Conjunt

Per a atres usos d'este terme vore Conjunt (desambiguació).

En matemàtiques, un conjunt es definix com l'agrupació d'elements que conformen un tot.

Per eixemple, el conjunt dels colors del arcoíris és:

Un conjunt sol definir-se per mig de la propietat que posseïxen tots els seus elements. El conjunt dels número primo, dins dels naturals, es definix per la propietat de ser números sol divisibles entre 1 i ells mateixos.(vejau Número primo)

Plantilla:Math

Formalment, un conjunt és el tipo d'objecte matemàtic del que tracten els #axioma de Zermelo-Fraenkel.

Història de conjunts

El concepte de conjunt com a objecte abstracte no va començar a amprar-se en matemàtiques fins a el XIX, a mida que es rebujaven els dubtes sobre la noció d'infinit.^[1] Els treballs de Bernard Bolzano i Bernhard Riemann ya contenien idees relacionades en una visió conjuntista de la matemàtica. Les contribucions de Richard Dedekind a l'àlgebra estaven formulades en térmens clarament conjuntistas, que encara prevalen en la matemàtica moderna: relaciones d'equivalència, particions, homomorfismes, etc., i ell mateixa va explicitar les hipòtesis i operacions relatives a conjunts que va necessitar en el seu treball.

La teoria de conjunts com a disciplina independent s'atribuïx usualment a Georg Cantor. Començant en les seues investigacions sobre conjunts numèrics, va desenrollar un estudi sobre els conjunts infinits i les seues propietats. L'influència de Dedekind i Cantor va escomençar a ser determinant a finals de el XIX, en el procés de «axiomatización» de la matemàtica, en el que tots els objectes matemàtics, com els números, les funcions i les diverses estructures, varen ser construïts en base en els conjunts.

Definició

Plantilla:Caixa de cita

Un conjunt és una colecció ben definida d'objectes, reals o imaginaris; dits objectes poden ser qualsevol cosa: números, persones, lletres, etc. Alguns eixemples són:

Plantilla:Math és el conjunt dels número natural menors que 5.

Plantilla:Math és el conjunt dels colors vert, blanc i roig.

Plantilla:Math és el conjunt de les vocals a, i, i, o i o.

Plantilla:Math és el conjunt dels pals de la baralla francesa.

Els conjunts es denoten habitualment per lletres mayúscules. Els objectes que componen el conjunt es diuen elements o membres. Es diu que «pertanyen» al conjunt i es denota per mig del símbol ∈:^{[n 1]} l'expressió Plantilla:Math es llig llavors com «Plantilla:Math està en Plantilla:Math», «Plantilla:Math pertany a Plantilla:Math», «Plantilla:Math conté a Plantilla:Math», etc. Per a la noció contrària s'usa el símbol ∉. Per eixemple:

Plantilla:Math , Plantilla:Math

Plantilla:Math, Plantilla:Math

Notació

Existixen vàries maneres de referir-se a un conjunt. En l'eixemple anterior, per als conjunts Plantilla:Math i Plantilla:Math s'usa una definició intensiva o per comprensió, a on s'especifica una propietat que tots els seus elements posseïxen. No obstant, per als conjunts Plantilla:Math i Plantilla:Math s'usa una definició extensiva, llistant explícitament tots els seus elements.

És habitual usar claus per a escriure els elements d'un conjunt, de modo que:

Plantilla:Math

Esta notació per mig de claus també s'utilisa quan els conjunts s'especifiquen de forma intensiva per mig d'una propietat:

Plantilla:Math

Una atra notació habitual per a denotar per comprensió és:

Plantilla:Math

Plantilla:Math,

En estes expressions els dos punts («:») signifiquen «tal que». Aixina, el conjunt Plantilla:Math és el conjunt de «els números de la forma Plantilla:Math tal que Plantilla:Math és un número entero entre 1 i 10 (abdós inclosos)», o siga, el conjunt dels dèu primers quadrats de número natural. En lloc dels dos punts es pot utilisar també la barra vertical («|») o oblicua «/» .

Conjunt universal

És el conjunt total d'elements, individus, objectes o senyes que es prenen en conte en analisar una situació, fenomen o problema específic. Es denota usualment per la lletra $O$ ^[2] o també en la lletra grega $O m e g a$ .

Si es desija treballar únicament en els número entero positius, el conjunt universal d'esta situació seria el següent $m a t h b b Z^{+}$

Igualtat de conjunts

Un conjunt està totalment determinat pels seus elements. Per això, l'igualtat de conjunts s'establix com:

Dos conjunts Plantilla:Math i Plantilla:Math que tinguen els mateixos elements són el mateix conjunt, Plantilla:Math.

Esta propietat té vàries conseqüències. Un mateix conjunt pot especificar-se de moltes maneres distintes, en particular extensives o intensives. Per eixemple, el conjunt Plantilla:Math dels número natural menors que 5 és el mateix conjunt que Plantilla:Math, el conjunt dels números 1, 2, 3 i 4. També:

Plantilla:Math

L'orde en el que es precisen els elements tampoc es té en conte per a comparar dos conjunts:

Plantilla:Math

Ademés, un conjunt no pot tindre elements «repetits», ya que un objecte sol pugues o ben ser un element de dit conjunt o no ser-ho. Es dona llavors que, per eixemple:

Plantilla:Math

En absència d'alguna característica adicional que distinguixca els «1» repetits, lo únic que pot dir-se del conjunt de la dreta és que «1» és un dels seus elements.

Conjunt buit

Artícul principal → Conjunt buit.

