gran. És dir, és l'espai dels vectores propis generalisats (ORD sentit), a on un vector propi generalisat és qualsevol vector que pren valor 0 sí λI - A s'aplica suficients voltes en successió. Qualsevol vector propi és un vector propi generalisat, aixina que qualsevol espai propi està contingut en l'espai propi generalisat associat. Açò proporciona una demostració simple de que la multiplicitat geomètrica és sempre menor o igual a l'algebraica. El primer sentit no deu confondre's en el problema de valors propis generalisats tal i com es mostra més alvance.

Per eixemple:

$A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right].$

Solament té un valor propi λ = 1. El polinomi característic és $(\lambda -1{)}^2$, aixina que este valor propi té multiplicitat algebraica 2. No obstant, l'espai propi associat és l'eix, que normalment rep el nom d'eix x, generat pel vector unitari $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$, aixina que la multiplicitat geomètrica és 1.

Els vectores propis generalisats poden usar-se per a calcular la forma normal de Jordan d'una matriu (comentat més alvance). El fet de que els blocs de Jordan en general no són diagonals sino nilpotents està directament relacionat en la distinció entre vectores propis i vectores propis generalisats.

Teoremes de descomposició per a matrius generals

La teorema de descomposició és una versió de la teorema espectral en una classe concreta de matrius. Esta teorema s'explica normalment en térmens de transformació coordinada. Si O és una matriu invertible, pot vore's com una transformació entre un sistema de coordenades a un atre, a on les columnes de O són les components de la nova base de vectores expressats en térmens de la base anterior. En este nou sistema les coordenades del vector $v$ es representen per $v^{\prime }$, que pot obtindre's per mig de la relació $v^{\prime }=Uv$ i, per una atra part, es té $v=U^{-1}{v}^{\prime }$. Aplicant successivament $v^{\prime }=Uv$, $w^{\prime }=Uw$ i $U^{-1}U=I$, a la relació $Av=w$ proporciona $A^{\prime }{v}^{\prime }=w^{\prime }$ en $A^{\prime }=UA{U}^{-1}$, la representació de A en la nova base. En esta situació, es diu que les matrius A i $A^{\prime }$ són semblants.

La teorema de descomposició declara que, si s'elegixen com a columnes de $U^{-1}$ n vectores propis linealmente independents de A, la nova matriu $A^{\prime }=UA{U}^{-1}$ és diagonal i els seus elements en la diagonal són els valors propis de A. Si açò és possible, llavors A és una matriu diagonalisable. Un eixemple d'una matriu no diagonalisable és la matriu A ya mostrada:

$A=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right].$

Hi ha moltes generalisacions d'esta descomposició que poden tractar en el cas no diagonalisable, dissenyades en diferents propòsits:

• la descomposició de Schur declara que tota matriu és equivalent a una matriu triangular.
• la descomposició en valors singulars, $A=U\Sigma V^{*}$ a on $\Sigma$ és diagonal en O i V matrius unitàries, els elements de la diagonal de $A=U\Sigma V^{*}$ no són negatius i reben el nom de valors singulars de A. Esta descomposició també pot fer-se en matrius no quadrades.

• la forma normal de Jordan, a on $A=X\Lambda X^{-1}$ i $\Lambda$ no és diagonal sino diagonal per blocs. El número i tamany dels blocs de Jordan estan determinats per les multiplicitat geomètrica i algebraica dels valors propis. La descomposició de Jordan és un resultat fonamental. A partir d'ella es pot deduir immediatament que una matriu quadrada està descrita completament pels seus valors propis, incloent la multiplicitat. Açò mostra matemàticament l'important paper que eixerciten els valors propis en l'estudi de matrius.
• com a conseqüència immediata de la descomposició de Jordan, qualsevol matriu A pot escriure's de forma única com A=S + N a on S és diagonalisable, N és nilpotent (per eixemple, tal que N^q=0 per a un cert q), i S complix la propietat conmutativa del producte (SN=NS).

Atres propietats dels valors propis

L'espectre és invariante baix transformacions semblants: les matrius A i P^-1AP tenen els mateixos valors propis per a qualsevol matriu A i qualsevol matriu invertible P. L'espectre és també invariante a la trasposición de les matrius: A i A ^T tenen els mateixos valors propis.

Ya que una transformació llineal en espais de dimensions finitas és biyectiva si i solament si és inyectiva, una matriu és invertible si i solament si zero no és un valor propi de la matriu.

