Teorema fonamental de l'àlgebra

Teorema fonamental de l'àlgebra

La teorema fonamental de l'àlgebra, també cridada teorema de d'Alembert o de d'Alembert–Gauss, establix que tot polinomi de grau major que zero té a lo manco una raïl. El domini de la variable és el conjunt dels número complejo, que és una extensió dels número real.
Encara que este enunciat, en principi, sembla ser una declaració dèbil, implica que tot polinomi de grau n d'una variable en grau major que zero en coeficients complexos té, contant les multiplicitatés, exactament n raïls complexes. L'equivalència d'estos dos enunciats es realisa per mig de la divisió polinòmica successiva per factors llineals. Equivalentemente (per definició), la teorema afirma que el cos dels número complejo és un cos algebraicamente tancat.

La teorema també s'enuncia de la següent manera: tot polinomi no nul, d'una sola variable, grau n en coeficients complexos té, contat en multiplicitat, exactament n raïls complexes. L'equivalència de les dos afirmacions pot demostrar-se per mig de l'us de la divisió successiva de polinomis.

A pesar del seu nom, no existix una demostració purament algebraica de la teorema, ya que qualsevol demostració deu utilisar alguna forma de la completitud analítica dels número real, que és no un concepte algebraic. Ademés, no és fonamental per al àlgebra moderna; el seu nom se li va donar en una época en la que àlgebra era sinònim de teoria d'equacions.

Història

Pedro Rothe (Petrus Roth), en el seu llibre Arithmetica Philosophica (publicat en 1608), va escriure que una equació polinòmica de grau $n$ (en coeficients reals) pot tindre $n$ solucions. Albert Girard, en el seu llibre L'invention nouvelle en l'Algebre (publicat en 1629), va asseverar que una equació de grau $n$ té $n$ solucions, pero no menciona que dites solucions deguen ser número real. Més encara, ell agrega que la seua asseveració és vàlida "llevat que l'equació siga incompleta", en lo que vol dir que cap dels coeficients del polinomi siga igual a zero. No obstant, quan explica en detalle a qué s'està referint, es fa evident que l'autor pensa que l'asseveració sempre és certa; en particular, mostra que l'equació

$x^4=4x-3$

a pesar de ser incompleta, té les següents quatre solucions (la raïl 1 té multiplicitat 2):

$1,1,-1+i\sqrt{2}\mathrm{y}-1-i\sqrt{2}.$

Leibniz en 1702 i més tart Nikolaus Bernoulli, conjeturaron lo contrari.

Com es mencionarà de nou més alvance, se seguix de la teorema fonamental de l'àlgebra que tot polinomi en coeficients reals i de grau major que zero es pot escriure com un producte de polinomis en coeficients reals del com els seus graus són 1 o 2. De totes formes, en 1702 Leibniz va dir que cap polinomi de tipo $x^4+a^4$ (en a real i distint de 0) es pot escriure en tal manera. Després, Nikolaus Bernoulli va fer la mateixa afirmació concernent al polinomi $x^4-4x^3+2x^2+4x+4$, pero va rebre una carta de Leonhard Euler en 1742 en el que li dia que el seu polinomi passava a ser igual a:

$(x^2-(2+\alpha )x+1+\sqrt{7}+\alpha )(x^2-(2-\alpha )x+1+\sqrt{7}-\alpha )$

en α igual a raïl quadrada de 4 + 2√7. Igualment va mencionar que:

$x^4+a^4=(x^2+a\sqrt{2}x+a^2)(x^2-a\sqrt{2}x+a^2).$

El primer intent que es va fer per a demostrar la teorema ho va fer d'Alembert en 1746. La seua demostració tenia un fallo, mentres que assumia implícitament com a cert una teorema (actualment conegut com el teorema de Puiseux) que no seria demostrat fins a un sigle més tart. Entre uns atres Euler (1749), de Foncenex (1759), Lagrange (1772) i Laplace (1795) varen intentar demostrar esta teorema.

A finals de el XVIII, es varen presentar dos noves proves, una per James Wood i una atra per Gauss (1799), pero abdós igualment incorrectes. Finalment, en 1806 Argand va publicar una prova correcta per a la teorema, enunciant la teorema fonamental de l'àlgebra per a polinomis en coeficients complexos. Gauss va produir un atre parell de demostracions en 1816 i 1849, sent esta última una atra versió de la seua demostració original, pero igualment incompleta.

