Secció cònica

En matemàtica, i concretament en geometria, es denomina secció cònica (o simplement cònica) a totes les curves resultants de les diferents interseccions entre un con recte i un pla; si dit pla no passa pel vèrtiç, s'obtenen les còniques pròpiament dites elipse, paràbola, hipérbola i circumferència.

Les seccions còniques en el pla euclídeo tenen vàries propietats distintives, moltes de les quals poden utilisar-se com a definicions alternatives. Una d'estes propietats definix una cònica no circular com el conjunt d'aquells punts les distàncies dels quals a algun punt en particular, cridat foc, i a alguna llínea en particular, cridada directriu, estan en una proporció fixa, cridada excentricitat'. El tipo de cònica ve determinat pel valor de l'excentricitat. En geometria analítica, una cònica pot definir-se com una curva algebraica plana de grau 2; és dir, com el conjunt de punts les coordenades dels quals satisfan una equació quadràtica en dos variables que pot escriure's de la forma $A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0.$ Les propietats geomètriques de la cònica poden deduir-se a partir de la seua equació.

En el pla euclídeo, els tres tipos de seccions còniques semblen prou diferents, pero compartixen moltes propietats. En estendre el pla euclídeo per a incloure una recta en l'infinit, obtenint un pla proyectivo, la diferència aparent desapareix: les branques d'una hipérbola es troben en dos punts en l'infinit, #lo que la convertix en una única curva tancada; i els dos extrems d'una paràbola es troben per a convertir-la en una curva tancada tangente a la recta en l'infinit. Una major extensió, per mig de l'ampliació de les coordenades real per a admetre coordenades complex, proporciona els mijos para vejau esta unificació algebraicamente.

Etimologia

La primera definició coneguda de secció cònica sorgix en la Antiga Grècia, prop de l'any 340 a. C., (Menecmo) a on varen ser definides com a seccions «d'un con circular recte». Els noms d'hipérbola, paràbola i elipse es deuen a Apolonio de Perge.

Actualment, les seccions còniques poden definir-se de vàries maneres; estes definicions provenen de les diverses branques de la matemàtica com la geometria analítica, la geometria proyectiva, la geometria mètrica,..

Geometria euclidiana

Tipos de seccions còniques:
1: Círcul       2: Elipse
3: Paràbola  4: Hipérbola

Les seccions còniques s'han estudiat durant mils d'anys i han proporcionat una rica font de resultats interessants i bells en geometria euclidiana.

Definició

Una cònica és la curva obtinguda com a intersecció d'un pla, cridat pla de tall, en la superfície d'un con recte doble (un con en dos nucs). Normalment s'assumix que el con és un con circular recte per a facilitar la descripció, pero açò no és necessari; qualsevol con doble en una secció travessera circular serà suficient. Els plans que passen pel vèrtiç del con ho intersecan en un punt, una recta o un parell de rectes. Es diuen còniques degeneradas i alguns autors no les consideren còniques en absolut. A menos que s'indique lo contrari, "cònica" en este artícul es referirà a una cònica no degenerada.

Hi ha tres tipos de còniques: la elipse, la paràbola i la hipérbola. El círcul és un tipo especial de elipse, encara que històricament Apolonio ho considerava un quart tipo. Les elipses sorgixen quan l'intersecció del con i el pla és una curva tancada. La circumferència s'obté quan el pla de cort és paralel al pla de la circumferència generatriz del con; per a un con recte, açò significa que el pla de cort és perpendicular a l'eix. Si el pla de cort és paralel a exactament una recta generatriz del con, llavors la cònica és no acotada i es denomina paràbola. En el cas restant, la figura és una hipérbola: el pla interseca abdós mitats del con, produint dos curves separades no acotades.

Excentricitat, foc i directriu

Ellipse (i = 1/2), paràbola (i = 1) i hipérbola Plantilla:Nobreak en foc fix F i directriu Plantilla:Mvar (i = ∞). El círcul roig (i = 0) s'inclou com a referència; no té directriu en el pla

.

Alternativament, es pot definir una secció cònica purament en térmens de geometria plana: és el lloc geomètric de tots els punts Plantilla:Mvar la distància de la qual a un punt fix Plantilla:Mvar (cridat foc) és un múltiple constant (cridat excentricitat Plantilla:Mvar) de la distància de Plantilla:Mvar a una llínea fixa Plantilla:Mvar (cridada directriu). Per a Plantilla:Math obtenim una elipse, per a Plantilla:Math una paràbola, i per a Plantilla:Math una hipérbola.

