Llei dels grans números

En la teoria de la provabilitat, baixe el terme genèric de llei dels grans números s'engloben varis teoremes que descriuen el comportament del promig d'una successió de variables aleatòries conforme aumenta el seu número d'ensajos.

Estes teoremes prescriuen condicions suficients per a garantisar que dit promig convergixca (en els sentits explicats avall) al promig de les esperances de les variables aleatòries involucrades. Les distintes formulació de la llei dels grans números (i les seues condicions associades) especifiquen la convergència de formes distintes.

Les lleis dels grans números expliquen per qué el promig d'una mostra a l'encert d'una població de gran tamany tendirà a estar prop de la mija de la població completa.

Quan les variables aleatòries tenen una varianza finita, el teorema central del llímit estén el nostre enteniment de la convergència del seu promig descrivint la distribució de diferències estandardisades entre la suma de variables aleatòries i el valor esperat d'esta suma: sense importar la distribució subjacent de les variables aleatòries, esta diferència estandardisada convergix a una variable aleatòria normal estàndar.

La frase "llei dels grans números" és també usada ocasionalment per a referir-se al principi de que la provabilitat de que qualsevol event possible (inclús un d'improvable) ocórrega a lo manco una volta en una série aumenta en el número d'events en la série. Per eixemple, la provabilitat de que un individu guanye la loteria és prou baixa; no obstant, la provabilitat de que algú guanye la loteria és prou alta, suponent que suficients persones compraren bolletes de loteria.

Història

La difusió és un eixemple de la llei dels grans números, aplicada a la química. Inicialment, hi ha molècules de solut en el costat esquerre d'una barrera (llínea púrpura) i cap a la dreta. S'elimina la barrera i el solut es difon per a omplir tot el contenidor.
Dalt: en una sola molècula, el moviment sembla ser prou aleatori.
Mig: en més molècules, existix una clara tendència en la que el solut ompli el recipient més i més uniformemente, pero també hi ha fluctuacions.
Avall: en un enorme número de molècules de solut (massa per a vore's), la aleatoriedad essencialment desapareix: el solut sembla moure's suau i sistemàticament des de les zones d'alta concentració a les zones de baixa concentració. En situacions reals, els químics poden descriure la difusió com un fenomen macroscòpic determinista (vore lleis de Fick), a pesar del seu caràcter aleatori subjacent.

El matemàtic italià Gerolamo Cardano (1501–1576) va afirmar sense proves que la precisió de les estadístiques empíriques tendixen a millorar en el número d'intents. Despuix açò va ser formalisat com una llei dels grans números. Una forma especial de la llei (per a una variable aleatòria binaria) va ser demostrada per primera volta per Jacob Bernoulli. Li va dur més de 20 anys desenrollar una prova matemàtica suficientment rigorosa que va ser publicada en la seua Ars Conjectandi [L'art de la conjectura] en 1713. Bernouilli li va cridar la seua «Teorema dorada», pero va aplegar a ser conegut generalment com a «teorema de Bernoulli". Este no deu confondre's en el principi físic d'igual nom, el nom del nebot de Jacob, Daniel Bernoulli. En 1837, S.D. Poisson va descriure en més detall baix el nom de «la loi dones grands noms» (la llei dels grans números). A partir de llavors, es coneix en abdós noms, pero s'utilisa en major freqüència la «llei dels grans números».

En acabant de que Bernoulli i Poisson publicaren els seus esforços, atres matemàtics també varen contribuir al refinament de la llei, com Chebyshev, Markov, Borel, Cantelli i Kolmogorov i Khinchin, que finalment va proporcionar una prova completa de la llei dels grans números per a variables arbitràries. Estos nous estudis han donat lloc a dos formes prominents de la llei dels grans números: una es diu la llei "dèbil" i l'atra la llei "fort", en referència a dos modos diferents de convergència de la mostra acumulada significa el valor esperat; en particular, com s'explica a continuació, la forma forta implica la dèbil.

Llei dèbil

Visualisació de la llei dels grans números.

La llei dèbil dels grans números establix que si $X_1,X_2,X_3,\dots$ és una successió infinita de variables aleatòries independents que tenen el mateix valor esperat $\mu$ i varianza ${\sigma }^2$ llavors el promig

$\begin{array}{cc}{\bar{X}}_n& =\frac{X_1+\cdots +X_n}{n}\\ & =\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\end{array}$

convergix en provabilitat a $\mu$, en atres paraules, per a qualsevol número positiu $\epsilon$ es té

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{P}(|{\bar{X}}_n-\mu |<\epsilon )=1.$

Llei forta

La llei forta dels grans números establix que si $X_1,X_2,X_3,\dots$ és una successió infinita de variables aleatòries independents i idénticamente distribuïdes que complixen $\mathrm{E}[X_i]<\mathrm{\infty }$ i tenen el valor esperat $\mathrm{E}[X_i]=\mu$ llavors

$\mathrm{P}(\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\bar{X}}_n=\mu )=1,$

és dir, el promig de les variables aleatòries convergix a $\mu$ casi segurament (en un conjunt de provabilitat 1).

