Número entero

Archiu:EvenOddNumberLine.svg

Número entero

Un número entero és un element del conjunt numèric que conté els número natural; que són ${\mathbb{N}}^{\ast }=\{0,1,2,3,4,\cdots \}$ o $\mathbb{N}=\{1,2,3,4,\cdots \}$; depenent de cóm es definixquen, els seus oposts, i en la segona definició, ademés el zero. Els sancers negatius, com −1 o −13 (es lligen «menys un», «menys tretze», etc.), són menors que zero i també són menors que tots els sancers positius. Per a resaltar la diferència entre positius i negatius, es pot escriure un signe «menys» davant dels negatius: -1, -5, etc. I si no s'escriu signe al número s'assumix que és positiu.

El conjunt de tots els número entero es representa en la lletra $\mathbb{Z}=\{\dots ,-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,\dots \}$, provinent de l'inicial del terme en alemà Zahlen («números», pronunciat [ˈtsaːlən]).

En la recta numèrica, els números negatius s'ubiquen a l'esquerra del zero i els números positius a la seua dreta.

Els número entero poden sumarse, restarse, multiplicar-se i dividir-se, seguint el model dels número natural afegint unes normes per a l'us del signe.

Els número entero estenen l'utilitat dels número natural per a contar coses. Poden utilisar-se per a contabilisar pèrdues: si en un colege entren 80 alumnes nous de primer curs un cert any, pero hi ha 100 alumnes d'últim curs que varen passar a educació secundària, en total hi haurà 100 − 80 = 20 alumnes menys; pero també pot dir-se que dit número ha aumentat en 80 − 100 = −20 alumnes.

Certes magnituts, com la temperatura o la altura, usen valors per baix del zero. L'altura del Everest és 8848 metros per damunt del nivell de la mar, i pel contrari, la vora del mar Morta està 423 metros per baix del nivell de la mar; és dir, la seua altura es pot expressar com −423 m.

Història

La paraula sancer procedix del llatí integer que significa "sancer" o (lliteralment) "intacte", de in ("no") més tangere ("tocar"). "Entire" deriva del mateix orige a través de la paraula French entier, que significa tant sancer com a sancer. Històricament el terme s'utilisava per a un número que era múltiple d'1, o a la part sancera d'un número mixto. Només es consideraven sancers positius, #lo que convertia el terme en sinònim de número natural. La definició d'número entero es va ampliar en el temps per a incloure número negatius a mida que es va reconéixer la seua utilitat. Per eixemple Leonhard Euler en el seu 1765 Elements d'Àlgebra va definir els número entero per a incloure tant els números positius com els negatius. No obstant, els matemàtics europeus, en la seua major part, es varen resistir al concepte de números negatius fins a mediats de el XIX.

L'us de la lletra Z per a denotar el conjunt dels número entero prové de la paraula alemà Zahlen ("números") i s'ha atribuït a David Hilbert. L'us més antic conegut de la notació en un llibre de text es produïx en Algébre escrit pel colectiu Nicolas Bourbaki, que data de 1947. La notació no es va adoptar immediatament, per eixemple un atre llibre de text utilisava la lletra J i en un artícul de 1960 es va utilisar Z per a designar els sancers no negatius. Pero en 1961, Z s'utilisava generalment en els texts moderns d'àlgebra per a designar els sancers positius i negatius.

El símbol $\mathbb{Z}$ és a sovint anotat per a denotar varis conjunts, en us variable entre diferents autors: ${\mathbb{Z}}^{+}$,${\mathbb{Z}}_{+}$ o ${\mathbb{Z}}^{>}$ per als sancers positius, ${\mathbb{Z}}^{0+}$ o ${\mathbb{Z}}^{\ge }$ per als sancers no negatius, i ${\mathbb{Z}}^{\ne }$ per als sancers distints de zero. Alguns autors usen ${\mathbb{Z}}^{*}$ per a sancers no nuls, mentres que uns atres ho usen per a sancers no negatius, o per a Plantilla:Math (el grup d'unitats de $\mathbb{Z}$). Ademés, ${\mathbb{Z}}_p$ s'utilisa per a denotar ya siga el conjunt d'[[Aritmètica modular|integros de mòdul Plantilla:Math]] (és dir, el conjunt de classes de congruència de sancers), o el conjunt de [[Número p-ádico|Plantilla:Math-ádicos]].

Els número entero varen ser sinònims dels sancers fins a principis de la década de 1950. A finals de la década de 1950, com a part del moviment Matemàtica moderna, Els professors de primària nortamericanes varen escomençar a ensenyar que els "número entero" es referien als número natural, excloent els números negatius, mentres que els "sancers" incloïen els números negatius."Número entero" seguix sent ambigu en l'actualitat.

Introducció

Plantilla:Refs Els números negatius són necessaris per a realisar operacions com:

3 − 5 = ?

Quan el minuent és més menut que el substraent, la resta no pot realisar-se en número natural. No obstant, hi ha situacions en les que és útil el concepte de números negatius, com per eixemple en parlar de guanys i pèrdues:

Eixemple: Un home juga a la ruleta dos dies seguits. Si el primer guanya 2000 pesos i al sendemà pert 1000, l'home va guanyar en total 2000 − 1000 = $ 1000. No obstant, si el primer dia guanya 500 i al següent pert 2000, es diu que va perdre en total 2000 − 500 = $ 1500. L'expressió usada canvia en cada cas: va guanyar en total o va perdre en total, depenent de si els guanys varen ser majors que les pèrdues o viceversa. Estes dos possibilitats es poden expressar utilisant el signe dels números negatius (o positius): en el primer cas va guanyar en total 2000 − 1000 = + $ 1000 i en el segon va guanyar en total 500 − 2000 = − $ 1500. Aixina, s'entén que una pèrdua és un guany negatiu.

