Anàlisis funcional

L'anàlisis funcional és la branca de les matemàtiques, i específicament del anàlisis, que tracta de l'estudi d'espais de funcions. Tenen les seues raïls històriques en l'estudi de transformacions tals com transformació de Fourier i en l'estudi de les equacions diferencials i equacions integrals. La paraula funcional es remonta al càlcul de variacions, implicant una funció l'argument de la qual és una funció. El seu us en general s'ha atribuït a Volterra.

En la visió moderna inicial, es va considerar l'anàlisis funcional com l'estudi dels espais vectorials normados complets sobre els reals o els complexos. Tals espais es diuen espais de Banach. Un eixemple important és l'espai de Hilbert, a on la norma sorgix d'un producte escalar. Estos espais són d'importància fonamental en la formulació matemàtica de la mecànica quàntica. Més general i modernament, l'anàlisis funcional inclou l'estudi dels espais de Fréchet i atres espais vectorials localment convexos i encara topològics.

Un objecte important d'estudi en anàlisis funcional són els operadors llineals continus definits en els espais de Banach i de Hilbert. Estos conduïxen naturalment a la definició de C* àlgebra i unes atres àlgebres d'operadors.

Els espais de Hilbert poden ser classificats totalment: hi ha un espai únic de Hilbert mòdul isomorfisme per a cada cardinal de la base (hilbertiana). ya que els espais de Hilbert finit-dimensionals s'entenen completament en àlgebra llineal, i lloc que els morfismos dels espais de Hilbert es poden dividir sempre en morfismos d'espais en dimensionalidad alef-0 (${\mathrm{\aleph }}_0$), anàlisis funcional de Hilbert tracta sobretot en l'espai únic de Hilbert de dimensionalidad alef-0, i els seus morfismos.

Els espais de Banach generals són molt més complicats que els espais de Hilbert. Ya que un espai de Banach és un espai vectorial, una base és un sistema de generadors linealment independent. Este concepte, quan la dimensió no és finita, sol carir d'utilitat; ho substituïx el de conjunt fonamental. Un conjunt de vectores és fonamental si la clausura topològica del subespacio vectorial que engendra és l'espai complet. Ya que un vector pertany a la seua clausura topològica si és el llímit d'una successió de vectores del subespacio vectorial engendrat, descobrim que, en cas de dispondre d'un conjunt fonamental, podem posar tot vector de l'espai com el llímit d'una successió de combinacions llineals dels vectores d'un conjunt fonamental.

Un eixemple de lo anterior és el teorema d'aproximació de Weierstrass que afirma que tota funció real contínua en un interval compacte pot ser aproximada per mig de polinomis. L'espai de Banach és, en este cas, el conjunt de les funcions contínues en un compacte i el conjunt fonamental les potències sanceres de l'argument. Esta teorema s'estén per mig del teorema de Stone-Weierstrass.

Per a qualsevol número real p ≥ 1, un eixemple d'un espai de Banach ve dau pels espais L^p.

En els espais de Banach, una gran part de l'estudi involucra al espai dual: l'espai de totes funcionals llineals contínues. Com en àlgebra llineal, el dual del dual no és sempre isomorfo a l'espai original, pero hi ha un monomorfismo natural d'un espai en el seu doble dual sempre. Açò s'explica en l'artícul espai dual.

La noció de derivada s'amplia a les funcions arbitràries entre els [[espais de Banach]]; resulta que la derivada d'una funció en cert punt és realment una funció llineal contínua.

Un eixemple d'espai de Banach és l'Espai de Sóbolev.

Ací enumerem alguns resultats importants de l'anàlisis funcional:

• Teorema de Banach-Steinhaus és un resultat en conjunts equicontinuos d'operadors.

