Raïl quadrada

En matemàtiques, la raïl quadrada d'un número $x$ és aquell número $y$ que en ser multiplicat per sí mateixa dona com resultat el valor $x$ , és dir, complix l'equació $y^{2} = x$ .^[1] Es correspon en la radicació d'índex 2 o, equivalentemente, en la potenciació d'exponent 1/2.
Com tota raïl parell d'un real positiu té dos raïls opostes entre sí, la denotada s'establix segons la notació específica consensuada.
Aixina, qualsevol número real no negatiu $x$ té una raïl quadrada positiva única o raïl quadrada principal^[2] denotada com $\sqrt{x}$ a on $\sqrt{}$ és el símbol raïl i $x$ és el radicant. La notació habitual per a referir a la raïl negativa és $- \sqrt{x}$ i per a la positiva, $\sqrt{x}$ ; per a abdós, $\pm \sqrt{x}$ o be $\mp \sqrt{x}$ segons l'orde requerit.

El concepte pot estendre's a qualsevol anell algebraic, aixina és possible definir la raïl quadrada d'un número real negatiu o la raïl quadrada d'algunes matrius. En els números cuaterniónicos, els número real negatius admeten un número infinit de raïls quadrades, no obstant el restant de cuaterniones diferents de zero admeten solament dos raïls quadrades. En l'anell no conmutativo de les funcions reals de variable real en l'adició i la composició de funcions si fºf = g, es pot plantejar que f és la "raïl quadrada" de g.^[3]

Història

Les raïls quadrades són expressions matemàtiques que varen sorgir en plantejar diversos problemes geomètrics com la llongitut de la diagonal d'un quadrat. El Papir de Ahmes datat cap a 1650 a. C., que copia texts més antics, mostra cóm els egipcíacs extreen raïls quadrades.^[4]

En la antiga Índia, el coneiximent d'aspectes teòrics i aplicats del quadrat i la raïl quadrada va ser, a lo manco, tan antic com els Sulba Sutras, datats entre el 500 i el 300 a. C. Un método per a trobar molt bones aproximacions a les raïls quadrades de 2 i 3 és donat en el Baudhayana Sulba Sutra.^[5] Aryabhata (476-550) en el seu tractat Aryabhatiya (secció 2.4), va donar un método per a trobar la raïl quadrada de números en varis dígits.

Els babilonios aproximaven raïls quadrades fent càlculs per mig de la mija aritmètica reiteradament. En térmens moderns, es tracta de construir una successió $a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots$ donada per:^[6]

Pot demostrar-se que esta successió matemàtica convergix de manera que $a_{n} \to \sqrt{a}$ (com a valor inicial $a_{0}$ pot prendre's en bona aproximació el sancer més propenc al valor de la raïl quadrada). Les raïls quadrades varen ser un dels primers desenrolls de les matemàtiques, sent particularment investigades durant el periodo pitagórico, quan el descobriment de que la raïl quadrada de 2 era irracional (incommensurable) o no expressable com a cocient algun, lo que va supondre una fita en la matemàtica de l'época.

Inicialment es va demostrar l'utilitat de la raïl quadrada per a la resolució de problemes trigonométricos i geomètrics, com el càlcul de la llongitut de la diagonal d'un quadrat o el teorema de Pitágoras. Posteriorment va guanyar utilitat per a operar en polinomis i resoldre equacions de segon grau o superior, i són en l'actualitat una de les ferramentes matemàtiques més elementals.

David Eugene Smith, en History of Mathematics, diu sobre la situació existent:

"En Europa eixos métodos (per a trobar el quadrat i la raïl quadrada) no varen aparéixer abans de Cataneo (1546). Ell va donar el método d'Ariabhata per a determinar la raïl quadrada".^[7]

Pietro Antonio Cataldi va calcular en 1613 la raïl quadrada aproximant per fraccions contínues, com apareix en l'obra comuna Història de la matemàtica de Juliol Rei Pastor i José Babini.

Posteriorment, es va ser ampliant la definició de raïl quadrada. Varis matemàtics varen vore la necessitat d'idear números que representaren la raïl quadrada de número real negatius per a poder resoldre totes les equacions de segon grau, pero no va ser sino fins a 1777 quan el matemàtic suís Leonhard Euler va simbolisar la raïl quadrada de –1 en la lletra i. La generalisació de la funció raïl quadrada dels números negatius dona lloc al concepte dels número imaginario i al cos dels número complejo, alguna cosa necessari per a que qualsevol polinomi tinga totes les seues raïls (teorema fonamental de l'àlgebra).^[8] La diagonalización de matrius també permet el càlcul ràpit de la raïl d'una matriu.

