Geometria analítica

La geometria analítica és una branca de les matemàtiques que estudia les figures, les seues distàncies, les seues àrees, punts d'intersecció, ànguls d'inclinament, punts de divisió, volums, etcétera. Analisa en detall les senyes de les figures geomètriques per mig de tècniques bàsiques del anàlisis matemàtic i del àlgebra en un determinat sistema de coordenades. El seu desenroll històric comença en la geometria cartesiana, continua en l'aparició de la geometria diferencial de Carl Friedrich Gauss i més vesprada en el desenroll de la geometria algebraica. Té múltiples aplicacions, més allà de les matemàtiques i la ingenieria, puix forma part ara del treball d'administradors per a la planeación d'estratègies i llogística en la presa de decisions.

Les dos qüestions fonamentals de la geometria analítica són:

Donat el lloc geomètric d'un sistema de coordenades, per a obtindre la seua equació.
Donada l'equació en un sistema de coordenades, determinar la gràfica o lloc geomètric dels punts que verifiquen dita equació.

La geometria analítica representa les figures geomètriques per mig de l'equació $y = f (x)$ , a on $f$ és una funció o un atre tipo. Aixina, les rectas s'expressen per mig de l'equació general $a x + b y = c$ , les circumferèncias i el restant de cònicas com a equacions polinòmiques de grau 2 (la circumferència, $x^{2} + y^{2} = 4$ ; la hipérbola, $x y = 1$ ).

Història

Antiga Grècia

El matemàtic grec Menecmo va resoldre problemes i va demostrar teoremes utilisant un método que tenia un gran semblat en l'us de coordenades i, en ocasions, s'ha sostingut que havia introduït la geometria analítica.^[1]

Apolonio de Perge, en Sobre la secció determinada, va tractar els problemes d'una manera que pot cridar-se geometria analítica d'una dimensió; en la qüestió de trobar punts en una recta que estigueren en proporció als demés.^[2] Apolonio en les Còniques va desenrollar ademés un método que és tan similar a la geometria analítica que a voltes es pensa que el seu treball es va anticipar al treball de René Descartes per uns 1800 anys. La seua aplicació de llínees de referència, un diàmetro i una tangente no és essencialment diferent del nostre us modern d'un marc de coordenades, a on les distàncies medides a lo llarc del diàmetro des del punt de tangència són les abscisses, i els segments paralels a la tangente i interceptats entre l'eix i la curva són les ordenades. Va desenrollar ademés relacions entre les abscisses i les ordenades corresponents que són equivalents a equacions retòriques (expressades en paraules) de curves. No obstant, encara que Apolonio va estar prop de desenrollar la geometria analítica, no ho va conseguir ya que no va tindre en conte les magnituts negatives i en tots els casos el sistema de coordenades es va superpondre a una curva donada a posteriori en lloc de a priori. És dir, les equacions estaven determinades per curves, pero les curves no estaven determinades per equacions. Les coordenades, les variables i les equacions eren nocions subsidiàries aplicades a una situació geomètrica específica.^[3]

Pèrsia

El matemàtic persa de el XI Omar Jayam va vore una forta relació entre la geometria i el àlgebra i s'estava movent en la direcció correcta quan va ajudar a tancar la brecha entre el àlgebra numèrica^[4] i geomètrica en la seua solució geomètrica de les equacions cúbiques generals,^[5] pero el pas decisiu va vindre despuix en Descartes. A Omar Jayam se li atribuïx l'identificació dels fonaments de la geometria algebraica, i el seu llibre Tractat sobre demostracions de problemes d'àlgebra (1070), que va establir els principis de la geometria analítica, és part del cos de matemàtiques perses que finalment es va transmetre a Europa.^[6] Pel seu enfocament geomètric complet de les equacions algebraiques, Jayam pot considerar-se un precursor de Descartes en l'invenció de la geometria analítica.^[7]^{<span title="Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «DecodeEncode».">: Plantilla:R/where}

Europa Occidental

La geometria analítica va ser inventada de forma independent per René Descartes i Pierre de Fermat,^[8]^[9] encara que a Descartes a voltes se li dona el crèdit exclusiu.^[10]^[11] La geometria cartesiana, el terme alternatiu utilisat per a la geometria analítica, du el nom de Descartes.

