Completar el quadrat

Animació descrivint el procés de completar el quadrat.

El procediment de completar el quadrat, també cridat completación de quadrats és un recurs d'àlgebra elemental per a convertir l'expressió d'un trinomi de segon grau, des de la seua forma ordinària: $a x^{2} + b x + c$ a una atra equivalent de la forma: $a (x + h)^{2} + k$ .^[1]

Procediment per a completar el quadrat

En general, els procediments per a completar el quadrat consistixen en construir, per mig d'operacions algebraiques, un trinomi quadrat perfecte a partir d'una expressió que no ho és, i després reduir el resultat a un binomi al quadrat més (o menys) una constant.

Quan es té un trinomi quadrat perfecte, este es pot factorizar directament a un binomi al quadrat. Per eixemple, $x^{2} + 10 x + 25$ es pot factorizar com ${(x + 5)}^{2}$ .

Si no es té un trinomi quadrat perfecte, com per eixemple $x^{2} + 10 x + 28$ , este es pot manipular algebráicament per a construir-ho. Note's que el terme independent 28 és igual a 25 + 3, Aixina que el trinomi donat és igual a $x^{2} + 10 x + 25 + 3$ , en lo que tenim un trinomi quadrat perfecte més 3, que es pot reduir com ${(x + 5)}^{2} + 3$ . Açò que acabem de fer és un dels procediments per a completar el quadrat.

Avall es descriuen en detalle operacions algebraiques per a completar el quadrat en qualsevol trinomi quadrat dau.

Trinomi mónico x² + bx + c

Descripció	Procediment Simbòlic	Eixemple
Donat un polinomi de la forma	$P (x) = x^{2} + b x + c$	$x^{2} + 10 x + 28$
Sumant i restant el quadrat del cocient del coeficient de $x$ entre 2.	$a (x + h)^{2} + k$ 0___	$a (x + h)^{2} + k$ 1___
Agrupant térmens, s'obtindrà un trinomi quadrat perfecte. S'agrupen els térmens $a (x + h)^{2} + k$ 2___, $a (x + h)^{2} + k$ 3___, i $a (x + h)^{2} + k$ 4___.	$a (x + h)^{2} + k$ 5___	$a (x + h)^{2} + k$ 6___
Factorizando (reduint) este trinomi a un binomi al quadrat, el qual es va obtindre: (1) extraent la raïl quadrada del primer terme del trinomi ( $a (x + h)^{2} + k$ 7___), que serà el terme esquerre del binomi; (2) extraent la raïl quadrada del tercer terme del trinomi ( $a (x + h)^{2} + k$ 8___), que serà el terme dret del binomi; (3) usant el signe del segon terme del trinomi ( $a (x + h)^{2} + k$ 9___) com el signe que separa els térmens del nou binomi.	$x^{2} + 10 x + 25$ 0___	$x^{2} + 10 x + 25$ 1___

Observació: sobre l'expressió resultant $x^{2} + 10 x + 25$ 2___ pot continuar-se simplificat/reduint. Un método és elevant al quadrat abdós membres, la qual cosa generarà dos resultats, per la presència d'una raïl d'índex parell (en este cas quadrada).

Aixina, $x^{2} + 10 x + 25$ 3___, a on $x^{2} + 10 x + 25$ 4___ i $x^{2} + 10 x + 25$ 5___.

Polinomi de la forma ax² + bx + c

Descripció	Procediment Simbòlic	Eixemple
Donat un polinomi de la forma	$x^{2} + 10 x + 25$ 6___	$x^{2} + 10 x + 25$ 7___
Traent a a com a factor comú, dels térmens en x	$x^{2} + 10 x + 25$ 8___	$x^{2} + 10 x + 25$ 9___
Sumant i restant el quadrat del cocient, del coeficient de x entre 2	${(x + 5)}^{2}$ 0___	${(x + 5)}^{2}$ 1___
Acomodant térmens, s'obtindrà un trinomi quadrat perfecte	${(x + 5)}^{2}$ 2___	${(x + 5)}^{2}$ 3___
Multipliquem pel factor comú a, al terme que acabem de restar, ${(x + 5)}^{2}$ 4___, per a traure-ho del paréntesis	${(x + 5)}^{2}$ 5___	${(x + 5)}^{2}$ 6___
Quedant dins del paréntesis el trinomi quadrat perfecte	${(x + 5)}^{2}$ 7___	${(x + 5)}^{2}$ 8___
Reduint este trinomi a un binomi al quadrat (en els térmens x i el coeficient de x dividit entre 2).	${(x + 5)}^{2}$ 9___	$x^{2} + 10 x + 28$ 0___
Simplificant	$x^{2} + 10 x + 28$ 1___	$x^{2} + 10 x + 28$ 2___

Aixina, $x^{2} + 10 x + 28$ 3___

a on $x^{2} + 10 x + 28$ 4___ i $x^{2} + 10 x + 28$ 5___

Significat geomètric de h i k

Archiu:Vértice de la parábola 6.png

En la funció

x^{2} + 10 x + 28

6___
h = -2 i k = 1, aixina, el vèrtiç de la paràbola està en les coordenades (-h, k) = (2, 1)

En la funció quadràtica escrita com $x^{2} + 10 x + 28$ 7___, els valores -h i k són respectivament les coordenadas x i i del vèrtiç de la paràbola que representa graficament a la funció. Si el valor de a és positiu, la paràbola obri cap a dalt i k és el valor mínim de la paràbola, i si a és negatiu, la paràbola obri cap a avall i k és el valor màxim de la paràbola.

