Paràbola (matemàtica)

Seccions còniques.

En matemàtiques, una paràbola (del grec παραβολή) és la secció cònica d'excentricitat igual a 1,^[1] resultant de tallar un con recte o de revolució en un pla oblicuo l'àngul del qual d'inclinament respecte a l'eix de revolució del con siga igual al presentat pel seu generatriz. El pla resultarà per lo tant paralel a dita recta.^[2]^{[nota 1]}^{[nota 2]} Es definix també com el lloc geomètric dels punts d'un pla que equidistan d'una recta cridada directriu,^{[nota 3]} i un punt interior a la paràbola cridat foc. En geometria proyectiva, la paràbola es definix com la curva envolvente de les rectes que unixen parells de punts homòlecs en una proyectividad semblant o semblança.

La paràbola apareix en moltes branques de les ciències aplicades degut a que la seua forma es correspon en les gràfiques de les equacions quadràtiques. Per eixemple, són paràboles les trayectòries ideals dels cossos que es mouen baix l'influència exclusiva de la gravetat (vore moviment parabòlic i trayectòria balística).

Història

La tradició indica que les seccions còniques varen ser descobertes per Menecmo en el seu estudi del problema de la duplicació de la gaveta,^[3] a on demostra l'existència d'una solució per mig del tall d'una paràbola en una hipérbola, la qual cosa és confirmat posteriorment per Proclo i Eratóstenes.^[4]

No obstant, el primer en usar el terme paràbola va ser Apolonio de Perge en el seu tractat Còniques,^[5] considerada obra cim de les matemàtiques gregues, a on es desenrolla l'estudi de les tangentes a seccions còniques.

Si un con és tallat per un pla a través del seu eix, i també és tallat per un atre pla que talle la base del con en una llínea recta perpendicular a la base del triàngul axial, i si adicionalment el diàmetro de la secció és paralel a un costat del triàngul axial, llavors qualsevol llínea recta que es dibuixe des de la secció d'un con al seu diàmetro paralel a la secció comuna del pla tallant i una de les bases del con, serà igual en quadrat al rectàngul contingut per la llínea recta tallada per ella en el diàmetro que inicia del vèrtiç de la secció i per una atra llínea recta que està en raó a la llínea recta entre l'àngul del con i el vèrtiç de la secció que el quadrat en la base del triàngul axial té al rectàngul contingut pels dos costats restants del triàngul. I tal secció serà cridada una paràbola.

Apolonio de Perge

És Apolonio qui menciona que un espill parabòlic reflectix de forma paralela els rajos emesos des del seu foc, propietat usada hui en dia en les antenes satelitales. La paràbola també va ser estudiada per Arquímedes, novament en la busca d'una solució per a un problema famós: la quadratura del círcul, donant com resultat el llibre Sobre la quadratura de la paràbola.

Propietats geomètriques

Encara que l'identificació de paràbola en l'intersecció entre un con recte i un pla que forme un àngul en l'eix de revolució del con igual al que presenta el seu generatriz és exacta, és comuna definir-la també com un lloc geomètric:

Es denomina paràbola al lloc geomètric d'un punt que es mou en un pla de tal manera que equidista d'una recta fixa, cridada directriu i d'un punt fix en el pla, que no pertany a la paràbola ni a la directriu, cridat foc.

La definició exclou el cas en que el foc està sobre la directriu. D'esta forma, una volta fixats una recta i un punt es pot construir una paràbola que els tinga per directriu i foc respectivament, usant el següent procediment: Es pren un punt $T$ qualsevol de la recta, li l'unix en el foc donat $F$ i a continuació es traça la mediatriz (o perpendicular pel punt mig) del segment $T F$ . L'intersecció de la mediatriz en la perpendicular per $T$ a la recta directriu dona com resultat un punt $P$ que pertany a la paràbola. Repetint el procés per a diferents punts $T$ es poden trobar tants punts de la paràbola com siga necessari.