Descartes va fer un progrés significatiu en els métodos en un ensaig titulat La Géométrie (La Geometria), un dels tres ensajos adjunts (apèndixs) publicats en 1637 junt en el seu Discurs sobre el método per a dirigir correctament la raó i buscar la veritat en les ciències, comunament denominat Discurs del método. La Géométrie, escrita en la seua llengua materna francesa, i els seus principis filosòfics, varen servir de base per al càlcul en Europa. Inicialment, el treball no va ser ben rebut degut, en part, als molts estanys en els arguments i equacions complicades. Solament despuix de la traducció al llatí i l'adició de comentaris per Frans van Schooten en 1649 (i atres treballs posteriors) va fer que l'obra mestra de Descartes rebera el degut reconeiximent.^[12]

Pierre de Fermat també va ser pioner en el desenroll de la geometria analítica. Encara que no es va publicar durant la seua vida, una forma manuscrita de Ad locos plans et solguts isagoge (Introducció als llocs plans i sòlits) circulava en París en 1637, just abans de la publicació del Discurs de Descartes.^[13]^[14]^[15] Clarament escrita i ben rebuda, la Introducció També va assentar les bases per a la geometria analítica. La diferència clau entre els tractaments de Fermat i Descartes és una qüestió de punt de vista: Fermat sempre començava en una equació algebraica i després descrivia la curva geomètrica que la satisfea, mentres que Descartes començava en curves geomètriques i produïa les seues equacions com una de vàries propietats de les curves.^[12] Com a conseqüència d'este enfocament, Descartes va tindre que bregar en equacions més complicades i va tindre que desenrollar els métodos per a treballar en equacions polinòmiques de major grau. Va ser Leonhard Euler qui va aplicar per primera volta el método de coordenades en un estudi sistemàtic de superfícies i curves espacials.

Construccions fonamentals

En un sistema de coordenades cartesianas, un punt del pla queda determinat per dos números, cridats abscissa i ordenada del punt. Per mig d'eixe procediment a tot punt del pla corresponen sempre dos número real ordenats (abscissa i ordenada), i recíprocamente, a un parell ordenat de números correspon un únic punt del pla. Conseqüentment el sistema cartesiano establix una correspondència biunívoca entre un concepte geomètric com és el dels punts del pla i un concepte algebraic com són els parells ordenats de números. Esta correspondència constituïx el fonament de la geometria analítica.

En la geometria analítica es pot determinar figures geomètriques planes per mig d'equacions i inecuaciones en dos incògnites. Est és un método alternatiu de resolució de problemes, o si més no nos proporciona un nou punt de vista en el qual poder atacar el problema.

Localisació d'un punt en el pla cartesiano

Com a distància als eixos

En un pla (v.g. paper milimetrado) es canvia dos rectes orientades perpendiculars entre sí (eixos) —que per conveni es tracen de manera que una d'elles siga horisontal i l'atra vertical—, i cada punt del pla queda unívocamente determinat per les distàncies de dit punt a cada u dels eixos, sempre i quan es done també un criteri per a determinar sobre quin semiplano determinat per cada una de les rectes cal prendre eixa distància, criteri que ve dau per un signe. Eixe parell de números, les coordenades, quedarà representat per un parell ordenat $(x, y)$ , sent $x$ la distància a un dels eixos (per conveni serà la distància a l'eix vertical) i $y$ la distància a l'atre eix (a l'horisontal).

En la coordenada $x$ , el signe positiu (que sol ometre's) significa que la distància es pren cap a la dreta sobre l'eix horisontal (eix de les abscisses), i el signe negatiu (mai s'omet) indica que la distància es pren cap a l'esquerra. Per a la coordenada $y$ , el signe positiu (també s'omet) indica que la distància es pren cap a dalt sobre l'eix vertical (eix d'ordenades), prenent-se cap a avall si el signe és negatiu (en cap cas s'ometen els signes negatius).

