Leonhard Euler

Leonhard Euler

   

Leonhard Paul Euler (pron. Plantilla:IPA2 en alemà modern) (Basilea, Suïssa, 15 d'abril de 1707-San Petersburgo, Imperi rus, 18 de setembre de 1783), conegut com Leonhard Euler i cridat Leonardo Euler en espanyol, va ser un matemàtic i físic suís. Es tracta del principal matemàtic de el XVIII i un dels més grans i prolífics de tots els temps, molt conegut pel número de Euler (i), número que apareix en moltes fòrmules de càlcul i física.

Va viure en San Petersburgo (Rússia) i en Berlín (Alemània) la major part de la seua vida adulta i va realisar importants descobriments en àrees tan diverses com el càlcul o la teoria de grafos. També va introduir gran part de la terminologia moderna i la notació matemàtica, particularment per a l'àrea del anàlisis matemàtic, com, per eixemple, la noció de funció matemàtica. Aixina mateix se li coneix pels seus treballs en els camps de la mecànica, la òptica i la astronomia.

Euler ha segut un dels matemàtics més grans, més prolífics, i es calcula que les seues obres completes reunides podrien ocupar entre xixanta i huitanta volums. Una afirmació atribuïda a Pierre-Simon Laplace expressa l'influència de Euler en els matemàtics posteriors: «Lligguen a Euler, lligguen a Euler, ell és el mestre de tots nosatres».

Biografia

Primers anys

Leonhard Euler va nàixer en Basilea (Suïssa), fill de Paul Euler, un pastor calvinista, i de Marguerite Brucker, filla d'un atre pastor. Va tindre dos germanes menudes, cridades Anna Maria i Maria Magdalena. Poc despuix del seu naiximent, la seua família es va traslladar de Basilea al propenc poble de Riehen, en a on Euler va passar l'infància. Per la seua banda, Paul Euler era amic de la família Bernoulli, famosa família de matemàtics entre els que destacava Johann Bernoulli, que en eixe moment era ya considerat el principal matemàtic europeu i que eixerciria una gran influència sobre el jove Leonhard.

L'educació formal de Euler va començar en la ciutat de Basilea, a on li varen enviar a viure en la seua yaya materna. A l'edat de setze anys es va matricular en la Universitat de Basilea i en 1723 va rebre el títul de mestre de Filosofia despuix d'una dissertació comparativa de les #filosofia de René Descartes i Isaac Newton. Per llavors, Euler prenia lliçons particulars tots els dissabtes per la vesprada en Johann Bernoulli, qui va descobrir ràpidament l'increible talent per a les matemàtiques del seu nou pupil.

En aquella época, Euler es dedicava a estudiar teologia, grec i hebreu, seguint els desijos del seu pare, i en la vista posada en aplegar a ser també pastor. Johann Bernoulli va intervindre per a convéncer a Paul Euler de que Leonhard estava destinat a ser un gran matemàtic. En 1726 Euler va finalisar el seu doctorat en una tesis sobre la propagació del sò baixe el títul De Sono i en 1727 va participar en el concurs promogut per la Acadèmia de les Ciències francesa pel qual se solicitava als concursants que trobaren la millor forma possible d'ubicar el màstil en un buc. Va guanyar el segon lloc, darrere de Pierre Bouguer, que és conegut per ser el pare de l'arquitectura naval. Més alvance, Euler conseguiria guanyar eixe premi fins a en dotze ocasions.

Sant Petersburgo

En aquell temps, els dos fills de Johann Bernoulli, Daniel i Nicolás, es trobaven treballant en la Acadèmia de les ciències de Rússia en San Petersburgo. En juliol de 1726, Nicolás va morir de apendicitis despuix d'haver vixcut un any en Rússia i, quan Daniel va assumir el càrrec del seu germà en el departament de Matemàtiques i Física, va recomanar que el lloc que havia deixat vacant en Fisiologia anara ocupat pel seu amic Euler. En novembre d'eixe mateix any, Euler va acceptar l'oferta, encara que va retardar la seua eixida cap a Sant Petersburgo mentres intentava conseguir, sense èxit, un lloc de professor de Física en l'Universitat de Basilea.

Euler va aplegar a la capital russa el 17 de maig de 1727. Va ser ascendit des del seu lloc en el departament mèdic de l'Acadèmia a un atre en el departament de matemàtiques, en el que va treballar en Daniel Bernoulli, a sovint en estreta colaboració. Euler va deprendre rus i es va establir finalment en Sant Petersburgo a viure. Va aplegar inclús a prendre un treball adicional com a mege de la Armada de Rússia.