De la construcció anterior es pot provar que la paràbola és simètrica respecte a la recta perpendicular a la directriu que passa pel foc. Al punt d'intersecció de la paràbola en tal recta (coneguda com a eix de la paràbola) se li crida vèrtiç de la paràbola i és el punt la distància del qual a la directriu és mínima. La distància entre el vèrtiç i el foc es coneix com distància focal o ràdio focal.

Costat recte

Al segment de recta comprés per la paràbola, que passa pel foc i és paralel a la directriu, se li coneix com a costat recte. Per l'equació que representa a esta curva, sorgix la següent teorema:

La llongitut del costat recte és sempre 4 voltes la distància focal.

Sent $D$ , $E$ els extrems del costat recte i $T$ , $U$ les respectives proyeccions sobre la directriu, denotant per $W$ la proyecció del foc $F$ sobre la directriu, s'observa que $F E U W$ i $D F W T$ són quadrats, i els seus costats medixen $F W = 2 F V$ . Per tant, el segment $D E$ és igual a 4 voltes el segment $F V$ (la distància focal).

Les tangentes a la paràbola que passen pels extrems del costat recte formen ànguls de 45° en el mateix, conseqüència de que $F E U W$ i $D F W T$ siguen quadrats, junt en la construcció mencionada en la secció anterior. Ademés, tals tangentes es tallen en la directriu de forma perpendicular, precisament en el punt de proyecció $W$ del foc, propietats que poden ser aprofitades per a construir una aproximació geomètrica del foc i la directriu quan estos són desconeguts.

Semblança de totes les paràboles

Ya que la paràbola és una secció cònica, també pot descriure's com l'única secció cònica que té excentricitat $e = 1$ . L'unicitat es referix a que totes les paràboles són semblants, és dir, tenen la mateixa forma, llevat la seua escala.

Desafortunadament, en estudiar analíticamente les paràboles (basant-se en equacions), se sol afirmar erròneament que els paràmetros de l'equació canvien la forma de la paràbola, fent-la més ampla o estreta. La veritat és que totes les paràboles tenen la mateixa forma, pero l'escala crea l'ilusió de que hi ha paràboles de formes diferents.

Un argument geomètric informal és que en ser la directriu una recta infinita, en prendre qualsevol punt i efectuar la construcció descrita dalt, s'obté sempre la mateixa curva, llevat la seua escala, que depén de la distància del punt a la directriu.

Tangentes a la paràbola

Un resultat important en relació en les tangentes d'una paràbola establix:

La tangente biseca l'àngul entre el foc, el punt de tangència i la seua proyecció.

Cridem F al foc d'una paràbola, $P$ a un punt qualsevol de la mateixa i $T$ a la proyecció d'est sobre la directriu. Siga $M P$ la mediatriz del triàngul $F P T$ , el qual és isósceles per ser iguals les distàncies $F P$ i $P T$ , com s'ha vist. Després $M P$ biseca a l'àngul $F P T$ , restant verificar si és tangente a la paràbola en el punt P.

Siga Q un atre punt de la paràbola i siga O la seua proyecció en la directriu. ya que $F Q = Q U$ i $Q U < Q T$ , llavors $F Q < Q T$ . Ya que açò és cert per a qualsevol atre punt de la paràbola, es conclou que tota la paràbola està d'un mateix costat de $M P$ , i com la desigualtat és estricta, no hi ha un atre punt de la paràbola que toque a la recta $M P$ , açò vol dir que $M P$ és la tangente de la paràbola en $P$ .

Curva dual de la paràbola.

La curva dual de la paràbola respecte a un círcul interior és una elipse. Si el centre del círcul és el foc de la paràbola llavors el seu dual és un círcul. La dual de la paràbola respecte a un círcul exterior és una hipérbola. Si el centre del círcul esta sobre la paràbola el seu dual és una atra paràbola.^[6]

Dual de la paràbola. Centre del círcul en l'interior de la paràbola.
Erro al crear miniatura:

Dual de la paràbola. Centre del círcul en el foc de la paràbola.
Erro al crear miniatura:

Dual de la paràbola. Centre del círcul en l'exterior de la paràbola.
Erro al crear miniatura:

Dual de la paràbola. Centre del círcul sobre la paràbola.