Atres conseqüències de la descomposició de Jordan són:

• una matriu és matriu diagonalisable si i solament si les multiplicitat geomètrica i algebraica coincidixen per a tots els seus valors propis. En particular una matriu n×n que té n valores propis diferents és sempre diagonalisable;
• Ya que la traça, o la suma d'elements de la diagonal principal d'una matriu es preserva en l'equivalència unitària, la forma normal de Jordan constata que és igual a la suma dels seus valors propis.
• De forma similar, ya que els valors propis d'una matriu triangular són les entrades de la diagonal principal el seu determinant és igual al producte dels valors propis (contats d'acort en la seua multiplicitat algebraica).

Alguns eixemples de la localisació de l'espectre de certes subclasses de matrius normals són:

• Tots els valors propis d'una matriu hermítica (A = A^*) són reals. Ademés, tots els valors propis d'una matriu definida positiva són positius;
• Tots els valors propis d'una matriu antihermítica (A = −A^*) són imaginaris purs;
• Tots els valors propis d'una matriu unitària (A^-1 = A^*) tenen valor absolut un;

Si A és una matriu m×n en m ≤ n, i B és una matriu n×m, llavors BA té els mateixos valors propis de AB més n − m valores propis nuls.

A cada matriu se li pot associar una norma vectorial, que depén de la norma del seu domini, l'operador norma d'una matriu quadrada és una cota superior del mòdul dels seus valors propis, i per tant del seu ràdio espectral. Esta norma està directament relacionada en el método de les potències per a calcular el valor propi de major mòdul. Per a matrius normals, l'operador norma (la norma euclídea) és el major mòdul entre dels seus valors propis.

Vector propi conjugat

Un vector propi conjugat és un vector que despuix de la transformació passa a ser un múltiple escalar del seu conjugat, a on l'escalar rep el nom de valor propi conjugat de la transformació llineal. Els vectores propis i valors propis conjugats representen essencialment la mateixa informació i significat que els vectores propis i valors propis, pero apareixen quan s'utilisa un sistema de coordenades alternatiu. L'equació corresponent és:

$Av=\lambda v^{*}.$

Per eixemple, en teoria d'electromagnetisme dispers, la transformació llineal A representa l'acció efectuada per l'objecte dispersor, i els vectores propis representen els estats de polarisació de l'ona electromagnètica. En òptica, el sistema coordenat es definix a partir del punt de vista de l'ona, i du a una equació de valor propi regular, mentres que en radar, el sistema coordenat es definix des del punt de vista del radar, i dona lloc a una equació de valor propi conjugat.

Problema de valor propi generalisat

Un problema de valor propi generalisat (2º sentit) és de la forma

$Av=\lambda Bv$

a on A i B són matrius. Els valors propis generalisats (2º sentit) λ poden obtindre's resolent l'equació

$\det (A-\lambda B)=0.$

El conjunt de matrius de la forma $A-\lambda B$, a on $\lambda$ és un número complex, rep el nom de llapis si B és invertible, llavors el problema original pot escriure's en la forma

$B^{-1}Av=\lambda v$

que és un problema de valors propis estàndart. No obstant, en la majoria de situacions és preferible no realisar l'inversió, i resoldre el problema de valor propi generalisat en la configuració original.

Si A i B són matrius simètriques en entrades reals, llavors els valors propis són reals. Açò s'aprecia tan fàcilment a partir de la segona formulació equivalent, puix la matriu $B^{-1}A$ no és necessàriament simètrica si A i B ho són.

L'aplicació de moleculars orbitales exposta més alvance proporciona un eixemple d'este cas.

Entrades d'un anell

En una matriu quadrada A en entrades d'un anell, λ rep el nom de valor propi per la dreta si existix un vector columna x tal que Ax=λx, o un valor propi per l'esquerra si existix un vector fila no nul i tal que ya=iλ.

Si l'anell és conmutativo, els valors propis per l'esquerra són iguals als valors propis per la dreta i se'ls crida simplement valors propis.

Espais de dimensió infinita

Fig. 3. Espectre d'absorció d'un àtom de calcio. Els picos corresponen, en teoria, al espectre discret (séries de Rydberg) del hamiltoniano; l'àmplia estructura de la dreta s'associa al espectre continu (ionisació). Els resultats experimentals associats s'han obtingut medint l'intensitat dels rajos X absorbits per un gas d'àtoms com a funció de l'energia d'incidència dels fotons en eV.