Números en signe

Artícul principal → Signe (matemàtiques).

Els número natural 0, 1, 2, 3,... són els números ordinaris que s'utilisen para contar. En afegir-los un signe menys («−») davant s'obtenen els números negatius:

Un número entero negatiu és un número natural com 1, 2, 3, etc. precedit d'un signe menys, «−». Per eixemple −1, −2, −3, etcétera. Es lligen «menys 1», «menys 2», «menys 3»,...

Ademés, per a diferenciar-los millor, als número natural se'ls afig un signe més («+») davant i se'ls crida números positius.

Un número entero positiu és un número natural com 1, 2, 3,... precedit d'un signe més. «+».

El zero no és positiu ni negatiu, i pot escriure's en signe més o menys o sense signe indistintament, ya que sumar o restar zero és igual a no fer res. Tota esta colecció de números són els cridats «sancers».

La recta numèrica

Artícul principal → Recta numèrica.

Els número entero negatius són menors que tots els positius i que el zero. És dir, tot número que es troba ubicat a la dreta és major que el número que es troba ubicat a l'esquerra. Per a entendre com estan ordenats s'utilisa la recta numèrica:

Es veu en esta representació que els números negatius són més menuts quant més a l'esquerra, és dir, quant major és el número despuix del signe. A este número se li crida el valor absolut:

El valor absolut d'un número entero és la distància que hi ha de l'orige (zero) fins a un punt donat. El valor absolut de 0 és simplement 0. Es representa per dos barres verticals «Plantilla:Mabs».

Eixemples. Plantilla:Mabs = 5 , Plantilla:Mabs = 2 , Plantilla:Mabs = 0.

L'orde dels número entero pot resumir-se en:

Eixemples. +23 > −56 , +31 < +47 , −15 < −9 , 0 > −36

Operacions en número entero

Plantilla:Més refs Els número entero poden sumarse, restarse, multiplicar-se i dividir-se, igual que pot fer-se en els número natural.

Adició

En la suma de dos número entero, es determina per separat el signe i el valor absolut del resultat.

Eixemples. (+21) + (−13) = +8 , (+17) + (+26) = +43 , (−41) + (+19) = −22 , (−33) + (−28) = −61

La suma d'número entero es comporta de manera similar a la suma d'número natural:

Eixemple.

1. Propietat associativa:

   [ (−13) + (+25) ] + (+32) = (+12) + (+32) = (+44)

   (−13) + [ (+25) + (+32) ] = (−13) + (+57) = (+44)

2. Propietat conmutativa:

   (+9) + (−17) = −8

   (−17) + (+9) = −8

Ademés, la suma d'número entero posseïx una propietat adicional que no tenen els número natural:

Element opost o simètric: Per a cada número entero Plantilla:Math, existix un atre sancer Plantilla:Math, que sumat al primer resulta en zero: Plantilla:Math.

Substracció

La resta d'número entero és molt senzilla, ya que ara és un cas particular de la suma.

La resta de dos número entero (minuent menys substraent) es realisa sumant el minuent més el substraent canviant de signe.

Eixemples
(+10) − (−5) = (+10) + (+5) = +15
(−7) − (+6) = (−7) + (−6) = −13
(−4) − (−8) = (−4) + (+8) = + 4
(+2) − (+9) = (+2) + (−9) = −7

Multiplicació i Divisió

La multiplicació i divisió d'número entero, de la mateixa manera que la suma, requerix determinar per separat el signe i valor absolut del resultat.

Per a recordar el signe del resultat, també s'utilisa la regla dels signes:

Eixemples multiplicació. (+5) × (+3) = +15 , (+4) × (-6) = -24 , (−7) × (+8) = −56 , (−9) × (−2) = +18.

Eixemples divisió. (+15) : (+3) = +5 , (+12) : (-6) = -2 , (−16) : (+4) = −4 , (−18) : (−2) = +9.

La multiplicació d'número entero té també propietats similars a la de número natural:

Eixemple.

1. Propietat associativa:

1. [ (−7) × (+4) ] × (+5) = (−28) × (+5) = −140

   (−7) × [ (+4) × (+5) ] = (−7) × (+20) = −140

2. Propietat conmutativa:

   (−6) × (+9) = −54

   (+9) × (−6) = −54

La suma i multiplicació d'número entero estan relacionades, de la mateixa manera que els número natural, per la propietat distributiva:

Eixemple.

• (−7) × [ (−2) + (+5) ] = (−7) × (+3) = −21
• [ (−7) × (−2) ] + [ (−7) × (+5) ] = (+14) + (−35) = −21

La divisió d'número entero no té les propietats associativa, conmutativa ni la distributiva.

Propietats algebraiques

Artícul principal → Propietats dels número entero.

• El conjunt dels número entero, considerat junt en els seus operacions d'adició i multiplicació, té una estructura que en matemàtiques es denomina anell; i posseïx una relació d'orde. Els número entero poden ademés construir-se a partir dels número natural per mig de classes d'equivalència.

Podem ampliar esta estructura a la de domini d'integritat totalment ordenat, ya que és un anell sense divisores de zero i en un orde total

Vore també

• Part sancera
• Sancer (tipo de senya)
• Número decimal

Bibliografia

• Bayley; Day, {{{nom2}}}; Frey, {{{nom3}}}; Howard, {{{nom4}}} (2006). Mathematics. Applications and Concepts. Course 2 (en anglés), McGraw-Hill, pp. 21119. ISBN 0-07-865263-4.