Ràdio de curvatura

Siga el punt $M (x_{1}, y_{1})$ llavors el radi de curvatura és^[7] Plantilla:Ecuacion sent l'equació de la paràbola Plantilla:Ecuacion

Expressió explícita

Donada la fòrmula general del radi de curvatura d'una curva a partir de la seua equació explícita:

R_{c} = \frac{{[1 + {(\frac{d f}{d x})}^{2}]}^{\frac{3}{2}}}{| \frac{d^{2} f}{d x^{2}} |}

si es té una paràbola expressada de la forma general:

y = A x^{2} + B x + C

; la seua primera derivada pren la forma

y^{'} = 2 A x + B

; i la seua segona derivada és

y^{″} = 2 A

Substituint estos valors en l'expressió general anterior, es té que:

$R_{c} = \frac{[1 + (2 A x + B)^{2}]^{\frac{3}{2}}}{2 A}$
Curvatura en el vèrtiç

En el vèrtiç, a on la tangente a la curva és horisontal, la primera derivada de la paràbola s'anula (és dir, $(2 A x + B) = 0$ ). En conseqüència,

R_{c} V = \frac{1}{2 A}

Aplicacions pràctiques

Una conseqüència de gran importància és que la tangente reflectix els rajos paralels a l'eix de la paràbola en direcció al foc. Les aplicacions pràctiques són moltes: les antenes satelitales i radiotelescopios aprofiten el principi concentrant senyals rebudes des d'un emissor lluntà en un receptor colocat en la posició del foc.

La concentració de la radiació solar en un punt, per mig d'un reflector parabòlic té la seua aplicació en menudes cuines solars i grans centrals captadoras d'energia solar.

Análogamente, una font emissora situada en el foc, enviarà un fes de rajos paralels a l'eix: diverses llànties i fars tenen espills en superfícies parabòliques reflectantes per a poder enviar fas de llum paralels emanats d'una font en posició focal. Els rajos convergixen o divergixen si l'emissor es desplaça de la posició focal.

La paràbola reflectix sobre el foc els rajos paralels a l'eix. Análogamente, un emissor situat en el foc, enviarà un fes de rajos paralels a l'eix.

La paràbola reflectix sobre el foc els rajos paralels a l'eix. Análogamente, un emissor situat en el foc, enviarà un fes de rajos paralels a l'eix.
Els radiotelescopios concentren els fas de senyals en un receptor situat en el foc. El mateix principi s'aplica en una antena de radar.

Els radiotelescopios concentren els fas de senyals en un receptor situat en el foc. El mateix principi s'aplica en una antena de radar.
Cuina solar de concentrador parabòlic. El mateix método s'ampra en les grans centrals captadoras d'energia solar.

Cuina solar de concentrador parabòlic. El mateix método s'ampra en les grans centrals captadoras d'energia solar.
Els fars dels automòvils envien fas de llum paralels, si la pera se situa en el foc d'una superfície parabòlica.

Els fars dels automòvils envien fas de llum paralels, si la pera se situa en el foc d'una superfície parabòlica.

Equacions de la paràbola

En el advenimiento de la geometria analítica es va iniciar un estudi de les formes geomètriques basat en equacions i coordenades.

Una paràbola el vèrtiç de la qual està en l'orige i el seu eix coincidix en l'eix de les ordenadas, té una equació de la forma $y = a x^{2}$ a on el paràmetro $a$ especifica l'escala de la paràbola, incorrectament descrita com la forma de la paràbola, ya que com es va dir abans, totes les paràboles tenen la mateixa forma. Quan el paràmetro és positiu, la paràbola s'obri «cap a dalt» i quan és negatiu s'obri «cap a avall».

Si be l'expressió en forma d'equació no va ser possible fins al desenroll de la geometria analítica, la relació geomètrica expressada en l'equació anterior ya estava present en els treballs de Apolonio,^[3] i es bosquejará a continuació usant notació moderna.