El primer llibre de text que conté la demostració d'esta teorema va ser escrit per Cauchy. Es tracta de Course d'anlyse de l'École Royale Polytechnique (1821). La prova és la deguda a Argand, no obstant, en el text no se li dona crèdit.

Cap de les proves mencionades més dalt són constructives. És Weierstrass qui per primera volta, a mitan de el XIX, menciona el problema de trobar una prova constructiva de la teorema fonamental de l'àlgebra. En 1891 publica una demostració d'este tipo. En 1940 Hellmuth Knesser conseguix una atra prova d'este estil, que després seria simplificada pel seu fill Marin Kneser en 1981.

Enunciat i #equivalència

La teorema s'enuncia comunament de la següent manera:

Tot polinomi en una variable de grau n ≥ 1 en coeficients reals o complexos té per lo manco una raïl (real o complexa).

És àmpliament conegut també l'enunciat: Un polinomi en una variable, no constant i en coeficients complexos, té tantes raïls com indica el seu grau, contant les raïls en les seues multiplicitatés. En atres paraules, donat un polinomi complex P(z) de grau n ≥ 1, l'equació P(z) = 0 té exactament n soluciones complexes, contant #multiplicitat.

Atres formes equivalents de la teorema són:

• El cos dels complexos és tancat per a les operacions algebraiques.
• Tot polinomi complex de grau n ≥ 1 es pot expressar com un producte de n polinomis llineals, és dir

$P(z)=\sum _{k=0}^n{a}_{n-k}{z}^{n-k}=a_n\prod _{k=1}^n(z-z_k).$

Enunciats equivalents

Hi ha vàries #formulació equivalents de la teorema:

• Tot polinomi univariante de grau positiu en coeficients reals té a lo manco una raïl complexa.
• Tot polinomi univariante de grau positiu en coeficients complexos té a lo manco una raïl complexa.

  Açò implica immediatament l'afirmació anterior, ya que els número real són també número complejo. Ho contrarie resulta del fet de que s'obté un polinomi en coeficients reals prenent el producte d'un polinomi i el seu conjugat complex (obtingut substituint cada coeficient pel seu conjugat complex). Una raïl d'este producte és una raïl del polinomi donat, o del seu conjugat; en este últim cas, el conjugat d'esta raïl és una raïl del polinomi donat.

• Tot polinomi univariante de grau positiu n en coeficients complexos pot ser factorizado com $$c(x-r_1)\cdots (x-r_n),$$ a on $c,r_1,\dots ,r_n$ són número complejo.

Els número complejo $r_1,\dots ,r_n$ són les raïls del polinomi. Si una raïl apareix en varis factors, és una raïl múltiple, i el número de les seues aparicions és, per definició, la multiplicitat de la raïl.

• La demostració de que este enunciat resulta dels anteriors es fa per recursión sobre n: quan s'ha trobat una raïl $r_1$, la divisió de polinomis per $x-r_1$ proporciona un polinomi de grau $n-1$ les raïls del qual són les demés raïls del polinomi donat.

Les dos afirmacions següents són equivalents a les anteriors, encara que no impliquen cap número complejo no real. Estos enunciats es poden demostrar a partir d'factorización anteriors observant que, si r és una raïl no real d'un polinomi en coeficients reals, el seu conjugat complex $\bar{r}$ també és una raïl, i $(x-r)(x-\bar{r})$ és un polinomi de grau dos en coeficients reals (este és el teorema de la raïl conjugada complexa). A l'inversa, si es té un factor de grau dos, la fòrmula quadràtica dona una raïl.

• Tot polinomi univariante en coeficients reals de grau major que dos té un factor de grau dos en coeficients reals.
• Tot polinomi univariante en coeficients reals de grau positiu pugues factorizarse com $$c{p}_1\cdots p_k,$$ a on c és un número real i cada $p_i$ és un polinomi mónico de grau com a molt dos en coeficients reals. Ademés, es pot supondre que els factors de grau dos no tenen cap raïl real.

