Completar el quadrat

El procediment de completar el quadrat, també cridat completación de quadrats és un recurs d'àlgebra elemental per a convertir l'expressió d'un trinomi de segon grau, des de la seua forma ordinària: $a x^{2} + b x + c$ a una atra equivalent de la forma: $a (x + h)^{2} + k$ .^[1]

Procediment per a completar el quadrat

En general, els procediments per a completar el quadrat consistixen en construir, per mig d'operacions algebraiques, un trinomi quadrat perfecte a partir d'una expressió que no ho és, i després reduir el resultat a un binomi al quadrat més (o menys) una constant.

Quan es té un trinomi quadrat perfecte, este es pot factorizar directament a un binomi al quadrat. Per eixemple, $x^{2} + 10 x + 25$ es pot factorizar com ${(x + 5)}^{2}$ .

Si no es té un trinomi quadrat perfecte, com per eixemple $x^{2} + 10 x + 28$ , este es pot manipular algebráicament per a construir-ho. Note's que el terme independent 28 és igual a 25 + 3, Aixina que el trinomi donat és igual a $x^{2} + 10 x + 25 + 3$ , en lo que tenim un trinomi quadrat perfecte més 3, que es pot reduir com ${(x + 5)}^{2} + 3$ . Açò que acabem de fer és un dels procediments per a completar el quadrat.

Avall es descriuen en detalle operacions algebraiques per a completar el quadrat en qualsevol trinomi quadrat dau.

Trinomi mónico x² + bx + c

Descripció	Procediment Simbòlic	Eixemple
Donat un polinomi de la forma	$P (x) = x^{2} + b x + c$	$x^{2} + 10 x + 28$
Sumant i restant el quadrat del cocient del coeficient de $x$ entre 2.	$a (x + h)^{2} + k$ 0___	$a (x + h)^{2} + k$ 1___
Agrupant térmens, s'obtindrà un trinomi quadrat perfecte. S'agrupen els térmens $a (x + h)^{2} + k$ 2___, $a (x + h)^{2} + k$ 3___, i $a (x + h)^{2} + k$ 4___.	$a (x + h)^{2} + k$ 5___	$a (x + h)^{2} + k$ 6___
Factorizando (reduint) este trinomi a un binomi al quadrat, el qual es va obtindre: (1) extraent la raïl quadrada del primer terme del trinomi ( $a (x + h)^{2} + k$ 7___), que serà el terme esquerre del binomi; (2) extraent la raïl quadrada del tercer terme del trinomi ( $a (x + h)^{2} + k$ 8___), que serà el terme dret del binomi; (3) usant el signe del segon terme del trinomi ( $a (x + h)^{2} + k$ 9___) com el signe que separa els térmens del nou binomi.	$x^{2} + 10 x + 25$ 0___	$x^{2} + 10 x + 25$ 1___

Observació: sobre l'expressió resultant $x^{2} + 10 x + 25$ 2___ pot continuar-se simplificat/reduint. Un método és elevant al quadrat abdós membres, lo que generarà dos resultats, per la presència d'una raïl d'índex parell (en este cas quadrada).

Aixina, $x^{2} + 10 x + 25$ 3___, a on $x^{2} + 10 x + 25$ 4___ i $x^{2} + 10 x + 25$ 5___.

Polinomi de la forma ax² + bx + c

Descripció	Procediment Simbòlic	Eixemple
Donat un polinomi de la forma	$x^{2} + 10 x + 25$ 6___	$x^{2} + 10 x + 25$ 7___
Traent a a com a factor comú, dels térmens en x	$x^{2} + 10 x + 25$ 8___	$x^{2} + 10 x + 25$ 9___
Sumant i restant el quadrat del cocient, del coeficient de x entre 2	${(x + 5)}^{2}$ 0___	${(x + 5)}^{2}$ 1___
Acomodant térmens, s'obtindrà un trinomi quadrat perfecte	${(x + 5)}^{2}$ 2___	${(x + 5)}^{2}$ 3___
Multipliquem pel factor comú a, al terme que acabem de restar, ${(x + 5)}^{2}$ 4___, per a traure-ho del paréntesis	${(x + 5)}^{2}$ 5___	${(x + 5)}^{2}$ 6___
Quedant dins del paréntesis el trinomi quadrat perfecte	${(x + 5)}^{2}$ 7___	${(x + 5)}^{2}$ 8___
Reduint este trinomi a un binomi al quadrat (en els térmens x i el coeficient de x dividit entre 2).	${(x + 5)}^{2}$ 9___	$x^{2} + 10 x + 28$ 0___
Simplificant	$x^{2} + 10 x + 28$ 1___	$x^{2} + 10 x + 28$ 2___

Aixina, $x^{2} + 10 x + 28$ 3___

a on $x^{2} + 10 x + 28$ 4___ i $x^{2} + 10 x + 28$ 5___

Significat geomètric de h i k

Erro al crear miniatura:

En la funció

x^{2} + 10 x + 28

6___
h = -2 i k = 1, aixina, el vèrtiç de la paràbola està en les coordenades (-h, k) = (2, 1)

En la funció quadràtica escrita com $x^{2} + 10 x + 28$ 7___, els valores -h i k són respectivament les coordenades x i i del vèrtiç de la paràbola que representa graficament a la funció. Si el valor de a és positiu, la paràbola obri cap a dalt i k és el valor mínim de la paràbola, i si a és negatiu, la paràbola obri cap a avall i k és el valor màxim de la paràbola.

