Euclides

Euclides (en grec Εὐκλείδης, Eukleidēs, llatí Euclīdēs) va ser un matemàtic i geómetra grec (ca. 325 a. C.-ca. 265 a. C.). Se li coneix com «el pare de la geometria». Va desenrollar el seu treball en Aleixandria (antic Egipte) en temps de Ptolomeo I Sóter (323 – 283 a. C.), i va fundar l'escola de matemàtiques de la ciutat.

La seua obra més famosa va ser una compilació expositiva, sistemàtica i demostrada en tretze llibres dels coneiximents matemàtics existents en la seua época denominada Elements, considerada a sovint com el manual, tractat o llibre de text de més èxit en la història de les matemàtiques. En ells es deduïxen racionalmente les propietats dels objectes geomètrics i dels números naturals a partir de solament un menut conjunt de #axioma. Esta obra, un dels més antics tractats coneguts que presenten de manera sistemàtica i en demostracions un ampli conjunt de teoremes sobre la geometria i la aritmètica teòrica, ha conegut centenars d'edicions en totes les llengües, i els seus temes formen part del fonament de l'ensenyança de les matemàtiques en el nivell de la secundària en numerosos països. Del nom del seu redactor Euclides deriven també el algoritme de Euclides, la geometria euclidiana (i les no euclidianas) i la divisió euclidiana. Atres obres seues versen sobre perspectiva, seccions còniques, geometria esfèrica i teoria de números.

Biografia

La seua vida és poc coneguda. I, encara que va viure en Aleixandria (ciutat situada al nort d'Egipte) durant el regnat de Ptolomeo I; certs autors àraps afirmen que Euclides va nàixer en Tir i va viure en Damasc. El problema és que no es dispon de cap carta ni de cap indicació autobiogràfica (ni tan sols en forma de prefacio a una obra), ni de cap document oficial, ni tampoc d'una gran mísera alusió per part d'algun dels seus contemporàneus. Com resumix l'historiador de matemàtiques Peter Schreiber, «sobre la vida de Euclides, ni un sol fet segur és conegut». I, encara que existixen atres senyes, estos són poc fiables.

Lo que es coneix és que era fill d'un tal Naucrates, i es barallen tres hipòtesis:

1. Euclides va ser un matemàtic històric que va escriure els Elements i atres obres atribuïdes a ell.
2. Euclides va ser el líder d'un equip de matemàtics que treballava en Aleixandria. Tots ells varen contribuir a escriure les obres completes de Euclides, inclús firmant els llibres en el nom de Euclides despuix de la seua mort.
3. Les obres completes de Euclides varen ser escrites per un equip de matemàtics d'Aleixandria que varen prendre el nom Euclides del personage històric Euclides de Mégara, que havia vixcut uns cent anys abans.

És possible que Euclides estudiara en la Acadèmia de Platón i allí deprenguera les bases dels seus coneiximents.

Proclo, l'últim dels grans filòsofs grecs, que va viure al voltant del 450, va escriure importants comentaris sobre el llibre I dels Elements. Dits comentaris constituïxen una valiosa font d'informació sobre l'història de la matemàtica grega. Aixina sabem, per eixemple, que Euclides va reunir aportes d'Eudoxo de Cnido en relació en la teoria de la proporció, i de Teeteto sobre els poliedres regulars.

Precisament l'escrit més antic conegut en relació en la vida de Euclides apareix en un resum sobre història de la geometria escrit en el sigle V de la nostra era pel filòsof neoplatoniano Proclo, comentariste del primer llibre dels Elements. Proclo no oferix ell mateixa cap font per a les seues indicacions. Diu solament: «Havent reunit els seus Elements, [Euclides] té concertats molts [...] i evoca, en irrefutables demostracions, #lo que els seus predecessors havien ensenyat d'una manera relaixada. Este home va viure, per un atre costat, baix Ptolomeo I, ya que Arquímedes [...] menciona a Euclides. Euclides és, puix, més recent que els discípuls de Platón, pero més antic que Arquímedes i Eratóstenes».

Si s'admet la cronologia donada per Proclo, Euclides va viure en el lapsus que media entre Platón i Arquímedes i va ser contemporàneu de Ptolomeo I, aproximadament cap al 300 abans de la nostra era.