Símbol de la raïl quadrada $(\sqrt{})$

En occident a principis de el XIII Juan Sevillà, integrant de l'incipient escola de traductors de Toledo, va traduir al llatí i espanyol obres d'astrònoms i matemàtics àraps: Albumasar, Al-Kindi, Al-Battani i Thábit ibn Qurra incorporant el signe " ? " com a símbol per a l'utilisació de la raïl. També utilisarà " ? " Leonardo de Pisa en la seua obra "Practica Geometriae".

L'actual símbol de la raïl quadrada $(\sqrt{})$ va ser introduït en 1525 pel matemàtic Christoph Rudolff per a representar esta operació,^[9]^[10] que apareix en el seu llibre Coss, el primer tractat d'àlgebra escrit en alemà vulgar. El signe no és més que una forma estilisada de la lletra r minúscula per a fer-la més elegant^{cita requerida}, allargant-la en un traç horisontal, fins a adoptar l'aspecte actual, que representa la paraula llatina radix, que significa raïl.

Funció raïl quadrada

La raïl quadrada permet definir una funció real que el seu domini i image és el conjunt $[0, \infty)$ (el conjunt de tots els número real no negatius). Per a cada número real x esta funció es definix com l'únic número no negatiu i que elevat al quadrat és igual a x. Consistix en trobar el número del que es coneix el seu quadrat. La funció raïl quadrada de x s'expressa de la següent manera:

Usualment la raïl quadrada d'un número entero no és un número racional a menos que l'número entero siga un quadrat perfecte, com per eixemple:

ya que:

La funció raïl quadrada, en general, transforma número racional en número algebraico; $\sqrt{x}$ és racional si i només si x és un número racional que pot escriure's com fracció de dos quadrats perfectes. Si el denominador és $1^{2} = 1$ , llavors es tracta d'un número natural. No obstant, $\sqrt{2}$ és irracional.

El descobriment de que la raïl quadrada de molts números era un número irracional s'atribuïx als pitagórico. Els babilonios i egipcíacs ya disponien de mijos d'estimar numèricament la raïl quadrada, pero el seu interés sembla haver segut eminentment pràctic, per lo que no semblen existir referències sobre la naturalea de la raïl quadrada i el problema de si esta podia ser expressada com a cocient de dos número entero.

L'interpretació geomètrica és que la funció raïl quadrada transforma la superfície d'un quadrat en la llongitut del seu costat.

Propietats generals

Les següents propietats de la raïl quadrada són vàlides per a tots els número real no negatius x, i:

Raïl n-ésima del radicant:

$\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}} = x^{n^{- 1}}$

Propietat de productes de raïls:

\sqrt{x y} = \sqrt{x} \sqrt{y} \sqrt{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}

En notació exponencial:

\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} .

i també l'equivalència:

La funció $\sqrt{x}$ és contínua per a tots els números no negatius $x$ i derivable para tots els números positius $x$ (no és derivable per a $x = 0$ ya que la pendent de la tangente ahí és infinita). La seua derivada està donada per:

f^{'} (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}}

La série de Taylor de $\sqrt{x + 1}$ entorn a x = 0 i convergent per a |x| ≤ 1 es pot trobar usant el teorema del binomi:

\sqrt{x + 1} = \sum_{n = 0}^{\infty} (\binom{1 / 2}{n}) x^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n} (2 n)!}{(1 - 2 n) (n!)^{2} (4^{n})} x^{n} = 1 + \frac{1}{2} x - \frac{1}{8} x^{2} + \frac{1}{16} x^{3} - \frac{5}{128} x^{4} + \dots

En càlcul, quan es prova que la funció raïl quadrada és contínua o derivable, o quan es calculen certs llímits, és molt útil el multiplicar i dividir pel número conjugat:

\sqrt{x} - \sqrt{y} = \frac{x - y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}

i és vàlida per a tots els números no negatius x i i que no siguen abdós zero.

Irracionalitat de les raïls quadrades

Una propietat important de la raïl quadrada dels número entero és que, si estos no són quadrats perfectes, les seues raïls són sempre número irracional, que són números no expressables com el cocient de dos número entero. És dir, la raïl quadrada d'un número entero sempre serà sancer o irracional, mai un número racional no sancer.

Qualsevol número entero pot ser expressat com el producte d'una série de factors primers elevats a diversos exponents. De ser tots parells, les propietats de la potenciació permeten reduir la raïl a un número natural. Solament si un o més dels factors té un exponent impar la raïl no és natural.

