Cos (matemàtiques)

Cos (matemàtiques)

En matemàtica, concretament en el camp del àlgebra abstracta, un cos (en ocasions cridat camp com a traducció d'anglés field) és un sistema algebraic en el qual les operacions nomenades adició i multiplicació es poden realisar i complixen les propietats: associativa, conmutativa i distributiva de la multiplicació respecte de l'adició, ademés de l'existència d'invers aditiu, d'invers multiplicativo i d'un element neutre per a l'adició i un atre per a la multiplicació, els quals permeten efectuar les operacions de substracció i divisió (llevat la divisió per zero); estes propietats ya són familiars de l'aritmètica de número racional.

Els cossos són estructures algebraiques importants d'estudi en diverses branques de les matemàtiques pures: àlgebra abstracta, anàlisis matemàtic, teoria de números, geometria, topología, física matemàtica, etc.; lloc que proporcionen generalisacions apropiades d'operacions binàries en conjunts i sistemes de números tals com els conjunts de número racional, número real i número complex.

El concepte d'un cos s'usa, per eixemple, en definir i construir formalment un espai vectorial i les transformacions en estos objectes, donades per matrius, objectes en l'àlgebra llineal els components de la qual poden ser elements d'un cos arbitrari. La teoria de Galois estudia les relacions de simetria en les equacions algebraiques, des de l'observació del comportament de les seues raïls i les extensions de cossos corresponents i la seua relació en els automorfismes de cossos corresponents.

Definició

Un cos és un anell de divisió conmutativo, és dir, un anell conmutativo i unitari en el que tot element distint de zero és invertible respecte del producte. Per tant un cos és un conjunt K en el que s'han definit dos operacions, + i ·, cridades suma i multiplicació respectivament, que complixen les següents propietats:

K és tancat per a l'adició i la multiplicació

Per a tot a, b en K, a + b i a · b pertanyen a K (o més formalment, + i · són operacions matemàtiques en K);

Asociatividad de l'adició i la multiplicació

Per a tota a, b, c en K, a + (b + c) = (a + b) + c i a · (b · c) = (a · b) · c.

Conmutatividad de l'adició i la multiplicació

Per a tota a, b en K, a + b = b + a i a · b = b · a.

Existència d'un element neutre per a l'adició i la multiplicació

Existix un element 0 en K, tal que per a tot a en K, a + 0 = a.

Existix un element 1 en K, diferent de 0, tal que per a tot a en K, a · 1 = a.

Existència d'element opost i d'inversos:

Per a cada a en K, existix un element -a en K, tal que a + (- a) = 0.

Per a cada a ≠ 0 en K, existix un element a ^-1 en K, tal que a · a^-1 = 1.

Distributividad de la multiplicació respecte de l'adició

Per a tota a, b, c, en K, a · (b + c) = (a · b) + (a · c).

El requisit a ≠ 0 assegura que el conjunt que conté solament un zero no siga un cos, i de pas elimina la possibilitat de que en el cos existixquen divisores de zero distints de 0, lo que ho convertix també en un domini d'integritat. Directament dels axioma, es pot demostrar que (K, +) i (K - { 0 }, ·) són grups conmutativos i que per lo tant (vore la teoria de grups) l'opost -a i l'invers a^-1 són determinats únicament per a. Ademés, l'invers d'un producte és igual al producte dels inversos:

(a·b)^-1 = a^-1 · b^-1

en tal que a i b siguen diferents de zero. Atres regles útils inclouen

-a = (-1) · a

i més generalment

- (a · b) = (-a) · b = a · (-b)

aixina com

a · 0 = 0,

totes regles familiars de l'aritmètica elemental.

Definicions alternatives

Sintéticament, un anell P es denomina «cos», si consta no solament del zero i en ell és possible la divisió en tots els casos (llevat la divisió per zero), determinant-se esta unívocament, açò és, si per a qualsevol element m i n de P, dels quals n és diferent de zero, existix en P un element q, i solament un, que complix l'igualtat nq = m. L'element q es denomina cocient dels elements m i n i es denota q = m/n.

• Un cos F és un domini d'integritat que conté per a cada element a ≠ 0 un «invers» a^-1 que verifica l'igualtat:

a^-1·a = 1.