Cap document desdiu ni contradiu estes poques frases, pero tampoc les confirma verdaderament. La menció directa de Euclides en les obres de Arquímedes ve d'un passage considerat com a dubtós.

Arquímedes fa referència a alguns resultats dels Elements, i un óstraco, trobat en l'illa Elefantina i datat de el III a. C. tracta de figures estudiades en el llibre XIII dels Elements, com el decágono i el icosaedre, pero sense reproduir exactament els enunciats euclidianos; podrien, puix, provindre de fonts anteriors a Euclides. La data aproximada del 300 abans de nostra era és, aixina i tot, jujada compatible en l'anàlisis del contingut de l'obra euclidiana i és la que adopten els historiadors de les matemàtiques.

Per un atre costat, una alusió del matemàtic del sigle IV de nostra era Pape d'Aleixandria sugerix que alumnes de Euclides haurien ensenyat en Aleixandria. Alguns autors han associat sobre esta base a Euclides en el Museion d'Aleixandria; pero no figura en cap document oficial. El calificatiu a sovint associat a Euclides en l'antiguetat és simplement Stoitxeiotes, "l'autor dels Elements".

Vàries anècdotes circulen a propòsit de Euclides, pero, com apareixen també referides a atres matemàtics, no són considerades com a reals: per eixemple, aquella famosa explicada per Proclo segons la qual Euclides hauria respost a Ptolemeo -qui desijava un camí més fàcil que les dels Elements per a deprendre matemàtiques- que "no hi havia camins reals en geometria"; una variant de la mateixa anècdota també s'atribuïx a Menecmo i a Alejandro el Gran. Igualment, des de l'antiguetat tardana, varen ser afegits varis detalls als relats de la vida de Euclides, sense fonts noves i a sovint de manera contradictòria. Alguns autors fan nàixer a Euclides en Tir, per eixemple; uns atres, en Gela; se li atribuïxen vàries #genealogia i mecenes particulars, aixina com diferents dates de naiximent i de mort per a respectar les regles del gènero o per a favorir algunes interpretacions. Totes estes històries varen ser refutadas. En l'Edat Mija, i també al començament de la Renaixença, el matemàtic Euclides és a sovint confòs en un filòsof contemporàneu de Platón, Euclides de Megara.

Obra

Les mencions a obres atribuïdes a Euclides figuren en varis autors, en particular en la Colecció matemàtica de Pape i en el Comentari als Elements de Euclides per Proclo. Solament ha aplegat als nostres dies una part d'estes obres.

Data, Sobre les divisions, Catóptrica, Fenomens del cel i Òptica. Per fonts àraps, se li atribuïxen a Euclides varis tractats sobre mecànica. Sobre lo pesat i lo llauger conté, en nou definicions i cinc proposicions, les nocions aristotèliques sobre el moviment dels cossos i el concepte de gravetat específica. Sobre l'equilibri tracta la teoria de la palanca, també de forma axiomàtica, en una definició, dos axiomas i quatre proposicions. Un tercer fragment sobre els círculs descrits pels extrems d'una palanca mòvil conté quatre proposicions. Estes tres obres es complementen de tal manera l'unixques en les atres que s'ha sugerit que són remanentes d'un únic tractat de Mecànica escrit per Euclides.

Els Elements

La seua obra Elements és una de les produccions científiques més conegudes del món i era una recopilació del coneiximent impartit en l'àmbit acadèmic de llavors. Els Elements no eren, com es pensa a voltes, un compendio de tots els coneiximents geomètrics, sino més be un text introductori que cobria tota la matemàtica elemental, és dir la aritmètica, la geometria sintètica i el àlgebra.

Els Elements estan dividits en tretze llibres o capítuls, dels quals la primera mija dotzena són sobre geometria plana elemental, els tres següents sobre teoria de números, el llibre X Sobre els incommensurables (açò és, sobre els número irracional, provablement una refundición de Teéteto), i els tres últims principalment sobre geometria de sòlits.