Demostració

Demostració directa

Siga $p$ un polinomi de grau $n\ge 1$ en coeficients complexos: $p\in {ℂ}_n[z]$. Per desigualtat triangular per al mòdul d'un complex, tenim que donats dos complexos $z,\omega \in ℂ$, $|z-\omega |\ge |z|-|\omega |$, puix $|z|=|\omega +(z-\omega )|\le |\omega |+|z-\omega |\Rightarrow |z-\omega |\ge |z|-|\omega |$. Per tant, per a $z\ne 0$,$p(z)=a_n{z}^n+\dots +a_{1}z+a_0\stackrel{a_n\ne 0}{=}{a}_n{z}^n(1+\frac{a_{n-1}}{a_{n}z}+\frac{a_{n-2}}{a_n{z}^2}+\dots +\frac{a_0}{a_n{z}^n})\Rightarrow |p(z)|\ge |a_n||z{|}^n(1-\frac{|a_{n-1}|}{|a_n||z|}-\dots -\frac{|a_0|}{|a_n||z{|}^n})\stackrel{|z|\to +\mathrm{\infty }}{⟶}+\mathrm{\infty }$,

a on, ademés, hem utilisat que $\mathrm{\forall }z,\omega \in ℂ|z\cdot \omega |=|z|\cdot |\omega |$.

Per tant, $\mathrm{\exists }R>0$ tal que $|p(z)|>|p(0)|$ si $|z|\ge R$.

L'afirmació anterior és equivalent a dir que $\mathrm{\forall }z\notin \Delta (0,R)\subseteq {ℝ}^2|p(z)|>|p(0)|$, en $\Delta (0,R)$ el disc de centre $0$ i ràdio $R$. $(*)$

Considerem la funció $f:\Delta (0,R)⟶ℝ$ definida per $f(z)=|p(z)|$. Com el domini és acotat i la funció és contínua per ser valor absolut d'un polinomi, que és una funció contínua, per la teorema de Weierstraß, alcança el seu mínim: $\mathrm{\exists }{z}_0\in \Delta (0,R)$ tal que $f(z)\ge f(z_0)\mathrm{\forall }z\in \Delta (0,R)$. En particular, $0\in \Delta (0,R)$, de manera que, per açò i per $(*)$, $|p(z)|>|p(0)|\ge |p(z_0)|\mathrm{\forall }z\in ℂ$, és dir, $z_0$ és mínim global de la funció $|p(z)|$.

Vorem ara que, de fet, $p(z_0)=0$, per lo que $p$ tindrà una raïl i haurem acabat.

Supongam que $p(z_0)\ne 0$. Podem puix considerar el polinomi $q\in {ℂ}_n[z]$ definit com $q(z)=\frac{p(z+z_0)}{p(z_0)}$. Observem que $q(0)=\frac{p(z_0)}{p(z_0)}=1$, per lo que podem escriure $q(z)=b_n{z}^n+\dots +b_k{z}^k+1$, en $b_n\ne 0$ per ser $q$ de grau $n$ i $b_k$ el primer coeficient distint de $0$. Ademés, tenim que $|q(z)|$ presenta un mínim en $z=0$ i val $1$, puix $|q(z)|=\frac{|p(z+z_0)|}{|p(z_0)|}\stackrel{\text{def }{z}_0}{\ge }\frac{|p(z_0)|}{|p(z_0)|}=1=q(0)=|q(0)|$.

Com tot número complejo admet $n$ raïls $n$-ésimas (es pot vore açò en l'artícul sobre radicació), podem considerar $\omega \in ℂ$ una raïl $k$-ésima de $-b_k\in ℂ$: ${\omega }^k=-b_k$. Considerem $z=\frac{r}{\omega }$, en $r\in ℝ,0<r<1$ (podem perque hem definit $b_k$ de tal forma que siga distint de $0$ i, per tant, les seues raïls i, en particular, $\omega$, també ho seran: $\omega \ne 0$). Evaluant $q$ en este $z$, tenim que

$q(z)=1+b_k{\left(\frac{r}{\omega }\right)}^k+b_{k+1}{\left(\frac{r}{\omega }\right)}^{k+1}+\dots +b_n{\left(\frac{r}{\omega }\right)}^n=1+b_k\left(\frac{r^k}{-b_k}\right)+r^{k+1}(b_{k+1}\frac{1}{{\omega }^{k+1}}+\dots +b_n\frac{r^{n-k-1}}{{\omega }^n})=1-r^k+r^{k+1}h(r)$,

en $h$ cert polinomi, que, per tant, és una funció contínua. Com hem pres $r<1$,

$|q(z)|=|1-r^k+r^{k+1}h(r)|\le |1-r^k|+r^{k+1}|h(r)|\stackrel{r<1\Rightarrow |1-r^k|>0}{=}1-r^k+r^{k+1}|h(r)|=1-r^k(1-r|h(r)|)<1$,

l'última desigualtat perque podem prendre $r>0$ tan chicotet com faça falta per a fer que $r|h(r)|<1$.