• El camp H és un anell conmutativo proveït de unitat 1 ≠ 0, en el que cada element ≠ 0 és invertible. El grup H^* = O(H), format per tots els elements que tenen invers multiplicativo, es diu «grup multiplicativo del camp».

El camp resulta (un) com un híbrit de dos camps abeliano, un aditiu i un atre multiplicativo, lligats per la llei distributiva, que basta una presentació per gojar de la propietat conmutativa la multiplicació. El producte CD^-1 s'escriu en notació fraccionaria com a c/d. La fracció c/d està determinada només quan d ≠ 0, és l'única solució de l'equació dt = c.

Indicacions per a fraccions

1. l/m = n/p s.s.s lp = mn, m,p ≠ 0. Equivalència de fraccions
2. l/m + n/p = (lp +mn) / mp. m,p ≠ 0. Adició de dos fraccions.
3. -(l/m) = -l/m = l/-m, m ≠ 0, Opost d'una fracció
4. l/m × n/p = ln/mp, m,p ≠ 0. Multiplicació de dos fraccions
5. (l/m)^-1 = m/l, l, m ≠ 0. Invers multiplicativo.

Es consideren els elements identitats:

1. 1 = m/m per a qualsevol m no nul.
2. 0 = 0/m per a tot m≠0.

Eixemples de cossos

Racionals i algebraics

Els número racional és un cos de números que inclou un subconjunt isomorfo als número entero, que per abús de notació també es designa com $\mathbb{Z}$. Tot número racional pot representar-se per un conjunt de fraccions, pero el conjunt dels racionals no deu identificar-se en el conjunt de les fraccions (ya que 1/2 i 2/4 són dos fraccions diferents que representen el mateix número racional). Per a definir els racionals deu considerar-se una relació d'equivalència sobre el conjunt de les fraccions:

La relació d'equivalència entre dos fraccions a/b i c/d estan relacionades si ad = bc, és dir:

En eixes condicions el conjunt dels racionals és el conjunt de classes d'equivalència en que el conjunt de les fraccions queda dividit $\mathbb{Q}=F/\sim$.

Els número racional no formen un cos algebraicamente tancat, una important teorema de la teoria de cossos demostra l'existència d'un cos algebraicamente tancat que conté al primer (estrictament un conjunt isomorfo). Ya que els racionals no són algebraicamente tancats, existix i pot construir-se el seu clausura algebraica $𝔸$, este conjunt es denomina cos dels número algebraico, pot demostrar-se que:

Els número complex contenen tant al cos de número algebraico com als número real. No obstant els reals no contenen als algebraics ya que per eixemple $i=\sqrt{-1}\in 𝔸$. Ademés pot demostrar-se que els número racional i els número algebraico són conjunts numerables mentres que els reals i els complexos no ho són:

Número real, complexos i p-ádicos

Els número real $ℝ$ en les operacions usuals formen un cos.

Els números hiperreales formen un cos que conté els reals, més els números infinitesimals i infinits. Els números surreales formen un cos que conté els reals, a excepció del fet de que són una classe pròpia, no un conjunt. El conjunt de tots els números surreales en el «natalici» menor que un cert cardinal inaccessible és un cos.

Els número real contenen varis subcuerpos interessants: els número real algebraics, els números computables, i els números definibles.

Els número complex $ℂ$ consistixen en expressions del tipo

a + bi

a on i és l'unitat imaginària, i.i., un número (no real) que satisfà i² = −1. Adició i multiplicació dels número real són definits de tal manera per a que tots els axioma del cos es complixen per a C. Per eixemple, la llei distributiva complix

(a + bi)·(c + di) = ac + bci + adi + bdi², que és igual a ac−bd + (bc + ad)i.

Els número racional es poden ampliar als cossos de números p-ádicos ${\mathbb{Q}}_p$ per a cada número primo p, que formen un cos normado. Cada u d'eixos cossos admet una clausura algebraica ${\overline{\mathbb{Q}}}_p$. Estes clausura algebraiques encara poden ser completades fins a formar un espai mètric complet.

Cossos finitos

Artícul principal → Cos finito.