• Teorema espectral dona una fòrmula integral per als operadors normals en un espai de Hilbert. És d'importància central en la formulació matemàtica de la mecànica quàntica.
• Teorema de Hahn-Banach és sobre l'extensió de funcionals continus des d'un subespacio a tot l'espai, d'una manera que preserve la norma.
• Teorema de la funció oberta i teorema de la gràfica tancada.
• Teorema del punt fix de Banach

Espais vectorials normados

La classe bàsica i històricament primera d'espais estudiats en anàlisis funcional són els complet (sobre el real o número complex). Estos espais es denominen espais de Banach. Un eixemple important és un espai de Hilbert, a on la norma sorgix d'un producte interior. Estos espais són d'importància fonamental en moltes àrees, incloent la formulació matemàtica de la mecànica quàntica, aprenentage automàtic, equacions diferencials parcials i anàlisis de Fourier.

En térmens més generals, l'anàlisis funcional inclou l'estudi d'espais de Fréchet i uns atres espais vectorials topològics no dotats de norma.

Un important objecte d'estudi en anàlisis funcional són les operadors llineals continus definits en els espais de Banach i Hilbert. Estos conduïxen naturalment a la definició de #àlgebra C* i unes atres #àlgebra d'operadors.

Espais de Hilbert

Els espais de Hilbert poden classificar-se completament: existix un únic espai de Hilbert llevat isomorfisme per a cada cardinalidad de la base ortonormal. Els espais de Hilbert finit-dimensionals s'entenen completament en àlgebra llineal, i els espais de Hilbert infinit-dimensionals separable Hilbert són isomorfos a ${\ell }^2({\mathrm{\aleph }}_0)$. Ya que la separabilidad és important per a les aplicacions, l'anàlisis funcional dels espais de Hilbert s'ocupa principalment d'este espai. Un dels problemes oberts en l'anàlisis funcional és demostrar que tot operador llineal acotat en un espai de Hilbert té un subespacio invariante propi. Ya s'han demostrat molts casos especials d'este problema del subespacio invariante.

Espais de Banach

Els espais de Banach generals són més complicats que els espais de Hilbert, i no poden classificar-se d'una manera tan senzilla com aquells. En particular, molts espais de Banach carixen d'una noció anàloga a una base ortonormal.

Eixemples d'espais de Banach són els $L^p$ per a qualsevol número real $p\ge 1$.. Donada també una mida $\mu$ sobre el conjunt $X$, llavors $L^p(X)$, a voltes també denotat $L^p(X,\mu )$ o $L^p(\mu )$, té com vectores classes d'equivalència $[f]$ de funció mesurables que el seu valor absolut de $p$-ésima potència té integral finita; és dir, funcions $f$ per a les que es té $$\underset{X}{\int }{|f(x)|}^{p}d\mu (x)<\mathrm{\infty }.$$

Si $\mu$ és la mida de contaje, llavors l'integral pot substituir-se per una suma. És dir, requerim $$\sum _{x\in X}{|f(x)|}^p<\mathrm{\infty }.$$

Llavors no és necessari tractar en classes d'equivalència, i l'espai es denota ${\ell }^p(X)$, escrit més simplement ${\ell }^p$ en el cas quan $X$ és el conjunt de sancers no negatius.

En els espais de Banach, una gran part de l'estudi implica el dual: l'espai de tots els contínues de l'espai al seu camp subjacent, els cridats funcionals. Un espai de Banach pot identificar-se canónicamente en un subespacio del seu bidual, que és el dual del seu espai dual. El mapa corresponent és una isometría, pero en general no onto. Un espai de Banach general i el seu bidual ni tan sols tenen per qué ser isométricamente isomorfos en cap sentit, al contrari que en la situació de dimensió finita. Açò s'explica en l'artícul sobre l'espai dual.

Ademés, la noció de derivada pot estendre's a funcions arbitràries entre espais de Banach. Vore, per eixemple, l'artícul derivada de Fréchet.

Resultats principals i fonamentals

Hi ha quatre teoremes principals que a voltes es denominen els quatre pilars de l'anàlisis funcional: el teorema de Hahn-Banach, el Teorema de la funció oberta, el Teorema de la gràfica tancada i el principi de acotación uniforme, també conegut com a teorema de Banach-Steinhaus. Alguns resultats importants de l'anàlisis funcional són:

Principi de acotación uniforme

El «principi de acotación uniforme» o teorema de Banach-Steinhaus és un dels resultats fonamentals de l'anàlisis funcional. Junt en el teorema de Hahn-Banach i el Teorema de la funció oberta, es considera una de les pedres angulars del camp. En la seua forma bàsica, afirma que per a una família d'operadors llineals continus (i per tant operadors acotats) el domini dels quals és un espai de Banach, la acotación puntual és equivalent a la acotación uniforme en la norma de l'operador.

