Espectre d'un operador

El espectre d'un operador és un conjunt de valors complexos que generalisa el concepte de valor propi (autovalor) a espais vectorials de dimensió infinita. El concepte és molt important tant en anàlisis funcional com en mecànica quàntica.

L'estudi dels espectres dels operadors sobre un cert espai i les seues propietats es coneix com teoria espectral.

Motivació

En dimensió finita, una aplicació llineal $L:{ℂ}^n⟶{ℂ}^n$, que fixada una base es representa per una matriu, sempre té algun valor propi $\lambda \in ℂ$ que siga solució de la següent equació: A on ademés deu complir-se que $𝐯\ne \mathrm{𝟎}\in {ℂ}^n$. El conjunt de tots els valors $\lambda \in ℂ$ que satisfà l'equació anterior rep el nom d'espectre puntual de l'aplicació llineal L.

No obstant, quan busquem solucions com l'anterior per a aplicacions llineals (operadors) en espais de dimensió infinita no sempre existix solució. Per eixemple en l'espai de Hilbert ℓ² el "operador desplaçament a la dreta" que ve dau per:

carix de valors propis segons la definició (1). No obstant, en la generalisació de l'espectre puntual al més ampli concepte d'espectre, pot provar-se que tot operador llineal acotat en un espai de Banach complex té un espectre no buit.

Resolvent i espectre d'un operador

L'espectre d'un operador llineal A té que vore en la busca de solucions de l'equació:

L'equació anterior es planteja normalment en un espai vectorial topològic i la raó per la qual es consideren valores complexos és que $ℂ$ és un cos algebraicamente tancat (a diferència de $ℝ$ que no és algebraicamente tancat). Les solucions de (1) poden relacionar-se en les propietats del operador resolvent dau per:

Els valores complexos para els quals l'operador anterior està ben definit i és acotat sobre un domini dens es diu que pertanyen al conjunt resolvent. El complement del conjunt resolvent, és dir, els valors per als que l'operador resolvent presenta "problemes" per no estar definit, no ser acotat o no tindre un domini dens formen l'espectre de l'operador.

Referències

• Richtmyer, Robert D. (1978): Principles of advanced mathematical physics, Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-08873-3.

Bibliografia

• Abellanas, Lorenzo i Galindo, Alberto (1991): Espais de Hilbert: Geometria, Operadors, Espectres, Eudema, Madrit, ISBN 84-7754-035-7.

Dona'ls et al, Introduction to Banach Algebras, Operators, and Harmonic Analysis, ISBN 0-521-53584-0.

• Richtmyer, Robert D. (1978): Principles of advanced mathematical physics, Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-08873-3.

Vore també

• Teorema de descomposició espectral, espectre essencial.
• operador autoadjunto, Hamiltoniano (mecànica quàntica).