El cos més chicotet té solament dos elements: 0 i 1. Es denota per ${𝔽}_2$ o ${\mathbb{Z}}_2$ i a voltes pot definir-se per mig de les dos taules

$\begin{array}{ccc}+& \mathrm{𝟎}& \mathrm{𝟏}\\ \mathrm{𝟎}& 0& 1\\ \mathrm{𝟏}& 1& 0\end{array}\begin{array}{ccc}\cdot & \mathrm{𝟎}& \mathrm{𝟏}\\ \mathrm{𝟎}& 0& 0\\ \mathrm{𝟏}& 0& 1\end{array}$

Té aplicacions importants en informàtica, especialment en àlgebra de Boole, criptografia i teoria de la codificació.

Més generalment, per a un número primo $p$, el conjunt dels «número entero» mòdul $p$ és un cos finit en els $p$ elements: açò s'escriu a sovint com ${\mathbb{Z}}_p=\{0,1,\mathrm{...},p-1\}$ a on les operacions són definides realisant l'operació en $\mathbb{Z}$, dividint per $p$ i prenent el restant, vore aritmètica modular.

Cossos de funcions

Per a un cos donat K, el conjunt K(X) de funcions racionals en la variable X en coeficients en K és un cos; açò es definix com el conjunt de cocients de polinomis en coeficients en K.

Si K és cos, i p(X) és un polinomi irreducible en un anell de polinomis F[X], llavors el cocient F[X]/<p(X)> és un cos en un subcuerpo isomorfo a K. Per eixemple, R[X]/(X²+1) és un cos (de fet, és isomorfo al cos dels número complex).

Quan K és un cos, el conjunt K[[X]] de series formals de Laurent sobre K és un cos.

Si V és una varietat algebraica sobre K, llavors les funcions racionals V → K formen un cos, el cos de funcions V. Si S és una superfície de Riemann, llavors les funcions meromorfas de S → C formen un cos.

Ultrafiltros

Si I és un conjunt d'índexs, O és un ultrafiltro sobre I, i K_i és un cos per a cada i en I, l'ultraproducto de K_i (usant O) és un cos.

Subcuerpos

Sean I i K dos cossos en I un subcuerpo de K (és dir, un subconjunt de K que conté 0 i 1, tancat baix les operacions + i * de K i en les seues pròpies operacions definides per restricció). Siga x un element de K no en I. Llavors I(x) es definix com el subcuerpo més chicotet de K que conté a I i a x. Per eixemple, Q(i) és el subcuerpo dels número complex C que consistixen en tots els números de la forma a+bi a on a i b són número racional.

Algunes teoremes inicials

• El conjunt d'elements diferents de zero d'un cos K (denotat típicament per K^×) és un grup abeliano baix multiplicació. Cada subgrup finit de K^× és cíclico.

• La característica de qualsevol cos és zero o un número primo. (la característica es definix com el número entero positiu més chicotet n tal que n·1 = 0, o zero si no existix tal n; ací n·1 significa n sumants 1 + 1 + 1 +... + 1.)

• Si $q>1$ és una potència d'un número primo, llavors existix (llevat isomorfisme) exactament un cos finit en $q$ elements. Ademés, estos són els únics cossos finitos possibles.

• Com a anell, un cos no té cap ideal llevat {0} i sí mateix.

• Tot anell de divisió finit és un cos (teorema de Wedderburn).

• Per a cada cos K, existix (llevat isomorfisme) un cos únic G que conté a K, és algebraic sobre K, i és algebraicamente tancat. G es diu la clausura algebraica de K.

Construccions de cossos

Subcuerpos i ideals

Si un subconjunt I d'un cos (K,+,·) junt en les operacions ·, + restringit a I és en sí mateixa un cos, llavors es diu un subcuerpo de K. Tal subcuerpo té els mateixos 0 i 1 que K.

Siga $(K,+,\cdot )$ un cos, i $E\subset K$. Es diu que $E$ és subcuerpo de $K$ o que $K$ és extensió de $E$ si es complix que $(E,+,\cdot )$ és un cos quan les operacions $(+)$ i $(\cdot )$ es restringixen a $E$. En particular, $E$ serà llavors un subanillo de $(K,+,\cdot )$. Es té llavors que $(E,+)$ i $(E\setminus \{0\},\cdot )$ són subgrups respectius dels grups abelianos $(K,+)$ i $(K\setminus \{0\},\cdot )$.

