Número complejo

Els número complejo, designats en la notació ($ℂ$), són una extensió dels número real ($ℝ$) i formen un cos algebraicamente tancat. Entre abdós conjunts de números es complix que $ℝ\subset ℂ$, és dir: $ℝ$ està estrictament contingut en $ℂ$. Els número complejo inclouen totes les raïls dels polinomis, a diferència dels reals. Tot número complejo pot representar-se com la suma d'un número real i un número imaginario (que és un múltiple real de la unitat imaginària, que s'indica en la lletra $i$, o en forma polar).

Els número complejo són la ferramenta de treball del àlgebra, el anàlisis, aixina com de branques de les matemàtiques pures i aplicades com variables complexes, equacions diferencials; faciliten el càlcul d'integrals en aerodinàmica, hidrodinàmica i electromagnetisme entre atres àrees de gran importància. Ademés, els número complejo s'utilisen per doquier en matemàtiques, en molts camps de la física (notablement en la mecànica quàntica) i en ingenieria, especialment en la elèctrica, electrònica i les telecomunicacions, per la seua utilitat per a representar les ones electromagnètiques i la corrent elèctrica.

En matemàtiques estos números constituïxen un cos i, en general, es consideren com a punts del pla: el pla complex. Este cos conté als número real i els imaginaris purs.

Història

La fòrmula general de la solució de les raïls (sense utilisar funcions trigonométricas) d'una equació de tercer grau conté les raïls quadrades d'un número negatiu quan les tres raïls són número real, una situació que no pot rectificar-se factorizando en l'ajuda de teorema de la raïl racional si el polinomi cúbic és irreducible (el cridat casus irreducibilis). Este enigma va dur al matemàtic italià Gerolamo Cardano a concebre els número complejo al voltant de 1545, encara que la seua comprensió era rudimentària.

El treball sobre el problema dels polinomis generals va conduir finalment al teorema fonamental de l'àlgebra, que mostra que en el domini dels número complejo existix una solució per a cada equació polinomi de grau un o superior. Els número complejo formen un cos algebraicamente tancat, a on qualsevol equació polinòmica té una raïl.

Numerosos matemàtics varen contribuir al desenroll dels número complejo. Les regles per a la suma, resta, multiplicació i extracció de raïls d'número complejo varen ser desenrollades pel matemàtic italià Rafael Bombelli, i va anar el matemàtic irlandés William Rowan Hamilton qui va desenrollar un formalisme més abstracte per als número complejo, estenent esta abstracció a la teoria dels cuaterniones.

Potser es puga dir que la referència fugaç més primerenca a la raïl quadrada de número negatiu apareix en el treball del matemàtic grec de el I Herón d'Aleixandria. En el seu Stereometrica considera, aparentment per error, el volum d'un tronc de piràmide en una solució impossible, aplegant al terme $\sqrt{81-144}=3i\sqrt{7}$ en els seus càlculs, encara que no es concebien cantitats negatives en la matemàtica helènica i Herón simplement ho va reemplaçar pel mateix valor positiu ($\sqrt{144-81}=3\sqrt{7}$).

L'interés per estudiar els número complejo com un tema en sí mateixa va sorgir per primera volta en el XVI, quan els matemàtics italians varen descobrir solucions algebraiques per a les raïls dels polinomis cúbics i cuárticos (vejau Niccolò Fontana Tartaglia i Gerolamo Cardano). Pronte es varen donar conte de que estes fòrmules, inclús si solament interessaven solucions reals, a voltes requerien la manipulació de raïls quadrades de números negatius. Com per eixemple, en la fòrmula de Tartaglia per a una equació cúbica de la forma $x^3=px+q$ dona la solució a l'equació $x^3=x$ en la forma:

$\frac{1}{\sqrt{3}}({\left(\sqrt{-1}\right)}^{1/3}+{\left(\sqrt{-1}\right)}^{-1/3}).$