En els llibres dedicats a geometria, partint únicament de cinc postulats, es presenta de manera formal l'estudi de les propietats de llínees i plans, círculs i esferes, triànguls i cons, etc.; és dir, de les formes regulars. Provablement cap dels resultats dels Elements haja segut demostrat per primera volta per Euclides, pero l'organisació del material i la seua exposició sense dubte alguna es deuen a ell. De fet, hi ha molta evidència de que Euclides usara llibres de text anteriors quan escrivia els Elements, ya que presenta un gran número de definicions que no són usades, tals com la d'un oblongo, un rombo i un romboide. Els teoremas de Euclides són els que generalment es deprenen en l'escola moderna. Per citar alguns dels més coneguts:

• La suma dels ànguls interiors de qualsevol triàngul és 180°.
• En un triàngul rectàngul, el quadrat de la hipotenusa és igual a la suma dels quadrats dels catetos, que és el famós teorema de Pitágoras.

En els llibres VII, VIII i IX dels Elements s'estudia la teoria de la divisibilidad. Considera la conexió entre els número perfecto i els primers de Mersenne (coneguda com el teorema de Euclides-Euler), la infinitud dels número primo (Teorema de Euclides), el lema de Euclides sobre la factorización (que conduïx al teorema fonamental de l'aritmètica sobre l'unicitat de les factorización dels cosins) i el algoritme de Euclides per a trobar el màxim comú divisor de dos números.

La geometria de Euclides, ademés de ser un poderós instrument de raonament deductivo, ha segut extremadament útil en molts camps del coneiximent; per eixemple, en la física, la astronomia, la química i diverses ingenierias. Des de després, és molt útil en les matemàticas. Inspirada per l'harmonia de la presentació de Euclides, en el II es va formular la teoria ptolemaica del univers, segons la qual la Terra és el centre de l'univers, i els planetes, la Lluna i el Sol donen regressos al seu entorn en llínees perfectes, és dir, circumferèncias i combinacions de circumferències. No obstant, les idees de Euclides constituïxen una considerable abstracció de la realitat. Per eixemple, supon que un punt no té tamany; que una llínea és un conjunt de punts que no té ni esgambi ni gruixa, solament llongitut; que una superfície no té gros, etcétera. En vista de que el punt, d'acort en Euclides, no té tamany, se li assigna una dimensió o magnitut nula o zero. Una llínea té solament llongitut, per #lo que adquirix una dimensió igual a un. Una superfície no té gruixa, no té altura, per #lo que té dimensió dos: ample i llarc. Finalment, un cos sòlit, com un gaveta, té dimensió tres: llarc, ample i alt. Euclides va intentar resumir tot el saber matemàtic en el seu llibre Els elements. La geometria de Euclides va ser una obra que va perdurar sense variacions fins a el XIX.

Dels axiomas de partida, solament el de les llínees paraleles semblava menys evident. Diversos matemàtics varen intentar sense èxit prescindir de dit axioma intentant-ho deduir del restant dels #axioma i presentar-ho com un teorema, sense conseguir-ho.

Finalment, alguns autors varen crear #geometria noves basant-se en invalidar o substituir l'axioma de les paraleles, donant orige a les "#geometria no euclidianas". Dites #geometria (la geometria elíptica i la geometria hiperbòlica) tenen com a característica principal que en canviar l'axioma de les paraleles els ànguls d'un triàngul ya no sumen 180 graus: la primera suma més, i la segona menys.

Data

Les Data (Δεδομένα) és l'única una atra obra de Euclides que tracta de geometria i de la qual es posseïx una versió en grec (està, per eixemple, en el manuscrit de el X descobert per François Peyrard). També és descrit en detalle en el llibre VII de la Colecció matemàtica de Pape, el «Tesor de l'anàlisis», molt relacionat en els primers quatre llibres dels Elements. Tracta del tipo d'informació usada en els problemes geomètrics, i de la seua naturalea. Les Data se situen en el marc de la geometria plana i són considerades pels historiadors com un complement o apèndix dels Elements, baixe una forma més adequada o didàctica per a analisar problemes. L'obra conté 15 definicions, i explica lo que significa un objecte geomètric, en posició, en forma, en tamany, i 94 teoremes. Estos expliquen que, si es donen alguns elements d'una figura, atres relacions o elements poden ser determinats.