L'Acadèmia de Sant Petersburgo, creada per Pedro I de Rússia, tenia l'objectiu de millorar el nivell educatiu en Rússia i de reduir la diferència científica existent entre eixe país i l'Europa Occidental. Com a resultat, es varen implementar una série de mides per a atraure a erudits estrangers com Euler. L'Acadèmia posseïa amplis recursos financers i una biblioteca molt extensa, extreta directament de les biblioteques privades de Pedro I i de la noblea. L'Acadèmia admetia a un número molt reduït d'estudiants per a facilitar la llabor d'ensenyança, al mateix temps que s'emfatisava la llabor d'investigació i s'oferia a la facultat tant el temps com la llibertat necessaris per a resoldre qüestions científiques.

No obstant, la principal benefactora de l'Acadèmia, l'emperatriu Catalina I de Rússia, que havia continuat en la política progressista del seu marit, va morir el mateix dia de l'arribada de Euler a Rússia. La seua mort va incrementar el poder de la noblea, ya que el nou emperador va passar a ser Pedro II de Rússia, per llavors un chiquet de tan sol dotze anys d'edat. La noblea sospitava dels científics estrangers de l'Acadèmia, per #lo que va tallar la quantia de recursos dedicats a la mateixa i va provocar una atra série de dificultats per a Euler i les seues coetáneos.

Les condicions varen millorar llaugerament despuix de la mort de Pedro II, i Euler va ser poc a poc ascendint en la jerarquia de l'Acadèmia, convertint-se en professor de Física en 1731. Dos anys més vesprada, Daniel Bernoulli, fart de les dificultats que li plantejaven la censura i l'hostilitat a la que s'enfrontaven en Sant Petersburgo, va deixar la ciutat i va tornar a Basilea. Euler li va succeir com a director del departament de Matemàtiques.

El 7 de giner de 1734, Euler va contraure matrimoni en Katharina Gsell (1707-1773) (filla del pintor suís de l'Acadèmia de Sant Petersburgo Georg Gsell, i la madrastra del qual era la pintora Dorothea Maria Graff, filla a la seua volta de la famosa naturalista holandesa Maria Sibylla Merian). La jove parella va comprar una casa al costat del riu Nevá i va aplegar a concebre tretze fills, si ben sol cinc varen sobreviure fins a l'edat adulta. El major d'estos fills, Johann Euler, va ser matemàtic i astrònom i membre de la Acadèmia de Berlín des de 1754.

Berlín

Preocupat pels acontenyiments polítics que estaven tenint lloc en Rússia, Euler va partir de Sant Petersburgo el 19 de juny de 1741 per a acceptar un càrrec en l'Acadèmia de Berlín, càrrec que li havia segut oferit per Federico II el Gran, rei de Prusia. Va viure vinticinc anys en Berlín, en a on va escriure més de 380 artículs. També va publicar ací dos de les seues principals obres: la Introductio in analysin infinitorum, un text sobre les funcions matemàtiques publicat en 1748, i la Institutiones calculi differentialis, publicada en 1755 i que versava sobre el càlcul diferencial.

Ademés, se li va oferir a Euler un lloc com a tutor de la princesa d'Anhalt-Dessau, la neboda de Federico. Euler va escriure més de 200 cartes dirigides a la princesa que més vesprada serien recopilades en un volum titulat Cartes de Euler sobre distints temes de Filosofia Natural dirigides a una Princesa alemana. Este treball recopilava l'exposició de Euler sobre varis temes de física i matemàtiques, aixina com una visió de la seua personalitat i de les seues creències religioses. El llibre es va convertir en el més llegit de totes les seues obres, sent publicat a lo largo y ancho de el continent europeu i en els Estats Units. La popularitat que varen aplegar a alcançar estes Cartes servix de testimoni sobre l'habilitat de Euler de comunicar qüestions científiques a una audiència menys qualificada.

A pesar de l'immensa contribució de Euler al prestigi de l'Acadèmia, va ser obligat finalment a deixar Berlín. El motiu d'açò va ser, en part, un conflicte de personalitat entre el matemàtic i el propi rei Federico, que va aplegar a vore a Euler com una persona molt poc sofisticada, i especialment en comparació al círcul de filòsofs que el rei alemà havia conseguit congregar en l'Acadèmia. Voltaire, en particular, era un d'eixos filòsofs i gojava d'una posició preeminent en el círcul social del rei. Euler, com un simple home de caràcter religiós i treballador, era molt convencional en les seues creències i en els seus gusts, representant en certa forma ho contrarie que Voltaire. Euler tenia coneiximents llimitats de retòrica i solia debatre qüestions sobre les que tenia pocs coneiximents, la qual cosa li feya un objectiu freqüent dels atacs del filòsof. Per eixemple, Euler va protagonisar vàries discussions metafísiques en Voltaire, de les que solia retirar-se enfurit per la seua incapacitat en la retòrica i la metafísica. Federico també va mostrar el seu descontent en les habilitats pràctiques d'ingenieria de Euler:

Volia tindre una bomba d'aigua en el meu jardí: Euler va calcular la força necessària de les rodes per a elevar l'aigua a un depòsit, des del que cauria despuix a través de canalisacions per a finalment manar en el palau de Sanssouci. El meu molí va ser construït de forma geomètrica i no podia elevar una bocanada d'aigua fins a més allà de cinc passos cap a la reserva. ¡Vanitat de les vanitats! ¡Vanitat de la geometria!

Federico II el Gran

Deterioració de la visió

La vista de Euler va ser empijorant a lo llarc de la seua vida. En l'any 1735 Euler va sofrir una febra casi fatal, i tres anys despuix de dit acontenyiment va quedar pràcticament cego de l'ull dret. Euler, no obstant, preferia acusar d'este fet al treball de cartografia que realisava per a l'Acadèmia de Sant Petersburgo.

La vista d'eixe ull va empijorar a lo llarc de la seua estància en Alemània, fins al punt de que Federico II feya referència a ell com el Cíclope. Euler més vesprada va sofrir catarates en el seu ull sà, l'esquerre, #lo que li va deixar pràcticament cego poques semanes despuix d'haver segut diagnosticades. A pesar d'això, era poc provable que els seus problemes de visió li afectaren a la seua productivitat intelectual, ya que ho va compensar en la seua gran capacitat de càlcul mental. De manera similar, Euler va estudiar la Eneida de Virgilio des del començ fins al final. També podia calcular de manera instantànea preguntes de fòrmules de trigonometria i les primeres 6 potències dels primers 100 número primo sense paper ni llapis.

Va passar els últims anys de la seua vida cego, pero va seguir treballant. Molts treballs li'ls va dictar al seu fill major. Açò va incrementar el respecte que la comunitat científica ya tenia per ell. El matemàtic francés François Arago (1786-1853) es va referir en certa ocasió a ell dient:

Euler calculava sense esforç aparent, com els hòmens respiren, o com les àguiles se sostenen en l'aire.

Tornada a Rússia

La situació en Rússia havia millorat enormement despuix de l'ascens de Catalina la Gran, per #lo que en 1766 Euler va acceptar una invitació per a tornar a l'Acadèmia de Sant Petersburgo i passar allí el restant de la seua vida. La seua segona época en Rússia, no obstant, va estar marcada per la tragèdia: un incendi en San Petersburgo en 1771 li va costar la seua casa i casi la seua vida, i en 1773 va perdre a la seua esposa Katharina Gsell, despuix de quaranta anys de matrimoni. Euler es va tornar a casar tres anys més vesprada en Salome Abigail Gsell (1723-1794), germana de pare de la seua primera dòna. Este segon matrimoni va durar fins a la mort del matemàtic.

El 18 de setembre de 1783, Euler va fallir en la ciutat de Sant Petersburgo despuix de sofrir un accident cerebrovascular i va ser enterrat junt en la seua primera esposa en el Cementeri Luterano ubicat en l'illa Vasilievski. Els seus restants varen ser traslladats pels soviètics al Monasteri d'Alejandro Nevski (també conegut com Leningradsky Nikropol).

El matemàtic i filòsof francés Nicolas de Condorcet va escriure el seu elogi funerari per a l'Acadèmia francesa:

…il cessa de calculer et de vivre — … va deixar de calcular i de viure.

Per la seua banda, Nikolaus von Fuss, fillol de Euler i secretari de l'Acadèmia Imperial de Sant Petersburgo, va escriure un relat de la seua vida junt en un llistat de les seues obres.

Contribució a les matemàtiques i a atres àrees científiques

Euler va treballar pràcticament en tots els àmbits de les matemàtiques: geometria, càlcul, trigonometria, àlgebra, teoria de números, ademés de física contínua, teoria llunar i atres àrees de la física. Adicionalment, va fer aportes rellevants a la llògica matemàtica en la seua diagrama de conjunts.