A priori, açò sembla un sense sentit. No obstant, els càlculs formals en número complejo mostren que l'equació $z^3=i$ té solucions $-i$, $\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$ i $\frac{-\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$. Substituint estos a la seua volta per ${\sqrt{-1}}^{1/3}$ en la fòrmula cúbica de Tartaglia i simplificant, s'obtenen $0$, $1$ i $-1$ com les solucions de $x^3-x=0$. Per supost, esta equació en particular es pot resoldre a simple vista, pero ilustra que quan s'usen fòrmules generals per a resoldre equacions cúbiques en raïls reals, llavors, com varen demostrar rigorosament els matemàtics posteriors, l'us d'número complejo és inevitable. Rafael Bombelli va ser el primer en abordar explícitament estes solucions aparentment paradòxiques de les equacions cúbiques, i va desenrollar les regles per a l'aritmètica complexa que intenta resoldre estos problemes.

El terme "imaginari" per a estes cantitats va ser falcat per René Descartes en 1637, esforçant-se precisament per emfatisar la seua naturalea imaginària

Una atra font de confusió va ser que l'equació ${\sqrt{-1}}^2=\sqrt{-1}\sqrt{-1}=-1$ semblava ser caprichosamente inconsistente en l'identitat algebraica $\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab}$, que és vàlida para número real no negatius $a$ i $b$, i que també es va usar en càlculs d'número complejo en algun de $a$ o $b$ positiu i l'atre negatiu. L'us incorrecte d'esta identitat (i l'identitat relacionada $\frac{1}{\sqrt{a}}=\sqrt{\frac{1}{a}}$) en el cas de que $a$ i $b$ siguen negatius, va preocupar inclús a Euler. Esta dificultat finalment va dur a la convenció d'usar el símbol especial ($i$) en lloc de $\sqrt{-1}$ per a protegir-se contra este error. Aixina i tot, Euler va considerar natural presentar als estudiants número complejo molt abans de lo que es fa hui en dia. En el seu llibre de text d'àlgebra elemental, Elements d'Àlgebra, introduïa estos números casi de colp i repent i després els usava de forma natural.

En el XVIII els número complejo varen obtindre un us més ampli, ya que es va notar que la manipulació formal d'expressions complexes podria usar-se per a simplificar els càlculs que impliquen funcions trigonométricas. Per eixemple, en 1730 Abraham de Moivre va observar que les complicades identitats que relacionen les funcions trigonométricas d'un múltiple sancer d'un àngul en les potències de les funcions trigonométricas d'eixe àngul podrien simplement reexpresarse per mig de la següent coneguda fòrmula que du el seu nom, la fòrmula de De Moivre:

$(\cos \theta +i\mathrm{sen}\theta {)}^n=\cos n\theta +i\mathrm{sen}n\theta .$

En 1748 Leonhard Euler va ser més allà i va obtindre la Fòrmula de Euler d'anàlisis complex:

$\cos \theta +i\mathrm{sen}\theta =e^{i\theta }$

manipulant formalment series de potències complexes, i va observar que esta fòrmula podria usar-se per a reduir qualsevol identitat trigonométrica a identitats exponencials molt més simples.

L'idea d'un número complejo com un punt en el pla complex va ser descrita per primera volta per Caspar Wessel en 1799, encara que ya havia segut anticipada en 1685 en l'obra De Algebra tractatus de John Wallis.

Les Memòries de Wessel varen aparéixer en les Actes de la Real Acadèmia de Belles arts de Dinamarca, pero varen passar desapercebudes. En 1806 Jean-Robert Argand va emetre independentment un cuadernillo sobre número complejo i va proporcionar una demostració rigorosa del teorema fonamental de l'àlgebra. Carl Friedrich Gauss havia publicat anteriorment una prova essencialment topològica de la teorema en 1797, pero va expressar els seus dubtes en eixe moment sobre "la verdadera metafísica de la raïl quadrada de −1". No va ser sino fins a 1831 quan va superar estos dubtes i va publicar el seu tractat sobre número complejo com a punts en el pla, establint en gran medida la notació i la terminologia modernes. A principis de el XIX atres matemàtics varen descobrir independentment la representació geomètrica dels número complejo: Buée, Mourey, Warren, Français i el seu germà, Bellavitis.

El matemàtic anglés Godfrey Harold Hardy va comentar que Gauss va ser el primer matemàtic en usar número complejo "d'una manera realment segura i científica", encara que matemàtics com Niels Henrik Abel i Carl Gustav Jakob Jacobi els usaven necessàriament de forma rutinària ans que Gauss publicara el seu tractat de 1831.

