Anell de polinomis

Siga $A$ un anell i $S$ qualsevol conjunt. El conjunt $A[S]$ conté els elements de la forma:

(1) $\sum _{i=1}^m{a}_i{x}_1^{k_{i1}}\cdots x_n^{k_{in}}$,

en a on $m,n\in \mathbb{N}-\{0\}$, $a_1,\dots ,a_m\in A$, $x_1,\dots ,x_n\in S$ i cada $n$-tupla $(k_{i1},\dots ,k_{in})$ de número natural és diferent per a diferent valor de $i$, es diu anell de polinomis en indeterminades en $S$ sobre $A$.

Introducció

Els polinomis més coneguts són els que tenen coeficients sancers.

Eixemple:

Siga $A$ l'anell $\mathbb{Z}$ i $S=\{x,y\}$, un element de $\mathbb{Z}[S]$ és un polinomi de dos variables com:

$4x^{3}y-5x{y}^2+3y^3$

El conjunt d'indeterminades $S$ pot ser un conjunt infinit, pero cada polinomi conté un número finito de térmens.^{cita requerida}

Si $S=\{x_1,\dots ,x_n\}$, llavors es pot escriure $A[x_1,\dots ,x_n]$ en lloc de $A[S]$. Aixina, $A[x]$ és un anell de polinomis en una sola indeterminada $x$.

A cada element $a\in A$ li correspon un polinomi (monomi, de fet) en $A[S]$ com:

$a{x}_1^0\cdots x_n^0$

ya que $x_i^0=1\Rightarrow a=a{x}_1^0{x}_2^0{x}_3^0\cdots$, per lo que $A$ és un subanillo de $A[S]$.

Propietats fonamentals

Fets d'interés sobre anells de polinomis tenen que vore en les propietats del mateix a partir de l'anell en el que tenen els seus coeficients. Per eixemple, quan $A$ és un domini íntegre, $A[S]$ també ho és, i les unitats de $A[S]$ són les mateixes que les de $A$. Pel contrari $A[S]$ mai serà un cos, no important que $A$ lo siga o no, puix encara que les unitats de $A[S]$ siguen les mateixes que les de $A$, $A$ és solament un subanillo de $A[S]$. No obstant, l'anell $A[S]$ és un domini íntegre si $A$ lo és, després, donat el cas, es pot construir el cos de cocients de $A[S]$ (i.i. el cos de fraccions de polinomis), que es denota comunament per $A(S)$.

Els coeficients dels polinomis d'un anell $A[S]$ poden prendre's no solament com els elements de $A$. En la pràctica podem fer agrupacions del tipo

$4x^2{y}^3-5x{y}^2+2zy=(4x^2)y^3-(5x)y^2+2zy$

i estes també deuen fer-se en un anell de polinomis $A[S]$. Per a això se separen els elements de $S$ en dos conjunts disjuntos, digam $R$ i $T$, després l'anell de polinomis $A[R][T]$ té coeficients en l'anell de polinomis $A[R]$ i indeterminades en $T\subset S$. Si $A$ és un anell i $R\subseteq S$, clarament $A[R]$ és un subanillo de $A[S]$.

Siga $A$ un anell unitari. Tot polinomi no nul de $A[x]$ el coeficient del qual director siga una unitat pot dividir euclídeamente a qualsevol atre polinomi de $A[x]$ i el grau del restant és estrictament menor que el grau del divisor. És dir, si $D$ i $d$ són polinomis de $A[x]$ no nuls, en el coeficient director de $d$ una unitat de $A$, llavors existixen polinomis $c$ i $r$ de $A[x]$ tals que

Aixina, per a que la divisió de polinomis siga sempre possible en un anell de polinomis $A[x]$, $A$ deu ser un cos (i.i. tot element de deu ser una unitat), i si aixina succeïx $A[x]$ serà un domini euclídeo. Un fet molt important és que un anell de polinomis $A[x]$ és un domini d'ideals principals (DIP) si i només si $A$ és un cos. ya que tots els dominis euclídeos són DIPs, tenim que $A[S]$ no és un domini euclídeo si $S$ conté més d'un element, puix $A[S]=A[S\setminus \{x\}][x]$, i $A[S\setminus \{x\}]$ mai és un cos i per tant tampoc un DIP.

Referències

Bibliografia

• (1969) An Introduction to Abstract Algebra, Cambridge University Press. ISBN 0521084849.
• Herstein, I. N. (1975). Topics in Algebra, Wiley. ISBN 0471010901.
• (2001).«A First Course in Noncommutative Rings».Springer-Verlag.Berlin, New York:
• (2000).«Basic homological algebra».Springer-Verlag.Berlin, New York:196