Aixina, hem trobat un $z=\frac{r}{\omega }$, en $0<r<1$ suficientment menut, tal que $|q(z)|<1$, pero abans havíem vist que $|q(z)|$ tenia un mínim en $z=0$ i que este valia $1$. Per tant, lo que hem obtingut és una contradicció que prové de supondre que $p(z_0)\ne 0$. Per tant, $p(z_0)=0\Rightarrow \mathrm{\exists }{z}_0\in ℂ$ tal que $p(z_0)=0$, és dir, $p$ té una raïl, com volíem demostrar. $◻$

Per teorema de Liouville

Siga $P$ un polinomi de grau $n$. $P$ és una funció sancera. Per a cada constant positiva $m$, existix un número real positiu $r$ tal que

$|P(z)|>m,\text{si}|z|>r.$

Si $P$ no té raïls, la funció $f=1/P$, és una funció sancera en la propietat de que para qualsevol número real $ϵ$ major que zero, existix un número positiu $r$ tal que

$|f(z)|<ϵ,\text{si}|z|>r.$

Concloem que la funció $f$ és acotada. Pero el teorema de Liouville diu que si $f$ és una funció sancera i acotada, llavors, $f$ és constant i açò és una contradicció.

De manera que $f$ no és sancera i per tant $P$ té a lo manco una raïl. $P$ es pot escriure per tant com el producte

$P(z)=(z-{\alpha }_1)Q(z),$

a on ${\alpha }_1$ és una raïl de $P$ i $Q$ és un polinomi de grau $n-1$. Per l'argument anterior, el polinomi $q$ a la seua volta té a lo manco una raïl i li'l pot factorizar novament.

Repetint este procés $n-1$ voltes, concloem que el polinomi $P$ pot escriure's com el producte

$P(z)=k(z-{\alpha }_1)(z-{\alpha }_2)\cdots (z-{\alpha }_n)$

a on ${\alpha }_1$ … ${\alpha }_n$ són les raïls de $P$ (no necessàriament distintes) i $k$ és una constant.

Corolaris

Com la teorema fonamental de l'àlgebra pot ser vist com la declaració de que el cos dels número complejo és algebraicamente tancat, se seguix que qualsevol teorema concernent a cossos algebraicamente tancats apliquen al cos dels número complejo. Es mostren ací algunes conseqüències de la teorema, sobre el cos dels número real o sobre les relacions entre el cos dels reals i el cos dels complexos:

• El cos dels número complejo és la clausura algebraica del cos d'número real.

• Tot polinomi mónico en una variable $x$ en coeficients reals és el producte de binomis de la forma $x+m$ en $m$ real, i de trinomis de la forma $x^2+bx+c$ en $b$ i $c$ reals i $b^2-4c<0$ (que és lo mateix que dir que el trinomi $x^2+bx+c$ no és resoluble en el conjunt dels número real).

• Tota funció racional en una variable $x$, en coeficients reals, es pot escriure com la suma d'una funció polinòmica en funcions racionals de la forma $a/(x-b{)}^n$(a on $n$ és un número natural, i $a$ i $b$ són número real), i funcions racionals de la forma $(ax+b)/(x^2+cx+d{)}^n$ (a on $n$ és un número natural, i $a$, $b$, $c$, i $d$ són número real tals que $c^2-4d<0$). Un corolari d'açò és que tota funció racional en una variable i coeficients reals té una primitiva elemental.

• Tota extensió algebraica del cos dels reals és isomorfa al cos dels reals o al cos dels complexos.

Bibliografia

• (1821).«Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique, 1^ère partie: Analyse Algébrique».Éditions Jacques Gabay. (tr. Course on Analysis of the Royal Polytechnic Academy, part 1: Algebraic Analysis)

• (1751).«Recherches sur els racines imaginaires dones équations».5

222–288.Consultat el 30 de juny de 2020.. English translation: (1751).«Investigations on the Imaginary Roots of Equations».5

222–288.Consultat el 25 d'agost de 2015.