Ha segut un dels matemàtics més prolífics de l'història. La seua activitat de publicació va ser incessant (un promig de 800 pàgines d'artículs a l'any en la seua época de major producció, entre 1727 i 1783), i una bona part de la seua obra completa està sense publicar. La llabor de recopilació i publicació completa dels seus treballs, cridats Opera Omnia, va començar en 1911 i fins a la data ha aplegat a publicar 76 volums. El proyecte inicial planejava el treball sobre 887 títuls en 72 volums. Se li considera el ser humà en major número de treballs i artículs en qualsevol camp del saber, solament equiparable a Gauss. Si s'imprimiren tots els seus treballs, molts dels quals són d'una importància fonamental, ocuparien entre 60 i 80 volums. Ademés, i segons el matemàtic Hanspeter Kraft, president de la Comissió Euler de l'Universitat de Basilea, no s'ha estudiat més d'un 10 % dels seus escrits. Per tot això, el nom de Euler està associat a un gran número de qüestions matemàtiques.

Es creu que va ser el que va donar orige al pasatiempos sudoku creant una série de pautes per al càlcul de provabilitats.

Notació matemàtica

Euler va introduir i va popularisar vàries convencions referents a la notació en els escrits matemàtics en els seus numerosos i molt utilisats llibres de text. Possiblement lo més notable va ser l'introducció del concepte de funció matemàtica, sent el primer en escriure $f(x)$ per a fer referència a la funció $f$ aplicada sobre l'argument $x$. Esta nova forma de notació oferia més comoditat front als rudimentaris métodos del càlcul infinitesimal existents fins a la data, iniciats per Newton i Leibniz, pero desenrollats basant-se en les matemàtiques de l'últim.

També va introduir la notació moderna de les funcions trigonométricas, la lletra $e$ (número i) com a base del logaritmo natural o neperiano (el número $e$, també és conegut també com a número de Euler), la lletra grega $\Sigma$ com a símbol dels sumatorios, i la lletra $i$ per a fer referència a la unitat imaginària. L'us de la lletra grega $\pi$ (número π) per a fer referència al cocient entre la llongitut de la circumferència i la llongitut del seu diàmetro també va ser popularisat per Euler, encara que ell no va ser el primer en usar eixe símbol.

Anàlisis

El desenroll del càlcul era una de les qüestions principals de l'investigació matemàtica de el XVIII, i la família Bernoulli havia segut responsable de gran part del progrés realisat fins a llavors. Gràcies a la seua influència, l'estudi del càlcul es va convertir en un dels principals objectes del treball de Euler. Si ben algunes de les seues demostracions matemàtiques no són acceptables baixe els estàndarts moderns de rigor matemàtic, és cert que les seues idees varen supondre grans alvanços en eixe camp.

El número e

Euler definió la constante matemática conocida como número $e$ com aquell número complejo tal que el valor de la derivada (la pendent de la llínea tangente) de la funció $f(x)=e^x$ en el punt $x=0$ és exactament 1. És més, és l'número real tal que la funció $f(x)=e^x$ es té com derivada a sí mateixa. La funció $e^x$ és també cridada funció exponencial i la seua funció inversa és el logaritmo natural o logaritmo en base $e$ (a voltes, mal cridat logaritmo neperiano).

El número $e$ pot ser representat com un número real en vàries formes: com una série infinita, un producte infinit, una fracció contínua o com el llímit d'una successió. La principal d'estes representacions, particularment en els cursos bàsics de càlcul, té com a forma el llímit:

$e=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{n})}^n,e=\underset{n\to 0}{\lim }{(1+n)}^{\frac{1}{n}}$

...i també la série:

$e=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}$.

Ademés, Euler és molt conegut pel seu anàlisis i la seua freqüent utilisació de la série de potències, és dir, l'expressió de funcions com una suma infinita de térmens com la següent:

$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{1}{0!}+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}).$

Un dels famosos guanys de Euler va ser el descobriment de l'expansió de séries de potències de la funció arcotangente. El seu atrevit, encara que, segons els estàndarts moderns, tècnicament incorrecte us de les séries de potències li varen permetre resoldre el famós problema de Basilea en 1735, pel qual quedava demostrat que:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots +\frac{1}{n^2})=\frac{{\pi }^2}{6}.$

Euler va introduir l'us de la funció exponencial i dels logaritmos en les demostracions analítiques. Va descobrir formes per a expressar vàries funcions logarítmiques utilisant séries de potències, i va definir en èxit logaritmos per a números negatius i complexos, expandint enormement l'àmbit de l'aplicació matemàtica dels logaritmos. També va definir la funció exponencial per a número complejo, i va descobrir la seua relació en les funcions trigonométricas. Per a qualsevol número real φ, la fòrmula de Euler establix que la funció exponencial complexa pot establir-se per mig de la següent fòrmula:

$e^{i\phi }=\cos \phi +i\sin \phi$.