La teorema va ser publicada per primera volta en 1927 per Stefan Banach i Hugo Steinhaus, pero també va ser demostrat independentment per Hans Hahn.

principi de acotación uniforme: Deixem que $X$ siga un espai de Banach i $Y$ siga un espai vectorial normado. Supongam que $F$ és una colecció d'operadors llineals continus des de $X$ fins a $Y$. Si para tot $x$ en $X$ es té $$\sup {\mathrm{\backslash nolimits}}_{T\in F}\Vert T(x){\Vert }_Y<\mathrm{\infty },$$ llavors $$\sup {\mathrm{\backslash nolimits}}_{T\in F}\Vert T{\Vert }_{B(X,Y)}<\mathrm{\infty }.$$

Teorema de descomposició espectral

Artícul principal → Teorema de descomposició espectral.

Hi ha moltes teoremes conegudes com la teorema espectral, pero un en particular té moltes aplicacions en l'anàlisis funcional. Teorema de descomposició espectral Siga $A$ siga un operador autoadjunto acotat en un espai de Hilbert $H$. Llavors hi ha un espai de mida $(X,\Sigma ,\mu )$ i un valor real essencialment llimitat funció mensurable $f$ en $X$ i un operador unitari $U:H\to L_{\mu }^2(X)$ tal que $$U^{*}TU=A$$ a on T és l'Operador multiplicació: $$[T\phi ](x)=f(x)\phi (x).$$ i $\Vert T\Vert =\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$.}} Deixem que $A$ siga un operador i un valor real essencialment llimitat en un espai de Hilbert $H$. Llavors hi ha un espai de mida $(X,\Sigma ,\mu )$ valor real essencialment llimitat funció mensurable $f$ en $X$ and a unitary operator $U:H\to L_{\mu }^2(X)$ such that $$U^{*}TU=A$$ a on T és l'Operador multiplicació: $$[T\phi ](x)=f(x)\phi (x).$$ i $\Vert T\Vert =\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}$.

Consideracions sobre els fonaments de les matemàtiques

La majoria dels espais considerats en anàlisis funcional tenen dimensió infinita. Demostrar l'existència d'una base d'espai vectorial para tals espais pot requerir el lema de Zorn. No obstant, un concepte alguna cosa diferent, la base de Schauder, sol ser més rellevant en anàlisis funcional. Moltes teoremes requerixen el teorema de Hahn-Banach, que sol demostrar-se utilisant l'axioma d'elecció, encara que n'hi ha prou en el teorema de l'ideal primer booleano, estrictament més dèbil. El Teorema de categories de Baire, necessari per a demostrar moltes teoremes importants, també requerix una forma d'axioma d'elecció.

Punts de vista

L'anàlisis funcional en el seu Plantilla:As of inclou les següents tendències:

• Anàlisis abstracte. Un enfocament de l'anàlisis basat en grup topològics, anell topològics i espai vectorial topològics.

Geometria d'espais de Banach conté molts temes. Un d'ells és l'enfocament combinatori relacionat en Jean Bourgain; un atre és una caracterisació dels espais de Banach en els que es complixen vàries formes de la llei dels grans números.

• Geometria no conmutativa. Desenrollada per Alain Connes, basant-se en part en nocions anteriors, com l'enfocament de George Mackey en teoria ergòdica.
• Conexió en la mecànica quàntica. Definida en sentit estricte com en física matemàtica, o interpretada en sentit ampli per, per eixemple, Israel Gelfand, per a incloure la majoria dels tipos de teoria de la representació.

