Teorema

Esta image mostra la relació entre les cadenes de caràcters. En alguns sistemes formals, no obstant, el conjunt de les teoremes coincidix en el de les fòrmules ben formades.

Una teorema és una proposició la veritat de la qual es demostra. En matemàtiques, és tota proposició que, partint d'un supòsit (hipòtesis), afirma una racionabilidad (tesis) no evident per sí mateixa.

També pot dir-se que una teorema és una fòrmula ben formada que pot ser demostrada dins d'un sistema formal, partint d'axiomas, noció i atres teoremes. Demostrar teoremes és un assunt central en la llògica matemàtica. Les teoremes també poden ser expressats en llenguage natural formalisat.

Les teoremes generalment posseïxen un número de premisses que deuen ser enumerades o aclarides de bestreta. La conclusió de la teorema és una afirmació llògica o matemàtica que és verdadera baixe les condicions donades. El contingut informatiu de la teorema és la relació que existix entre les hipòtesis i la tesis o la conclusió.

Es diu corolari a una afirmació llògica que és conseqüència immediata d'una teorema, podent ser demostrada usant les propietats de la teorema de referència.

Teorema

Una teorema requerix d'un marc llògic; este marc consistirà en un conjunt d'axiomas (sistema axiomàtic) i un procés d'inferència, el qual permet derivar teoremes a partir dels axioma i teoremes que han segut derivats pero no són axioma.

En llògica proposicional i de primer orde, qualsevol afirmació demostrada es denomina teorema. Més concretament en llògica es diu demostració a una seqüència finita de fòrmules ben formades (fòrmules llògiques ben formades) F₁, ...,F_n, tals que cada F_i és o be un axioma o be una teorema que se seguix de dos fòrmules anteriors F_j i F_k (tals que j<i i k<i) per mig d'una regla de deducció. Donada una demostració com l'anterior si l'element final F_n no és un axioma llavors és una teorema. Resumint lo anterior pot dir-se formalment, una teorema és una fòrmula ben formada, que no és un axioma, i que pot ser l'element final d'alguna demostració, és dir, una teorema és una fòrmula ben formada per a la qual existix una demostració, lo tal que du que una teorema no existixca .

Teorema i veritat

Fins a finals de el XIX i la crisis fundacional de les matemàtiques, totes les teories matemàtiques es varen construir a partir d'unes poques propietats bàsiques que es consideraven evidents; per eixemple, els fets de que tot número natural té un successor, i que hi ha exactament una llínea que passa per dos punts distints daus. Estes propietats bàsiques que es consideraven absolutament evidents es denominaven postulats o axioma; per eixemple els postulats de Euclides. Totes les teoremes es demostraven usant implícita o explícitament estes propietats bàsiques i, per l'evidència d'estes propietats bàsiques, una teorema provada es considerava com una veritat definitiva, a menos que hi haguera un error en la prova. Per eixemple, la suma dels ànguls interiors d'un triàngul és igual a 180°, i açò es considerava com un fet indubtable.

Un aspecte de la crisis fundacional de les matemàtiques va ser el descobriment de geometria no euclidianas que no conduïxen a cap contradicció, encara que, en tals geometria, la suma dels ànguls d'un triàngul és diferent de 180°. Llavors, la propietat "la suma dels ànguls d'un triàngul és igual 180°" és verdader o fals, depenent de si s'assumix o es nega el quint postulat de Euclides. De manera similar, l'us de propietats bàsiques "evidents" de conjunts conduïx a la contradicció de la paradoxa de Russel. Açò s'ha resolt elaborant les regles que es permeten per a manipular conjunts.

Esta crisis s'ha resolt revisant els fonaments de les matemàtiques per a fer-los més rigorosos. En estos nous fonaments, una teorema és una fòrmula ben formada d'una teoria matemàtica que pot provar-se a partir dels axiomas i les regles d'inferència de la teoria. Llavors, la teorema anterior sobre la suma dels ànguls d'un triàngul es convertix en: Baixe els axioma i regles d'inferència de la geometria euclidiana, la suma dels ànguls interiors d'un triàngul és igual a 180°. De manera similar, la paradoxa de Russel desapareix perque, en una teoria de conjunts axiomatizada, el "conjunt de tots els conjunts" no pot expressar-se en una fòrmula ben formada. Més precisament, si el conjunt de tots els conjunts es pot expressar en una fòrmula ben formada, açò implica que la teoria és inconsistente, i tota afirmació ben formada, aixina com la seua negació, és una teorema.

