Lema de Gauss

En la teoria de polinomis, el lema de Gauss, o criteri de la irreducibilidad de Gauss, cridat aixina en honor al matemàtic alemà Carl Friedrich Gauss, afirma que el producte de dos polinomis primitius és primitiu. (Un polinomi es diu primitiu si el màxim comú divisor dels seus coeficients és 1).

Permet demostrar com corolaris seus que si $D$ és un domini d'factorización única (DFU) i $𝕂$ és la seua cos de cocients (o cos de fraccions), llavors el contingut de dos polinomis donats en coeficients en $D$ és el producte de continguts (el contingut d'un polinomi és el màxim comú divisor dels seus coeficients) i que tot polinomi primitiu $p\in D[x]$ és irreducible en $D[x]$ si i només si ho és en $𝕂[x]$.

Quan s'aplica este resultat a $\mathbb{Z}$ com a anell d'factorización única s'obté que un polinomi primitiu en coeficients sancers és irreducible sobre els sancers si i només si és irreducible sobre els racionals.

El criteri de irreducibilidad de Gauss proporciona un resultat molt útil per a demostrar certes propietats de divisibilidad en anells de polinomis: per l'equivalència que senyala el criteri entre la irreducibilidad d'un polinomi primitiu en $D[x]$ i la irreducibilidad del mateix polinomi en $𝕂[x]$, usant que $𝕂[X]$ és un DFU, es pot demostrar que si $D$ és un DFU, llavors $D[X]$ també és un DFU. Aixina, es té com corolari que si $D$ és un DFU llavors també ho és $D[x]$, siga o no este últim anell un domini d'ideals principals (DIP). En açò es poden construir fàcilment eixemples d'anells que són DFU per no DIP. Per eixemple, $\mathbb{Z}[x]$ no és un DIP pero sí és un DFU, puix $\mathbb{Z}$ és un DFU.

També es pot usar el lema per a demostrar el criteri de Eisenstein, molt útil per a identificar polinomis irreducibles en els racionals.

Enunciat del lema i demostració

Un polinomi $F(X)=a_0+a_{1}X+\dots +a_n{X}^n$ sobre els sancers es diu primitiu si el màxim comú divisor dels seus coeficients és 1. En atres paraules, si cap número primo dividix a tots els seus coeficients. La mateixa definició es pot fer si el polinomi té coeficients en un domini d'factorización única qualsevol: un polinomi és primitiu si només les unitats dividixen a tots els seus coeficients (el màxim comú divisor dels seus coeficients és 1). Si l'anell és un domini d'factorización única, com cada u dels coeficients es pot escriure com a producte d'elements primers, que el polinomi siga primitiu és equivalent a que cap element primer dividixca a tots els seus coeficients.

El lema de Gauss afirma lo següent:

El producte de dos polinomis primitius sobre un domini d'factorización única és a la seua volta primitiu.

Demostració: Sean $P(X)=a_0+a_{1}X+\dots +a_n{X}^n$ i $Q(X)=b_0+b_{1}X+\dots +b_m{X}^m$ dos polinomis en coeficients en un domini d'factorización única $A$. Clarament, per propietat distributiva i ser l'anell tancat pel producte i la suma, $P(X)Q(X)$ torna a ser un polinomi en coeficients en $A$. Vejam que és primitiu. Si no ho anara, usant la factorización en elements primers de l'anell, com ya hem comentat dalt, deuria existir un element primer que dividira a tots els coeficients del producte $P(X)Q(X)$. Anem a vore que cap element primer pot complir açò, de manera que $P(X)Q(X)$ tindrà que ser necessàriament primitiu.

Siga puix $p\in A$ un element primer i anem a trobar un coeficient de $P(X)Q(X)=c_0+c_{1}X+\dots +c_{n+m}{X}^{n+m}$ no divisible per $p$. Com sabem que $P(X)$ i $Q(X)$ sí que són primitius, deu existir per lo manco un coeficient de cada u no divisible per $p$. Sean $a_r$ i $b_s$ els coeficients de menor índex de $P(X)$ i $Q(X)$ no divisibles per $p$.