Bibliografia

• Schechter, M.: Principles of Functional Analysis, AMS, 2nd edition, 2001
• Hutson, V., Pym, J.S., Cloud M.J.: Applications of Functional Analysis and Operator Theory, 2nd edition, Elsevier Science, 2005, ISBN 0-444-51790-1
• Dunford, N. and Schwartz, J.T. : Linear Operators, General Theory, and other 3 volumes, includes visualization charts
• Sobolev, S.L.: Applications of Functional Analysis in Mathematical Physics, AMS, 1963
• Lebedev, L.P. and Vorovich, I.I.: Functional Analysis in Mechanics, Springer-Verlag, 2002
• Aliprantis, C.D., Border, K.C.: Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide, 3rd ed., Springer 2007, ISBN 978-3-540-32696-0. Online doi:10.1007/3-540-29587-9 (by subscription)
• Bachman, G., Narici, L.: Functional analysis, Academic Press, 1966. (reprint Dover Publications)
• Banach S. Theory of Linear Operations
• Archivat el 28 de octubre de 2021 archivat en Wayback Machine. Volume 38, North-Holland Mathematical Library, 1987, ISBN 0-444-70184-2
• Brezis, H.: Analyse Fonctionnelle, Dunod ISBN 978-2-10-004314-9 or ISBN 978-2-10-049336-4
• Conway, J. B.: A Course in Functional Analysis, 2nd edition, Springer-Verlag, 1994, ISBN 0-387-97245-5
• Dunford, N. and Schwartz, J.T.: Linear Operators, General Theory, John Wiley & Sons, and other 3 volumes, includes visualization charts
• Edwards, R. I.: Functional Analysis, Theory and Applications, Hold, Rinehart and Winston, 1965.
• Eidelman, Yuli, Vitali Milman, and Antonis Tsolomitis: Functional Analysis: An Introduction, American Mathematical Society, 2004.
• Friedman, A.: Foundations of Modern Analysis, Dover Publications, Paperback Edition, July 21, 2010
• Giles, J.R.: Introduction to the Analysis of Normed Linear Spaces, Cambridge University Press, 2000
• Hirsch F., Lacombe G. - "Elements of Functional Analysis", Springer 1999.
• Hutson, V., Pym, J.S., Cloud M.J.: Applications of Functional Analysis and Operator Theory, 2nd edition, Elsevier Science, 2005, ISBN 0-444-51790-1
• Kantorovitz, S.,Introduction to Modern Analysis, Oxford University Press, 2003,2nd ed.2006.
• Kolmogorov, A.N and Fomin, S.V.: Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis, Dover Publications, 1999
• Kreyszig, I.: Introductory Functional Analysis with Applications, Wiley, 1989.
• Lax, P.: Functional Analysis, Wiley-Interscience, 2002, ISBN 0-471-55604-1
• Lebedev, L.P. and Vorovich, I.I.: Functional Analysis in Mechanics, Springer-Verlag, 2002
• Michel, Anthony N. and Charres J. Herget: Applied Algebra and Functional Analysis, Dover, 1993.
• Pietsch, Albrecht: History of Banach spaces and linear operators, Birkhäuser Boston Inc., 2007, ISBN 978-0-8176-4367-6
• Reed, M., Simon, B.: "Functional Analysis", Academic Press 1980.
• Riesz, F. and Sz.-Nagy, B.: Functional Analysis, Dover Publications, 1990
• Rudin, W.: Functional Analysis, McGraw-Hill Science, 1991

• Saxe, Karen: Beginning Functional Analysis, Springer, 2001
• Schechter, M.: Principles of Functional Analysis, AMS, 2nd edition, 2001
• Shilov, Georgi I.: Elementary Functional Analysis, Dover, 1996.
• Sobolev, S.L.: Applications of Functional Analysis in Mathematical Physics, AMS, 1963
• Vogt, D., Meise, R.: Introduction to Functional Analysis, Oxford University Press, 1997.
• Yosida, K.: Functional Analysis, Springer-Verlag, 6th edition, 1980

Enllaços externs

• {{{1}}} en Springer
• Topics in Real and Functional Analysis by Gerald Teschl, University of Vienna.
• Lecture Notes on Functional Analysis by Yevgeny Vilensky, New York University.
• Lecture videos on functional analysis by Greg Morrow [1] archivat en Wayback Machine. from University of Colorat Colorat Springs