Sobre les divisions

Esta obra (Περὶ διαιρέσεων Βιβλίον) és descrita en el Comentari de Proclo, pero s'ha perdut en la seua llengua original grega; hi ha trossos en llatí (De divisionibus), pero sobretot es conserva un manuscrit en àrap descobert en el XIX que conté 36 proposicions, quatre de les quals són demostrades.

S'ocupa de la divisió de figures geomètriques en dos o més parts iguals o en parts de proporcions donades. És similar a una obra de el III d. C. d'Herón d'Aleixandria. En esta obra tracta de construir rectes que dividixen figures donades en proporcions i formes donades. Per eixemple, es demana, donat un triàngul i un punt interior al triàngul, construir una recta passant pel punt i tallant el triàngul en dos figures d'igual superfície; o, donat un círcul, construir dos rectes paraleles, de manera que la porció del círcul que llimiten faça un terç de la superfície del círcul.

Sobre errors (Pseudaria)

Sobre errors (Περὶ Ψευδαρίων) és un text sobre les falàcies i defectes possibles en el raonament; és una obra perduda, coneguda solament per la descripció que oferix Proclo. Segons est, l'obra tenia com a objectiu acostumar als principiantes a detectar els raonaments falsos, en particular els que imiten als raonaments deductivos i tenen, puix, l'apariència de la veritat. Donava eixemples de paralogismos.

Quatre llibres sobre seccions còniques

Els Quatre llibres sobre seccions còniques (Κωνικῶν Βιβλία) s'han perdut. Va ser un treball sobre seccions còniques que va anar després ampliat per Apolonio de Perge en un llibre famós sobre este mateix tema. És provable que els primers quatre llibres de l'obra de Apolonio provingueren directament de Euclides. Segons Pape, "Apolonio, havent completat els Quatre llibres de còniques de Euclides, i havent afegit quatre més, va deixar huit volums de Còniques". Les Còniques de Apolonio ràpidament varen substituir a l'obra original i, en l'época de Pape, el treball de Euclides ya s'havia perdut.

Tres llibres de porismas

Tres llibres de porismas (Πορισμάτων Βιβλία) podria haver segut una ampliació del seu treball en les seccions còniques, pero no s'acaba de saber de cert el significat del títul, puix ademés l'obra s'ha perdut. S'evoca, no obstant, en dos passages de Proclo i, sobretot, és objecte d'una llarga presentació en el llibre VII de la Colecció de Pape, el «Tesor de l'anàlisis», com un eixemple significatiu i de gran alcanç de l'enfocament analític. La paraula porisma té varis usos: segons Pape, designaria ací un enunciat de tipo intermediari entre les teoremes i els problemes. L'obra de Euclides hauria contingut 171 enunciats d'este tipo i 38 lemes. Pappos dona eixemples com «si, a partir de dos punts donats, es tracen rectes que intersecten en una recta donada, i si una d'estes talla sobre una recta donada un segment, l'atre farà el mateix sobre una atra recta, en una relació fixada entre els dos segments tallats.» Interpretar el sentit exacte de qué és un porisma i restituir finalment tot o part dels enunciats de l'obra de Euclides a partir de les informacions deixades per Pape ha ocupat a numerosos matemàtics; les tentatives més conegudes són les de Pierre Fermat en el XVII i de Robert Simson en el XVIII, i, sobretot, la de Michel Chasles en el XIX. Si la reconstitució de Chasles no ha segut presa sériament com a tal pels historiadors actuals, per lo manco ha donat l'ocasió al matemàtic de desenrollar la noció de relació anharmónica.

Dos llibres sobre els llocs geomètrics

Τόπων Ἐπιπέδων Βιβλία Β' tractava sobre els llocs geomètrics sobre superfícies o llocs geomètrics que eren estos mateixos superfícies. En una interpretació posterior, es té l'hipòtesis que l'obra podria haver tractat de superfícies cuádricas. Es tracta també d'una obra perduda en dos llibres, mencionada en el Tesor de l'anàlisis de Pape. Les indicacions donades en Proclo o Pape sobre estos llocs de Euclides són ambigües i lo que es qüestionava exactament en l'obra no és conegut. En la tradició de les matemàtiques gregues antigues, els "llocs" són conjunts de punts que verifiquen una propietat donada. Estos conjunts són a sovint llínees rectes o seccions còniques, pero també poden ser superfícies planes, per eixemple. La majoria dels historiadors estimen que els llocs de Euclides podrien tractar sobre superfícies de revolució, esferes, cons o cilindres.