A la coordenada $x$ li la sol denominar abscissa del punt, mentres que a la $y$ li la denomina ordenada del punt.

Els punts de l'eix d'abscisses tenen per lo tant ordenada igual a $0$ , aixina que seran de la forma $(x, 0)$ , mentres que els de l'eix d'ordenades tindran abscissa igual a $0$ , per lo que seran de la forma $(0, y)$ .

El punt a on abdós eixos es creuen tindrà per lo tant distancia $0$ a cada u dels eixos, després la seua abscissa serà $0$ i la seua ordenada també serà $0$ . A este punt —el $(0, 0)$ — se li denomina orige de coordenades.

Com a proyecció sobre els eixos

Es consideren dos rectes orientades, (eixos), perpendicular entre sí, "x" i "i", en un orige comú, el punt O d'intersecció d'abdós rectes.

Tenint un punt a, al com es desija determinar les coordenades, es procedix de la següent forma:

Pel punt P es tracen rectes perpendicular als eixos, estes determinen en l'intersecció en els mateixos dos punts, P' (el punt ubicat sobre l'eix x) i el punt P'' ( el punt ubicat sobre l'eix i).

Dits punts són les proyeccions ortogonals sobre els eixos x i i del punt P.

Als Punts P' i P'' li corresponen per número la distància des d'ells a l'orige, tenint en conte que si el punt P' es troba a l'esquerra de O, dit número serà negatiu, i si el punt P'' es troba per baix del punt O, dit número serà negatiu.

Els números relacionats en P' i P'', en eixe orde són els valors de les coordenades del punt P.

Eixemple 1: P' es troba a la dreta de O una distància igual a 2 unitats. P'' es troba cap a dalt de O, una distància igual a 3 unitats. Per lo que les coordenades de P són (2, 3).

Eixemple 2: P' es troba a la dreta de O una distància igual a 4 unitats. P'' es troba cap a avall de O, una distància igual a 5 unitats. Per lo que les coordenades de P són (4, -5).

Eixemple 3: P' es troba a l'esquerra de O una distància igual a 3 unitats. P'' es troba cap a avall de O, una distància igual a 2 unitats. Per lo que les coordenades de P són (-3, -2).

Eixemple 4: P' es troba a l'esquerra de O una distància igual a 6 unitats. P'' es troba cap a dalt de O, una distància igual a 4 unitats. Per lo que les coordenades de P són (-6, 4).

Equacions de la recta en el pla

AP Una recta és el lloc geomètric de tots els punts en el pla tals que, presos dos qualssevol d'ells, el càlcul de la pendent resulta sempre igual a una constant.

L'equació general de la recta és de la forma:

$A x + B y + C = 0$

que la seua pendent és m = -A/B i que la seua ordenada a l'orige és b = -C/B.

Una recta en el pla es representa en la funció llineal de la forma:

Com a expressió general, esta és coneguda en el nom d'equació pendent-ordenada a l'orige i podem distinguir dos casos particulars. Si una recta no talla a un dels eixos, serà perque és paralela a ell. Com els dos eixos són perpendiculars, si no talla a un d'ells forçosament ha de tallar a l'atre (sempre i quan la funció siga contínua per a tots els reals). Tenim puix tres casos:


Rectes oblicuas.	Rectes horisontals.	Rectes verticals.

Les rectes verticals no tallen a l'eix d'ordenades i són paraleles a dit eix i es denominen rectes verticals. El punt de tall en l'eix d'abscisses és el punt $(x_{0}, 0)$ . L'equació de dites rectes és:

x = x_{0}

Les rectes horisontals no tallen a l'eix de les abscisses i, per tant, són paraleles a dit eix i es denominen rectes horisontals. El punt de tall en l'eix d'ordenades és el punt $(0, y_{0})$ . L'equació de dites rectes és:

y = y_{0}

Qualsevol atre tipo de recta rep el nom de recta oblicua. En elles hi ha un punt de tall en l'eix d'abscisses $(a, 0)$ i un atre punt de tall en l'eix d'ordenades $(0, b)$ . El valor $a$ rep el nom de abscissa en l'orige, mentres que el $b$ es denomina ordenada en l'orige.