Sent un cas especial de la fòrmula (quan $\phi =\pi$), #lo que es coneix com la identitat de Euler:

$e^{i\pi }+1=0$

Esta fòrmula va ser calificada per Richard Feynman com «la fòrmula més reseñable en matemàtiques», perque relaciona les principals operacions algebraiques en les importants constants 0, 1, $e$, $i$ i $\pi$, per mig de la relació binaria més important. En 1988, els llectors de la revista especialisada The Mathematical Intelligencer varen votar la fòrmula com «la més bella fòrmula matemàtica de l'història». En total, Euler va ser el responsable del descobriment de tres de les cinc primeres fòrmules del resultat de l'enquesta.

Ademés d'això, Euler va elaborar la teoria de les funcions trascendentes (aquelles que no es basen en operacions algebraiques) per mig de l'introducció de la funció gamma, i va introduir un nou método per a resoldre equacions de quart grau. També va descobrir una forma per a calcular integrals en llímits complexos, en lo que seria en avant el modern anàlisis complex, i va inventar el càlcul de variacions incloent dins del seu estudi a les que serien cridades les equacions de Euler-Lagrange.

Euler també va ser pioner en l'us de métodos analítics per a resoldre problemes teòrics de caràcter numèric. En això, Euler va unir dos branques separades de les matemàtiques per a crear un nou camp d'estudi, la teoria analítica de números. Per a això, Euler va crear la teoria de les séries hipergeométricas, les series q, les funcions hiperbòliques trigonométricas i la teoria analítica de fraccions contínues. Per eixemple, va demostrar que la cantitat de número primo és infinita utilisant la divergència de séries harmòniques, i va utilisar métodos analítics per a conseguir una major informació sobre cóm els número primo es distribuïxen dins de la successió d'número natural. El treball de Euler en esta àrea duria al desenroll del teorema dels número primo.

Uns atres aportes

En la seua Introducció a l'anàlisis dels infinits (1748), va realisar el primer tractament analític complet de l'àlgebra, la teoria d'equacions, la trigonometria i la geometria analítica.

Va tractar el desenroll de séries de funcions i va formular la regla per la que solament les séries convergents infinites poden ser evaluades adequadament. També va abordar les superfícies tridimensionals i va demostrar que les seccions còniques es representen per mig de l'equació general de segon grau en dos dimensions.

Posseïdor d'una sorprenent facilitat per als números i el rar dò de realisar mentalment càlculs de llarc alcanç. Es recorda que, en una ocasió, quan dos dels seus discípuls, en realisar la suma d'unes séries de dèsset térmens, no estaven d'acort en els resultats en una unitat de la quinquagèsima sifra significativa, es va recórrer a Euler. Est va repassar el càlcul mentalment, i la seua decisió va resultar ser correcta.

Va realisar també aportacions a l'astronomia, la mecànica, l'òptica i l'acústica. Entre les seues obres més destacades es troben Institucions del càlcul diferencial (1755), Institucions del càlcul integral (1768-1770) i Introducció a l'àlgebra (1770).

Teoria de números

L'interés de Euler en la teoria de números procedix de l'influència de Christian Goldbach, amic seu durant la seua estància en l'Acadèmia de Sant Petersburgo. Gran part dels primers treballs de Euler en teoria de números es basen en els treballs de Pierre de Fermat. Euler va desenrollar algunes de les idees d'este matemàtic francés pero va descartar també algunes de les seues #conjectura.

Euler va unir la naturalea de la distribució dels número primo en les seues idees de l'anàlisis matemàtic. Va demostrar la divergència de la suma dels inversos dels número primo i, en fer-ho, va descobrir la conexió entre la funció zeta de Riemann i els número primo. Açò es coneix com el producte de Euler per a la funció zeta de Riemann.

Euler també va demostrar les identitats de Newton, el menuda teorema de Fermat, el teorema de Fermat sobre la suma de dos quadrats i va fer importants contribucions al teorema dels quatre quadrats de Joseph-Louis de Lagrange. També va definir la funció φ de Euler que, per a tot número entero positiu, quantifica el número de sancers positius menors o iguals a n i coprimos en n. Més vesprada, utilisant les propietats d'esta funció, va generalisar la menuda teorema de Fermat a lo que es coneix com el teorema de Euler.

Va contribuir de manera significativa a l'enteniment dels número perfecto (teorema de Euclides-Euler), tema que va fascinar als matemàtics des dels temps d'Euclides, i va alvançar en l'investigació de lo que més vesprada es concretaria en el teorema dels número primo. Els dos conceptes es consideren teoremes fonamentals de la teoria de números, i les seues idees pavimentaron el camí del matemàtic Carl Friedrich Gauss.