Com tot cos és un anell, podríem preguntar-nos per la forma que tinguen les seues ideals. Per a escomençar, com tot cos és anell conmutativo, tot ideal per l'esquerra és ideal (bilátero) i tot ideal per la dreta és també ideal (bilátero). Aixina que solament hem d'estudiar els ideals del cos.

Si $I$ és ideal del cos $K$, llavors tot element no nul $a\in K$ ha de tindre invers, $a^{-1}\in K$, despuix $a$ és una unitat de $K$ [açò és, $a\in U(K)$], i es tindrà que $I\cap U(K)\ne \varnothing$, és dir, $I=K$. D'esta manera, els únics ideals d'un cos són el propi cos i l'ideal nul.

Cos de fraccions

Artícul principal → Cos de fraccions.

Donat un anell $𝒜$, que ademés siga un domini d'integritat, es denomina «cos de fraccions» de $𝒜$ al cos format pel cocient del conjunt $𝒜\times {𝒜}^{*}$ (a on ${𝒜}^{*}$ denota el conjunt d'elements de $𝒜$ distints de zero) baix la relació d'equivalència $ℛ$ definida per:

$(a,b)ℛ(c,d)\leftrightarrow ad=bc$,

junt en les operacions

suma: $(a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd)$, i

producte: $(a,b)\times (c,d)=(ac,bd)$.

El parell $(a,b)$ se sol representar com $\frac{a}{b}$, i el cos de fraccions es denota com $Q(𝒜)$. El cos dels número racional s'obté d'esta manera a partir del anell dels sancers, sent les operacions suma i producte generalisacions dels usuals per a aquell conjunt numèric.

El cos de fraccions d'un anell és, llevat isomorfisme, el menor cos que conté a dit anell: si $𝔽$ és un cos que conté a un anell $𝒜$, llavors $𝒜\subset Q(𝒜)\subseteq 𝔽$. En particular, $Q(𝔽)=𝔽$.

La construcció del cos de funcions es pot generalisar a anells conmutativos arbitraris per a formar «anells de fraccions», pero en este cas el conjunt $𝒟$ de denominadors permesos (en lloc de ${𝒜}^{*}$) deu ser un subconjunt qualsevol no buit, que no continga al zero ni a divisores de zero, i que siga tancat baix multiplicació. L'anell resultant no és un cos, pero tot element de $𝒟$ és una unitat en dit anell.

Cos de funcions racionals en n indeterminades

Donat un domini d'integritat $𝒜$, en cos de fraccions $𝕂$, l'anell de polinomis en $n$ indeterminades $𝒜[X_1,\mathrm{...},X_n]$ és a la seua volta un domini d'integritat. Podem llavors aplicar la construcció anterior a este anell de polinomis per a obtindre el cos de fraccions $Q(𝒜[X_1,\mathrm{...},X_n])$.

Análogamente es pot construir el cos de fraccions de l'anell de polinomis en $n$ indeterminades $𝕂[X_1,\mathrm{...},X_n]$, que prenen coeficients en $𝕂$. Abdós cossos de fraccions coincidixen; es denomina a este com a «cos de funcions racionals en n indeterminades» en coeficients en $𝕂$, i es denota per $𝕂(X_1,\mathrm{...},X_n)$.

En conseqüència, $𝕂(X_1,\mathrm{...},X_n)$ està format pels cocients de polinomis

a on:

$\frac{P}{Q}ℛ\frac{R}{S}⟺PS=QR$.

Extensió de cossos

Vore també: Extensió de cossos

Una extensió algebraica d'un cos K és el cos més chicotet que conté a K i una raïl d'un polinomi irreducible p(X) en K [X]. Alternativament, és idèntic al anelle factor K [X]/(p(X)), a on (p(X)) és l'ideal generat per p(X).

Cos ordenat

Artícul principal → Cos ordenat.

Un cos ordenat és un cos en el que es pot definir una relació d'orde que siga compatible en les operacions de cos, és dir:

$(x<y)\Rightarrow (x+z<y+z)$, per a qualsevol x, i i z.