Seccions còniques

AP

El resultat de l'intersecció de la superfície d'un con, en un pla, dona lloc a lo que es denominen seccions còniques, que són: la paràbola, la elipse (la circumferència és un cas particular de elipse) i la hipérbola.

La paràbola és el lloc geomètric de tots els punts que equidistan d'un punt fix cridat foc i d'una recta fixa cridada directriu.

Una paràbola (figura A) l'eix de la qual de simetria siga paralel a l'eix de abcisas s'expressa per mig de l'equació:

La elipse és el lloc geomètric dels punts tals que la suma de les seues distàncies a dos punts fixos cridats focs és sempre igual a una constant positiva, i igual a la distància entre els vèrtiços.

Una elipse (figura B) centrada en els eixos, en llongituts de semieje a i b ve donada per l'expressió:

Si els dos eixos són iguals i els cridem c:

$\frac{x^{2}}{c^{2}} + \frac{y^{2}}{c^{2}} = 1$

el resultat és una circumferència:

La hipérbola és el lloc geomètric dels punts tals que el valor absolut de la diferència (resta) de les seues distàncies a dos punts fixos cridats focs és sempre igual a una constant positiva, i igual a la distància entre els vèrtiços.

L'hipérbola (Figura C) té per expressió:

Expressió algebraica

En coordenades cartesianas, les còniques s'expressen en forma algebraica per mig d'equacions quadràtiques de dos variables (x,i) de la forma:

a x^{2} + 2 h x y + b y^{2} + 2 g x + 2 f y + c = 0

en la que, en funció dels valors dels paràmetros, es tindrà:

h² > ab: hipérbola.

h² = ab: paràbola.

h² < ab: elipse.

a = b i h = 0: circumferència.

Funcions trigonométricas

AP AP

Construccions en l'espai tridimensional

Artícul principal → Cuádrica.

Els raonaments sobre la construcció dels eixos coordenados són igualment vàlits per a un punt en el espai i una terna ordenada de números, sense més que introduir una tercera recta perpendicular als eixos X i I: l'eix Z.

No obstant no hi ha anàlec a l'importantíssim concepte de pendent d'una recta. Una única equació llineal del tipo:

Representa en l'espai un pla. Si es pretén representar per mig d'equacions una recta en l'espai tridimensional necessitarem especificar, no una, sino dos equacions llineals com les anteriors. De fet tota recta es pot escriure com a intersecció de dos plans. Aixina una recta en l'espai podria quedar representada com:

És important notar que la representació anterior no és única, ya que una mateixa recta pot expressar-se com l'intersecció de diferents parells de plans. Per eixemple els dos parells d'equacions:

Classificació de la geometria analítica dins de la geometria

Des del punt de vista de la classificació de Klein de les #geometria (el Programa de Erlangen), la geometria analítica no és una geometria pròpiament dita.

Des del punt de vista didàctic, la geometria analítica resulta un pont indispensable entre la geometria euclidiana i atres branques de la matemàtica i de la pròpia geometria, com són el propi anàlisis matemàtic, el àlgebra llineal, la geometria afí, la geometria diferencial o la geometria algebraica.

En física s'utilisa els sistemes de coordenades per a la representació de moviments i vectorés entre atres magnituts.