Esta llei justifica l'interpretació intuïtiva del valor esperat d'una variable aleatòria com el "promig a llarc determini en fer un mostreig repetitiu".

Demostració (resultat preliminar)

Demostrarem el següent resultat: Siga $X_i$ una successió de variables aleatòries independents i integrables en $\mathbb{P}{X}_n=0$ (esperança 0) i $\sum _i\frac{\mathbb{P}{X}_i^2}{i^2}<\mathrm{\infty }$; llavors, el promig $\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\to 0$ casi segurament quan $n\to \mathrm{\infty }$. Esta teorema no assumix que les variables aleatòries són idénticamente distribuïdes pero controla el creiximent de les varianza.

Per a demostrar la teorema farem us del següent lema:

Desigualtat Maximal. Sean $Z_1,\mathrm{...},Z_N$ variables aleatòries independents i siguen ${ϵ}_1,{ϵ}_2$ i $\beta$ constants positives que complixen $\mathbb{P}\{|Z_i+Z_{i+1}+\mathrm{...}+Z_N|\le {ϵ}_2\}\ge 1/\beta$ per a cada i. Després

$\mathbb{P}\{ma{x}_{i\le N}|Z_1+\mathrm{...}+Z_i|>{ϵ}_1+{ϵ}_2\}\le \beta \mathbb{P}\{|Z_1+\mathrm{...}+Z_N|>{ϵ}_1\}$

Demostració del lema: Sean $S_i:=Z_1+\mathrm{...}+Z_i$ i $T_i:=S_N-S_i$. Definim aixina mateix la variable aleatòria

$\tau =\{\begin{array}{c}\text{primer i para el cual }|S_i|>{ϵ}_1+{ϵ}_2\\ N\text{si }|S_i|\le {ϵ}_1+{ϵ}_2\text{para todo }i\end{array}$

Tenim llavors:

$\begin{array}{ccc}\mathbb{P}\{ma{x}_{i\le N}|Z_1+\mathrm{...}+Z_i|>{ϵ}_1+{ϵ}_2\}& =& \mathbb{P}\{\tau =i,|S_i|>{ϵ}_1+{ϵ}_2\text{ para algun i}\}\\ & =& \sum _{i=1}^N\mathbb{P}\{\tau =i,|S_i|>{ϵ}_1+{ϵ}_2\}\text{pues son eventos disjuntos}\\ & \le & \sum _{i=1}^N\mathbb{P}\{\tau =i,|S_i|>{ϵ}_1+{ϵ}_2\}\beta \mathbb{P}\{|T_i|\le {ϵ}_2\}\text{hipotesis del lema}\\ & =& \beta \sum _{i=1}^N\mathbb{P}\{\tau =i,|S_i|>{ϵ}_1+{ϵ}_2,|T_i|\le {ϵ}_2\}\text{por independencia entre los }{S}_i\text{ y los }{T}_i\end{array}$

Ara be, si $|S_i|>{ϵ}_1+{ϵ}_2$ i $|T_i|\le {ϵ}_2$ llavors implica que $|S_i|>{ϵ}_1$ per això:

$\mathbb{P}\{ma{x}_{i\le N}|Z_1+\mathrm{...}+Z_i|>{ϵ}_1+{ϵ}_2\}\le \beta \sum _{i=1}^N\mathbb{P}\{\tau =i,|S_i|>{ϵ}_1\}=\beta \mathbb{P}\{|Z_1+\mathrm{...}+Z_N|>{ϵ}_1\}$

en lo que es conclou el lema. (Fi demostració del lema)

Seguim en la demostració de la teorema: Definim

$\begin{array}{ccc}{S}_i& :=& X_1+\mathrm{...}+X_i\\ {\sigma }_i^2& :=& \mathbb{P}{X}_i^2;V_i:={\sigma }_1^2+\mathrm{...}+{\sigma }_i^2=\mathbb{P}{S}_i^2\\ B_k& :=& n:n_k<n\le n_{k+1}\text{donde }{n}_k:=2^k,k=1,2,3,\mathrm{...}\end{array}$

Tenim llavors que la série $\sum _{k}V(n_k)/n_k^2$ és convergent puix:

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}V(n_k)/n_k^2=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{\sigma }_j^2{\chi }_{\{j\le 2^k\}}{4}^{-k}=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{\sigma }_j^2\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\chi }_{\{j\le 2^k\}}{4}^{-k}=\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{\sigma }_j^2{4}^{-([{\log }_{2}j]+1)}\frac{4}{3}\le \frac{4}{3}\sum _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{\sigma }_j^2/j^2<\mathrm{\infty }$

La convergència c.t.p. que assegura la teorema és equivalent a:

$\underset{n}{\max }\frac{|S_n|}{n}\to 0\text{cuando }k\to \mathrm{\infty }$

Pel lema de Borel-Cantelli, és suficient demostrar que, per a tot $ϵ>0$

( 1) $\sum _k\mathbb{P}\{\underset{n\in B_k}{\max }\frac{|S_n|}{n}>ϵ\}<\mathrm{\infty }$

Cada provabilitat en la suma anterior pot ser acotada per:

$\mathbb{P}\{\underset{n\le n_{k+1}}{\max }|S_n|>ϵn_k\}$

Ara s'aplica la desigualtat maximal:

$\mathbb{P}\{\underset{n\le n_{k+1}}{\max }|S_n|>ϵn_k\}\le {\beta }_k\mathbb{P}\{|S_{n_{k+1}}|>\frac{ϵ}{2}{n}_k\}\le {\beta }_{k}4V(n_{k+1})/(ϵn_k{)}^2$

L'última desigualtat de la llínea anterior es justifica per la desigualtat de Chebyshev. Una nova aplicació d'esta mateixa desigualtat nos permet acotar els ${\beta }_k$:

$\begin{array}{ccc}{\beta }_k^{-1}& =& \underset{n\le n_{k+1}}{\min }\mathbb{P}\{|S_{n_{k+1}}-S_n|\le \frac{ϵ}{2}{n}_k\}\\ & \ge & 1-\underset{n\le n_{k+1}}{\max }\frac{4\mathbb{P}(S_{n_{k+1}}-S_n{)}^2}{{ϵ}^2{n}_k^2}\\ & \ge & 1-\frac{16V(n_{n_k+1})}{{ϵ}^2{n}_k^2}\to 1\text{cuando }k\to \mathrm{\infty }\end{array}$

És dir, hem conseguit acotar cada sumant de la (1) per una constant pels térmens d'una sumatoria que sabem convergent, demostrant la convergència de dita sumatoria i concloent via Borel-Cantelli la convergència forta de la teorema.

(Fi de la demostració)$◼$

Demostració de la llei forta dels grans números (Kolmogorov)

Siga $X_i$ una successió de variables aleatòries independents, integrables i idénticamente distribuïdes en $\mathbb{P}{X}_n=0$ (esperança 0), llavors, el promig $\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\to 0$ casi segurament quan $n\to \mathrm{\infty }$.

Definim $Y_i=X_i{\chi }_{\{|X_i|\le i\}}$ i ${\mu }_i=\mathbb{P}{Y}_i$. Tenim que $0=\mathbb{P}{X}_i={\mu }_i+\mathbb{P}{X}_i{\chi }_{\{|X_i|>i\}}$. Ademés, usant l'hipòtesis de distribucions idèntiques, podem en general reemplaçar (no sempre) una distribució $X_i$ genèrica per un representant, digam $X_1$. Tenim llavors:

L'última convergència a zero ve donada per la convergència puntual més convergència dominada per $|X_1|$ . També tenim que:

La tercera igualtat ve de que para qualsevol variable aleatòria es complix que:

$\sum _{i\ge 1}{\chi }_{\{X>i\}}=\sum _{i\ge 1}i{\chi }_{\{X>i,x\le i+1\}}$

La (2) implica, per Borel-Canteli, que el conjunt $\{X_i\ne Y_i,\text{para infinitos i}\}$ té provabilitat zero. Per lo tant, en un conjunt de provabilitat 1 es complix:

(3) $|\frac{1}{n}\sum _{i\le n}{X}_i-\frac{1}{n}\sum _{i\le n}{Y}_i|\to 0$

De la desigualtat $\mathbb{P}(Y_i-{\mu }_i{)}^2\le \mathbb{P}{Y}_i^2=\mathbb{P}(X_1^2{\chi }_{\{|X_1|\le i\}})$ podem deduir que:

$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathbb{P}(Y_i-{\mu }_i{)}^2}{i^2}\le \sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\mathbb{P}(X_1^2{\chi }_{\{|X_1|\le i\}})}{i^2}=\mathbb{P}\left\{\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{X_1^2{\chi }_{\{|X_1|\le i\}}}{i^2}\right\}\le C\mathbb{P}|X_1|<\mathrm{\infty }$

Per la teorema anteriorment demostrada tenim:

(4) $\frac{1}{n}\sum _{i\le n}(Y_i-{\mu }_i)\to 0$

casi segurament. Com ademés tenim que:

$\left|\frac{1}{n}\sum _{i\le n}{X}_i\right|\le |\frac{1}{n}\sum _{i\le n}(X_i-Y_i)|+|\frac{1}{n}\sum _{i\le n}(Y_i-{\mu }_i)|+\left|\frac{1}{n}\sum _{i\le n}{\mu }_i\right|$

Llavors, de les equacions (1), (3) i (4) es deduïx que $\left|\frac{1}{n}\sum _{i\le n}{X}_i\right|\to 0$ en casi en tots els punts, concloent la teorema.