Si $\sqrt{n}$ fora racional es deuria poder expressar com $\frac{p}{q}$ en p, q sancers i cosins entre sí. Elevant al quadrat abdós parts s'obté que $n = \frac{p^{2}}{q^{2}}$ , lo que és absurt, puix a un costat queda a lo manco un factor primer en exponent impar mentres que, a l'atre costat de l'igualtat, tant $p^{2}$ com $q^{2}$ s'expressen en funció de producte de cosins elevats a exponents necessàriament parells.

Per una reducció a l'absurt varen aplegar els pitagórico a la demostració de l'irracionalitat de la raïl quadrada de 2, atribuïda a Hipaso de Metaponto, un discípul de Pitágoras. L'idea, contraria a lo esperat en la matemàtica de llavors, va supondre la denominada crisis dels incommensurables de la filosofia pitagórico.

No obstant, és exactament la llongitut de la diagonal d'un quadrat el costat del qual medix 1, sent fàcil la construcció gràfica de la raïl. Per això bona part de la matemàtica helènica es va centrar en la geometria aplicada com a forma de calcular gràficament valors com eixe. Teodoro de Cirene va aplegar a la espiral que du el seu nom, que permet representar gràficament qualsevol raïl, i posteriorment Euclides va aplegar a un método més general.

Radicals jerarquizados quadrats

Artícul principal → Radical jerarquizado.

En diferents contexts s'utilisen radicals de la forma

\sqrt{A + \sqrt{B}}

que en alguns casos pot ser escrits en la forma

\sqrt{A + 2 \sqrt{B}} = \sqrt{x} + \sqrt{y}

lo que és factible si solament si x + i = A, xy = B .^[11]^[12] Les expressions anteriors es denominen radicals jerarquizados.

L'identitat $2 = \sqrt{2 + 2}$ implica que $2 = \sqrt{2 + \sqrt{2 + 2}}$ , i per repeticions successives:

Per raons anàlogues s'obté:

o que

En general, si r és una entitat estrictament superior a un, llavors:

Esta forma d'expressar números per mig de la repetició successiva de números continguts dins de raïls quadrades pot tindre diverses aplicacions com la resolució d'alguns tipos d'equació o l'expressió d'alguns números famosos com el número áureo o el número pi.^[13]

Fraccions contínues

Artícul principal → Fracció contínua.

Un dels resultats més interessants de l'estudi d'número irracional com a fraccions contínues va ser obtingut pel matemàtic francés Joseph-Louis Lagrange prop de 1780. Lagrange va descobrir que la raïl quadrada de qualsevol número entero positiu no quadrat es pot representar per una fracció contínua periòdica, és dir, a on ocorre cert patró de dígits repetidament en els denominadors. En un sentit estes raïls quadrades són número irracional molt més simples, perque poden ser representades en un patró de dígits de repetició simple.

\sqrt{11} = 3 + \frac{1}{3 + \frac{1}{6 + \frac{1}{3 + \frac{1}{6 + \frac{1}{⋱}}}}}

Aproximacions sanceres

L'aproximació de raïls quadrades a número entero és comú en certs problemes matemàtics, com la garbell de Eratóstenes que aproxima en els seus càlculs la raïl quadrada al major sancer tal que el seu quadrat siga menor que el valor de la raïl. Les aproximacions poden ser per defecte — usant la funció chafe — o per excés — usant la funció sostre—. Les primeres, donades per defecte són les següents:

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	...	15	16	17	...	24	25	26	27	28
$⌊ \sqrt{n} ⌋$	1	1	1	2	2	2	2	2	3	3	...	3	4	4	...	4	5	5	5	5

Una observació dels primers térmens posa de manifest que en la construcció d'esta taula, es bota successivament un increment de manera regular. Més precisament, el zero és repetit una volta, l'1 tres voltes, el 2 cinc voltes, el 3 sèt voltes, el 4 nou voltes, etc. El número de voltes que el sancer n es repetix és el n-ésimo sancer impar. La demostració residix sobre l'identitat següent, del tipo diferència finita:

(a + 1)^{2} - a^{2} = 2 a + 1

Extensió de la funció raïl quadrada

La raïl quadrada d'un número complejo

El quadrat de qualsevol número real positiu és positiu, i el quadrat de 0 és 0. Per lo tant, cap número negatiu pot tindre una raïl quadrada en els número real. No obstant, és possible treballar en un sistema més gran de números, cridats els número complejo, que contenen solucions a la raïl quadrada de qualsevol número real negatiu (i inclús de qualsevol número complejo).^[14] Els número complejo poden construir-se definint un nou número abstracte, denotat per i (a voltes j, especialment en el context de la electricitat) i cridat unitat imaginària, que satisfà que i² = -1. Utilisant esta notació podem pensar en i com la raïl quadrada de −1, pero notem que també tenim (-i)²= i² = -1, aixina que (−i) és també una raïl quadrada de −1. En general, si x és qualsevol número real positiu, llavors en la raïl quadrada principal de −x es complix la següent igualtat:

és dir, la raïl quadrada d'un número negatiu és, necessàriament, un número imaginario.^[15] Per a cada número complejo diferent a zero $z$ , existixen exactament dos números $w$ tals que $w^{2} = z$ .

