Teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras

En les matemàtiques, la teorema de Pitágoras és una relació en geometria euclidiana entre els tres costats d'un triàngul rectàngul. Afirma que l'àrea del quadrat el costat del qual és la hipotenusa (el costat opost al àngul recte) és igual a la suma de les àrees dels quadrats els costats dels quals són els catetos (els atres dos costats que no són l'hipotenusa). Este teorema es pot escriure com una equació que relaciona les llongituts dels costats 'a', 'b' i 'c'. És la proposició més coneguda entre les que tenen nom propi en la matemàtica. La teorema de Pitágoras establix que, en tot triàngul recte, la llongitut de la hipotenusa és igual a la raïl quadrada de la suma de l'àrea dels quadrats de les respectives llongituts dels catetos.

Si en un triàngul rectàngul hi ha catetos de llongitut $a$ i $b$, i la mida de la hipotenusa és $c$, llavors es complix la següent relació:

(1) $a^2+b^2=c^2$

D'esta equació es deduïxen tres corolaris de verificació algebraica i aplicació pràctica:Plantilla:Pitágoras (fòrmules pràctiques)

La teorema de Pitágoras s'ha demostrat en numeroses ocasions per molts métodos diferents, possiblement el major número de teoremes matemàtiques. Les proves són diverses, i inclouen tant proves geomètriques com a algebraiques, i algunes es remonten a mils d'anys arrere.

La teorema es pot generalisar de vàries maneres: a espais de major dimensió, a espais que no són euclidianos, a objectes que no són triànguls rectes i a objectes que no són triànguls en absolut, sino sòlits n. La teorema de Pitágoras ha despertat interés fòra de les matemàtiques com a símbol d'abstracció matemàtica, mística o poder intelectual; abunden les referències populars en la lliteratura, obres de teatre, musicals, cançons, sagells i dibuixos animats.

Història

La teorema de Pitágoras va ser comprovat en el VI pel filòsof i matemàtic grec Pitágoras, pero s'estima que va poder haver segut previ a la seua existència, o demostrat baix una atra denominació.

Respecte dels babilonios hi ha esta nota:

Des del punt de vista matemàtic, les novetats més importants que registren els texts babilònics es referixen a la solució algebraica d'equacions llineals i quadràtiques, i el coneiximent del cridat "teorema de Pitágoras" i de les seues conseqüències numèriques.

Existix un debat sobre si la teorema de Pitágoras es va descobrir una volta, o moltes voltes en molts llocs, i la data del primer descobriment és incerta, de la mateixa manera que la data de la primera demostració. Els historiadors de les matemàtiques mesopotámicas han aplegat a la conclusió de que la regla pitagórico va tindre un us generalisat durant el periodo babilònic antic (XX a el VI), més de mil anys abans del naiximent de Pitágoras.

La teorema de Pitágoras té este nom perque la seua demostració, sobretot, és esforç de la escola pitagórico. Anteriorment, en Mesopotamia i el Antic Egipte es coneixien ternes de valors que es corresponien en els costats d'un triàngul rectàngul, i s'utilisaven per a resoldre problemes referents als citats triànguls, tal com s'indica en algunes tablillas i papirs. No obstant, no ha perdurat cap document que exponga teòricament la seua relació. La piràmide de Kefrén, datada en el sigle XXVI a. C., va ser la primera gran piràmide que es va construir basant-se en el cridat triàngul sagrat egipcíac, de proporcions 3-4-5.