Prenent novament la definició de paràbola com a secció d'un con recte de forma paralela a la directriu, siga $V$ un punt en l'eix i siga $Q V$ perpendicular a l'eix. ( $Q V$ correspon al valor $x$ en la versió analítica i $P V$ al valor i). Considerant la secció circular que passa per $Q$ i és paralela a la base del con, obtenim $H$ , $K$ paralels a $B$ i $C$ .

Per la teorema de potència d'un punt:

$Q V^{2} = H V \cdot V K$ .

En ser

P M

paralela a

A C

, els triànguls

H V P

,

H K A

i

B C A

són semblants i aixina:

$\frac{H V}{P V} = \frac{H K}{K A} = \frac{B C}{A C}$ .

Usant novament els paralelismes:

$\frac{V K}{P A} = \frac{H K}{H A} = \frac{B C}{B A}$ .

Rebujant $H V$ i $V K$ per a substituir en la fòrmula de $Q V^{2}$ resulta en

$Q V^{2} = H V \cdot V K = (\frac{B C \cdot P V}{A C}) (\frac{B C \cdot P A}{B A}) = (\frac{B C^{2} \cdot P A}{B A \cdot A C}) P V$ .

Pero el valor de $(\frac{B C^{2} \cdot P A}{B A \cdot A C})$ és una constant, puix no depén de la posició de $V$ , per #lo que fent

$a = \frac{B A \cdot A C}{B C^{2} \cdot P A},$

tira l'expressió moderna $y = a x^{2}$ .

Aplicant una substitució de coordenades podem obtindre ara l'equació d'una paràbola vertical per a qualsevol posició del seu vèrtiç.

L'equació d'una paràbola l'eix de la qual és vertical i el seu vèrtiç és $(u, v)$ té la forma $(y - v) = a (x - u)^{2}$ ,

agrupant els térmens i reordenando s'obté una forma equivalent:

L'equació d'una paràbola l'eix de la qual és vertical és de la forma $y = a x^{2} + b x + c$ .

Si la paràbola és horisontal, s'obtenen equacions similars, pero intercanviant i per x i viceversa. Aixina tindríem:

L'equació d'una paràbola l'eix de la qual és horisontal és de la forma $x = a y^{2} + b y + c$ .

Equació involucrant la distància focal

Pot haver moltes paràboles que tinguen un mateix vèrtiç (variant el paràmetro a) en la primera equació. No obstant, daus dos punts fixos, existix solament una paràbola que els té per vèrtiç i foc, ya que la directriu queda automàticament fixa com la perpendicular a la llínea que unix el foc en el vèrtiç i a eixa mateixa distància de l'últim.

Considerem el cas especial que el vèrtiç és $(0, 0)$ i el foc és $(0, p)$ . La directriu és, per tant, la recta horisontal que passa per $(0, - p)$ . A la distància entre el vèrtiç i el foc se li crida distància focal, de modo que en este cas la distància focal és igual a $p$ . En esta configuració es té:

L'equació d'una paràbola en vèrtiç en (0,0) i foc en (0,p) és $x^{2} = 4 p y$ .

De forma alterna:

L'equació d'una paràbola en vèrtiç en (0,0) i foc en (0,p) és $y = \frac{x^{2}}{4 p}$ .

És de notar que el coeficient 4p és precisament la llongitut del costat recte de la paràbola.

Abdós equacions es referixen a paràboles verticals que s'òbrin «cap a dalt». L'equació d'una paràbola que s'obri cap a avall és similar, excepto que varia un signe. En este cas, el foc seria (0,-p) i d'esta forma:

L'equació d'una paràbola en vèrtiç en (0,0) i foc en (0,-p) és $x^{2} = - 4 p y$ .

Quan la paràbola és horisontal «cap a la dreta», s'obté una equació similar intercanviant els rols de x, i:

L'equació d'una paràbola en vèrtiç en (0,0) i foc en (p,0) és $y^{2} = 4 p x$ ,

obtenint per mig d'un canvi de signe l'equació de les paràboles cap a l'esquerra.