Història de la geometria analítica

El naiximent de la geometria analítica s'atribuïx a Descartes, per l'apèndix La Géométrie inclós en la seua Discurs del método, publicat en 1637, si be se sap que Pierre de Fermat coneixia i utilisava el método abans de la seua publicació per Descartes. Les idees de Descartes eren alguna cosa obscures i difícils d'entendre, i s'atribuïx la seua ampliació, desenroll i divulgació en el món matemàtic a Frans van Schooten i els seus colaboradors.^[16] No obstant, existix una certa controvèrsia sobre la verdadera paternitat d'este método. Omar Khayyam, ya en el XI, va utilisar un método molt semblat per a determinar certes interseccions entre curves, encara que és impossible que Fermat i Descartes hagen tingut accés a la seua obra.^{cita requerida}

El nom de geometria analítica va córrer parell al de geometria cartesiana, i abdós són indistinguibles. Hui en dia, paradòxicament, es preferix denominar geometria cartesiana a l'apèndix del Discurs del método, mentres que s'entén que geometria analítica comprén no solament a la geometria cartesiana (en el sentit mencionat, és dir, al text apèndix del Discurs del método), sino també tot el desenroll posterior de la geometria que es base en la construcció d'eixos coordenados i la descripció de les figures per mig de funcions —algebraiques o no— fins a l'aparició de la geometria diferencial de Gauss (el terme "paradòxicament" es deu al fet de que s'usa precisament el terme "geometria cartesiana" per a allò que el propi Descartes va batejar com "geometria analítica"). El problema és que durant eixe periodo no hi havia una diferència clara entre geometria analítica i anàlisis matemàtic —esta falta de diferència es deu precisament a l'identificació feta en l'época entre els conceptes de funció i curva—, per lo que resulta a voltes molt difícil intentar determinar si l'estudi que s'està realisant correspon a una o una atra branca.^{cita requerida}

La geometria diferencial de curves sí que permet un estudi per mig d'un sistema de coordenades, ya siga en el pla o en l'espai tridimensional. Pero en l'estudi de les superfícies, en general, apareixen sérios obstàculs. Gauss va salvar dits obstàculs creant la geometria diferencial, i marcant en això el fi de la geometria analítica com a disciplina. En el desenroll de la geometria algebraica, va ser possible certificar totalment la superació de la geometria analítica.^{cita requerida}

La denominació de analítica donada a esta forma d'estudiar la geometria va provocar que l'anterior manera d'estudiar-la (és dir, la manera axiomàtic-deductiva, sense l'intervenció de coordenades) es terminara denominant, per oposició, geometria sintètica, per la dualitat anàlisis-#síntesis.^{cita requerida}

Vore també

Vector
[[Archiu:{{#switch:Matemàtica|20px|Vore el portal sobre Matemàtica]] Portal:Matemàtica. Contingut relacionat en Matemàtica.