En l'any 1772, Euler va demostrar que 2³¹ – 1 = 2 147 483 647 és un número primo de Mersenne. Esta sifra va permanéixer com l'número primo més gran conegut fins a l'any 1867.

Teoria de grafos i geometria

Artícul principal → Problema dels ponts de Königsberg.

En 1736, Euler va resoldre el problema conegut com problema dels ponts de Königsberg. La ciutat de Königsberg, en Prusia Oriental (actualment Kaliningrado, en Rússia), estava localisada en el riu Pregel, i incloïa dos grans illes que estaven conectades entre elles per un pont, i en les dos riberes del riu per mig de sis ponts (sèt ponts en total). El problema que es plantejaven els seus habitants consistia en decidir si era possible seguir un camí, i cóm fer-ho, que creuara tots els ponts una sola volta i que finalisara aplegant al punt de partida. Euler va conseguir demostrar matemàticament que no ho hi ha, perque en esta configuració no és possible conformar lo que es denomina hui un cicle euleriano en el grafo que modela el recorregut, degut a que el número de ponts és impar en més de dos dels blocs (representats per vèrtiços en el grafo corresponent).

A esta solució li la considera la primera teorema de teoria de grafos i de grafos planars. Euler també va introduir el concepte conegut com característica de Euler de l'espai, i una fòrmula que relacionava el número de costats, vèrtiços i cares d'un polígon convexo en esta constant: el teorema de Euler per a poliedres, que bàsicament consistix en buscar una relació entre número de cares, arestes i vèrtiços en els poliedres. Va utilisar esta idea per a demostrar que no existien més poliedres regulars que els sòlits platònics coneguts fins a llavors. L'estudi i la generalisació d'esta fòrmula, especialment per Cauchy i L'Huillier, va supondre l'orige de la topología.

Dins del camp de la geometria analítica va descobrir ademés que tres dels punts notables d'un triàngul —baricentre, ortocentre i circumcentre— podien obedir a una mateixa equació, és dir, a una mateixa recta. A la recta que conté el baricentre, ortocentre i circumcentre se li denomina «Recta de Euler» en el seu honor.

Matemàtica aplicada

Alguns dels majors èxits de Euler varen ser en la resolució de problemes del món real a través de l'anàlisis matemàtic, en lo que es coneix com matemàtica aplicada, i en la descripció de numeroses aplicacions dels números de Bernoulli, les séries de Fourier, els diagrames de Venn, el número de Euler, les constants $e$ i $\pi$, les fraccions contínues i les integrals. Va integrar el càlcul diferencial de Leibniz en el método de fluxión de Newton, i va desenrollar ferramentes que feyen més fàcil l'aplicació del càlcul als problemes físics. Euler ya amprava les séries de Fourier ans que el mateix Fourier les descobrira i les equacions de Lagrange del càlcul variacional, les equacions de Euler-Lagrange.

Va fer grans alvanços en la millora de les aproximacions numèriques per a resoldre integrals, inventant lo que es coneix com les aproximacions de Euler. Les més notables d'estes aproximacions són el método de Euler per a resoldre equacions diferencials ordinàries, i la fòrmula de Euler-Maclaurin. Este método consistix en anar incrementant pas a pas la variable independent i trobant la següent image en la derivada. També va facilitar l'us d'equacions diferencials, en particular per mig de l'introducció de la constant de Euler-Mascheroni:

$\gamma =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{n}-\ln (n)).$

Per un atre costat, un dels interessos més cridaners de Euler va ser l'aplicació de les idees matemàtiques sobre la música. En 1739 va escriure la seua obra Tentamen novae theoriae musicae, esperant en això poder incorporar l'us de les matemàtiques a la teoria musical. Esta part del seu treball, no obstant, no va atraure massa atenció del públic, i va aplegar a ser descrita com «massa matemàtica per als músics i massa musical per als matemàtics».

Física i astronomia

Euler va ajudar a desenrollar l'equació de la curva elàstica, que es va convertir en el pilar de l'ingenieria. Aparte d'aplicar en èxit les seues ferramentes analítiques als problemes de mecànica clàssica, Euler també les va aplicar sobre els problemes dels moviments dels astres celests. El seu treball en astronomia va ser reconegut per mig de varis premis de l'Acadèmia de França a lo llarc de la seua carrera, i les seues aportes en eixe camp inclouen qüestions com la determinació en gran exactitut de les òrbites dels cometes i d'atres cossos celests, incrementant l'enteniment de la naturalea dels primers, o el càlcul del paralaje solar. Va formular sèt lleis o principis fonamentals sobre l'estructura i dinàmica del sistema solar i va afirmar que els distints cossos celests i planetaris rotan al voltant del Sol seguint una òrbita de forma elíptica. Els seus càlculs també varen contribuir al desenroll de taules de llongitut més exactes per a la navegació. També va publicar treballs sobre el moviment de la Lluna.