Finalment, les equacions quan el vèrtiç no està en el centre s'obtenen per mig d'una translació. En el cas comú de la paràbola vertical cap a dalt es té

L'equació d'una paràbola en vèrtiç en (h,k) i foc en (h,k + p) és $(x - h)^{2} = 4 p (y - k)$ ,

mentres que per a la paràbola horisontal s'intercanvia x en i:

L'equació d'una paràbola en vèrtiç en (h,k) i foc en (h + p,k) és $(y - k)^{2} = 4 p (x - h)$ .

Equació general d'una paràbola

Per mig de translacions i rotacions és possible trobar un sistema de referència en el que l'equació anterior s'expresse per mig d'una fòrmula algebraica de la forma $a x'^{2} + b x^{'} + c = 0$ , a on a és distint de zero.

Com trisectriz

Archiu:Angle trisection with parabola2.svg

Trisecció d'un àngul per mig d'una paràbola

La paràbola es pot utilisar com trisectriz, és dir, permet realisar la trisecció exacta d'un àngul arbitrari en ser utilisada com a mig auxiliar d'una construcció en regla i compàs. Este fet no està en contradicció en l'impossibilitat de realisar la trisecció d'un àngul en regla i compàs exclusivament, ya que l'us de paràboles no està permés en les normes de les construccions en regla i compàs clàssiques.

Per a trisecar $∠ A O B$ , colocar el seu cateto $O B$ en l'eix x de manera que el vèrtiç $O$ estiga en l'orige del sistema de coordenades. El sistema de coordenades també conté la paràbola $y = 2 x^{2}$ . El círcul unitari en radi 1 al voltant de l'orige es creua en l'atre cateto de l'àngul $O A$ i, des d'este punt d'intersecció, es deu dibuixar la perpendicular sobre l'eix i. El paralel a l'eix i que passa pel punt mig d'eixa perpendicular i la tangente en el círcul unitari en $(0, 1)$ es intersecan en $C$ . El círcul al voltant de $C$ en ràdio $O C$ es creua en la paràbola en $P_{1}$ . La perpendicular de $P_{1}$ a l'eix x interseca el círcul unitari en $P_{2}$ , i $∠ P_{2} O B$ és exactament un terç de $∠ A O B$ .

L'exactitut d'esta construcció es pot vore mostrant que la coordenada x de $P_{1}$ és $\cos (α)$ . Resoldre el sistema d'equacions donat pel círcul al voltant de $C$ i la paràbola conduïx a l'equació cúbica $4 x^{3} - 3 x - \cos (3 α) = 0$ . La fòrmula de l'àngul triple $\cos (3 α) = 4 \cos (α)^{3} - 3 \cos (α)$ permet demostrar que $\cos (α)$ és de fet una solució d'eixa equació cúbica.

Esta trisecció es remonta a René Descartes, qui la va descriure en el seu llibre La Géométrie (1637).^[8]

Vore també

Notes

↑ Note's que no qualsevol pla paralel a una generatriz del con produirà una paràbola. Per a que ho faça, el pla de tall deurà ademés ser perpendicular al pla definit per l'eix de rotació i la generatriz de la qual el pla de cort és paralel. La condició indispensable per a que l'intersecció forme una paràbola és que l'àngul entre el pla de tall i l'eix de rotació o directriu del con siga igual al que presenta qualsevol generatriz en dit eix.
↑ Si l'àngul que forma el pla d'intersecció en l'eix de revolució o directriu del con, és major que el comprés entre dit eix i la generatriz, llavors l'intersecció serà una elipse. Serà una hipérbola si dit àngul és menor al citat, i una circumferència si el pla és perpendicular a l'eix.
↑ Note's que, encara que per directriu d'un con es reconeix al seu eix de revolució, en el cas de la paràbola es tracta d'una recta exterior a ella, i perpendicular a la seua eix de simetria.