Apariències del cel

Fenomens o Apariències del cel o simplement Fenomena (# Φαινόμενα) és un tractat sobre la Astronomia de posició, que es conserva en grec. És prou similar a una obra d'Autólico (Sobre la noció de l'esfera) i parla sobre l'aplicació de la geometria de la esfera a l'astronomia. Ha sobrevixcut en grec en vàries versions manuscrites, la més antiga de les quals data de el X. Este text explica lo que es denomina «menuda astronomia» per contrast en els temes tractats en la Gran composició (el Almagesto de Ptolomeo). Conté 18 proposicions i està prop de les obres conservades sobre el mateix tema d'Autólico de Pitane.

Òptica

Òptica (Ὀπτικά) és el tractat grec més antic que es conserva, en vàries versions, consagrat a problemes que ara cridaríem de perspectiva. Aparentment destinat a ser utilisat en Astronomia, adopta la forma expositiva dels Elements: és una continuació de 58 proposicions de les quals la prova descansa sobre definicions i postulats enunciats en els principis del text. En les seues definicions, Euclides seguix la tradició platònica, que afirma que la visió és causada per rajos que emanen del ull. Euclides descriu la mida aparent d'un objecte en relació en la seua distància de l'ull, i investiga les formes aparents de cilindres i cons quan són vists des de diferents perspectives.

Euclides mostra que les talles aparents d'objectes iguals no són proporcionals a la seua distància del nostre ull (proposició 8). Explica, per eixemple, la nostra visió d'una esfera (i atres superfícies simples): l'ull veu una superfície inferior en mitat de l'esfera, una proporció encara més menuda en la mida que l'esfera és propenca, inclús si la superfície vore sembla més gran, i el contorn del que és vist és un círcul. Detalla igualment, segons les posicions de l'ull i de l'objecte, de quina forma nos apareix un círcul. El tractat, en particular, contradiu una opinió defesa en algunes escoles de pensament, segons la qual el tamany real dels objectes (en particular dels cossos celests) és el seu tamany aparent, la que és vista.

Pape va considerar que estos resultats eren importants en astronomia i va incloure la Òptica de Euclides, junt en els seus Fenomens, en un compendio d'obres menors que calia estudiar abans del Almagesto de Claudio Ptolomeo.

Tractat de música

Proclo atribuïx a Euclides un Tractat de música (Εἰσαγωγὴ, Ἁρμονική), que, com l'Astronomia, en forma de teoria de la música, aplicant proporcions, figura entre les ciències matemàtiques. Dos menuts escrits han segut conservats en grec i han segut inclosos en edicions antigues de Euclides, pero la seua adjudicació és incerta, aixina com els seus possibles vínculs en els Elements. Els dos escrits (una Secció del cànon sobre els intervals musicals i una Introducció harmònica) són, per un atre costat, considerats com a contradictoris, i el segon, a lo manco, és ara considerat pels especialistes cóm d'un atre autor.

Obres falsament atribuïdes a Euclides

Catóptricos (Κατοητρικά) tracta sobre la teoria matemàtica dels espills, en particular de les imàgens formades en espills cóncaus plans i esfèrics. La seua atribució a Euclides és dubtosa; el seu autor podria haver segut Teón d'Aleixandria. Apareix en el text de Euclides sobre òptica i en el Comentari de Proclo. És ara considerat com perdut, i, en particular Catóptricos, durant molt temps publicada com a continuació de la Òptica en edicions antigues, ya no és atribuïda a Euclides i es considera com una compilació més tardana.

Euclides també és mencionat com a autor de fragments en relació en la mecànica, específicament en texts sobre la palanca i la balança en alguns manuscrits en llatí o en àrap. Pero esta adjudicació és ara considerada com a dubtosa.