Demostracions

La teorema de Pitágoras és dels que conten en un major número de demostracions diferents, utilisant métodos molt diversos. Una de les causes d'açò és que en la Edat Mija s'exigia una nova demostració de la teorema per a alcançar el grau de "Magíster matheseos".CR

Alguns autors proponen fins a més de mil demostracions. Per eixemple, el matemàtic nortamericà I. S. Loomis va catalogar 367 proves diferents en el seu llibre de 1927 The Pythagorean Proposition.CR

En eixe mateix llibre, Loomis classificaria les demostracions en quatre grans grups: les algebraiques, a on es relacionen els costats i segments del triàngul; les geomètriques, en les que es realisen comparacions d'àrees; les dinàmiques, a través de les propietats de força, massa, i les cuaterniónicas, per mig de l'us de vectores.CR

China: El Zhoubi Suanjing i el Jiuzhang Suanshu

El Zhoubi Suanjing és una obra matemàtica de datació discutida en alguns llocs, encara que s'accepta majoritàriament que es va escriure entre el 500 i el 300 a. C. Es creu que Pitágoras no va conéixer esta obra. Sobre el Jiuzhang Suanshu, sembla que és posterior; està datat entorn a l'any 250 a. C.

El Zhou Bi demostra la teorema construint un quadrat de costat (a+b) que es partix en quatre triànguls de base a i altura b, i un quadrat de costat c.

Demostració

Siga el triàngul rectàngul de catetos a i b i hipotenusa c. Es tracta de demostrar que l'àrea del quadrat de costat c és igual a la suma de les àrees dels quadrats de costat a i costat b. És dir:

$a^2+b^2=c^2$

Si afegim tres triànguls iguals a l'original dins del quadrat de costat c formant la figura mostrada en l'image, obtenim un quadrat de menor tamany. Es pot observar que el quadrat resultant té efectivament un costat de b - a. Després, l'àrea d'este quadrat menor pot expressar-se de la següent manera:

$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$

Ya que $(b-a{)}^2=(a-b{)}^2$.

És evident que l'àrea del quadrat de costat c és la suma de l'àrea dels quatre triànguls d'altura a i base b que estan dins d'ell més l'àrea del quadrat menor:

$c^2=4\cdot \left(\frac{a\cdot b}{2}\right)+a^2-2ab+b^2=a^2+b^2$

En la qual cosa queda demostrat la teorema.

Demostracions de Pitágoras

S'estima que es va demostrar la teorema per mig de semblança de triànguls: els seus costats homòlecs són proporcionals.

Siga el triàngul ABC, rectàngul en C. El segment CH és l'altura relativa a l'hipotenusa, en la que determina els segments a’ i b’, proyeccions en ella dels catetos a i b, respectivament.

Els triànguls rectànguls ABC, AHC i BHC tenen les seues tres bases iguals: tots tenen dos bases en comuna, i els ànguls aguts són iguals be per ser comuns, be per tindre els seus costats perpendiculars. En conseqüència, dits triànguls són semblants.

• De la semblança entre ABC i AHC:

i dos triànguls són semblants si hi ha dos o més ànguls congruents.

$\frac{b}{b^{\prime }}=\frac{c}{b}$

$b^2=b^{\prime }c$

• De la semblança entre ABC i BHC:

$\frac{a}{a^{\prime }}=\frac{c}{a}$

$a^2=a^{\prime }c$

Els resultats obtinguts són el teorema del cateto.

Sumant:

$a^2+b^2=a^{\prime }c+b^{\prime }c=c(a^{\prime }+b^{\prime })$

Pero $(a^{\prime }+b^{\prime })=c$, per #lo que finalment resulta:

$a^2+b^2=c^2$

Pitágoras també va poder haver demostrat la teorema basant-se en la relació entre les superfícies de figures semblants.

Els triànguls PQR i PST són semblants, de manera que:

$\frac{r}{u}=\frac{s}{v}=r$

sent r la raó de semblança entre dits triànguls. Si ara busquem la relació entre les seues superfícies:

$S_{PQR}=\frac{1}{2}\left(rs\right)$

$S_{PST}=\frac{1}{2}\left(uv\right)$

obtenim despuix de simplificar que:

$\frac{S_{PQR}}{S_{PST}}=\frac{rs}{uv}=\frac{r}{u}\cdot \frac{s}{v}$

pero sent $\frac{r}{u}=\frac{s}{v}=r$ la raó de semblança, està clar que:

$\frac{S_{PQR}}{S_{PST}}={\left(\frac{r}{u}\right)}^2={\left(\frac{s}{v}\right)}^2$

És dir, "la relació entre les superfícies de dos figures semblants és igual al quadrat de la raó de semblança".