“Si este tema ha segut considerat fins ara des del punt de vista equivocat i, per lo tant, envolt en misteri i rodejat d'obscuritat, és en gran part per una terminologia inadequada que deu ser culpada. Si a +1, -1 i Plantilla:Raïl, en lloc de ser cridats unitat positiva, negativa i imaginària (o pijor encara, impossible), se'ls hagueren donat els noms d'unitat directa, inversa i lateral, difícilment s'hauria estés tal obscuritat.” - Gauss

Augustin Louis Cauchy i Bernhard Riemann varen aportar idees fonamentals sobre el anàlisis complex, elevant-ho a un alt estat de terminació, començant al voltant de 1825 en el cas de Cauchy.

Els térmens comuns utilisats en la teoria es deuen principalment als seus fundadors. Argand va cridar "factor de direcció" a $\cos \varphi +i\sin \varphi$; i "mòdul" a $r=\sqrt{a^2+b^2}$; Cauchy (1828) va cridar a $\cos \varphi +i\sin \varphi$ la "forma reduïda" (l'expression réduite) i aparentment va introduir el terme "argument"; Gauss va usar $i$ per a $\sqrt{-1}$, va introduir el terme "<o>número complejo</o>" per a $a+bi$ i va cridar a $a^2+b^2$ la "norma". L'expressió "coeficient de direcció", utilisada a sovint per a $\cos \theta +i\mathrm{sen}\theta$; es deu a Hankel (1867), i "valor absolut per a mòdul" es deu a Weierstrass.

Entre els escritors clàssics sobre la teoria general posteriors, s'inclouen Richard Dedekind, Otto Hölder, Felix Klein, Henri Poincaré, Hermann Amandus Schwarz, Karl Weierstrass i molts uns atres.

Els número complejo lligats a les funcions analítiques o de variable complexa, han permés estendre el concepte del càlcul al pla complex. El càlcul de variable complexa posseïx diverses propietats notables que comporten propietats que poden usar-se per a obtindre diversos resultats útils en matemàtica aplicada.

Definició

Es definix cada número complejo com un parell ordenat de número real: $z=(a,b)$. A on el primer element $a$ (d'abscissa) es denomina com a part real del complex (en este cas: part real del complex $z$) i es denota $a=\text{Re}(z)$; el segon element $b$ (d'ordenada) es denomina com a part imaginària del complex (en este cas: part imaginària del complex $z$) i es denota $b=\text{Im}(z)$, a on el parell ordenat $(a,b)$ es grafica en un pla complex. Després en el conjunt dels número complejo, es definixen vàries operacions i la relació d'igualtat:

• Igualtat

$(a,b)=(c,d)⟺a=c\wedge b=d$

Al parell ordenat $(a,0)$ se li denomina número complejo real i com entre el conjunt d'estos i el conjunt dels número real s'establix un isomorfisme, s'assumix que tot número real és un número complejo. Al parell ordenat $(0,b)$ es denomina número imaginario pur. ya que: $(a,0)+(0,b)=(a,b)$. Per tant, un número complejo és la suma d'un número complejo real en un número imaginario pur.

Operacions racionals

• Adició:

$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$

• Producte per escalar:

$r(a,b)=(ra,rb)$

• Producte:

$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

• Resta:

$(a,b)-(c,d)=(a-c,b-d)$

• Divisió:

$\frac{(a,b)}{(c,d)}=\frac{(ac+bd,bc-ad)}{c^2+d^2}=(\frac{ac+bd}{c^2+d^2},\frac{bc-ad}{c^2+d^2})$

Unitat imaginària

En el àlgebra, el número $i$ ($j$ en ingenieria), cridat unitat imaginària; és definit com:

$i=(0,1)$

Prenent en conte que el producte de dos número imaginario purs, serà un número complejo real:

$(0,a)\cdot (0,b)=(0-ab,0+0)=(-ab,0)=-ab$

I el producte de dos número complejo reals, serà un atre número complejo real:

$(a,0)\cdot (x,0)=(ax-0,0+0)=(ax,0)=ax$

Llavors, es definix que $i^2=-1$:

$i^2=i\cdot i=(0,1)\cdot (0,1)=(0-1,0+0)=(-1,0)=-1$

Afijo

El afijo d'un número complejo és el punt que se li fa correspondre en el pla complex. Aixina, el afijo de l'número complejo $z_1=(a,b)$ és el punt $P(a,b)$.