Ademés, Euler va portar a terme importants contribucions en l'àrea de l'òptica. No estava d'acort en les teories de Newton sobre la llum, desenrollades en la seua obra Opticks, i que eren la teoria prevalente en aquell moment. Els seus treballs sobre òptica desenrollats en la década de 1740 varen ajudar a que la nova corrent que proponia una teoria de la llum en forma d'ona, proposta per Christiaan Huygens, es convertira en la teoria hegemònica. La nova teoria mantindria eixe estatus fins al desenroll de la teoria quàntica de la llum.

En el camp de la mecànica Euler, en el seu tractat de 1739, va introduir explícitament els conceptes de partícula i de massa puntual i la notació vectorial per a representar la velocitat i la acceleració, #lo que assentaria les bases de tot l'estudi de la mecànica fins a Lagrange. En el camp de la mecànica del sòlit rígit va definir els cridats «tres ànguls de Euler per a descriure la posició» i va publicar la teorema principal del moviment, segons el qual sempre existix un eix de rotació instantàneu, i la solució del moviment lliure (va conseguir rebujar els ànguls en funció del temps).

En hidrodinàmica va estudiar el fluix d'un decorregut ideal incompresible, detallant les equacions de Euler de l'hidrodinàmica.

Alvançant-se més de cent anys a Maxwell va prevore el fenomen de la pressió de radiació, fonamental en la teoria unificada del electromagnetisme. En els centenars de treballs de Euler es troben referències a problemes i qüestions tremendament alvançades per al seu temps, que no estaven a l'alcanç de la ciència de la seua época.

Llògica

En el camp de la llògica, s'atribuïx a Euler l'us de curves tancades per a ilustrar el raonament silogístico (1768). Les representacions d'este tipo reben el nom de diagrames de Euler.

Arquitectura i ingenieria

En este camp, Euler va desenrollar la llei que du el seu nom sobre el pandeo de soports verticals i va generar una nova branca d'ingenieria en els seus treballs sobre la càrrega crítica de les columnes.

Creències religioses i postures filosòfiques

Euler i el seu amic Daniel Bernoulli s'oponien al monisme de Leibniz i a la corrent filosòfica representada per Christian Wolff. Euler insistia que el coneiximent es basa en part en l'existència de lleis quantitatives precises, alguna cosa que el monisme i les teories filosòfiques de Wolff no eren capaces de proveir. Els seus inclinaments religiosos també poden haver contribuït a que li desagradara eixe tipo de doctrines, fins al punt de que va aplegar a catalogar les idees de Wolff com a «paganes i atees». No obstant, va tindre una immensa influència pel racionalisme primerenc del filòsof René Descartes.

Gran part del coneiximent que tenim de les creències religioses de Euler es deduïx de la seua obra Cartes a una Princesa alemana, aixina com d'un treball anterior cridat Rettung der Göttlichen Offenbahrung Gegen die Einwürfe der Freygeister (en espanyol, Defensa de la revelació divina front a les objeccions dels librepensadores). Estos treballs mostren a Euler com un cristià convençut de que defenia l'interpretació lliteral de la Bíblia (per eixemple, la seua obra Rettung era principalment una discussió en defensa de l'inspiració divina de les escritures).

Obra

Euler conta en una #extens bibliografia, en esta secció es pot trobar alguna referència sobre algunes de les seues obres més conegudes o importants.

• Mechanica, sive motus scientia analytica exposita (1736).

• Solutio problematis ad geometriam situs pertinentis (1741).
• Methodus inveniendi llínees curves maximi minimive proprietate gaudentes, sive solutio problematis isoperimetrici latissimo sensu accepti (1744).
• Rettung der Göttlichen Offenbahrung Gegen die Einwürfe der Freygeister — Defensa de la Revelació Divina front a les objeccions del librepensador (1747).
• Introductio in analysin infinitorum (1748).
• Institutiones Calculi Differentialis (1765).
• Theoria motus corporum solidorum seu rigidorum (1765).
• Introducció als elements de l'àlgebra (1765).
• Institutiones Calculi Integralis (1768-1770).

• Vollständige Anleitung zur Algebra (1770).
• Lettres à unix Princesse d'Allemagne — Cartes a una Princesa alemana (1768-1772).