Si l'espai vectorial és de dimensió infinita, la noció de valors propis pot generalisar-se al concepte d'espectre. L'espectre és el conjunt d'escalares λ per al que ${(T-\lambda Id)}^{-1}$, no està definit, açò és, tal que $T-\lambda Id$ no té inversa acotada.

Si λ és un valor propi de T, λ està en l'espectre de T. En general, el recíproc no és verdader. Hi ha operadors en els espais d'Hilbert o Banach que no tenen vectores propis. Per eixemple, prenga's un desplaçament bilateral en l'espai de Hilbert ${\ell }^2(\mathbb{Z})$; cap vector propi potencial pot ser quadrat-sumable, aixina que no existix cap. No obstant, qualsevol operador llineal acotat en un espai de Banach V té espectre no buit. L'espectre $\sigma (T)$ de l'operador T V → V es definix com

$\sigma (T)=\{\lambda \in ℂ:(\lambda Id-T)$ no és invertible$\}.$

Llavors σ(T) és un conjunt compacte de número complex, i és no buit. Quan T és un operador compacte (i en particular quan T és un operador entre espais finit-dimensionals com dalt), l'espectre de T és igual que el conjunt dels seus valors propis.

En espais de dimensió infinita, l'espectre d'un operador acotat és sempre no buit, lo que també es complix per a operadors adjunts propis no acotats. A través del seu mida espectral, l'espectre de qualsevol operador adjunt propi, acotat o no, pot descompondre's en les seues parts absolutament contínua, discreta, i singular. El creiximent exponencial proporciona un eixemple d'un espectre continu, com en el cas anterior de la corda vibrant. l'àtom d'hidrogen és un eixemple en el que apareixen abdós tipos d'espectre. l'estat lligat de l'àtom d'hidrogen correspon a la part discreta de l'espectre, mentres que el procés d'ionisació queda descrit per la part contínua.

Aplicacions

Equació de Schrödinger

La funció d'ona associada als estats lligats d'un electró en un àtom d'hidrogen pot vore's com els vectores propis de l'àtom d'hidrogen hamiltoniano aixina com al operador moment angular. Està associada als valors propis interpretats com les seues energies (incrementant-se segons n=1,2,3,...) i al moment angular (incrementant-se segons s,p,d,...). Ací es mostra el quadrat del valor absolut de les funcions d'ona. Les àrees més allumenades corresponen a densitat de provabilitat més altes per a una posició. El centre de cada figura és el núcleu atòmic, un protón.

Un eixemple d'una equació de valor propi a on la transformació $𝒯$ es representa en térmens d'un operador diferencial és l'equació de Schrödinger independent del temps de la mecànica quàntica:

A on H, l'Hamiltoniano, és un operador diferencial de segon orde i ${\Psi }_E$ la funció d'ona, és una de les funcions pròpies corresponents al valor propi I, interpretat com l'energia.

No obstant, en cas que solament es busquen solucions per als estats lligats de l'equació de Schrödinger, com sol ser el cas en química quàntica, es buscarà ${\Psi }_E$ en l'espai de les funcions de quadrat integrable. Ya que este espai és un espai de Hilbert, en un producte escalar ben definit, podem introduir una base en la que es pot representar ${\Psi }_E$ i H com un vector unidimensional i una matriu respectivament. Açò permet representar l'equació de Schrödinger en forma matricial.

La notació bra-ket, utilisada a sovint en este context, posa émfasis en la diferència entre el vector o estat $|{\Psi }_E⟩$ i la seua representació, la funció ${\Psi }_E$. En este context s'escriu l'equació de Schrödinger

$H|{\Psi }_E⟩=E|{\Psi }_E⟩$

i es diu a $|{\Psi }_E⟩$ un estat propi de H (que a voltes es representa com $\hat{H}$ en alguns llibres de text) que pot interpretar-se com una transformació en lloc d'una representació particular en térmens d'operadors diferencials. En l'equació exposta, $H|{\Psi }_E⟩$ s'interpreta com el vector obtingut per aplicació de la transformació H a $|{\Psi }_E⟩$.

