Forma quadràtica

En matemàtiques, una forma quadràtica és una aplicació que assigna a cada element $x$ d'un espai vectorial un element del cos sobre el que està construït l'espai vectorial. Una volta fixades unes coordenades (una base) en l'espai vectorial, prenen la forma d'un polinomi homogéneu de segon grau en eixes coordenades. Aixina, els següents són eixemples de formes quadràtiques en espais vectorials de dimensions 1, 2 i 3 fixant coordenades $(x), (x, y)$ i $(x, y, z)$ , respectivament:

$Q (x) = a x^{2}$

$Q (x, y) = a x^{2} + b x y + c y^{2}$

$Q (x, y, z) = a x^{2} + b y^{2} + c z^{2} + d x y + e x z + f y z,$

a on $a, b, c, d, e, f$ són coeficients del cos.

La forma quadràtica arquetípica és la forma $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ en $ℝ^{3}$ en coordenades preses en la base canònica, que definix l'estructura euclídea de l'espai assignant a cada vector la norma donada per la raïl quadrada de la forma quadràtica. Un atre eixemple clàssic és la forma $x^{2} + y^{2} + z^{2} - t^{2}$ en $ℝ^{4}$ en base canònica, que permet definir l'espai de Minkowski utilisat en relativitat especial.

Les formes quadràtiques intervenen en molts àmbits de les matemàtiques: resultats de classificació de còniques i cuádricas, busca de mínims i màxims locals de funcions de vàries variables, la definició de curvatura d'una superfície, l'anàlisis de components principals en estadística, etc.

També s'usen en varis dominis de la física: per a definir el moment d'inèrcia d'un sòlit rígit, en relativitat especial i general, etc.

Definició formal

Una forma quadràtica és una aplicació $ω$ d'un espai vectorial $E$ en un cos $𝕂$ , que complix les següents condicions equivalents:

a) Existix una forma bilineal simètrica

f (\cdot, \cdot)

de

E \times E

en el cos

𝕂

tal que

ω (x) = f (x, x)

para tot

u \in E

. A

f (\cdot, \cdot)

se li crida forma polar de

ω

.

b)

ω (λ x) = λ^{2} ω (x)

,

\forall λ \in K, \forall u \in E

.

Partint de la definició (b) es pot construir la forma bilineal simètrica associada com $f (x, y) = \frac{ω (x + y) - ω (x) - ω (y)}{2}$ . Es diu indistintament que $ω$ és la forma quadràtica associada a $f (\cdot, \cdot)$ o que $f (\cdot, \cdot)$ és la forma bilineal associada a $ω$ .

Prefixada una base $u = (u_{1}, \dots, u_{n})$ de l'espai $E$ , una forma quadràtica és per tant una aplicació de la forma $ω (x) = f (x, x) = X^{𝖳} B X$ , a on $X$ són les coordenades de $x$ en base $u$ i $B$ és una matriu simètrica (la matriu de $f$ en base $u$ ) que té la forma següent:

$(\begin{matrix} f (u_{1}, u_{1}) & f (u_{1}, u_{2}) & \dots & f (u_{1}, u_{n}) \\ f (u_{2}, u_{1}) & f (u_{2}, u_{2}) & \dots & f (u_{2}, u_{n}) \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ f (u_{n}, u_{1}) & f (u_{n}, u_{2}) & \dots & f (u_{n}, u_{n}) \end{matrix})$

Se sol escriure $B = : M_{u} (f) = : M_{u} (ω)$ .

Habitualment també es representen per mig d'un polinomi de segon grau en vàries variables (tantes com la dimensió de l'espai vectorial), que s'obté desenrollant el producte $ω (x) = f (x, x) = X^{𝖳} B X$ (havent fixat prèviament una base).

Aixina, en $ℝ^{3}$ , per eixemple, posant $X = (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix})$ les coordenades d'un vector fixada una base $u$ (la base canònica, per eixemple), podríem referir-nos a la forma quadràtica $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2 x y$ , que es correspondria en la forma quadràtica de matriu en base canònica $M_{u} (f) = (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})$ . De la mateixa manera, una forma quadràtica general en $ℝ^{3}$ (fixada una base per a prendre coordenades) serà de la forma $a x^{2} + b y^{2} + c z^{2} + d x y + e x z + f y z$ , corresponent a la matriu simètrica general $M_{u} (f) = (\begin{matrix} a & d / 2 & e / 2 \\ d / 2 & b & f / 2 \\ e / 2 & f / 2 & c \end{matrix})$ .

És dir, fixada una base, hi ha una biyección entre formes quadràtiques de $E$ en $\dim E = n$ , matrius simètriques $n \times n$ i polinomis de segon grau en $n$ variables.

Equivalència entre formes quadràtiques i formes bilineales simètriques

És evident que tant les formes quadràtiques com les formes bilineales simètriques definixen sengles espais vectorials (són estables baix combinacions llineals en elements del cos). Per a vore l'equivalència entre les formes quadràtiques i les formes bilineales simètriques, basta trobar una biyección entre estos dos espais vectorials, que no és sino el contingut de l'apartat b) de la secció anterior. No obstant, no han de confondre's: les formes bilineales són aplicacions de $E \times E \to 𝕂$ mentres que les formes quadràtiques són aplicacions de $E \to 𝕂$ .

Referències

Luis Merino, Evangelina Sants: Àlgebra llineal en métodos elementals

Este artícul conté una traducció derivada de «Forma cuadrática» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.