• (1799).«Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factors reals primi vel secundi gradus resolvi posse».C. G. Fleckeisen. (tr. New proof of the theorem that every integral rational algebraic function of one variable ca be resolgau into real factors of the first or second degree).
• (1866).«Carl Friedrich Gauss Werke».Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen.Band III
  1. Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factors reals primi vel secundi gradus resolvi posse (1799), pp. 1–31., p. 1, en Google Libros – first proof.
  2. Demonstratio nova altera theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factors reals primi vel secundi gradus resolvi posse (1815 Dec), pp. 32–56., p. 32, en Google Libros – second proof.
  3. Theorematis de resolubilitate functionum algebraicarum integrarum in factors reals demonstratio tertia Supplementum commentationis praecedentis (1816 Jan), pp. 57–64., p. 57, en Google Libros – third proof.
  4. Beiträge zur Theorie der algebraischen Gleichungen (1849 Juli), pp. 71–103., p. 71, en Google Libros – fourth proof.
• (1940).«Der Fundamentalsatz der Algebra und der Intuitionismus».46

287–302.ISSN 0025-5874.doi:10.1007/BF01181442. (The Fonamental Theorem of Algebra and Intuitionism).

• (1981).«Ergänzung zu einer Arbeit von Hellmuth Kneser über donen Fundamentalsatz der Algebra».177(2)

285–287.ISSN 0025-5874.doi:10.1007/BF01214206. (tr. Una ampliació d'un treball d'Hellmuth Kneser sobre la Teorema Fonamental de l'Àlgebra).

• (1920).«Carl Friedrich Gauss Werke Band X Abt. 2». (tr. Sobre la primera i la quarta demostració gaussiana de la Teorema Fonamental de l'Àlgebra).

• (1891).«Sitzungsberichte der königlich preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin».

1085–1101. (tr. Nova demostració de la teorema segons el qual tota funció racional integral d'una variable pot representar-se com un producte de funcions llineals de la mateixa variable.).

Bibliografia recent

• (2007).«Yet another application of the Gauss-Bonnet Theorem for the sphere».14

341–342.

• (2012).«Some Riemannian geometric proofs of the Fonamental Theorem of Algebra».14

1–4.Consultat el 13 d'abril de 2023.

• (2011).«The Fonamental Theorem of Algebra: an elementary and direct proof».33(2)

1–2.doi:10.1007/s00283-011-9199-2.

• (2012).«The Fonamental Theorem of Algebra: from the four basic operations».119(9)

753–758.doi:10.4169/amer.math.monthly.119.09.753.

• (1997).«The Fonamental Theorem of Algebra».Springer-Verlag.
• (1988).«On Gauss's First Proof of the Fonamental Theorem of Algebra».103(1)

331–332.ISSN 0002-9939.doi:10.1090/S0002-9939-1988-0938691-3.

• (1991).«Sur l'histoire du théorème fondamental de l'algèbre: théorie dones équations et calcul intégral».42(2)

91–136.ISSN 0003-9519.doi:10.1007/BF00496870. (tr. On the history of the fonamental theorem of algebra: theory of equations and integral calculus.)

• (1916).«Encyclopédie dones Sciences Mathématiques Pures et Appliquées, prenga I, vol. 2».Éditions Jacques Gabay. (tr. The rational functions §80–88: the fonamental theorem).
• (1991).«Numbers».Springer-Verlag.
• (2007).«Improving the Fonamental Theorem of Algebra».29(4)

9–14.ISSN 0343-6993.doi:10.1007/BF02986170.

• (1981).«The Fonamental Theorem of Algebra and Complexity Theory».Bulletin of the American Mathematical Society.4(1)

1–36.doi:10.1090/S0273-0979-1981-14858-8. [1]

• (1959).«A Source Book in Mathematics».Dover.
• (2000).«A forgotten paper on the fonamental theorem of algebra».54(3)

333–341.ISSN 0035-9149.doi:10.1098/rsnr.2000.0116.

• «Gauss's second proof of the fonamental theorem of algebra». – English translation of Gauss's second proof.
• (2003).«Algebra».Springer-Verlag.I

Enllaços externs

• Fonamental Theorem of Algebra — a collection of proofs (anglés)
• D. J. Velleman: The Fonamental Theorem of Algebra: A Visual Approach, PDF (unpublished paper), visualisation of d'Alembert's, Gauss's and the winding number proofs (anglés)
• Fonamental Theorem of Algebra en MathWorld.