Un círcul és un cas llímit i no està definit per un foc i una directriu en el pla euclídeo. L'excentricitat d'una circumferència es definix com zero i el seu foc és el centre de la circumferència, pero la seua directriu només pot prendre's com la recta a l'infinit en el pla proyectivo.

L'excentricitat d'una elipse pot vore's com una mida de quànt es desvia la elipse de ser circular.

Si l'àngul entre la superfície del con i el seu eix és $\beta$ i l'àngul entre el pla de tall i l'eix és $\alpha ,$ l'excentricitat és $\frac{\cos \alpha }{\cos \beta }.$.

Una prova de que les curves anteriors definides per la propietat foc-directriu són les mateixes que les obtingudes per plans que intersecan un con es facilita per mig de l'us d'esferes de Dandelin.

Alternativament, una elipse pot definir-se en térmens de dos focs, com el lloc geomètric dels punts per als que la suma de les distàncies als dos focs és Plantilla:Math}; mentres que una hipérbola és el lloc geomètric per al que la diferència de distàncies és Plantilla:Math. (Ací Plantilla:Math és el semieje major definit a continuació). Una paràbola també pot definir-se en térmens del seu foc i la seua recta latus (paralela a la directriu i que passa pel foc): és el lloc geomètric dels punts la distància dels quals al foc més o menys la distància a la recta és igual a Plantilla:Math; més si el punt està entre la directriu i la recta latus, menys en cas contrari.

Tipos

En funció de la relació existent entre l'àngul de conicidad (α) i l'inclinament del pla respecte de l'eix del con (β), poden obtindre's diferents seccions còniques, a saber:

• β < α : Hipérbola (taronja)
• β = α : Paràbola (blava)
• β > α : Elipse (vert)
• β = 90°: Circumferència (un cas particular de elipse) (roig)
• β = 180° : Triangular

Si el pla passa pel vèrtiç del con, es pot comprovar que:

• Quan β > α l'intersecció és un únic punt (el vèrtiç).
• Quan β = α l'intersecció és una recta generatriz del con (el pla serà tangente al con).
• Quan β < α l'intersecció vindrà donada per dos rectes que es tallen en el vèrtiç.

• Quan β = 90°, l'àngul format per les rectes anirà aumentant a mida β disminuïx, quan el pla continga a l'eix del con (β = 0).

Equació general de segon grau

Definició

Es denomina equació general de segon grau o equació quadràtica general en dos variables $x$ i $y$ a una equació com

$a{x}^2+2hxy+b{y}^2+2gx+2fy+c=0(1)$

a on a, h, b, g, f, c són constants reals, i a lo manco un dels valors a, b, h és no nul.

La elipse, paràbola, hipérbola són curves de segon grau per satisfer equacions de la forma (1), pero hi ha curves de segon grau que no són seccions còniques, per al cas: donen un punt, una recta, dos rectes, cap punt.

Casos de l'equació general

Per a l'equació (1), en funció dels valors dels paràmetros, es tindrà:

h² > ab: hipérbola

h² = ab: paràbola

h² < ab: elipse

a = b i h = 0: circumferència

a:C i Z:0: triangular

Per mig d'un software es poden representar les gràfiques de l'equació general de les còniques. A continuació es presenten els tres casos: paràbola, elipse i hipérbola.

Característiques

La elipse és el lloc geomètric dels punts del pla tals que la suma de les distàncies a dos punts fixos cridats focs és una constant positiva.

Ademés dels focs F i F′ en coordenades (c;0) i (-c;0) si es troben sobre l'eix de les abcisas respectivament i (0;c) i (0;-c) si estos focs es troben sobre l'eix de les coordenades (eixos de les i) respectivament. En una elipse es destaquen els següents elements:

• Centre, O
• Eix major, AA′ (conegut també com
• Eix menor, BB′ (cridat eix conjugat)
• Distància focal, OF

La elipse posseïx l'equació ordinària (en centre en l'orige de coordenades): $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, si per una atra part el centre de la elipse té coordenades $(h,k)$ té la següent expressió algebraica: $\frac{(x-h{)}^2}{a^2}+\frac{(y-k{)}^2}{b^2}=1$

La hipérbola és el lloc geomètric dels punts del pla la diferència del qual de distàncies a dos punts fixos, cridats focs, és constant i menor que la distància entre els focs.

