Característica (matemàtica)

En àlgebra abstracta, la característica d'un anell $R$ és definida com el sancer positiu més chicotet $n$ tal que $1_R+\stackrel{n\text{ sumandos}}{\dots }+1_R=0$. Si no existix tal $n$, es diu que la característica de $R$ és 0.

De forma alternativa i equivalent, podem definir la característica de l'anell $R$ com l'únic número natural $n$ tal que $R$ continga un subanillo isomorfo al anelle cocient $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.

El cas d'anells

Si $R$ i $S$ són anells i existix un homomorfisme d'anells

$R\to S$,

llavors la característica de $S$ dividix la característica de $R$. Açò pugues a voltes ser utilisat per a excloure la possibilitat de cert homomorfisme d'anells. L'únic anell en característica 1 és l'anell trivial, el qual conté un sol element 0=1. Si l'anell no trivial $R$ no tenen cap divisor de zero, llavors la seua característica és 0 o primer. En particular, açò s'aplica a tot cos, a tot domini d'integritat i a tot anell de divisió. Tot anell de característica 0 és infinit.

L'anell $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ dels sancers mòdul $n$ té característica $n$. Si $R$ és un subanillo de $S$, llavors $R$ i $S$ tenen la mateixa característica. Per eixemple, si $q(X)$ és un polinomi primer en coeficients en el cos $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ a on $p$ és primer, llavors l'anell factor $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})[X]/(q(X))$ és un cos de característica $p$. Com els número complejo contenen als racionals, la seua característica és 0.

Si un anell conmutativo $R$ té característica prima $p$, llavors es té que $(x+y{)}^p=x^p+y^p$ per a tot element $x$ i $y$ en $R$.

L'aplicació

$f(x)=x^p$

definix un homomorfisme d'anells

$R\to S$,

Est és cridat l'endomorfisme de Frobenius. Si $R$ és un domini d'integritat este és inyectivo.