Orbitales moleculars

En mecànica quàntica, i en particular en física atòmica i molecular, i en el context de la teoria d'Hartree-Fock, els orbitales atòmics i moleculars poden definir-se pels vectores propis del operador de Fock. Els valors propis corresponents són interpretats com a potencials de ionisació a través del teorema de Koopmans. En este cas, el terme vector propi s'usa en un significat més general, puix l'operador de Fock és explícitament depenent dels orbitales i els seus valors propis. Si es vol subrallar este aspecte es parla de equació de valors propis implícits. Tals equacions es resolen normalment per mig d'un procés iterativo, cridat método de camp consistent propi. En química quàntica a sovint es representa l'equació de Hartree-Fock en una base no ortogonal. Esta representació particular és un problema de valor propi generalisat que té el nom d'equacions de Roothaan.

Anàlisis factorial

En anàlisis factorial, els valors propis de la matriu de covarianza corresponen als factors, i els valors propis a les càrregues. L'anàlisis factorial és una tècnica estadística usada en ciències socials i mercadotècnia, gestió de producte, investigació operativa i atres ciències aplicades que tracten en grans cantitats de senyes. L'objectiu és explicar la major part de la variabilitat entre vàries variables aleatòries observables en térmens d'un número menor de variables aleatòries no observables cridades factors. Les variables aleatòries no observables es modelen com a combinacions llineals dels factors més térmens d'errors.

Cares pròpies, un eixemple de l'us de vectores propis.

Cares pròpies

En processat d'image, les imàgens processades de caras poden vore's com vectores les components de la qual són la lluminància de cada píxel. La dimensió d'este espai vectorial és el número de píxels. Els vectores propis de la matriu de covarianza associada a un conjunt ampli d'imàgens normalisades de rostres es diuen cares pròpies. Són molt útils per a expressar una image d'un rostre com la combinació llineal d'unes atres. Les cares pròpies proporcionen un mig d'aplicar compressió de senyes als rostres, per a propòsits de biometria.

Tensor d'inèrcia

En mecànica, els vectores propis del moment d'inèrcia definixen els eixos principals d'un cos rígit. El tensor d'inèrcia és necessari per a determinar la rotació d'un cos rígit al voltant del seu centre de massa. Els valors propis definixen els moments màxims i mínims obtinguts per mig del círcul de Mohr.

Tensor de tensió

En mecànica de sòlits deformables, el tensor de tensió és simètric, aixina que pot descompondre's en un tensor diagonal els valors propis del qual en la diagonal i els vectores propis formen una base.

Valors propis d'un grafo

En teoria espectral de grafos, un valor propi d'un grafo es definix com un valor propi de la matriu de adyacencia del grafo A, o de la matriu Laplaciana del grafo $I-T^{-1/2}A{T}^{-1/2}$, a on T és una matriu diagonal que conté el grau de cada vèrtiç, i en $T^{-1/2}$, 0 es substituye per $0^{-1/2}$. El vector propi principal d'un grafo s'usa per a medir la centralidad dels seus vèrtiços. Un eixemple és l'algoritme PageRank de Google. El vector propi principal d'una matriu de adyacencia modificada del grafo de la web dona el page rank en els seus components.

Vore també

• Àlgebra llineal
• Aplicació llineal
• Matriu (matemàtica)
• Operador llineal
• Teorema espectral
• Vector

Bibliografia

• Cohen-Tannoudji, Claude. Quàntum Mechanics, Wiley (1977). ISBN 0-471-16432-1. Capítul II: “The mathematical tools of quàntum mechanics”.
• De Burgos, Juan. Àlgebra llineal, Edit. MacGraW-Hill (1993).
• Fraleigh, John B. i Beauregard, Raymond A. Linear Algebra (3.ª edició), Addison-Wesley Publishing Company (1995). ISBN 0-201-83999-7 (edició internacional).
• Horn, Roger A. i Johnson, Charles R. Matrix Analysis, Cambridge University Press (1985). ISBN 0-521-30586-1.

Enllaços externs

• Calculador en llínea de autovalores by www.mathstools.com
• Autovectores en un "problema" d'Internet: Markov i Google, un artícul divulgatiu: "el secret de Google i l'àlgebra llineal"
• Un artícul de divulgació sobre la Descomposició en Valors Singulars (SVD), en La Gasseta de la RSME

En anglés

• Eigenvector en MathWorld.
• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: I - vore eigenvector i térmens relacionats

• Online Matrix Calculator: Calculadora en llínea de valors propis, vectores propis i atres descomposicions de matrius