Edicions

• La primera edició de l'época moderna de les obres de Euclides en grec va ser la de David Gregory en Oxford (1703), en una traducció en llatí. François Peyrard va fer una edició trilingüe en 3 volums (grec, llatí i francés) dels Elements i de Data (és dir, de tots els texts de Euclides de matemàtiques pures coneguts en grec) en París (1814-1818).
• L'edició de referència de Euclides en grec continua sent la de Heiberg i Menge, en 1883: Heiberg; Menge, {{{nom2}}} (1883). Teubner (ed.). Euclidis opera omnia.

Inclou una traducció en llatí junt al text grec i conté tots els escrits coneguts (incloent els de adjudicació dubtosa), aixina com varis comentaris per autors antics.

Reconeiximent

• El cràter llunar Euclides du este nom en la seua memòria.

Vore també

• Geometria euclidiana
• Algoritme de Euclides

Referències

Atres referències

1. Tot sobre Euclides - Pàgina en espanyol

Bibliografia

Sobre Euclides

• Copi, Irving M. Llògica simbòlica; traductor de l'anglés: Sestier, Boulier, Andrés; CECSA; Ciutat de Mèxic, 2000, dècima novena reimpressió, ISBN 968-26-0134-7. En l'artícul Geometria euclidiana pp. 187-191.

• Caveing, Maurice (1990). PUF (ed.). Introduction générale à: Euclide, Els Éléments (en francés). ISBN 2130432409.
• (2013) Publicacions i Edicions de la Universitat de Barcelona (ed.). Història de la Matemàtica. Dones de Mesopotàmia al Renaixement (en català). ISBN 978-84-475-3683-2.
• (1987) Clarendon Press (Oxford Science Publications) (ed.). The Mathematics of Plat’s Academy (en anglés). ISBN 0198539126.
• (1921) Clarendon Press (ed.). A History of Greek Mathematics (en anglés). ISBN 2130432409.
• (1986) Birkhäuser (ed.). The Ancient Tradition of Geometric Problems (en anglés). ISBN 9783764331481.
• (1987) Teubner, Biographien hervorragender Naturwissenschaftler, Techniker und Mediziner núm. 87 (ed.). Euklid (en alemà). ISBN 3322003779.
• (2003) Museum Tusculanum Press (ed.). Euclid's Data (Dedomena) (en anglés). ISBN 9783764331481.
• Vitrac, Bernard (2004). Pour la science (ed.). Els géomètres de la Grèce antique (en francés).

Enllaços externs

Commons

• Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre Euclides.

• Euclides d'Aleixandria [1] archivat en Wayback Machine.: vida i obra en espanyol.

• lloc en el DivulgaMAT.

• 15px|link=|alt= Wikisource contiene obras originales de o sobre Euclides.
• Texts de Euclides en grec; en Wikisource.

• Euclides: Elements.
• 15px|link=|alt= Wikisource contiene obras originales de o sobre Els Elements.
  • Text espanyol en el lloc Euclides.
  • Text català en el mateix lloc.
  • Text francés, en anotacions en este idioma, en el lloc de Philippe Remacle (1944 - 2011); trad. de François Peyrard (1759 o 1760 - 1822). Ed. de 1804, en París.
    • Llibres: 1; 2; 3; 4; 6; 11; 12.
  • Text anglés.
  • Traducció anglesa d'Isaac Todhunter i unes atres en el mateix idioma; en Wikisource.
    • Text anglés, en índex electrònic, en el Proyecte Perseus. En la part superior dreta es troben els ròtuls actius "focus" (per a canviar al text grec) i "lloeu" (per al text bilingüe).
      • Text grec en Wikisource.
      • Text grec [2] archivat en Wayback Machine. en índex electrònic: facsímil digitalisat del MS D'Orville 301, de la Biblioteca Bodleiana.

• Euclides: Divisió del cànon.
  • Text francés, en anotacions en este idioma, en el lloc de Philippe Remacle.

• Euclides: Tres cànons harmònics.

• • Text francés, en anotacions en este idioma, en el lloc de Ph. Remacle.

• [[Archiu:{{#switch:Matemàtica|20px|Vore el portal sobre Matemàtica]] Portal:Matemàtica. Contingut relacionat en Matemàtica.]