Aplicant eixe principi als triànguls rectànguls semblants ACH i BCH tenim que:

$\frac{S_{ACH}}{S_{BCH}}={\left(\frac{b}{a}\right)}^2$

que d'acort en les propietats de les proporcions dona:

$\frac{S_{ACH}}{b^2}=\frac{S_{BCH}}{a^2}=\frac{S_{ACH}+S_{BCH}}{b^2+a^2}$ (I)

i per la semblança entre els triànguls ACH i ABC resulta que:

$\frac{S_{ACH}}{S_{ABC}}={\left(\frac{b}{c}\right)}^2$

$\frac{S_{ACH}}{b^2}=\frac{S_{ABC}}{c^2}$

pero segons (I) $\frac{S_{ACH}}{b^2}=\frac{S_{ACH}+S_{BCH}}{b^2+a^2}$, aixina que:

$\frac{S_{ACH}+S_{BCH}}{b^2+a^2}=\frac{S_{ABC}}{c^2}$

i per lo tant:

$b^2+a^2=c^2$

quedant demostrat la teorema de Pitágoras.

És aixina mateix possible que Pitágoras haguera obtingut una demostració gràfica de la teorema.

Partint de la configuració inicial, en el triàngul rectàngul de costats a, b, c, i els quadrats corresponents a catetos i hipotenusa –esquerra-, es construïxen dos quadrats diferents:

• Un d'ells –centre– està format pels quadrats dels catetos, més quatre triànguls rectànguls iguals al triàngul inicial.
• L'atre quadrat –dreta– ho conformen els mateixos quatre triànguls, i el quadrat de l'hipotenusa.

Si a cada u d'estos quadrats els llevem els triànguls, evidentment l'àrea del quadrat gris ($c^2$) equival a la dels quadrats groc i blau ($b^2+a^2$), havent-se demostrat la teorema de Pitágoras.

Demostració de Euclides: proposició I.47 de Els Elements

El descobriment dels número irracional per Pitágoras i els Pitagórico va supondre un contratemps molt sério. De sobte, les proporciones varen deixar de tindre validea universal, no sempre podien aplicar-se. La demostració de Pitágoras de la seua teorema es basava molt provablement en proporcions, i una proporció és un número racional. ¿Seria realment vàlida com a demostració? Davant açò, Euclides elabora una demostració nova que eludix la possibilitat de trobar-se en número irracional.

L'eix de la seua demostració és la proposició I.47 de Els Elements:

En els triànguls rectànguls el quadrat del costat opost a l'àngul recte és igual a la suma dels quadrats dels costats que comprenen l'àngul recte. Euclides (proposició I.47)

Basant-se en la proposició I.41 de Els Elements, que equival a dir que a igual base i altura, l'àrea del paralelogramo dobla a la del triàngul, (vejau Figura Euclides 1).

Es té el triàngul ABC, rectàngul en C (vejau Figura Euclides 3), i es construïx els quadrats corresponents a catetos i hipotenusa. L'altura CH es prolonga fins a J. Seguidament es traça quatre triànguls, iguals dos a dos:

• Triànguls ACK i ABD: són iguals, puix sent els costats AD i AC iguals i perpendicular; i sent AB i AK també iguals i formant igual àngul que AD i AC, necessàriament l'àngul DAB és igual a l'àngul CAK, per #lo que BD=KC. Els seus tres costats són iguals.
• Triànguls ABG i CBI: análogamente, BA=BI, i BG=BC, aixina que AG=IC. Els seus tres costats són aixina mateix iguals.

Abundant en les anteriors consideracions, note's que un gir en centre en A, i sentit positiu, transforma ABD en ACK. I un gir en centre en B, i sentit també positiu, transforma ABG en CBI. En la demostració de Leonardo dona Vinci es trobarà novament en girs que demostren l'igualtat de figures.