$(x>0\wedge y>0)\Rightarrow x\cdot y>0$, per a qualsevol x i i.

$x>0\iff -x<0$, per a qualsevol x.

Els racionals $\mathbb{Q}$ i els reals $ℝ$ són cossos ordenats, en canvi en els complexos $ℂ$ no és possible definir un orde compatible en les operacions de grup (si i > 0 se seguix que -1 > 0, si i < 0 se seguix que (-i)(-i) = -1 > 0).

Cossos en estructura adicional

Ya que els cossos són omnipresents en les matemàtiques i més allà, s'han adaptat varis refinament del concepte a les necessitats d'àrees matemàtiques particulars.

Cossos ordenats

Artícul principal → Cos ordenat.

Un cos F es denomina cos ordenat si es poden comparar dos elements qualssevol, de modo que x + i ≥ 0 i xy ≥ 0 sempre que x ≥ 0 i i ≥ 0. Per eixemple, els número real formen un cos ordenat, en l'orde habitual ≥. El teorema de Artin-Schreier establix que un cos es pot ordenar si i solament si és un cos formalment real, lo que significa que qualsevol equació quadràtica

$x_1^2+x_2^2+\dots +x_n^2=0$

solament té la solució x₁= x₂= ⋯= x_n= 0. El conjunt de totes les órdens possibles en un cos fix F és isomorfo al conjunt dels homomorfismes d'anells des del anell de Witt W(F) de formes quadràtiques sobre F cap a Z.

Un cos arquimediano és un cos ordenat tal que per a cada element existix una expressió finita

1 + 1 + ⋯ + 1

el valor del qual és major que eixe element, és dir, no hi ha infinits elements. De manera equivalent, el cos no conté infinitesimals (és dir, elements més chicotets que tots els número racional); o, encara equivalentement, el cos és isomorfo a un subcuerpo de R.

Cada conjunt real acotat té una cota superior mínima

Un cos ordenat és complet de Dedekind si existixen totes les cotes superiors, les cotes inferiors (consulte's l'artícul corts de Dedekind) i els llímits que deurien existir, existixen. Més formalment, es requerix que cada subconjunt acotat de F tinga un llímit superior mínim. Tot cos complet és necessàriament arquimediano, ya que en tot cos no arquimediano no hi ha ni el major infinitesimal ni el menor racional positiu, per lo que la successió 1/2, 1/3, 1/4, ..., els elements del qual són majors que tots els infinitesimals, no té llímit.

Ya que cada subcuerpo propi dels reals també conté tals espais, R és l'únic cos ordenat complet, llevat isomorfismes. Varis resultats fonamentals en càlcul infinitesimal es deriven directament d'esta caracterisació dels número real.

Els números hiperreales R^* formen un cos ordenat que no és arquimediano. És una extensió dels número real obtinguts en incloure números infinits i infinitesimals. Estos són més grans i més chicotets respectivament que qualsevol número real. Els hiperreales formen la base fonamental del anàlisis no estàndar.

Cossos topològics

Un atre refinament de la noció de cos és un cos topològic, en el que el conjunt F és un espai topològic, de modo que totes les operacions del cos (suma, multiplicació, les aplicacions a ↦ −a i a ↦ a⁻¹) són contínues sobre la topología de l'espai. La topología de tots els cossos discutits a continuació s'induïx a partir d'una mètrica, és dir, una funció

d : F × F → R,

que medix una distància entre dos elements qualssevol de F.

La completación de F és un atre cos en el que, informalment parlant, es reblixen els buits del cos original F, si n'hi ha. Per eixemple, qualsevol número irracional x, com x= Plantilla:Raïl, és una brecha en els racionals Q en el sentit de que és un número real que pot aproximar-se arbitrariamente per mig de número racional p/q, ya que la distància de x i p/q donada pel valor absolut | x − p/q | és tan chicoteta com es desige.

La següent taula enumera alguns eixemples d'esta construcció. La quarta columna mostra un eixemple de successió zero, és dir, una seqüència el llímit de la qual (para n → ∞) és zero.