Valor absolut, argument i conjugat

Valor absolut o mòdul d'un número complejo

El valor absolut, mòdul o magnitut d'un número complejo $z$ ve dau per la següent expressió:

$|z|=\sqrt{z\cdot z^{*}}$

Que és equivalent a:

${\left|z\right|}^2=z\cdot z^{*}$

Si pensem en les coordenades cartesianas de l'número complejo $z$ com algun punt en el pla; podem vore, pel teorema de Pitágoras, que el valor absolut d'un número complejo coincidix en la distància euclídea des de l'orige del pla a dit punt.

Si el complex està escrit en forma exponencial $z=r\cdot e^{i\cdot \varphi }$, llavors $|z|=r$. Es pot expressar en forma trigonométrica com $z=r(cos(\varphi )+i\cdot sen(\varphi ))$, a on $cos(\varphi )+i\cdot sen(\varphi )=e^{i\cdot \varphi }$ és la coneguda fòrmula de Euler.

Podem comprovar en facilitat estes quatre importants propietats del valor absolut:

$\left|z\right|=0⟺z=0$

$|z+w|\le |z|+|w|$

$\left|zw\right|=|z||w|$

$|z-w|\ge ||z|-|w||$

per a qualsevol complex $z$ i $w$.

Per definició, la funció distància queda com seguix $d(z,w)=|z-w|$ i nos proveïx d'un espai mètric en els complexos gràcies al que es pot parlar de llímits i continuïtat. La suma, la resta, la multiplicació i la divisió de complexos són operacions contínues. Si no es diu lo contrari, s'assumix que esta és la mètrica usada en els número complejo.

Argument o fase

Artícul principal → argumente (anàlisis complex).

El argument principal o fase d'un número complejo genèric $z=x+yi$, a on $x=Re(z)$ i $y=Im(z)$, és l'àngul $\varphi$ que formen l'eix d'abscisses $OX$ i el vector $OM$, en $M(x,y)$. Ve dau per la següent expressió:

a on $atan2(y,x)$ és la funció arcotangente definida per als quatre quadrants:

$\mathrm{atan2}(y,x)=\{\begin{array}{cc}\arctan \left(\frac{y}{x}\right)& x>0\\ \arctan \left(\frac{y}{x}\right)+\pi & y\ge 0,x<0\\ \arctan \left(\frac{y}{x}\right)-\pi & y<0,x<0\\ +\frac{\pi }{2}& y>0,x=0\\ -\frac{\pi }{2}& y<0,x=0\\ \text{indefinido}& y=0,x=0\end{array}$

O també: $\mathrm{atan2}(y,x)=\frac{\pi }{2}\mathrm{sgn}(y)-\arctan \left(\frac{y}{x}\right)\mathrm{\forall }x,y\in ℝ$ Sent:

$\mathrm{sgn}(y)=\{\begin{array}{c}1y\ge 0\\ -1y<0\end{array}$

la funció signe.

L'argument té periodicitat $2\pi$, en lo que $\arg z=\arg z+2k\pi$ sent $k$ qualsevol número entero. L'àngul $\arg z$ és el valor principal de $\arg z$ que verifica les condicions $-\pi <\arg z\le \pi$ descrites abans.

Conjugat d'un número complejo

Dos binomis es diuen conjugats si solament diferixen en el signe del segon terme. D'esta manera, el conjugat d'un complex $z$ (denotat com $\overline{z}$ o $z^{*}$) és un nou número complejo, definit aixina:

$\overline{z}=a-b\mathrm{i}⟺z=a+b\mathrm{i}$

S'observa que abdós diferixen en el signe de la part imaginària. En este número es complixen les propietats:

$\overline{z+w}=\overline{z}+\overline{w}$

$z+\bar{z}=2\cdot \text{Re}(z)$

$z-\bar{z}=2i\cdot \text{Im}(z)$

$\overline{zw}=\overline{z}\overline{w}$

$z\in ℝ⟺\overline{z}=z$

$|z{|}^2=z\overline{z}\ge 0$

$z\ne 0\Rightarrow \frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{|z{|}^2}$

Esta última fòrmula és el método elegit per a calcular l'invers d'un número complejo si ve dau en coordenades rectangulars.