Raïl quadrada d'un número imaginario

Si es desija trobar la raïl d'un número imaginario és possible demostrar l'igualtat

Per eixemple, les raïls quadrades de $i$ són:

\sqrt{i} = \frac{\sqrt{2}}{2} (1 + i) .

i

- \sqrt{i} = - \frac{\sqrt{2}}{2} (1 + i) .

Raïl quadrada principal d'un número complejo

La definició general de $\sqrt{z}$ està introduint el següent punt de ramificació: si $z = r e^{i φ}$ és representat en coordenades polars en −π < φ ≤ π, despuix fixem el valor principal a:

\sqrt{z} = \sqrt{r e^{i φ}} = \sqrt{r} e^{\frac{i φ}{2}}

Aixina definit, la funció de la raïl és holomorfa en tots els llocs llevat en els número real no positius, a on no és inclús contínua. La antedicha série de Taylor para $\sqrt{1 + x}$ seguix sent vàlida per al restant dels número complejo x en |x| < 1.

També pot representar-se en forma de funcions trigonométricas, utilisant la fòrmula de Moivre. Si $z = r (\cos φ + i \sin φ)$ llavors hi ha exactament dos raïls quadrades; la primera és:

\sqrt{z} = \sqrt{r} (\cos \frac{φ}{2} + i \sin \frac{φ}{2})

i per a l'atra raïl s'usa l'argument φ/2 + π, sent el mòdul el mateix.^[16]

Fòrmula algebraica

En general, per a un número complejo expressat en forma cartesiana, per mig d'estes fòrmules s'obté la raïl quadrada principal:

\sqrt{z} = \sqrt{\frac{| z | + Re (z)}{2}} + i sgn (Im (z)) \sqrt{\frac{| z | - Re (z)}{2}},

a on |z| és el valor absolut o mòdul de l'número complejo, i el signe de la part imaginària de la raïl coincidix en el signe de la part imaginària del radicant (vore funció signe (sgn)).

L'atra raïl quadrada s'obté simplement de multiplicar −1 per la raïl quadrada principal, abdós raïls poden ser escrites com

\pm (\sqrt{\frac{| z | + Re (z)}{2}} + i sgn (Im (z)) \sqrt{\frac{| z | - Re (z)}{2}})

Esta fòrmula pot ser usada per a trobar les raïls d'una equació (no algebraica) en coeficients en ℂ.^[17]^{cita requerida}

Notes

Observe que per la naturalea discontínua de la funció de la raïl quadrada en el pla complex, la llei $\sqrt{z w} = \sqrt{z} \cdot \sqrt{w}$ és en general falsa, i té tota potència en un conjunt determinat. És incorrecte, si s'assumix que esta llei és la base de vàries demostracions inválidas, per eixemple el demostrar que $- 1 = 1$ :

- 1 = i \cdot i = \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{- 1} = \sqrt{- 1 \cdot (- 1)} = \sqrt{1} = \pm 1

A on la tercera igualtat té que ser vista com:

\sqrt{1} = 1 ⟶ 1 \cdot 1 = 1^{2} = 1

\sqrt{1} = - 1 ⟶ (- 1) \cdot (- 1) = (- 1)^{2} = 1

Al no considerar-se, normalment les dos branques de la funció raïl quadrada, pot induir a errors en la consideració d'esta operació.

Raïls quadrades en els cuaterniones

En els número complejo està assegurat que solament existix un número finito de raïls enèsimes de l'unitat. Aixina per eixemple -1 té solament dos raïls complexes i i −i. No obstant, en els números cuaterniónicos $ℍ$ hi ha un número infinit de raïls quadrades de -1: de fet el conjunt de solucions forma una esfera en l'espai tridimensional. Per a vore açò, siga q = a + bi + cj + dk un cuaternión, i suponga's que el seu quadrat és −1. En térmens de a, b, c i d eixa assunció implica que

Este conjunt d'equacions reals té infinites solucions. Per a satisfer les últimes tres equacions deu tindre's que a = 0 o be b = c = d = 0, no obstant, esta última possibilitat no pot donar-se ya que al ser a un número real la primera equació implicaria que a² = −1, pero això és impossible per a un número real. Per tant a = 0 i b² + c² + d² = 1. En atres paraules. Note's que solament un cuaternión que siga igual a un número real negatiu pot tindre un número infinit de raïls quadrades. Tots els demés tenen solament dos raïls (o en el cas del 0 una única raïl). Donat un número cuaterniónico $a_{0} + a_{1} i + a_{2} j + a_{3} k$ (que no siga un real negatiu) les seues dos raïls cuaterniónicas són:

Lo anterior implica que l'equació:

té infinites solucions, situades sobre l'esfera unitat.