Referències

↑ Boyer, Carl B. (1991). «The Age of Plat and Aristotle», A History of Mathematics, Second edició, John Wiley & Sons, Inc., pp. 94–95. ISBN 0-471-54397-7. «Menaechmus apparently derived these properties of the conic sections and others as well. Since this material has a strong resemblance to the use of coordinates, as illustrated above, it has sometimes been maintained that Menaechmus had analytic geometry. Such a judgment is warranted only in part, for certainly Menaechmus was unaware that any equation in two unknown quantities determines a curve. In fact, the general concept of an equation in unknown quantities was alien to Greek thought. It was shortcomings in algebraic notations that, more than anything else, operated against the Greek achievement of a full-fledged coordinate geometry.»
↑ Boyer, Carl B. (1991). «Apollonius of Perga», A History of Mathematics, Second edició, John Wiley & Sons, Inc., pp. 142. ISBN 0-471-54397-7. «The Apollonian treatise On Determinate Section dealt with what might be called an analytic geometry of one dimension. It considered the following general problem, using the typical Greek algebraic analysis in geometric form: Given four points A, B, C, D on a straight line, determine a fifth point P on it such that the rectangle on AP and CP is in a given ràtio to the rectangle on BP and DP. Here, too, the problem reduïxes easily to the solution of a quadratic; and, as in other cases, Apollonius treated the question exhaustively, including the limits of possibility and the number of solutions.»
↑ Boyer, Carl B. (1991). «Apollonius of Perga», A History of Mathematics, Second edició, John Wiley & Sons, Inc., pp. 156. ISBN 0-471-54397-7. «The method of Apollonius in the Conics in many respects llaure baix similar to the modern approach that his work sometimes is judged to be an analytic geometry anticipating that of Descartes by 1800 years. The application of references lines in general, and of a diameter and a tangent at its extremity in particular, is, of course, not essentially different from the use of a coordinate frame, whether rectangular or, more generally, oblique. Distances measured along the diameter from the point of tangency llaure the abscissas, and segments parallel to the tangent and intercepted between the axis and the curve llaure the ordinates. The Apollonian relationship between these abscissas and the corresponding ordinates llaure nothing more nor less than rhetorical forms of the equations of the curves. However, Greek geometric algebra did not provide for negative magnituts; moreover, the coordinate system was in every case superimposed a posteriori upon a given curve in order to study its properties. There appear to be no cases in ancient geometry in which a coordinate frame of reference was laid down a priori for purposes of graphical representation of an equation or relationship, whether symbolically or rhetorically expressed. Of Greek geometry we may say that equations llaure determined by curves, but not that curves llaure determined by equations. Coordinates, variables, and equations were subsidiary notions derived from a specific geometric situation; [...] That Apollonius, the greatest geometer of antiquity, failed to develop analytic geometry, was probably the result of a poverty of curves rather than of thought. General methods llaure not necessary when problems concern always one of a limited number of particular cases.»
↑ Boyer (1991). «The Arabic Hegemony», A History of Mathematics, pp. 241–242. ISBN 9780471543978. «Omar Khayyam (ca. 1050–1123), the "tent-maker," wrote an Algebra that went beyond that of al-Khwarizmi to include equations of third degree. Like his Arab predecessors, Omar Khayyam provided for quadratic equations both arithmetic and geometric solutions; for general cubic equations, he believed (mistakenly, as the sixteenth century later showed), arithmetic solutions were impossible; hence he gave only geometric solutions. The scheme of using intersecting conics to solve cubics had been used earlier by Menaechmus, Archimedes, and Alhazan, but Omar Khayyam took the praiseworthy step of generalizing the method to cover all third-degree equations (having positive roots). For equations of higher degree than three, Omar Khayyam evidently did not envision similar geometric methods, for space does not contain more than three dimensions, ... One of the most fruitful contributions of Arabic eclecticism was the tendency to close the gap between numerical and geometric algebra. The decisive step in this direction came much later with Descartes, but Omar Khayyam was moving in this direction when he wrote, "Whoever thinks algebra is a trick in obtaining unknowns has thought it in vain. No attention should be paid to the fact that algebra and geometry llaure different in appearance. Algebras llaure geometric facts which llaure proved."»
↑ “Review: Omar Khayyam, the Mathmetician by R. Rashed, B. Vahabzadeh” . The Journal of the American Oriental Society 123 (1): 248–249.
↑ Mathematical Masterpieces: Further Chronicles by the Explorers, p. 92
↑ Cooper, G. (2003). Journal of the American Oriental Society,123(1), 248-249.
↑ Stillwell, John (2004). «Analytic Geometry», Mathematics and its History, Second edició, Springer Science + Business Media Inc., pp. 105. ISBN 0-387-95336-1. «the two founders of analytic geometry, Fermat and Descartes, were both strongly influenced by these developments.»
↑ Boyer 2004
↑ Cooke, Roger (1997). «The Calculus», The History of Mathematics: A Brief Course, Wiley-Interscience, pp. 326. ISBN 0-471-18082-3. «The person who is popularly credited with being the discoverer of analytic geometry was the philosopher René Descartes (1596–1650), one of the most influential thinkers of the modern era.»
↑ Boyer 2004
↑ ^12,0 ^12,1 Katz 1998, pg. 442
↑ Katz 1998, pg. 436
↑ Pierre de Fermat, Vària Opera Mathematica d. Petri de Fermat, Senatoris Tolosani (Toulouse, France: Jean Pech, 1679), "Ad locos plans et solguts isagoge," pp. 91–103.
↑ "Eloge de Monsieur de Fermat" (Eulogy of Mr. de Fermat), Li Journal dones Scavans, 9 February 1665, pp. 69–72. From p. 70: "Unix introduction aux lieux, plans & solides; qui est un traité analytique concernant la solution dones problemes plans & solides, qui avoit estiga veu devant que M. dones Cartes eut rien publié sur ce sujet." (An introduction to loci, plane and solid; which is an analytical treatise concerning the solution of plane and solid problems, which was seen before Mr. dones Cartes had published anything on this subject.)
↑ Boyer 2004, pp. 108-109