En general, h i k representen desplaçaments en el pla cartesiano de la paràbola representada per la funció $x^{2} + 10 x + 28$ 8___ el vèrtiç de la qual és el punt (0,0).^[2] El valor de h determina un desplaçament en direcció horisontal tantes unitats ho indique el seu valor i en sentit opost al seu signe, és dir, si h és positiu el desplaçament es fa cap a l'esquerra, mentres que si és negatiu el desplaçament es fa cap a la dreta. Per eixemple, si h és igual a -3, la paràbola es desplaçarà 3 unitats cap a la dreta, i si h és igual a 5 la paràbola es desplaçarà 5 unitats cap a l'esquerra. Per un atre costat, el valor de k determina un desplaçament en direcció vertical tantes unitats ho indique el seu valor, cap a dalt si és positiu i cap a avall si és negatiu. Per eixemple, si k és igual a -1, la paràbola es desplaçarà una unitat cap a avall, i si k és igual a 1 la paràbola es desplaçarà una unitat cap a dalt.

En l'eixemple de la gràfica, h = -2, i k = 1. Aixina, la paràbola $x^{2} + 10 x + 28$ 9___ es desplaça 2 unitats a la dreta i una cap a dalt, fent que el seu vèrtiç siga el punt (2,1).

Perspectiva geomètrica

Archiu:Completing the square 307.PNG

Considere completar el quadrat per a la següent equació:

$x^{2} + 10 x + 25 + 3$ 0___

ya que $x^{2} + 10 x + 25 + 3$ 1___ representa l'àrea d'un quadrat en costats de llongitut $x^{2} + 10 x + 25 + 3$ 2___, i $x^{2} + 10 x + 25 + 3$ 3___ representa l'àrea d'un rectàngul en costats $x^{2} + 10 x + 25 + 3$ 4___ i $x^{2} + 10 x + 25 + 3$ 5___, el procés de completar el quadrat es pot vore com una manipulació visual de rectànguls.

Intents simples de combinar $x^{2} + 10 x + 25 + 3$ 6___ i $x^{2} + 10 x + 25 + 3$ 7___ en un quadrat major resulta en un cantó que falta. El terme $x^{2} + 10 x + 25 + 3$ 8___ afegitó a cada costat de l'equació de dalt és precisament l'àrea del cantó que falta, d'ahí que se li cride "completar el quadrat".^[3]

Alguns usos

La tècnica de completar el quadrat reduïx certs problemes de trinomi quadràtic a un de binomi de segon grau, que involucra el quadrat de la suma $x^{2} + 10 x + 25 + 3$ 9___ més una constant.

Completar el quadrat s'utilisa en:

Resoldre equacions quadràtiques, a on l'equació completa

{(x + 5)}^{2} + 3

0___ es reduïx a l'equació incompleta

{(x + 5)}^{2} + 3

1___, més senzilla de resoldre.

Graficar funcions quadràtiques
En càlcul, evaluar integrals, com les integrals gausianas en un terme llineal en el exponent
Trobar transformacions de Laplace^[4]
En geometria analítica, transformar/convertir equació de forma general a ordinària de curves/seccions còniques
En problemes de màxim i mínim per procediments algebraics, com a aplicació de

(left) ${(x + 5)}^{2} + 3$ 2___

.

En matemàtiques, completar el quadrat es considera un mecanisme algebraic bàsic, i en freqüència s'aplica sense comentaris en qualsevol càlcul involucrant polinomis quadràtics. La completaació de quadrats s'utilisa per a deduir la fòrmula quadràtica.

Eixemple

Un eixemple simple^[5] és:

{(x + 5)}^{2} + 3

3___

Aplicació en càlcul integral. Ara, considere's el problema de trobar esta antiderivada:

{(x + 5)}^{2} + 3

4___

El denominador és

{(x + 5)}^{2} + 3

5___

Sumant ${(x + 5)}^{2} + 3$ 6___ a ${(x + 5)}^{2} + 3$ 7___ dona un quadrat perfecte ${(x + 5)}^{2} + 3$ 8___. De lo que resulta

{(x + 5)}^{2} + 3

9___

Siga la integral

P (x) = x^{2} + b x + c

0___

Vore també

Referències

↑ Kalnin, R.A. : «Àlgebra i funcions elementals», pág. 110, § 57. CDU 512.0 (075.3 = 60)
↑ «CK12-Foundation». flexbooks.ck12.org. Consultat el 2022-09-12.
↑ https://web.archive.org/web/20090201154917/http://1073741824.org/index.cgi/CompletingTheSquare
↑ «Equacions diferencials elementals/ en aplicacions», Edwards/ Penney, pp. 307-308. ISBN 0-13-254129-7
↑ És usable en cas molt particular. Cf. «Càlcul diferencial i integral tom I», N. Piskunov, 1983, pág.390, § 7.

Enllaços externs

Completant el quadrat (Video en Youtube)

Plantilla:Control d'autoritats

Este artícul conté una traducció derivada de «Completar el cuadrado» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Kalnin, R.A. : «Àlgebra i funcions elementals», pág. 110, § 57. CDU 512.0 (075.3 = 60)

[2] «CK12-Foundation». flexbooks.ck12.org. Consultat el 2022-09-12.

[3] ttps://web.archive.org/web/20090201154917/http://1073741824.org/index.cgi/CompletingTheSquare

[4] «Equacions diferencials elementals/ en aplicacions», Edwards/ Penney, pp. 307-308. ISBN 0-13-254129-7

[5] És usable en cas molt particular. Cf. «Càlcul diferencial i integral tom I», N. Piskunov, 1983, pág.390, § 7.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]