Vejau (en la Figura Euclides 3) que:

1. Les paraleles r i s comprenen al triàngul ACK i el rectàngul AHJK, els quals tenen la mateixa base, AK. Per tant, d'acort en la proposició I.41 de Els Elements, AHJK té doble àrea que ACK, (vejau Figura Euclides 1).
2. Les paraleles m i n contenen a ABD i ADEC, la base comuna de la qual és AD. Aixina que l'àrea de ADEC és doble de la de ABD.

Pero sent ACK=ABD, resulta que el rectàngul AHJK i el quadrat ADEC tenen àrees equivalents. Fent-se raonaments similars en els triànguls ABg i CBI, respecte al quadrat BCFG i al rectàngul HBIJ respectivament, es conclou que estos últims tenen aixina mateix àrees iguals. A partir de lo anterior, sorgix de colp i repent que: «la suma de les àrees dels quadrats construïts sobre els catetos, és igual a l'àrea del quadrat construït sobre l'hipotenusa».

Demostració de Pappus

Uns 625 anys despuix que Euclides, Pappus sembla seguir la seua senda, i desenrolla una demostració de la teorema de Pitágoras basada en la proposició I.36 de Els Elements de Euclides:

Dos paralelogramos d'igual base, i entre les mateixes paraleles, tenen superfícies equivalents.

Partim del triàngul ABC rectàngul en C, sobre que els seus catetos i hipotenusa hem construït els quadrats corresponents.

Prolongant CH cap a dalt s'obté el rectàngul CEGI que la seua diagonal CG determina en aquell dos triànguls rectànguls iguals al triàngul ABC donat:

• Els ànguls aguts GCI i ABC tenen els seus costats perpendiculars
• El costat CI és igual al costat CB

En conseqüència els triànguls rectànguls ABC, ICG i EGC tenen els seus tres costats iguals.

1. Els paralelogramos ACGF i AHMN tenen la mateixa base CG=HM, i estan compresos entre les mateixes paraleles, r i s. Per lo tant tenen la mateixa superfície (Elements I.36)
2. Aplicant el mateix principi a ACGF i ACED –base comuna AC, i paraleles m i n– resulta que abdós paralelogramos tenen superfícies aixina mateix equivalents.

D'1) i 2) se seguix que les superfícies de ACED i AHMN són iguals.

Análogamente:

1. CGJB i BLMH tenen la mateixa base CG=MH, i estan compresos entre les paraleles s i t. Les seues superfícies són equivalents.
2. CGJB i CIKB tenen base comuna CB, i estan entre les paraleles o i p. Les seues superfícies són iguals.

D'on es deduïx l'equivalència de les superfícies de BLMH i de CIKB.

La teorema de Pitágoras queda demostrat.

Demostració de Bhaskara

Bhaskara II, el matemàtic i astrònom hindú de el XII, va donar la següent demostració de la teorema de Pitágoras.

En quatre triànguls rectànguls de costats a, b i c es construïx el quadrat de costat c –esquerra-, en el centre de la qual es forma un atre quadrat de costat (a-b).

Redistribuint els quatre triànguls i el quadrat de costat (a-b), construïm la figura de la dreta, la superfície de la qual resulta ser la suma de la de dos quadrats: un de costat a –blau- i un atre de costat b -taronja-.

S'ha demostrat gràficament que $c^2=a^2+b^2$

Algebraicamente: l'àrea del quadrat de costat c és la corresponent als quatre triànguls, més l'àrea del quadrat central de costat (a-b), és dir:

$c^2=4\cdot \frac{ab}{2}+(a-b{)}^2$

expressió que desenrollada i simplificada nos dona el resultat $c^2=a^2+b^2$, i la teorema queda demostrat.

Demostració de Leonardo Dona Vinci

Leonardo dona Vinci també va trobar una demostració per a esta teorema.

Partint del triàngul rectàngul ABC en els quadrats de catetos i hipotenusa, Leonardo afig els triànguls ECF i HIJ, iguals al dau, resultant dos polígons, les superfícies de la qual va a demostrar que són equivalents:

1. Polígon ADEFGB: la llínea DG ho dividix en dos mitats idèntiques, ADGB i DEFG.
2. Polígon ACBHIJ: la llínea CI determina CBHI i CIJA.