Raïl quadrada de matrius

Artícul principal → Raïl quadrada d'una matriu.

L'existència d'un producte de matrius permet definir la raïl quadrada d'una matriu com aquella matriu B que multiplicada per sí mateixa dona l'original A, és dir, B²=A després B=√A.

Raïl quadrada en cos finito

Primer definim els quadrats, per eixemple en F[7] el conjunt dels restants sancers mòdul 7, {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. El signe = significa congruència.^[18] No tots els números de F[7] tenen.
1² = 1; 2² = 4; 3² = 2; 4² = 2; 5² = 4; 6²= 1; 0² = 0.

Direm que a és la raïl quadrada de b si a² = b; es denota $a = \sqrt{b}$ .

de la llista anterior es veu que

$\sqrt{1} = 1$ ;
$\sqrt{1} = 6$
$\sqrt{2} = 3$ ;
$\sqrt{2} = 4$ ;
$\sqrt{4} = 2$ ;
$\sqrt{4} = 5$ ;

Càlcul de raïls quadrades

Artícul principal → Càlcul de la raïl quadrada.

Hui en dia existixen molts métodos per a calcular la raïl quadrada, havent alguns aptes per al càlcul manual i uns atres millor adaptats al càlcul automàtic.

Algoritme

Quan anem a realisar la raïl quadrada en la seua método de resolució usual podem vore les parts en les que es dividix, encara que les essencials d'esta no tenen per qué aparéixer o ser usades solament en l'operació per a ser calculada la raïl quadrada. Segons esta image, podem vore que les parts de les que es compon; són:

Radical: és el símbol que indica que és una raïl quadrada.
Radicant o cantitat subradical: és el número del que s'obté la raïl quadrada.
Raïl: és pròpiament la raïl quadrada del radicant.
Renglons auxiliars: nos ajudaran a resoldre la raïl quadrada.
Restant: és el número final del procés per a resoldre la raïl quadrada.

Utilisant logaritmos

Se simplifica el càlcul utilisant logaritmos i les seues propietats amprant les taules de logaritmos o regles de càlcul.

\sqrt[2]{x} = antilog \frac{\log (x)}{2}

Algoritmes per a màquines

Calculadoras, hoja i uns atres softwares també s'usen en freqüència per a calcular raïls quadrades. Els programes de software posen típicament bones rutines en la seua eixecució per a computar la funció exponencial i el logaritmo natural o logaritmo, computant-se despuix la raïl quadrada de x usant l'identitat:

\sqrt{x} = e^{\frac{1}{2} \ln x}

o

\sqrt{x} = 1 0^{\frac{1}{2} \log x}

Construcció geomètrica de la raïl quadrada

La raïl quadrada d'un número real es pot construir en regla i compàs. En els seus Elements, Euclides (300 AC) va donar la construcció de la mija geomètrica de dos cantitats en les seues proposicions II.14 i VI.13. Ya que la mija geomètrica de $a$ i $b$ és $\sqrt{a b}$ , un pot construir $\sqrt{a}$ simplement prenent $b = 1$ .

La construcció també va ser donada per Descartes en el seu llibre La Géométrie, veja la figura 2 en la segona pàgina.

Un atre método de construcció geomètrica (per a les raïls d'número natural) usa triànguls rectànguls i inducció: $\sqrt{1} = 1$ pugues, des de després, ser construït, i una volta que $\sqrt{x}$ ha segut construït, el triàngul en 1 i $\sqrt{x}$ com catetos, té una hipotenusa de $\sqrt{x + 1}$ .

Passos a seguir per a la construcció geomètrica

Per a "calcular" geomètricament la raïl quadrada d'un número real donat, lo que es fa és una construcció, per mig de regla i compàs, d'un segment que medixca la raïl quadrada de la llongitut d'un segment original que tinga per llongitut eixe valor real dau.