Bibliografia

(2004).«History of Analytic Geometry».Dover.
(2011).«The History of Mathematics / An Introduction».McGraw Hill.

(2004).«History of Analytic Geometry».Dover Publications.
(1999).«A History of Mathematics».AMS.

John Casey (1885) Analytic Geometry of the Point, Line, Circle, and Conic Sections, link from Internet Archive.
(1998).«A History of Mathematics: An Introduction (2nd Ed.)».Addison Wesley Longman.
(1969).«A Source Book in Mathematics, 1200-1800».Harvard University Press.

(1987).«Cartesian geometry: The Dutch contribution».The Mathematical Intelligencer.9(4)

38–44.doi:10.1007/BF03023730.

(1944).«Analytic Geometry: The Discovery of Fermat and Descartes».Mathematics Teacher.37(3)

99–105.doi:10.5951/MT.37.3.0099.

(1965).«Johann Hudde and space coordinates».Mathematics Teacher.58(1)

33–36.doi:10.5951/MT.58.1.0033.

(1948).«The Beginnings of Analytic Geometry in Three Dimensions».American Mathematical Monthly.55(2)

76–86.doi:10.2307/2305740.

«Newton and analytic geometry».

Enllaços externs

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Geometría analítica» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Boyer, Carl B. (1991). «The Age of Plat and Aristotle», A History of Mathematics, Second edició, John Wiley & Sons, Inc., pp. 94–95. ISBN 0-471-54397-7. «Menaechmus apparently derived these properties of the conic sections and others as well. Since this material has a strong resemblance to the use of coordinates, as illustrated above, it has sometimes been maintained that Menaechmus had analytic geometry. Such a judgment is warranted only in part, for certainly Menaechmus was unaware that any equation in two unknown quantities determines a curve. In fact, the general concept of an equation in unknown quantities was alien to Greek thought. It was shortcomings in algebraic notations that, more than anything else, operated against the Greek achievement of a full-fledged coordinate geometry.»

[2] Boyer, Carl B. (1991). «Apollonius of Perga», A History of Mathematics, Second edició, John Wiley & Sons, Inc., pp. 142. ISBN 0-471-54397-7. «The Apollonian treatise On Determinate Section dealt with what might be called an analytic geometry of one dimension. It considered the following general problem, using the typical Greek algebraic analysis in geometric form: Given four points A, B, C, D on a straight line, determine a fifth point P on it such that the rectangle on AP and CP is in a given ràtio to the rectangle on BP and DP. Here, too, the problem reduïxes easily to the solution of a quadratic; and, as in other cases, Apollonius treated the question exhaustively, including the limits of possibility and the number of solutions.»

[3] Boyer, Carl B. (1991). «Apollonius of Perga», A History of Mathematics, Second edició, John Wiley & Sons, Inc., pp. 156. ISBN 0-471-54397-7. «The method of Apollonius in the Conics in many respects llaure baix similar to the modern approach that his work sometimes is judged to be an analytic geometry anticipating that of Descartes by 1800 years. The application of references lines in general, and of a diameter and a tangent at its extremity in particular, is, of course, not essentially different from the use of a coordinate frame, whether rectangular or, more generally, oblique. Distances measured along the diameter from the point of tangency llaure the abscissas, and segments parallel to the tangent and intercepted between the axis and the curve llaure the ordinates. The Apollonian relationship between these abscissas and the corresponding ordinates llaure nothing more nor less than rhetorical forms of the equations of the curves. However, Greek geometric algebra did not provide for negative magnituts; moreover, the coordinate system was in every case superimposed a posteriori upon a given curve in order to study its properties. There appear to be no cases in ancient geometry in which a coordinate frame of reference was laid down a priori for purposes of graphical representation of an equation or relationship, whether symbolically or rhetorically expressed. Of Greek geometry we may say that equations llaure determined by curves, but not that curves llaure determined by equations. Coordinates, variables, and equations were subsidiary notions derived from a specific geometric situation; [...] That Apollonius, the greatest geometer of antiquity, failed to develop analytic geometry, was probably the result of a poverty of curves rather than of thought. General methods llaure not necessary when problems concern always one of a limited number of particular cases.»