En 1911, l'Acadèmia Suïssa de les Ciències va començar a publicar una colecció definitiva dels treballs de Euler titulada Opera Omnia. Existix un pla per a l'ampliació de l'obra a la publicació de la correspondència (en l'any 2008 s'han publicat ya tres volums de correspondència) i els manuscrits de Euler, encara que no s'ha especificat cap data per a la seua edició.

Reconeiximents i honors

• Euler és commemorat per la Iglésia Luterana en la seua Calendari de Sants el 24 de maig, en la seua condició de devot cristià (creent en la infalibilidad de la Bíblia) i de apologista convençut contrari a l'ateisme creixent de la seua época.
• Varis carrers de ciutats de tot lo món duen el seu nom, com succeïx en París (França), Basilea (Suïssa), Binzen (Alemània), Mèxic, D. F. (Mèxic), Buenos Aires (Argentina), Pàdua (Itàlia) o Englewood (Estats Units).
• En commemoració seua, Euler ha aparegut en la série sexta dels billets de 10 francs suïssos.
• Numerosos sagells postals tant suïssos com a alemans i russos duen el seu efigie.
• El cràter llunar Euler va rebre eixe nom en el seu honor.
• L'asteroide (2002) Euler també deu el seu nom al gran matemàtic.

Atres llectures

• Lexikon der Naturwissenschaftler, 2000. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag.
• Demidov, S.S., 2005, «Treatise on the differential calculus» en Grattan-Guiness, I., ed., Landmark Writings in Western Mathematics. Elsevier: 191-98.
• Dunham, William (1999) Euler: The Master of Us All, Washington: Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-328-0.
• Euler, Leonhard (1768) - Mínguez Pérez, Carlos (ed.) (1990) Cartes a una Princesa d'Alemània sobre diversos temes de Física i Filosofia, Prenses de l'Universitat de Saragossa, ISBN 84-7733-145-6
• Fraser, Craig G., 2005, «Book on the calculus of variations» en Grattan-Guiness, I., ed., Landmark Writings in Western Mathematics. Elsevier: 168-80.
• Gladyshev, Georgi, P (2007) «Leonhard Euler’s methods and idees live on in the thermodynamic hierarchical theory of biological evolution», International Journal of Applied Mathematics & Statistics (IJAMAS) 11 (N07), Special Issue on Leonhard Paul Euler’s: Mathematical Topics and Applications (M. T. A.).
• W. Gautschi(2008).50(1)

3-33.doi:10.1137/070702710.

• Heimpell, Hermann, Theodor Heuss, Benno Reifenberg (editors). 1956. Die großen Deutschen, volume 2, Berlín: Ullstein Verlag.
• Krus, D.J (2001) «Is the normal distribution due to Gauss? Euler, his family of gamma functions, and their plau in the history of statistics», Quality and Quantity: International Journal of Methodology, 35: 445-46.
• Nahin, Paul (2006) Dr. Euler's Fabulous Formula, New Jersey: Princeton, ISBN 978-0-691-11822-2

• Reich, Karin, 2005, «Introduction' to analysis» en Grattan-Guiness, I., ed., Landmark Writings in Western Mathematics. Elsevier: 181-90.
• Sandifer, Edward C (2007), The Early Mathematics of Leonhard Euler, Washington: Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-559-3
• Simmons, J (1996) The giant book of scientists: The 100 greatest minds of all clave, Sydney: The Book Company.
• Singh, Simon (1997). Fermat's last theorem, Fourth Estigues: New York, ISBN 1-85702-669-1
• Thiele, Rüdiger (2005). «The mathematics and science of Leonhard Euler», in Mathematics and the Historian's Craft: The Kenneth O. May Lectures, G. Van Brummelen and M. Kinyon (eds.), CMS Books in Mathematics, Springer Verlag. ISBN 0-387-25284-3.
• (1983).56(5)

Enllaços externs

Commons

• Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre Leonhard Euler.

Leonhard Euler en Viquidites.

• The Euler Archive
• Plantilla:MacTutor
• Artícul en la Encyclopedia Britannica
• Leonhard-Euler Artícul en la Encyclopedia Britannica 1911
• How Euler did it Pàgina web que conté explicacions sobre cóm Euler va resoldre diversos problemes.
• Euler Archive
• Euler Committee of the Swiss Academy of Sciences
• Tricentenario de Euler (any 2007)
• The Euler Society
• Leonhard Euler Congress 2007 — Sant Petersburgo, Rússia.
• "Euler - 300th anniversary lecture" [1] archivat en Wayback Machine., discurs pronunciat per Robin Wilson en Gresham College, el 9 de maig de 2007.
• Project Euler
• Arbre de família de Euler
• The 100 Greatest Mental Calculators