Representacions

Representació binómica

Un número complejo es representa en forma binomial com:

$z=a+bi$

La partix real de l'número complejo i la part imaginària es poden expressar de vàries maneres, com es mostra a continuació:

$a=\text{Re}(z)=\mathrm{\Re }(z)$

$b=\text{Im}(z)=\mathrm{\Im }(z)$

Representació polar

En esta representació, $r$ és el mòdul de l'número complejo i l'àngul $\varphi$ és el argument de l'número complejo.

$\varphi =\arctan \left(\frac{b}{a}\right)=\arctan \left(\frac{\text{Im}(z)}{\text{Re}(z)}\right)=-\arctan (-\frac{\text{Im}(z)}{\text{Re}(z)})$

$\cos \varphi =\frac{a}{r},\sin \varphi =\frac{b}{r}$

Rebujant-se $a$ i $b$ en les expressions anteriors i, utilisant la representació binomial, resulta:

$z=a+\mathrm{i}b;z=r\cos \varphi +\mathrm{i}r\mathrm{sen}\varphi$

Traent factor comú $r$:

$z=r(\cos \varphi +\mathrm{i}\sin \varphi )$

Freqüentment, esta expressió s'abrevia convenientment de la següent manera:

$z=r\mathrm{cis}\varphi$

la qual solament conté les abreviatures de les raons trigonométricas coseno, la unitat imaginària i la raó sen de l'argument respectivament.

Segons esta expressió, pot observar-se que per a definir un número complejo tant d'esta forma com en la representació binomial es requerixen dos paràmetros, que poden ser partix real i imaginària o be mòdul i argument, respectivament.

Segons la Fòrmula de Euler:

$\cos \varphi +i\mathrm{sen}\varphi =e^{\mathrm{i}\varphi };z=r{e}^{i\varphi }$

En notació angular, a sovint usada en Electrotècnia es representa al fasor de mòdul $r$ i argument $\varphi$ com:

$z=r\mathrm{\angle }\varphi .$

No obstant, l'àngul $\varphi$ no està unívocamente determinat per $z$, puix poden existir infinits número complejo que tenen el mateix valor representat en el pla, que es diferencien pel número de revolucions, ya siguen de sentit antihorario (positives) o horari (negatives) les quals es representen per número entero $k\in \mathbb{Z}$, com implica la fòrmula de Euler:

$\mathrm{\forall }k\in \mathbb{Z}z=r{e}^{\mathrm{i}(\varphi +2\pi k)}$

Per açò, generalment $\varphi$ està restringit al interval $[-\pi ,\pi )$ i a este $\varphi$ restringit se li crida argument principal de $z$ i es denota $\varphi =\arg (z)$. En este conveni, les coordenades estan unívocamente determinades per $z$.

Operacions en forma polar

La multiplicació d'número complejo és especialment senzilla en la notació polar:

$z_1{z}_2=rs{e}^{\mathrm{i}(\varphi +\psi )}\iff z_1{z}_2=r{e}^{\mathrm{i}\varphi }s{e}^{\mathrm{i}\psi }$

Divisió:

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r}{s}{e}^{\mathrm{i}(\varphi -\psi )}$

Potenciació:

$z^n=r^n{e}^{\mathrm{i}\varphi n}\iff z^n={\left(r{e}^{i\varphi }\right)}^n{z}^n=(a+b\mathrm{i}{)}^n=$

$z^n=(a+b\mathrm{i}{)}^n=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})a^n+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})a^{n-1}b\mathrm{i}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})a^{n-2}{\left(b\mathrm{i}\right)}^2+\dots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-1})a{\left(b\mathrm{i}\right)}^{n-1}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n}){\left(b\mathrm{i}\right)}^n$