Els passos a seguir són els següents:

Tracem un segment $O B$ de llongitut $a$ , és dir, de llongitut igual al número del com volem calcular la seua raïl quadrada.
Estenem el segment $O B$ en una unitat (segons la llongitut que hajam pres com a unitat) de modo que tingam el segment $A B$ de llongitut $a + 1$ .
Tracem un círcul que tinga com a diàmetro el segment $A B$ .
En el punt $O$ (que és a on escomença l'extensió de llongitut 1) tracem una llínea perpendicular a $A B$ . Esta llínea curta a la circumferència en dos punts. Siga $H$ qualsevol d'eixos punts. Llavors, resulta que el segment $O H$ té una llongitut: $O H = \sqrt{a}$ .

Esta construcció té la seua importància en l'estudi dels números constructibles.

Demostració de que OH és igual a la raïl quadrada de OB

Per a demostrar esta igualtat, demostrarem que els triànguls $A O H$ i $H O B$ són triànguls semblants:

L'àngul $H$ és un àngul recte (de 90º) ya que $A B$ és la diagonal d'un arc capaç.
El segment $O H$ és perpendicular, per construcció, al segment $A B$ . O siga que els dos ànguls en vèrtiç en $O$ , $B O H$ (el dret en el diagrama) com $H O A$ (l'esquerre en el diagrama) són ànguls rectes.
La suma de tots els ànguls d'un triàngul és igual a 180º.

Ara tenint en conte tot açò construïm el següent sistema d'equacions:

$180 = 90 + B + (90 - H_{i})$
$180 = 90 + A + H_{i}$

A on $H_{i}$ és l'àngul superior del triàngul esquerre del com desconeixem la seua obertura, les atres lletres representen els atres ànguls que desconeixem i l'àngul $H_{d}$ es pot representar com la resta de $90 - H_{i}$ ya que 90º és el valor de $H$ sancer. En resoldre la primera equació veem que:

180 = 90 + B + 90 - H_{i}

;

H_{i} = B

.

En lo que ya vàrem demostrar que estos ànguls medixen lo mateix i en resoldre el segon:

90 = A + H_{i}

;

A = 90 - H_{i}

.

En lo que en ser $90 - H_{i} = H_{d}$ es trau que $A = H_{d}$ i en açò queda demostrat que en medir tots els ànguls lo mateix són triànguls semblants de manera $A H_{i} O_{i}$ $H_{d} B O_{d}$ . En posseir esta semblant els costats dels triànguls tenen una proporcionalitat igual per als tres costats tal que:

\frac{O H}{1} = \frac{O B}{O H} = \frac{H B}{A H}

Recordant que en construir geomètricament la raïl $A O$ sempre valia 1, en lo que prenent lo que nos interessa desenrollem:

\frac{O H}{1} = \frac{O B}{O H}

;

O B = O H^{2}

;

O H = \sqrt{O B}

.

Quedant demostrada.

Raïls quadrades útils

Artícul principal → Anexe:Raïls quadrades.

Raïl quadrada de 2

Artícul principal → Raïl quadrada de 2.

1^{2} + 1^{2} = x^{2}

x = \sqrt{2}

Provablement, la raïl quadrada de 2 va ser el primer número irracional descobert, el descobriment del qual li va costar la vida a un correligionari de Pitágoras. El valor d'este número en 10 sifres decimals per truncació és 1,4142135623. Apareix com a sen i coseno d'un àngul de 45 graus sexagesimals. Hi ha vàries fòrmules de recurrencia per a trobar el seu valor aproximat. Una d'elles és el conegut método de la tangente de Newton. La seua irracionalitat ya ho havien demostrat els grecs. No obstant, el seu fundamentación se li deu als matemàtics alemans Richard Dedekind i Georg Cantor en el XX. Per supost, no ve a ser sino un llímit igual que el dels número irracional $e$ i $π$ perque ningú pot escriure les seues infinites sifres; pero n'hi ha prou en menys de 10 dígits decimals per a lo que fa la ciència i tecnologia.

Raïl quadrada de 3

Artícul principal → Raïl quadrada de 3.

La raïl quadrada de 3: $\sqrt{3}$ , també coneguda com a constant de Teodoro (per Teodoro de Cirene), és geomètricament el valor de la diagonal d'una gaveta les arestes de la qual medixen l'unitat, podent-se demostrar en el teorema de Pitágoras. També és l'hipotenusa d'un triàngul rectàngul construible que els seus catetos medixen raïl quadrada de 2 i l'unitat respectivament.

El valor d'este número en 10 sifres decimals per truncació és 1,7320508075

Raïl quadrada de 5

Artícul principal → Raïl quadrada de 5.