En este context, la validea d'una teorema depén únicament de la correcció de la seua prova. És independent de la veritat, o inclús del significat dels axioma. Açò no significa que el significat dels axioma no siga interessant, sino que la validea d'una teorema és independent del significat dels axioma. Esta independència pot ser útil en permetre l'us de resultats d'algun àrea de les matemàtiques en àrees aparentment no relacionades.

Una conseqüència important d'esta forma de pensar sobre les matemàtiques és que permet definir teories i teoremes matemàtiques com objectes matemàtics, i provar teoremes sobre ells. Els eixemples són els teoremes de incompletitud de Gödel. En particular, hi ha afirmacions ben formades que poden demostrar-se que no són una teorema de la teoria ambiental, encara que poden demostrar-se en una teoria més àmplia. Un eixemple és el teorema de Goodstein, que es pot establir en l'aritmètica de Peano, pero es demostra que no és demostradora en l'aritmètica de Peano. No obstant, és demostrador en algunes teories més generals, com la teoria de conjunts de Zermelo-Fraenkel.

Consideracions epistemològiques

Molts teoremes matemàtiques són enunciats condicionals, les proves de les quals deduïxen conclusions de condicions conegudes com a hipòtesis o premisses. A la llum de l'interpretació de la prova com a justificació de la veritat, la conclusió es veu a sovint com una conseqüència necessària de les hipòtesis. És dir, que la conclusió és verdadera en cas que les hipòtesis siguen verdaderes, sense més suposicions. No obstant, el condicional també podria interpretar-se de manera diferent en certs sistemes deductivos, depenent dels significats assignats a les regles de derivació i al símbol condicional (per eixemple, llògica no clàssica).

Encara que les teoremes es poden escriure en una forma completament simbòlica (per eixemple, com a proposicions en càlcul proposicional), a sovint s'expressen de manera informal en un llenguage natural com l'anglés per a una millor legibilidad. Lo mateixa ocorre en les demostracions, que a sovint s'expressen com a arguments informals llògicament organisats i clarament redactats, en l'intenció de convéncer als llectors de la veritat de l'enunciat de la teorema més allà de tot dubte, i a partir dels quals es pot, en principi, construir una demostració simbòlica formal.

Ademés de la millor legibilidad, els arguments informals solen ser més fàcils de verificar que els purament simbòlics; de fet, molts matemàtics expressarien la seua preferència per una prova que no solament demostre la validea d'una teorema, sino que també explique d'alguna manera "per qué" és òbviament cert. En alguns casos, un podria inclús corroborar una teorema usant una image com a prova.

Degut a que les teoremes es troben en el núcleu de les matemàtiques, també són fonamentals per a la seua estètica. Les teoremes a sovint es descriuen com "trivials", "difícils", "profunts" o inclús "bells". Estos juïns subjectius varien no solament de persona a persona, sino també en el temps i la cultura: per eixemple, a mida que s'obté una demostració, se simplifica o es comprén millor, una teorema que alguna volta va ser difícil pot tornar-se trivial. Per un atre costat, una teorema profunda pot formular-se de manera simple, pero la seua demostració pot involucrar conexions sorprenents i sotils entre àrees dispars de les matemàtiques. l'última teorema de Fermat és un eixemple particularment conegut de tal teorema.

Conte informal de teoremes

Llògicament, moltes teoremes tenen la forma d'un indicatiu condicional: Si A, llavors B. Tal teorema no afirma "B", només que "B" és una conseqüència necessària de "A". En este cas, A es diu la hipòtesis de la teorema ("hipòtesis" ací significa alguna cosa molt diferent d'una conjectura), i B la conclusió de la teorema. Els dos junts (sense la demostració) es denominen la proposició o el enunciat de la teorema (per eixemple, "Si A, llavors B" és la proposició). Alternativament, A i B també poden denominar-se antecedent i conseqüent, respectivament. La teorema "Si n és un número natural parell, llavors n/2 és un número natural" és un eixemple típic en el que l'hipòtesis és "n és un número natural parell", i la conclusió és "n/2 és també un número natural".