(Fi de la demostració)$◼$

Eixemples

Ilustració de la llei dels grans números.

Per eixemple, una sola tirada d'un dau de sis cares produïx un dels números 1, 2, 3, 4, 5 o 6, cada u en la mateixa provabilitat. Per tant, el valor esperat del promig de les tirades és:

$$\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3.5$$

D'acort en la llei dels grans números, si es llança una gran cantitat de daus de sis cares, el promig dels seus valors (a voltes cridat mija mostral) s'aproximarà a 3,5, i la precisió aumentarà a mida que es llancen més donats.

De la llei dels grans números es deduïx que la provabilitat empírica d'èxit en una série d'ensajos de Bernoulli convergirà en la provabilitat teòrica. Per a una variable aleatòria de Bernoulli, el valor esperat és la provabilitat teòrica d'èxit, i el promig de n tals variables (suponent que siguen independents i idénticamente distribuïdes (i.i.d.)) és precisament la freqüència relativa.

Un eixemple gràfic de la llei dels grans números utilisada per a dos tirades de daus. La suma dels dos daus fluctua en les primeres tirades, pero a mida que aumenta el número de tirades, el valor esperat de la suma dels dos daus s'acosta a 7.

Per eixemple, un llançament d'una moneda justa (aquella en la que tenen exactament les mateixes provabilitats de caure boca dalt els dos costats, la cara i la creu) és una prova de Bernoulli. Quan es llança una moneda justa una volta, la provabilitat teòrica de que el resultat siga cara és igual a 1⁄2. Per lo tant, segons la llei dels grans números, la proporció de cares en un "gran" número de llançaments de moneda "deuria ser" aproximadament 1⁄2. En particular, la proporció de cares despuix de n llançaments casi segurament convergirà a 1⁄2 quan n s'acoste a l'infinit.

Encara que la proporció de cares (i creus) s'acosta a la mitat, és casi segur que la diferència absoluta en el número de cares i creus aumentarà a mida que aumente el número de llançaments. És dir, la provabilitat de que la diferència absoluta siga un número chicotet s'acosta a zero a mida que el número de llançaments aumenta. Ademés, és casi segur que la relació entre la diferència absoluta i el número de llançaments s'aproximarà a zero. Intuitivamente, la diferència esperada creix, pero a un ritme més llent que el número de llançaments.

Un atre bon eixemple de LGN és el Método de Montecarlo. Estos métodos són una classe àmplia d'algoritmes computacionals que es basen en mostrejos aleatoris repetits per a obtindre resultats numèrics. Quant major siga el número de repeticions, millor tendix a ser l'aproximació. La raó per la que este método és important és principalment que, a voltes, és difícil o impossible utilisar atres enfocaments.

Vore també

• Teorema del llímit central
• Teorema de Bernoulli
• Falàcia del jugador
• Andréi Kolmogórov
• Andréi Márkov
• Aleksandr Jinchin
• Llei dels números realment grans
• Teorema de la mona infinita
• Llei del logaritmo iterado
• Llei dels números realment grans
• Regressió a la mija
• Insaculación

Referències

• David Pollard, A user´s guide to measure theoretic probability, Cambridge University Press (2003).

Bibliografia adicional

• (1992) Probability and Random Processes, 2nd Edition, Clarendon Press, Oxford. ISBN 0-19-853665-8.
• Richard Durrett (1995). Probability: Theory and Examples, 2nd Edition, Duxbury Press.
• Martin Jacobsen (1992). Videregående Sandsynlighedsregning (Advanced Probability Theory) 3rd Edition, HCØ-tryk, Copenhagen. ISBN 87-91180-71-6.
• «A Tricentenary history of the Law of Large Numbers».Bernoulli.19(4)

1088–1121.doi:10.3150/12-BEJSP12.

• Dominique Foata i Aimé Fuchs, Calcul dones Probabilités. (francés)
• Daniel Dugué, « Calcul dones probabilités », Dictionnaire dones mathématiques, fondements, probabilités, applications, Encyclopædia Universalis et Albin Michel, Paris 1998. (francés)