Té dos asíntotes (rectes les distàncies de les quals a la curva tendixen a zero quan la curva s'allunta cap a l'infinit). Les hipérboles les asíntotes de les quals són perpendiculars es diuen hipérboles equiláteras.

Ademés dels focs i de les asíntotes, en l'hipérbola es destaquen els següents elements:

• Centre, O
• Vèrtiços, A i A
• Distància entre els vèrtiços
• Distancia entre els focs

L'equació d'una hipérbola horisontal en centre $(h,k)$, és: $\frac{(x-h{)}^2}{a^2}-\frac{(y-k{)}^2}{b^2}=1$.

A la seua volta, la d'una hipérbola vertical és: $\frac{(y-k{)}^2}{a^2}-\frac{(x-h{)}^2}{b^2}=1$.

La paràbola és el lloc geomètric dels punts del pla que equidistan d'un punt fix cridat foc, i d'una recta cridada directriu.

Ademés del foc (F) i de la directriu d'una paràbola, es destaquen els següents elements:

• Eix, i
• Vèrtiç, V
• Distància de F a d = p

Una paràbola, el vèrtiç de la qual està en l'orige i el seu eix coincidix en el d'ordenadas, té la següent equació: $y=a{x}^2$, mentres que l'equació general d'una paràbola centrada en $(h,k)$ sobre l'eix d'ordenades és $(y-k)=2p(x-h{)}^2$.

Aplicacions

Les curves còniques són importants en astronomia: dos cossos massius que interactuen segons la llei de gravitació universal, les seues trayectòries descriuen seccions còniques si el seu centre de massa es considera en repòs. Si estan relativament pròximes descriuran elipses, si s'allunten massa descriuran hipérboles o paràboles.

També són importants en aerodinàmica i en la seua aplicació industrial, ya que permeten ser repetides per mijos mecànics en gran exactitut, conseguint superfícies, formes i curves perfectes.

Història

Menecmo i primers treballs

Es creu que la primera definició d'una secció cònica va ser donada per Menecmo (fallit en l'any 320 a. C.) com a part de la seua solució al problema de Delian (Duplicació de la gaveta).Plantilla:Efn El seu treball no va sobreviure, ni tan sols els noms que va utilisar per a estes curves, i solament es coneix a través de relats secundaris. La definició utilisada en aquella época diferix de la que s'utilisa comunament en l'actualitat. Els cons es construïen girant un triàngul rectàngul al voltant d'un dels seus catetos, de modo que l'hipotenusa genera la superfície del con (dita llínea es denomina generatriz). Es determinaven tres tipos de cons pels seus ànguls de vèrtiç (medits pel doble de l'àngul format per l'hipotenusa i el cateto sobre el que es girava el triàngul rectàngul). La secció cònica es va determinar llavors per mig de l'intersecció d'un d'estos cons en un pla traçat perpendicularmente a una generatriz. El tipo de cònica ve determinat pel tipo de con, és dir, per l'àngul que es forma en el vèrtiç del con: Si l'àngul és agut, la cònica és una elipse; si l'àngul és recte, la cònica és una paràbola; i si l'àngul és obtús, la cònica és una hipérbola (pero solament una branca de la curva).

Es diu que Euclides (cap a l'any 300 a. C.) va escriure quatre llibres sobre còniques, pero també es varen perdre[28] Se sap que Arquímedes (fallit cap a l'any 212 a. C.) va estudiar les còniques, havent determinat l'àrea llimitada per una paràbola i una corda en Quadratura de la Paràbola. El seu principal interés se centrava en la medició d'àrees i volums de figures relacionades en les còniques i part d'este treball sobreviu en el seu llibre sobre els sòlits de revolució de les còniques, Sobre Conoides i Esferoides

Apolonio de Perga

El major progrés en l'estudi de les còniques per part dels antics grecs es deu a Apolonio de Perga (fallit cap a l'any 190 a. C.), que els seus huit volums Secciones còniques o Còniques varen resumir i varen ampliar en gran medida els coneiximents existents. L'estudi de Apolonio de les propietats d'estes curves va permetre demostrar que qualsevol pla que tall a un doble con fix (dos nucs), independentment del seu àngul, produirà una cònica segons la definició anterior, #lo que va conduir a la definició comunament utilisada en l'actualitat. Els círculs, que no es poden construir en el método anterior, també es poden obtindre d'esta manera. Açò pot explicar per qué Apolonio considerava els círculs com un quart tipo de secció cònica, una distinció que ya no es fa. Apolonio va utilisar els noms de «elipse», «paràbola» i «hipérbola» per a estes curves, prenent prestada la terminologia dels treballs pitagórico anteriors sobre àrees.