Per a que una teorema siga provada, deu ser en principi expressable com un enunciat formal i precís. No obstant, les teoremes generalment s'expressen en llenguage natural en lloc d'una forma completament simbòlica, en la presunció de que una declaració formal pot derivar-se d'una informal.

És comú en matemàtiques elegir un número d'hipòtesis dins d'un llenguage donat i declarar que la teoria consta de tots els enunciats demostradors a partir d'estes hipòtesis. Estes hipòtesis formen la base fonamental de la teoria i es diuen axiomas o postulats. El camp de les matemàtiques conegut com teoria de la prova estudia els llenguages formals, els axioma i l'estructura de les proves.

Archiu:4CT Non-Counterexample 1.svg

Un mapa planar en cinc colors tal que no es troben dos regions en el mateix color. De fet, es pot colorear d'esta manera en sol quatre colors. El teorema dels quatre colors establix que tals colors són possibles per a qualsevol mapa pla, pero cada prova coneguda implica una busca computacional que és massa llarga per a verificar-la a mà.

Algunes teoremes són "trivials", en el sentit de que es deriven de definicions, axioma i atres teoremes de manera òbvia i no contenen idees sorprenents. Alguns, per un atre costat, poden cridar-se "profunts", perque les seues demostracions poden ser llargues i difícils, involucrar àrees de les matemàtiques superficialment distintes de l'enunciat de la teorema en sí, o mostrar conexions sorprenents entre àrees dispars de les matemàtiques. Una teorema pot ser simple d'enunciar i, no obstant, ser profunt. Un excelent eixemple és l'Última Teorema de Fermat, i hi ha molts atres eixemples de teoremes simples pero profunts en teoria de números i combinatòria, entre atres àrees.

Atres teoremes tenen una prova coneguda que no es pot escriure fàcilment. Els eixemples més destacats són la teorema dels quatre colors i la conjectura de Kepler. Solament se sap que abdós teoremes són verdaders en reduir-los a una busca computacional que després és verificada per un programa d'ordenador. Inicialment, molts matemàtics no varen acceptar esta forma de prova, pero s'ha tornat més acceptada. El matemàtic Doron Zeilberger inclús ha anat tan llunt com per a afirmar que estos són possiblement els únics resultats no trivials que els matemàtics han provat alguna volta. Moltes teoremes matemàtiques es poden reduir a càlculs més senzills, incloses identitats polinòmiques, identitats trigonométricas i identitats hipergeométricas.Plantilla:Page needed

Teoremes intervinculados

Sent p i q dos proposicions s'obtenen les següents teoremes, intercanviant l'hipòtesis en la conclusió i després considerant les negacions de les proposicions originals.

Teorema directa: $p\Rightarrow q$

Teorema recíproca: $q\Rightarrow p$

Teorema inversa:$-p\Rightarrow -q$

Teorema contrarrecíproco: $-q\Rightarrow -p$

Terminologia en Matemàtiques

En matemàtica una teorema deu ser interessant o important dins de la comunitat matemàtica per a ser considerada una teorema. Les afirmacions menys importants es denominen:

• Lema: una afirmació que forma part d'una teorema més àmplia. Algunes voltes, els lemes adquirixen tanta importància que es tornen teoremes, com el lema de Gauss i el lema de Zorn, per eixemple. Estos, per sí mateixos, són teoremes, encara que, per raons històriques, la paraula lema permaneix en el seu nom.
• Corolari: una afirmació que seguix immediatament a una teorema. Una proposició A és un corolari d'una proposició o teorema B si A pot ser deduïda senzillament de B.
• Proposició: una afirmació o resultat no associat a cap teorema en particular. Molts experts usen proposició com a sinònim de teorema.

• Conjectura o hipòtesis, un enunciat matemàtic que se supon verdader, encara no demostrat. Com a eixemples, de llarga data: la conjectura de Goldbach o la hipòtesis de Riemann.

Teoremes dins d'atres ciències

En freqüència en física o economia algunes afirmacions importants que poden ser deduïdes o justificades a partir d'atres afirmacions o hipòtesis bàsiques es diuen comunament teoremes. No obstant, freqüentment les àrees de coneiximent a on apareixen eixes afirmacions en freqüència no han segut formalisades adequadament en forma de sistema llògic per lo que estrictament deuria usar-se en cautela el terme teorema per a referir-se a eixes afirmacions demostradores o deduibles de supòsits «més bàsics».