Afirmem que $c_{r+s}$ no pot ser divisible per $p$. En efecte, per propietat distributiva,

$c_{r+s}=\sum _{i+j=r+s}{a}_i{b}_j=\sum _{i=0}^{r+s}{a}_i{b}_{r+s-i}=\sum _{i=0}^{r-1}{a}_i{b}_{r+s-i}+a_r{b}_s+\sum _{i=r+1}^{r+s}{a}_i{b}_{r+s-i}=\sum _{i=0}^{r-1}{a}_i{b}_{r+s-i}+a_r{b}_s+\sum _{j=0}^{s-1}{a}_{r+s-j}{b}_j$.

En esta expressió, per definició de $r$, els $a_i$ del primer sumatorio són tots divisibles per $p$, mentres que, per definició de $s$, els $b_j$ del segon sumatorio són tots divisibles per $p$. Per tant, si $c_{r+s}$ fora divisible per $p$, llavors $a_r{b}_s$ tindria que ser divisible per $p$. Pero com $p$ és un element primer, $p$ dividiria a $a_r$ o a $b_s$, la qual cosa és contradictori en cóm hem definit estos coeficients. Per tant, $c_{r+s}$ no pot ser divisible per $p$.

Aixina que, per a cada element primer $p$ existix un coeficient de $P(X)Q(X)$ que no és divisible per $p$ i, llavors, $P(X)Q(X)$ és primitiu. $◻$

Eixemple d'us

Trobem les raïls racionals del polinomi racional

$f=x^8+8/3x^7+1/3x^6-14/3x^5-14/3x^4-4/3x^3$

Netejant els denominadors de $f$ s'obté el polinomi sancer $g$ en les mateixes raïls:

$g=3x^8+8x^7+x^6-14x^5-14x^4-4x^3=x^3(3x^5+8x^4+x^3-14x^2-14x-4)$

Clarament, 0 és raïl de multiplicitat 3 de $g$ (i de $f$), i les restants raïls racionals són les de

$h=3x^5+8x^4+x^3-14x^2-14x-4$

Ací, $a_0=-4$ i $a_n=3$.

Els divisores de $a_0$ són $\pm 1,\pm 2,\pm 4$ i els divisores de $a_n$ són $\pm 1,\pm 3$, després les raïls racionals es busquen en el conjunt:

$\{\pm 1,\pm 2,\pm 4,\pm 1/3,\pm 2/3,\pm 4/3\}$

Chequeando un obté que $h(-1)=0$ i $h(-2/3)=0$. Aixina, les raïls racionals distintes de $h$ són $-1$ i $-2/3$, per a conéixer en que multiplicitat, es pot o be dividir $h$ per $(x+1)(x+2/3)$ i tornar a evaluar el cocient en $-1$ i $-2/3$. O be també es pot derivar $h$:

$h^{\prime }=15x^4+32x^3+3x^2-28x-14$

i es té que $h^{\prime }(-1)=0$ mentres que $h^{\prime }(-2/3)\ne 0$. O siga $-1$ és raïl de multiplicitat ≥ 2 i $-2/3$ és raïl simple.

Tornant a derivar $h$: $h^{″}=60x^3+96x^2+6x-28$ i $h^{″}(-1)\ne 0$.

Es conclou que -1 és raïl doble de $h$.

Finalment la factorización de $h$ en $\mathbb{Q}[X]$ és:

$h=3(x+1{)}^2(x+2/3)(x^2-2)$

I ya que $f=1/3x^{3}h$, resulta la següent factorización de $f$ en $\mathbb{Q}[X]$:

$f=x^3(x+1{)}^2(x+2/3)(x^2-2)$