Cos	Mètrica	Completación	Seqüència zero
Q	| x − i | (valor absolut usual)	R	1/n
Q	obtingut usant la valoració p-ádica, per a un número primo p	Qp (números p-ádicos)	pn
F(t) (F en qualsevol cos)	obtingut usant la valoració t-ádica	F((t))	tn

El cos Q_p s'usa en teoria de números i en anàlisis p-ádico. La clausura algebraica Q_p du una única norma que amplia la de Q_p, pero no és completa. No obstant, la completación d'este tancament algebraic és algebraicamente tancada. Per la seua analogia aproximada en els número complex, a voltes se li crida el cos dels números p-ádicos complexos i es denota per C_p.

Cossos locals

Els següents cossos topològics es denominen cossos locals:

• Extensions finitas de Q_p (cossos locals de característica zero)
• Extensions finitas de F_p((t)), el cos de la série de Laurent sobre F_p (cossos locals de característica p).

Estos dos tipos de cossos locals compartixen algunes similituts fonamentals. En esta relació, els elements p ∈ Q_p i t ∈ F_p((t)) (denominats uniformizadores) es corresponen entre sí. La primera manifestació d'açò és a nivell elemental: els elements d'abdós cossos poden expressar-se com a séries de potències en el uniformizador, en coeficients en F_p. No obstant, ya que la suma en Q_p es realisa per mig de carrege, que no és el cas en F_p((t)), estos cossos no són isomorfos). Els següents fets mostren que esta similitut superficial és molt més profunda:

• Qualsevol declaració llògica de primer orde que siga verdadera para casi tots els Q_p també ho és para casi tots els F_p((t)). Una aplicació d'açò és el teorema de Ax-Kochen, que descriu zeros de polinomis homogéneus en Q_p.
• Les extensions mansamente ramificadas d'abdós cossos estan en biyección entre sí.
• Contigües a raïls arbitràries de potència p de p (en Q_p), respectivament de t (en F_p((t))), s'obtenen extensions (infinites) d'estos cossos conegudes com cossos perfectoides. Sorprenentment, els grups de Galois d'estos dos cossos són isomorfos, lo que és el primer aguaitó d'un paralelisme notable entre estos dos cossos: $$\mathrm{Gal}\left({𝐐}_p\left(p^{1/p^{\mathrm{\infty }}}\right)\right)\cong \mathrm{Gal}({𝐅}_p((t))\left(t^{1/p^{\mathrm{\infty }}}\right)).$$

Cossos diferencials

Els cossos diferencials són cossos equipats en una derivació, és dir, permeten prendre derivades d'elements en el cos. Per eixemple, el cos R(X), junt en la derivada estàndar de polinomis forma un cos diferencial. Estos cossos són fonamentals per a teoria diferencial de Galois, una variant de la teoria de Galois que s'ocupa de les equacions diferencials llineals.

Vore també

• Teoria de cossos
• Estructura algebraica

Bibliografia

• (2004) Abstract Algebra, 3ª edició, Wiley.
• Gamboa, Jose Manuel (2002). Anells i cossos conmutativos, UNED.

• Kostrikin, A. I. (1983). Introducció a l'àlgebra, 2ª edició, Mir.
• (1994).«Elements of the history of mathematics».Springer.doi:10.1007/978-3-642-61693-8.
• (1988).«Algebra II. Chapters 4–7».Springer.
• (1989).«Topological fields».North-Holland.
• (1997).«Introduction to Cyclotomic Fields».Springer-Verlag.83doi:10.1007/978-1-4612-1934-7.
• (2008).«Algebra, Volume II: Fields with Structures, Algebras and Advanced Topics».Springer.
• (1996).«A course in arithmetic. Translation of Cours d'arithmetique».Springer.7
• (1979).«Local fields».Springer.67
• (1992).«Topics in Galois theory».Jones and Bartlett Publishers.
• (2002).«Galois cohomology».Springer-Verlag.Berlin, New York:
• (2014).«Proceedings of the International Congress of Mathematicians 2014».Consultat el 18 d'octubre de 2022.

Enllaços externs

• Field en MathWorld.
• {{{1}}} en Springer
• Plantilla:PlanetMath

Commons

• Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre Cos (matemàtiques). incloent un capítul sobre cossos.