Anell unitari

En matemàtica, un anell $(R,+,\cdot )$ (no necessàriament conmutativo) és anell unitari, o anell unital, o anell en unitat si existix un element en $R$, diferent del neutre per a la suma, que és element neutre per a l'operació producte ("·") de l'anell, raó per la qual a dit element se li denomina element unitat i se li representa per "1". A un anell unitari se li sol representar com una cuaterna, en la que els primers tres elements representen a l'anell (el conjunt, l'operació respecte de la qual és grup abeliano, i l'atra operació que és distributiva respecte de la primera) i el quarto representa a l'element unitat. En el nostre cas seria $(R,+,\cdot ,1)$.

Eixemples

1. Siga Z el conjunt de tots els número entero: positius, negatius i zero, en les operacions usuals d'adició i multiplicació. Z és un anell conmutativo en element unitari, precisament l'1.
2. Siga T el conjunt de tots els sancers múltiples de tres, en les operacions d'adició i multiplicació comunes. T és un anell conmutativo, sense element unitari.

1. Siga M[2] el conjunt de les matrius quadrades d'orde 2, baix les operacions d'adició i multiplicació de matrius. M[2] és un anell no conmutativo en element unitari , precisament, la matriu identitat I.

Propietats

En un anell unitari existixen:

1. Elements invertibles per l'esquerra: un element $x$ de l'anell és invertible per l'esquerra (també es diu que x és una unitat per l'esquerra de l'anell, no confondre en l'element unitat) si existix un element $y\in R$ de manera que $y\cdot x=1$.
2. Elements invertibles per la dreta: un element $x$ de l'anell és invertible per la dreta (també es diu que x és una unitat per la dreta de l'anell, no confondre en l'element unitat) si existix un element $z\in R$ de manera que $x\cdot z=1$.
3. Elements invertibles: un element $x$ de l'anell és invertible si és invertible (també es diu que x és una unitat de l'anell, no confondre en l'element unitat) per la dreta i invertible per l'esquerra.

L'element unitat d'un anell és invertible, després és invertible per l'esquerra i invertible per la dreta. Al conjunt d'elements invertibles d'un anell unitari R se li denota per O(R).

Si en un anell unitari prenem un ideal (per l'esquerra, per la dreta o bilátero) i hi ha un element invertible que pertany a l'ideal, llavors l'ideal coincidix en l'anell. En particular, en un anell unitari, l'element unitat 1 mai pertany als ideals propis.

Una important propietat dels anells unitaris és que en tot anell unitari existixen ideals maximales, és dir, ideals (biláteros) propis en l'anell de manera que no existix un atre ideal (bilátero) propi que ho continga.

Els anells unitaris són els anells sobre els que es construïxen els mòduls.