Comparem els polígons destacats en gris, ADGB i CIJA:

• De colp i repent veem que tenen tres costats iguals: AD=AC, AB=AJ, BG=BC=IJ
• Aixina mateix és immediata l'igualtat entre els ànguls dels següents vèrtiços:
  • A de ADGB i A de CIJA
  • B de ADGB i J de CIJA

Es conclou que ADGB i CIJA són iguals.

De modo anàlec es comprova l'igualtat entre ADGB i CBHI.

Ademés, d'un modo semblant a lo explicat en la demostració de Euclides, note's que un gir de centre A, i sentit positiu, transforma CIJA en ADGB. Mentres que un gir de centre B, i sentit negatiu, transforma CBHI en ADGB.

Tot això nos du a que els polígons ADEFGB i ACBHIJ tenen àrees equivalents. Puix be, si a cada u li llevem els seus dos triànguls –iguals– les superfícies que resten forçosament seran iguals. I eixes superfícies no són sino els dos quadrats dels catetos en el polígon ADEFGB, per una part, i el quadrat de l'hipotenusa en el polígon ACBHIJ, per l'atra. La teorema de Pitágoras queda demostrat.

Demostració de Garfield

James Abram Garfield (1831-1881), el vigèsim president dels Estats Units, va desenrollar una demostració de la teorema de Pitágoras publicada en el New England Journal of Education.

Garfield construïx un trapezi de bases a i b, i altura (a+b), a partir del triàngul rectàngul de costats a, b i c. Dit trapezi resulta compost per tres triànguls rectànguls: dos iguals al dau, i un tercer, isósceles de catetos c. En conseqüència:

(g.1) $S_{\text{trapecio}}=\frac{a+b}{2}\cdot (a+b)$

com correspon a la superfície del trapezi, pero aixina mateix tenim una figura composta per tres triànguls, dos d'ells iguals, de modo que:

(g.2) $S=2\cdot \frac{ab}{2}+\frac{c^2}{2}$

igualant l'equació (g.2) en la (g.1) obtenim:

$(ab)+\frac{c^2}{2}=\frac{1}{2}(a+b)\cdot (a+b)$

multiplicant abdós costats per $2$ i simplificant...

$2ab+c^2=(a+b{)}^2$

expandint el membre dret...

$2ab+c^2=a^2+2ab+b^2$

restant $2ab$ a abdós membres, finalment nos dona:

$c^2=a^2+b^2$

i la teorema està demostrada.

Prova per mig d'un geoplano

És possible, més que una demostració de caràcter genèric, la comprovació de la justeza de la proposició per mig d'un geoplano, únicament per a casos especials i concrets, prèviament coneguts.

Proposició recíproca de la teorema de Pitágoras

Si en un triàngul ABC, sent el costat major a es complix que $a^2=b^2+c^2$ llavors el triàngul és rectàngul.

Usos de la teorema en la matemàtica

Triples pitagórico

Artícul principal → Terna pitagórico.

Un triple pitagórico té tres sancers positius a, b i c, tals que a² + b² = c².. En atres paraules, un triple pitagórico representa les llongituts dels costats d'un triàngul rectàngul en el que els tres costats tenen llongituts sanceres. Este triple se sol escriure (a, b, c). Alguns eixemples coneguts són (3, 4, 5) i (5, 12, 13).

Un triple pitagórico primitiu és aquell en el que a, b i c són coprimos, és dir, que el màxim comú divisor de a, b i c és 1.