S'atribuïx a Pape d'Aleixandria (fallit cap a l'any 350 d. C.) l'haver expost l'importància del concepte de foc d'una cònica, i l'haver detallat el concepte relacionat d'una directriu, incloent el cas de la paràbola (que falta en les obres conegudes de Apolonio).

Abū Sahl al-Qūhī

El matemàtic islàmic Abū Sahl al-Qūhī va descriure per primera volta en l'any 1000 un instrument per a dibuixar seccions còniques.Plantilla:R/superscript

Omar Jayam

L'obra de Apolonio va ser traduïda a l'àrap, i gran part del seu treball solament sobreviu a través de la versió àrap. Els perses varen trobar aplicacions de la teoria, sobretot el matemàtic i poeta persa Omar Jayam, que va trobar un método geomètric per a resoldre equacions cúbiques utilisant seccions còniques.

Europa

Johannes Kepler va ampliar la teoria de les còniques per mig del «principi de continuïtat», precursor del concepte de llímit. Kepler va utilisar per primera volta el terme «focs» en 1604.

Girard Desargues i Blaise Pascal varen desenrollar una teoria de les còniques utilisant una forma primerenca de geometria proyectiva, #lo que va contribuir a impulsar l'estudi d'este nou camp. En particular, Pascal va descobrir una teorema coneguda com el hexagrammum mysticum del que es poden deduir moltes atres propietats de les còniques.

René Descartes i Pierre Fermat varen aplicar el seu recent descoberta geometria analítica a l'estudi de les còniques. Açò va tindre l'efecte de reduir els problemes geomètrics de les còniques a problemes d'àlgebra. No obstant, va anar John Wallis en el seu tractat de 1655 Tractatus de sectionibus conicis qui va definir per primera volta les seccions còniques com a instàncies d'equacions de segon grau. Escrit en anterioritat, pero publicat més vesprada, Elementa Curvarum Linearum de Jan de Witt comença en la construcció cinemàtica de Kepler de les còniques i després desenrolla les equacions algebraiques. Esta obra, que utilisa la metodologia de Fermat i la notació de Descartes, ha segut descrita com el primer llibre de text sobre el tema. De Witt va inventar el vocablo: «directriu».

Vejau també

Cònica generalisada
Secció cònica degenerada

Curves còniques

• Circumferència
• Elipse
• Paràbola
• Hipérbola
• Cuádrica
• Esferes de Dandelin

Aplicacions

• Aerodinàmica
• Astronomia
• Morfologia (disseny)
• Gravitació
• Geometria proyectiva

Bibliografia

• (2007) Geometry of Conics, American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4323-9.
• (2008).«Linear Geometry».Dover.
• (2004).«History of Analytic Geometry».Dover.

• (1999).«Geometry».Cambridge University Press.
• (1964).«Projective Geometry».Blaisdell.
• (1993).«The Real Projective Plane».Springer Science & Business Mija.
• (2003).«Practical Conic Sections: The geometric properties of ellipses, parabolas and hyperbolas».Dover.
• (1963).«A Survey of Geometry (Volume One)».Allyn and Bacon.
• (2016).«The Universe of Conics: From the ancient Greeks to 21st century developments».Springer.
• «Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Plans». (PDF; 891 kB).
• (1998).«A History of Mathematics / An Introduction».Addison Wesley Longman.
• (2005).«Conics».The Mathematical Association of America.
• (1952).«Projective Geometry».Oliver and Boyd.
• (1983).«Fonamental Concepts of Geometry».Dover.
• (1970).«College Calculus with Analytic Geometry».Addison-Wesley.Reading:
• Richter-Gebert, Jürgen (2011). Perspectives on Projective Geometry: A Guided Tour Through Real and Complex Geometry, Springer. ISBN 9783642172854.
• (1988).«Projective Geometry».Springer-Verlag.
• «Calculus and Analytic Geometry».Addison-Wesley.
• (1925).«Analytic Geometry».D.C. Heath and Company.

Enllaços externs

Commons

• Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre seccions còniques.
• Curves còniques en laslaminas.és (14/5/12)
• Còniques en wmatem.eis.raïm.és