La raïl quadrada de 5: $\sqrt{5}$ , apareix en la fòrmula del número áureo, i és geomètricament l'hipotenusa d'un triàngul que els seus catetos medixen 1 i 2 respectivament, comprovant-se per mig de la teorema de Pitágoras. El seu valor en 10 sifres decimals per truncació és 2,2360679774.

Usos i casos

La raïl quadrada s'usa per a calcular l'hipotenusa d'un triàngul rectàngul, coneixent els catetos. O un d'estos coneixent l'hipotenusa i l'atre cateto.
Per a trobar el radi d'un círcul coneixent la seua àrea.
En la detecció de si un número entero positiu és primer; basta considerar com divisores primers, aquells número primo que són menors que la seua raïl quadrada, aproximada a unitats.
Per a trobar el temps en el moviment uniforme accelerat sense velocitat inicial.
Per a conéixer quànts número impar inicials, escomençant des de l'1, s'han sumat; usant com a senya un quadrat perfecte.
En una funció quadràtica canònica, coneixent l'ordenada, trobar les corresponents abscisses.

Per a calcular la diagonal d'un quadrat coneixent la seua àrea.
Per a calcular la mija quadràtica de senyes positives.^[19]
En calcular ell àrea d'un triàngul equilátero, a on intervé $\sqrt{3}$
En obtindre l'àrea d'un tetraedre regular, en funció de la seua aresta, s'ampra $\sqrt{3}$ ^[20]
En obtindre el volum d'un tetraedre regular, en funció de la seua aresta, s'usa $\sqrt{2}$
Per a trobar la mija proporcional c entre a i b. L'altura d'un triàngul coneixent les proyeccions dels catetos sobre l'hipotenusa. La tangente a una circumferència, coneixent la secante i la seua part externa.
La $\sqrt{3}$ s'usa en certes raons trigonométricas d'un àngul de 30º o 60º.

La $\sqrt{2}$ s'ampra per a definir el sen i coseno d'un àngul de 45º.^[21]

En resoldre una equació de segon grau completa o de la forma x² = a, s'usa la raïl quadrada; en el primer cas si el determinant és negatiu, i en l'equació incompleta de segon grau si a és menor que zero, cal trobar la raïl quadrada d'un número negatiu, que proporciona com a raïls, dos número complejo conjugats. En el cas de que es tinga una equació de segon grau en coeficients complexos no reals, també es troba la raïl quadrada, pero les raïls de l'equació quadràtica, en este cas , no necessàriament, són conjugades.^[22]
En el cas de resoldre l'equació cúbica reduïda i³ + py + q = 0, per mig de la cridada fòrmula de Cardano, necessàriament cal trobar la raïl quadrada de p³/27 + q²/4 = H; després efectuar les raïls cúbiques de -q/2 + H i de -q/2 -H.^[23]

Vore també

Referències

Notes

↑ Àlgebra moderna - Estructura i método. Dolciani i uns atres. Publicacions Cultural. Mèxic, Mèxic, 1986.
↑ En llibres traduïts de l'anglés per a l'editorial Pearson impresos en Mèxic. El seu us era més general, per a aplicar-ho en raïls enèsimes.
↑ Plausible generalisació al cas d'un anell no conmutativo
↑ Anglin, W.S. (1994). Mathematics: A Concise History and Philosophy. Nova York: Springer-Verlag, 1994.
↑ Joseph, 2000, cap. 8.
↑ Boyer: Història de la matemàtica
↑ Smith, 1925, p. 148.
↑ Milton Donaire Penya. Formes i números. Editorial Sant Marcos, Lima. ISBN 978-612-45279-9-9
↑ Boyer, Carl Benjamin (1992): Història de la matemàtica (pág. 360), traduït per Mariano Martínez Pérez. Madrit: Aliança Editorial, 1992. ISBN 84-206-8094-X i ISBN 84-206-8186-5.
↑ Ifrah, Georges (1997): Història universal de les sifres (pág. 1452). Madrit: Espasa-Calp, 1997. ISBN 978-84-239-9730-5 i ISBN 84-239-9730-8.
↑ Alencar Filho, Edgard de: Exercicios de Geometria Plana [1986]
↑ Bruño G. M.: Elements de Geometria [1980]
↑ Elements de Geometria de Bruño, pp. 148, 149 i 150
↑ Alfhors. Complex Analysis
↑ Espinoza. Diccionari de matemàtiques. ISBN 84-8055-355-3.
↑ Aplicació de la Teorema de De Moivre. En Variable complexa en aplicacions de William R. Derrick ISBN 968-7270-35-7
↑ Alfhors: Variable complex
↑ Fraleigh: Àlgebra abstracta
↑ Galdós. Aritmètica
↑ Formulari de Matemàtiques «Cerebrito», Lima.
↑ Resultats que apareixen en manuals de geometria i de trigonometria o en texts universitaris de dites disciplines.
↑ Alhfords. Complex Variable. Tòquio 1956
↑ Adilson Gonçalvez. Introduçao à àlgebra. Impa . Riu de de Janeiro , 1939