[Boyer_Omar_Khayyam_positive_roots-4] Boyer (1991). «The Arabic Hegemony», A History of Mathematics, pp. 241–242. ISBN 9780471543978. «Omar Khayyam (ca. 1050–1123), the "tent-maker," wrote an Algebra that went beyond that of al-Khwarizmi to include equations of third degree. Like his Arab predecessors, Omar Khayyam provided for quadratic equations both arithmetic and geometric solutions; for general cubic equations, he believed (mistakenly, as the sixteenth century later showed), arithmetic solutions were impossible; hence he gave only geometric solutions. The scheme of using intersecting conics to solve cubics had been used earlier by Menaechmus, Archimedes, and Alhazan, but Omar Khayyam took the praiseworthy step of generalizing the method to cover all third-degree equations (having positive roots). For equations of higher degree than three, Omar Khayyam evidently did not envision similar geometric methods, for space does not contain more than three dimensions, ... One of the most fruitful contributions of Arabic eclecticism was the tendency to close the gap between numerical and geometric algebra. The decisive step in this direction came much later with Descartes, but Omar Khayyam was moving in this direction when he wrote, "Whoever thinks algebra is a trick in obtaining unknowns has thought it in vain. No attention should be paid to the fact that algebra and geometry llaure different in appearance. Algebras llaure geometric facts which llaure proved."»

[5] “Review: Omar Khayyam, the Mathmetician by R. Rashed, B. Vahabzadeh” . The Journal of the American Oriental Society 123 (1): 248–249.

[6] Mathematical Masterpieces: Further Chronicles by the Explorers, p. 92

[Cooper-7] Cooper, G. (2003). Journal of the American Oriental Society,123(1), 248-249.

[8] Stillwell, John (2004). «Analytic Geometry», Mathematics and its History, Second edició, Springer Science + Business Media Inc., pp. 105. ISBN 0-387-95336-1. «the two founders of analytic geometry, Fermat and Descartes, were both strongly influenced by these developments.»

[9] Boyer 2004

[10] Cooke, Roger (1997). «The Calculus», The History of Mathematics: A Brief Course, Wiley-Interscience, pp. 326. ISBN 0-471-18082-3. «The person who is popularly credited with being the discoverer of analytic geometry was the philosopher René Descartes (1596–1650), one of the most influential thinkers of the modern era.»

[11] Boyer 2004

[Katz_1998_loc=pg._442-12] 12,0 ^12,1 Katz 1998, pg. 442

[13] Katz 1998, pg. 436

[14] Pierre de Fermat, Vària Opera Mathematica d. Petri de Fermat, Senatoris Tolosani (Toulouse, France: Jean Pech, 1679), "Ad locos plans et solguts isagoge," pp. 91–103.

[15] "Eloge de Monsieur de Fermat" (Eulogy of Mr. de Fermat), Li Journal dones Scavans, 9 February 1665, pp. 69–72. From p. 70: "Unix introduction aux lieux, plans & solides; qui est un traité analytique concernant la solution dones problemes plans & solides, qui avoit estiga veu devant que M. dones Cartes eut rien publié sur ce sujet." (An introduction to loci, plane and solid; which is an analytical treatise concerning the solution of plane and solid problems, which was seen before Mr. dones Cartes had published anything on this subject.)

[16] Boyer 2004, pp. 108-109

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

Plantilla:R/where

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]