Polinomi homogéneu

En matemàticas, un polinomi homogéneu és un polinomi en que cada u dels seus térmens (monomis) tenen el mateix grau; o els seus elements són de la mateixa dimensió. Per eixemple, $x^5+2x^3{y}^2+9x^1{y}^4$ és un polinomi homogéneu de grau 5, en dos variables; la suma dels exponents és sempre 5.

Una forma algebraica, o simplement forma és un atre nom per a un polinomi homogéneu. Un polinomi homogéneu de grau 2 és una forma quadràtica, i pot ser representat com una matriu simètrica. La teoria de les formes algebraiques és molt extensa, i té numeroses aplicacions en totes les atres matemàtiques i ciències teòriques.

Tensors simètrics

Els polinomis homogéneus en un espai vectorial poden ser construïts directament a partir de tensors simètrics, i viceversa. Per a espais vectorials definits sobre els cossos de número real o complexos, el sistema de polinomis homogéneus i els tensors simètrics són de fet isomorfos. Este parentesc és usualment expressats com seguix.

Sent X i I vectores de l'espai vectorial, i T el mapa multilineal o tensor simètric:

$\begin{array}{cccc}T:& \underbrace{X\times X\times \cdots \times X}& \to & Y\\ & n& & \end{array}$

Es definix l'operador diagonal $\Delta$ com:

$\begin{array}{cccc}\Delta :& X& \to & X^n\\ & x& \mapsto & (x,x,\dots ,x)\end{array}$

El polinomi homogéneu $\hat{T}$ de grau n associat en T és simplement $\hat{T}=T\circ \Delta$, de modo que

$\hat{T}(x)=(T\circ \Delta )(x)=T(x,x,\dots ,x)$

Escrit d'esta manera, està clar que un polinomi homogéneu és una funció homogénea de grau n. Açò, per a un escalar a, un té

$\hat{T}(ax)=a^n\hat{T}(x)$

Inversament, donat un polinomi homogéneu $P$, un pot construir el tensor simètric corresponent $\check{P}$, el qual seguix immediatament una multilinearidad del tensor per mig d'una fòrmula polarisada:

$\check{P}(x_1,x_2,\cdots x_n)=\frac{1}{2^{n}n!}\sum _{\genfrac{}{}{0ex}{}{{\epsilon }_i=\pm 1}{1\le i\le n}}{\epsilon }_1{\epsilon }_2\cdots {\epsilon }_{n}P\left(\sum _{i=1}{\epsilon }_i{x}_i\right)$

$ℒ(X^n,Y)$ denota l'espai de tensors simètrics de ranc n, i $𝒫(X,Y)$ denota l'espai de polinomis homogéneus de grau n. Si el vector espacial X i I estan damunt dels número real o complexos (o més generalment, damunt d'un cos de característica zero), després eixos dos espais són isomòrfics, en els mapeados donats per capells i comprovem:

$\hat{}:ℒ(X^n,Y)\to 𝒫(X,Y)$

i

$\stackrel{ˇ}{}:𝒫(X,Y)\to ℒ(X^n,Y)$

Forma algebraica

Forma algebraica, o simplement forma, és un atre terme per a polinomis homogéneus. Estos s'utilisen generalment per a formes quadràtiques a de graus 3 i més, i en el passat també varen ser coneguts com quants. En especificar el tipo de forma, un té que donar el seu grau d'una forma, i el número de variables n. Una forma està damunt d'algun camp K donat, si este va de Kⁿ a K, a on n és el número de variables de la forma.

Una forma damunt d'algun camp K en n variables representa 0 si en ell existix un element

(x₁,...,x_n)

en Kⁿ semblant que per lo manco de

x_i (i=1,...,n)

no és igual a zero.