Referències

↑ Christopher Clapham. Diccionaris Oxford- Complutense. Ciències. ISBN 84-89784-56-6
↑ Rei Pastor- Santaló- Balanzat. Geometria Analítica. Edicions Eudeba
↑ ^3,0 ^3,1 Heath, Sir Thomas (1921). A history of Greek Mathematics vol. 1 (en anglés), Londres, Anglaterra: Oxford University Press.
↑ Ken Schmarge. «Conic Sections in Ancient Greece» (en anglés). Consultat el 2 de juny de 2008 2008.
↑ J. J. O'Connor i I. F. Robertson. «Apollonius of Perga» (en anglés). Consultat el 2 de juny de 2008.
↑ «POLAIRE (RÉCIPROQUE) D'UNIX COURBE». Consultat el 6 de maig de 2019.
↑ Bronshtein et al Manual de matemàtiques, Mir Moscou (1973)
↑ (1941).«The Trisection Problem».National Mathematics Magazine.15(4)
191–202.doi:10.2307/3028133.

Enllaços externs

Commons

Archiu:Commons-logo.svg Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre Paràbola.

Plantilla:Wikisource1911Enc

Animació d'un pla seccionant un con i determinant la curva cònica paràbola.
Apollonius' Derivation of the Parabola at Convergence
Paràbola en MathWorld.
Interactive parabola-drag focus, see axis of symmetry, directrix, standard and vertex forms
Archimedes Triangle and Squaring of Parabola at Cut-the-Knot
Two Tangents to Parabola at Cut-the-Knot
Parabola As Envelope of Straight Lines at Cut-the-Knot
Parabolic Mirror at Cut-the-Knot
Three Parabola Tangents at Cut-the-Knot
Module for the Tangent Parabola
Focal Properties of Parabola at Cut-the-Knot
Parabola As Envelope II at Cut-the-Knot
The similarity of parabola at Dynamic Geometry Sketches
Un método per a dibuixar una paràbola en una corda i tachuelas

Plantilla:Sectrices

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Parábola (matemática)» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[3] Note's que no qualsevol pla paralel a una generatriz del con produirà una paràbola. Per a que ho faça, el pla de tall deurà ademés ser perpendicular al pla definit per l'eix de rotació i la generatriz de la qual el pla de cort és paralel. La condició indispensable per a que l'intersecció forme una paràbola és que l'àngul entre el pla de tall i l'eix de rotació o directriu del con siga igual al que presenta qualsevol generatriz en dit eix.

[4] Si l'àngul que forma el pla d'intersecció en l'eix de revolució o directriu del con, és major que el comprés entre dit eix i la generatriz, llavors l'intersecció serà una elipse. Serà una hipérbola si dit àngul és menor al citat, i una circumferència si el pla és perpendicular a l'eix.

[5] Note's que, encara que per directriu d'un con es reconeix al seu eix de revolució, en el cas de la paràbola es tracta d'una recta exterior a ella, i perpendicular a la seua eix de simetria.

[1] Christopher Clapham. Diccionaris Oxford- Complutense. Ciències. ISBN 84-89784-56-6

[2] Rei Pastor- Santaló- Balanzat. Geometria Analítica. Edicions Eudeba

[Heath-6] 3,0 ^3,1 Heath, Sir Thomas (1921). A history of Greek Mathematics vol. 1 (en anglés), Londres, Anglaterra: Oxford University Press.

[7] Ken Schmarge. «Conic Sections in Ancient Greece» (en anglés). Consultat el 2 de juny de 2008 2008.

[8] J. J. O'Connor i I. F. Robertson. «Apollonius of Perga» (en anglés). Consultat el 2 de juny de 2008.

[9] «POLAIRE (RÉCIPROQUE) D'UNIX COURBE». Consultat el 6 de maig de 2019.

[10] Bronshtein et al Manual de matemàtiques, Mir Moscou (1973)

[11] (1941).«The Trisection Problem».National Mathematics Magazine.15(4)
191–202.doi:10.2307/3028133.

[1]

[2]

[nota 1]

[nota 2]

[nota 3]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]