En general, h i k representen desplaçaments en el pla cartesiano de la paràbola representada per la funció $x^{2} + 10 x + 28$ 8___ el vèrtiç de la qual és el punt (0,0).^[2] El valor de h determina un desplaçament en direcció horisontal tantes unitats ho indique el seu valor i en sentit opost al seu signe, és dir, si h és positiu el desplaçament es fa cap a l'esquerra, mentres que si és negatiu el desplaçament es fa cap a la dreta. Per eixemple, si h és igual a -3, la paràbola es desplaçarà 3 unitats cap a la dreta, i si h és igual a 5 la paràbola es desplaçarà 5 unitats cap a l'esquerra. Per un atre costat, el valor de k determina un desplaçament en direcció vertical tantes unitats ho indique el seu valor, cap a dalt si és positiu i cap a avall si és negatiu. Per eixemple, si k és igual a -1, la paràbola es desplaçarà una unitat cap a avall, i si k és igual a 1 la paràbola es desplaçarà una unitat cap a dalt.

En l'eixemple de la gràfica, h = -2, i k = 1. Aixina, la paràbola $x^{2} + 10 x + 28$ 9___ es desplaça 2 unitats a la dreta i una cap a dalt, fent que el seu vèrtiç siga el punt (2,1).

Perspectiva geomètrica

Erro al crear miniatura:

Considere completar el quadrat per a la següent equació:

$x^{2} + 10 x + 25 + 3$ 0___

ya que $x^{2} + 10 x + 25 + 3$ 1___ representa l'àrea d'un quadrat en costats de llongitut $x^{2} + 10 x + 25 + 3$ 2___, i $x^{2} + 10 x + 25 + 3$ 3___ representa l'àrea d'un rectàngul en costats $x^{2} + 10 x + 25 + 3$ 4___ i $x^{2} + 10 x + 25 + 3$ 5___, el procés de completar el quadrat es pot vore com una manipulació visual de rectànguls.

Intents simples de combinar $x^{2} + 10 x + 25 + 3$ 6___ i $x^{2} + 10 x + 25 + 3$ 7___ en un quadrat major resulta en un cantó que falta. El terme $x^{2} + 10 x + 25 + 3$ 8___ afegitó a cada costat de l'equació de dalt és precisament l'àrea del cantó que falta, d'ahí que se li cride "completar el quadrat".^[3]

Alguns usos

La tècnica de completar el quadrat reduïx certs problemes de trinomi quadràtic a un de binomi de segon grau, que involucra el quadrat de la suma $x^{2} + 10 x + 25 + 3$ 9___ més una constant.

Completar el quadrat s'utilisa en:

Resoldre equacions quadràtiques, a on l'equació completa

{(x + 5)}^{2} + 3

0___ es reduïx a l'equació incompleta

{(x + 5)}^{2} + 3

1___, més senzilla de resoldre.

Graficar funcions quadràtiques
En càlcul, evaluar integrals, com les integrals gausianas en un terme llineal en l'exponent
Trobar transformacions de Laplace^[4]
En geometria analítica, transformar/convertir equació de forma general a ordinària de curves/seccions còniques
En problemes de màxim i mínim per procediments algebraics, com a aplicació de

(left) ${(x + 5)}^{2} + 3$ 2___

.

En matemàtiques, completar el quadrat es considera un mecanisme algebraic bàsic, i en freqüència s'aplica sense comentaris en qualsevol càlcul involucrant polinomis quadràtics. La completaació de quadrats s'utilisa per a deduir la fòrmula quadràtica.

Eixemple

Un eixemple simple^[5] és:

{(x + 5)}^{2} + 3

3___

Aplicació en càlcul integral. Ara, considere's el problema de trobar esta antiderivada:

{(x + 5)}^{2} + 3

4___

El denominador és

{(x + 5)}^{2} + 3

5___

Sumant ${(x + 5)}^{2} + 3$ 6___ a ${(x + 5)}^{2} + 3$ 7___ dona un quadrat perfecte ${(x + 5)}^{2} + 3$ 8___. De lo que resulta

{(x + 5)}^{2} + 3

9___

Siga l'integral

P (x) = x^{2} + b x + c

0___

Vore també

Referències

↑ Kalnin, R.A. : «Àlgebra i funcions elementals», pág. 110, § 57. CDU 512.0 (075.3 = 60)
↑ «CK12-Foundation». flexbooks.ck12.org. Consultat el 2022-09-12.
↑ https://web.archive.org/web/20090201154917/http://1073741824.org/index.cgi/CompletingTheSquare
↑ «Equacions diferencials elementals/ en aplicacions», Edwards/ Penney, pp. 307-308. ISBN 0-13-254129-7
↑ És usable en cas molt particular. Cf. «Càlcul diferencial i integral tom I», N. Piskunov, 1983, pág.390, § 7.

Enllaços externs

Completant el quadrat (Video en Youtube)

Este artícul conté una traducció derivada de «Completar el cuadrado» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Kalnin, R.A. : «Àlgebra i funcions elementals», pág. 110, § 57. CDU 512.0 (075.3 = 60)

[2] «CK12-Foundation». flexbooks.ck12.org. Consultat el 2022-09-12.

[3] ttps://web.archive.org/web/20090201154917/http://1073741824.org/index.cgi/CompletingTheSquare

[4] «Equacions diferencials elementals/ en aplicacions», Edwards/ Penney, pp. 307-308. ISBN 0-13-254129-7

[5] És usable en cas molt particular. Cf. «Càlcul diferencial i integral tom I», N. Piskunov, 1983, pág.390, § 7.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]