Disseny

Una teorema i la seua prova normalment es presenten de la següent manera:

Teorema (nom de la persona que ho va provar, junt en l'any del descobriment o publicació de la prova)

Enunciat de la teorema (a voltes cridat proposició)

Prova

Descripció de la prova

Fi

El final de la prova es pot senyalar en les lletres Q.E.D. (quod erat demonstrandum) o en una de les marques tombstone, com "□" o "∎", que significa "fi de la prova", introduït per Paul Halmos despuix del seu us en revistes per a marcar el final d'un artícul.

L'estil exacte depén de l'autor o publicació. Moltes publicacions proporcionen instruccions o macros per a compondre en l'estil intern.

És comú que una teorema estiga precedida per definició que descriga el significat exacte dels térmens utilisats en la teorema. També és comú que una teorema estiga precedida per una série de proposicions o lemes que després s'usen en la demostració. No obstant, els lemes a voltes estan incrustats en la demostració d'una teorema, ya siga en demostracions anidadas o en les seues demostracions presentades despuix de la demostració de la teorema.

Els corolaris d'una teorema es presenten entre la teorema i la prova, o directament despuix de la prova. A voltes, els corolaris tenen proves pròpies que expliquen per qué es deriven de la teorema.

Saber

S'ha estimat que cada any es proven més d'un quarto de milló de teoremes.

El conegut aforisme, "Un matemàtic és un dispositiu per a convertir el café en teoremes", provablement es dega a Alfréd Rényi, encara que a sovint s'atribuïx al colega de Rényi Paul Erdős (i Rényi pot haver estat pensant en Erdős), que era famós per les moltes teoremes que va produir, el número de les seues colaboracions i el seu consum de café.

Alguns consideren que la classificació de grups simples finitos és la prova més llarga d'una teorema. Comprén decenes de mils de pàgines en 500 artículs de revistes d'uns 100 autors. Es creu que estos documents en conjunt brinden una prova completa, i varis proyectes en curs esperen acurtar i simplificar esta prova. Una atra teorema d'este tipo és el teorema dels quatre colors la prova generat dels quals per ordenador és massa llarga per a que la lligga un ser humà. És una de les demostracions més llargues conegudes d'una teorema que el seu enunciat pot ser entés fàcilment per un profà.

Teoremes célebres

Alguns de les teoremes més conegudes són:

• Teorema de Pappus-Guldin
• Teorema de Pitágoras
• Teorema de Bayes
• Teorema del binomi
• Teorema de mostreig de Nyquist-Shannon
• Teorema de incompletitud de Gödel
• Teorema del llímit central
• Teorema dels número primo
• Teorema de la divergència
• Teorema de Bell
• Teorema de Stokes
• Teorema de Tals
• Teorema dels zeros de Hilbert
• Teorema de Frobenius
• Teorema de Fermat-Wiles
• Teorema de Morley
• Teorema de Shannon
• Teorema de la Bisectriz
• Teorema del Valor Mig
• Teorema de Taylor
• Teorema de Rolle
• Teorema de Cauchy
• Teorema de Erdös-Ko-Rado

Vore també

• Axioma
• Sistema axiomàtic
• Tautologia
• Teoria

Bibliografia

• Barwise, J. (1982). Handbook of Mathematical Logic. Elsevier. ISBN 9780080933641.
• Belnap, N. (1977). "A useful four-valued logic". In Dunn & Eppstein, Modern uses of multiple-valued logic. Reidel: Boston.

• Bocheński, J. M. (1959). A précis of mathematical logic. Translated from the French and German editions by Otto Bird. D. Reidel, Dordrecht, South Holland.
• Bocheński, J. M. (1970). A history of formal logic. 2nd Edition. Translated and edited from the German edition by Ivo Thomas. Chelsea Publishing, New York.
• Hoffman, P. (1998). The Man Who Loved Only Numbers: The Story of Paul Erdős and the Search for Mathematical Truth, Hyperion, New York. ISBN 1-85702-829-5.
• (1996) A = B, A.K. Peters, Wellesley, Massachusetts. ISBN 1-56881-063-6.

Enllaços externs

Commons

• Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre Teoremes.

Teorema en el Viccionari.

• Symploke: Teorema