La següent és una llista de triples pitagórico primitius en valors inferiors a 100:

(3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)

Teorema de Pitágoras recíproc

Dau un triàngul rectàngul en costats $a,b,c$ i altitut $d$ (una recta de l'àngul recte i perpendicular a la hipotenusa $c$). La teorema de Pitágoras té,

$a^2+b^2=c^2$

mentres que la teorema pitagórico recíproca o la teorema de Pitágoras al revés relaciona les dos catetos $a,b$ en l'altitut $d$,

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{d^2}$

L'equació es pot transformar en, $\frac{1}{(xz{)}^2}+\frac{1}{(yz{)}^2}=\frac{1}{(xy{)}^2}$ a on $x^2+y^2=z^2$ per a qualsevol real no nul $x,y,z$. Si els $a,b,d$ han de ser sancers, la solució més menuda $a>b>d$ és llavors $\frac{1}{20^2}+\frac{1}{15^2}=\frac{1}{12^2}$ utilisant el triple pitagórico més menut $3,4,5$. La teorema de Pitágoras recíproc és un cas especial de la equació òptica

$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{r}$

a on els denominadors són quadrats i també per a un triàngul heptagonal els costats del qual $p,q,r$ són números quadrats.

Els Pitagórico

Una de les més conegudes herències del pitagorismo, a les matemàtiques, ho constituïx la teorema de l'hipotenusa, més conegut com la Teorema de Pitágoras. No està clarament establit si este va ser obra del Mestre o dels seus discípuls, ya que els pitagórico varen ser grans matemàtics que acostumaven a atribuir a Pitágoras tots els seus descobriments.

Atres eixemples d'us

• Per a calcular la llongitut i d'una escala; es coneix l'altura h del mur a alcançar; la distancia p des de la llínea solc mur al peu de l'escala. Es complix l'equació $e^2=h^2+p^2$; es rebuja el valor d'i, per mig de $e=\sqrt{h^2+p^2}.$

• En la geometria analítica plana, per a trobar la distància entre els punts $C(x_1,y_1),D(x_2,y_2)$ en l'igualtat $C{D}^2=(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2.$

• En trigonometria per a demostrar l'identitat fonamental ${\mathrm{sen}}^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$entre el sen i coseno.
• En la geometria per a calcular l'altura d'un triàngul equilátero en funció del costat; per a obtindre l'altura del tetraedre regular usant l'aresta. Per a trobar el #apotema d'un triàngul equilátero i d'un hexàgon regular inscrits, coneixent el radi de la circumferència circumscrita.

• En teoria algebraica de números per a analisar si un sancer gaussiano és primer gaussiano. Per eixemple $\alpha =1+4i$, la norma del qual és $N(\alpha )=1^2+4^2=17.$

Vejau també

• Triàngul rectàngul
• Terna pitagórico
• Teorema de De Gua
• Fòrmula de Herón
• Trigonometria
  • Triangulació
  • Trigonometria esfèrica
  • Funció trigonométrica
  • Teorema del coseno
  • Teorema del sen
• Pitágoras
• Escola de Kerala
• Matemàtica en l'Índia

• Equació pitagórico

Bibliografia

• Platón (1958). Diàlecs. Menexenos-Menon-Kratilos-Faidros. Madrit: Edicions Ibèriques.
• Strathern, Paul (1999). Pitágoras i la seua teorema. Madrit: Sigle XXI d'Espanya Editors.
• Loomis, Elisha Scott (1940). The Pythagorean Proposition. Míchigan: NCTM.
• González Urbaneja, Pedro Miguel (2001). Pitágoras. El filòsof del número. Madrit: Nivola.
• Martínez Prim, Alberto. Teorema de Pitágoras: originalitat de les demostracions d'I. García Quijano (1848).

Enllaços externs

Commons

• Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre Teorema de Pitágoras.
• Teorema de Pitágoras i fòrmula de Herón en $R^n$
• Plantilla:Springer
• History topic: Pythagoras's theorem in Babylonian mathematics
• Interactive links:
  • Interactive proof in Java of the Pythagorean theorem]
  • [https://www.cut-the-knot.org/pythagoras/perigal.shtml En HTML en figures interactives basades en llenguage Java.
  • Tema d'història: la teorema de Pitágoras en les matemàtiques babilòniques with interactive animation
  • Animated, senar-algebraic, and user-pastureu Pythagorean theorem
• Pythagorean theorem water demo on

YouTube * Pythagorean theorem (more than 70 proofs from cut-the-knot)

• Pythagorean theorem en MathWorld.