Bibliografia

Stewart, James (2006). Càlcul: Conceptes i contexts, Mèxic D.F.: Thomson.
(2000) The crest of the peacock: the senar-European roots of mathematics (La cresta del pavo real: Raïls no europees de la matemàtica), Londres.
(1925) History of Mathematics (vol 2) special topics of elementary Mathematics (Història de la matemàtica, vol 2, assunts especials de la matemàtica elemental), Boston.
Anglin, W.S. (Decembre de 1994). Mathematics: A Concise History and Philosophy (Matemàtica: Una història i una filosofia concisas), New York.

Enllaços externs

Commons

Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre Raïl quadrada.

Archiu:Wiktionary-logo-v2.svg Raïl quadrada en el Viccionari.

Programa java per a trobar la raïl quadrada d'número entero en moltíssimes sifres decimals: [1]
Web educativa per a deprendre a trobar la raïl quadrada pas a pas: [2]

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Raíz cuadrada» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Àlgebra moderna - Estructura i método. Dolciani i uns atres. Publicacions Cultural. Mèxic, Mèxic, 1986.

[2] En llibres traduïts de l'anglés per a l'editorial Pearson impresos en Mèxic. El seu us era més general, per a aplicar-ho en raïls enèsimes.

[3] Plausible generalisació al cas d'un anell no conmutativo

[4] Anglin, W.S. (1994). Mathematics: A Concise History and Philosophy. Nova York: Springer-Verlag, 1994.

[5] Joseph, 2000, cap. 8.

[6] Boyer: Història de la matemàtica

[7] Smith, 1925, p. 148.

[8] Milton Donaire Penya. Formes i números. Editorial Sant Marcos, Lima. ISBN 978-612-45279-9-9

[9] Boyer, Carl Benjamin (1992): Història de la matemàtica (pág. 360), traduït per Mariano Martínez Pérez. Madrit: Aliança Editorial, 1992. ISBN 84-206-8094-X i ISBN 84-206-8186-5.

[10] Ifrah, Georges (1997): Història universal de les sifres (pág. 1452). Madrit: Espasa-Calp, 1997. ISBN 978-84-239-9730-5 i ISBN 84-239-9730-8.

[11] Alencar Filho, Edgard de: Exercicios de Geometria Plana [1986]

[12] Bruño G. M.: Elements de Geometria [1980]

[13] Elements de Geometria de Bruño, pp. 148, 149 i 150

[14] Alfhors. Complex Analysis

[15] Espinoza. Diccionari de matemàtiques. ISBN 84-8055-355-3.

[16] Aplicació de la Teorema de De Moivre. En Variable complexa en aplicacions de William R. Derrick ISBN 968-7270-35-7

[17] Alfhors: Variable complex

[18] Fraleigh: Àlgebra abstracta

[19] Galdós. Aritmètica

[20] Formulari de Matemàtiques «Cerebrito», Lima.

[21] Resultats que apareixen en manuals de geometria i de trigonometria o en texts universitaris de dites disciplines.

[22] Alhfords. Complex Variable. Tòquio 1956

[23] Adilson Gonçalvez. Introduçao à àlgebra. Impa . Riu de de Janeiro , 1939

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

Història

Símbol de la raïl quadrada ( )

Funció raïl quadrada

Propietats generals

Irracionalitat de les raïls quadrades

Radicals jerarquizados quadrats

Fraccions contínues

Aproximacions sanceres

Extensió de la funció raïl quadrada

La raïl quadrada d'un número complejo

Raïl quadrada d'un número imaginario

Raïl quadrada principal d'un número complejo

Fòrmula algebraica

Notes

Raïls quadrades en els cuaterniones

Raïl quadrada de matrius

Raïl quadrada en cos finito

Càlcul de raïls quadrades

Algoritme

Utilisant logaritmos

Algoritmes per a màquines

Construcció geomètrica de la raïl quadrada

Passos a seguir per a la construcció geomètrica

Demostració de que OH és igual a la raïl quadrada de OB

Raïls quadrades útils

Raïl quadrada de 2

Raïl quadrada de 3

Raïl quadrada de 5

Usos i casos

Vore també

Referències

Notes

Bibliografia

Enllaços externs

Referències

Símbol de la raïl quadrada $(\sqrt{})$