El conjunt que no conté cap element es diu el conjunt buit i es denota per $e m p t y s e t$ o simplement {}. Algunes teories axiomàtiques de conjunts asseguren que el conjunt buit existix incloent un axioma del conjunt buit. En atres teories, la seua existència pot deduir-se. Moltes possibles propietats de conjunts són trivialmente vàlides per al conjunt buit.

Propietats

En la teoria de conjunts axiomàtica estàndar, pel Axioma de extensionalidad, dos conjunts són iguals si tenen els mateixos elements; per lo tant solament pot haver un conjunt sense cap element. Per tant, solament hi ha un únic conjunt buit, i parlem de "el conjunt buit" en lloc de "un conjunt buit".

Per a qualsevol conjunt A:

(Vore operacions en conjunts)

El conjunt buit és un subconjunt de A:
Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �orall A: emptyset subseteq A}
L'unió de A en el conjunt buit és A:
Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �orall A: A El cardinal es denota per {{math|{{mabs|''A''}}}}, {{math|card(''A'')}} o {{math|#A}}. Aixina, en els eixemples [[#Definici.C3.B3n|anteriors]], es té que {{math|1={{mabs|''A''}} = 4}} (quatre números), {{math|1={{mabs|''B''}} = 3}} (tres colors) i {{math|1={{mabs|''F''}} = 10}} (dèu quadrats). L'únic conjunt que el seu cardinal és 0 és el [[conjunt buit]] {{math|{{unicode|∅}}}}. Existixen, a la seua volta, determinades '''propietats de cardinalidad'''. Si prenem com a eixemple dos conjunts, '''A''' i '''B''': # <math> n(emptyset)=0 }

$A = B R i g h t a r r o w n (A) = n (B)$
$A s u b s e t e q B R i g h t a r r o w n (A) l i n (B)$
Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle n(A *'''Complement''': El [[complement d'un conjunt|complement]] d'un conjunt {{math|''A''}} és el conjunt <math>A^c } que conté tots els elements que no pertanyen a Plantilla:Math, respecte a un [[Conjunt universal|conjunt Plantilla:Math]] que ho conté.

$A^{c} = x i n O m i d x o t i n A$
Diferència simètrica: (símbol Δ) La diferència simètrica de dos conjunts Plantilla:Math i Plantilla:Math és el conjunt Plantilla:Math en tots els elements que pertanyen, o be a Plantilla:Math, o be a Plantilla:Math, pero no a abdós al mateix temps.
Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle A�igtriangleup B = {xmid xin Asetminus B lor xin Bsetminus A}}
Producte cartesiano: (símbol $i m e s$ ) El producte cartesiano de dos conjunts Plantilla:Math i Plantilla:Math és el conjunt $A i m e s B$ de tots els parells ordenats Plantilla:Math formats en un primer element Plantilla:Math pertanyent a Plantilla:Math, i un segon element Plantilla:Math pertanyent a Plantilla:Math.
$A i m e s B = (x, i) | x i n A, i i n B$ ^[3]

Eixemples

Vore també

Notes

↑ Esta secció està basada en Ferreirós, J.. Edward N. Zalta (ed.): «The early development of set theory» (en anglés). The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2011 edition). Archivat des d'el original, el 30 de juliol de 2012. Consultat el 15 de decembre de 2011.
↑ Spiegel, Murray R (1976). JAIRO OSUNA SUAREZ (ed.). [SpiegelProvabilitat_i_Estadistica.pdf Teories i problemes de provabilitat i estadística], McGRAW-HILL DE MEXtCO.
↑ Carvajal Camins, J. (2023). Producte Cartesiano.

Referències

Bibliografia

Courant, Richard; Robbins, {{{nom2}}}; Stewart, {{{nom3}}} (1996). What is Mathematics? An Elementary Approach to Idees and Methods (en anglés), Oxford University Press. ISBN 0-19-510519-2. Suplement del capítul II.
Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas»..
Edward N. Zalta (ed.): «Set Theory» (en anglés). The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2009 Edition). Consultat el 22 d'abril de 2011.
Lipschutz, Seymour (1991). Teoria de conjunts i temes afins, McGraw-Hill. ISBN 968-422-926-7.
Nachbin, Leopoldo : Àlgebra elemental (1986) Rochester, Nova York; editora: Eva V. Chesnau. Edició de la OEA, traduïda a l'espanyol per César I. Silva.

Bibliografia adicional

Halmos, Paul R. : Teoria intuïtiva de conjunts (1965) Companyia editorial Continental S.A. Mèxic 22, D.F. primera edició en espanyol.

Enllaços externs

Commons

Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre Conjunts.
Set en MathWorld.
Este artícul conté una traducció derivada de «Set» de Wikipedia en inglés publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Conjunto» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

Erro en la cita: Existixen etiquetes <ref> per a un grup nomenat "n", pero no es trobà una etiqueta <references group="n"/>

[1] Esta secció està basada en Ferreirós, J.. Edward N. Zalta (ed.): «The early development of set theory» (en anglés). The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Fall 2011 edition). Archivat des d'el original, el 30 de juliol de 2012. Consultat el 15 de decembre de 2011.

[3] Spiegel, Murray R (1976). JAIRO OSUNA SUAREZ (ed.). [SpiegelProvabilitat_i_Estadistica.pdf Teories i problemes de provabilitat i estadística], McGRAW-HILL DE MEXtCO.

[4] Carvajal Camins, J. (2023). Producte Cartesiano.

[1]

[n 1]

[2]

[3]