Raïl enèsima d'un número complejo

Raïl quadrada

Donat l'número complejo $z$, direm $\sqrt{z}=\{w_1,w_2\}$ i es complix que $z=w_i^2,i=1,2$

Eixemple $\sqrt{i}=\{\cos \frac{\pi }{4}+i\mathrm{sen}\frac{\pi }{4},\cos \frac{3\pi }{4}+i\mathrm{sen}\frac{3\pi }{4}\}$

Representació en forma de matrius d'orde 2

En l'anell de les matrius de segon orde sobre el camp de número real, es pot trobar un subconjunt que és isomorfo al cos dels número complejo. Puix, s'establix una correspondència entre cada número complejo $a+bi$ en la matriu:

$\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right).$

De tal manera s'obté una correspondència biunívoca. La suma i el producte de dos d'esta matrius té de nou esta forma, i la suma i producte d'número complejo correspon a la suma i producte de tals matrius. En particular la matriu $\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 1& 0\end{array}\right)$ complix el rol de unitat imaginària.

Pla dels número complejo o diagrama de Argand

Artícul principal → Pla complex.

El concepte de pla complex permet interpretar geomètricament els número complejo. La suma d'número complejo es pot relacionar en la suma en vectores, i la multiplicació d'número complejo pot expressar-se simplement usant coordenades polars, a on la magnitut del producte és el producte de les magnituts dels térmens, i el àngul contat des de l'eix real del producte és la suma dels ànguls dels térmens podent ser vista com la transformació del vector que trencada i canvia el seu tamany simultàneament.

Multiplicar qualsevol complex per $i$ correspon en una rotació de $90$° en contra direcció a les agulles del rellonge. Aixina mateix el que $(-1)\cdot (-1)=1$ pot ser entés geomètricament com la combinació de dos rotacions de $90$°, obtenint una rotació de $180$° ($i^2=-1$), donant com resultat un canvi de signe en completar un regrés.

Els diagrames de Argand s'usen freqüentment per a mostrar les posicions dels pols i els zeros d'una funció en el pla complex.

El anàlisis complex, la teoria de les funcions complexes, és una de les àrees més riques de la matemàtica, que troba aplicació en moltes atres àrees de la matemàtica aixina com en física, electrònica i molts atres camps.

Propietats

Cos dels número complejo

El conjunt dels número complejo satisfà les lleis de la axiomàtica que definix un cos:

• Propietat conmutativa: $z+w=w+z;z\cdot w=w\cdot z$
• Propietat associativa: $v+(w+z)=(v+w)+z;v(w\cdot z)=(v\cdot w)z$
• Propietat distributiva: $v(w+z)=v\cdot w+v\cdot z;(w+z)v=w\cdot v+z\cdot v$
• Existència d'identitats: L'identitat aditiva, el zero: $z+0=0+z=z$; l'identitat multiplicativa, l'1: $z\cdot 1=1\cdot z=z$

• Inversos: cada número complejo té el seu invers aditiu $-z$, tal que $z+(-z)=0$ i cada número complejo, distint de zero, té el seu invers multiplicativo $z^{-1}$, tal que $z\cdot z^{-1}=1$.

Si identifiquem el número real $a$ en el complex $(a,0)$, el cos dels número real $ℝ$ apareix com un subcuerpo de $ℂ$. Més encara, $ℂ$ forma un espai vectorial de dimensió 2 sobre els reals. Els complexos no poden ser ordenats com, per eixemple, els número real, per lo que $ℂ$ no pot ser convertit de cap manera en un cos ordenat.

Espai vectorial

El conjunt $ℂ$ en l'adició d'número complejo i considerant com escalares els número real, es pot definir $ℂ$ com un espai vectorial. Açò és:

1. Si $z,w$ són número complejo, llavors $z+w$ és un número complejo. Esta operació interna definix una estructura de grup aditiu.
2. Si $r$ és número real i $z$ és un número complejo, llavors $r\cdot z$, cridat múltiple escalar de $z$, és també un número complejo. Les dos operacions satisfan la axiomàtica d'un espai vectorial o llineal.

Aplicacions

En matemàtiques

Solucions d'equacions polinòmiques

Una raïl o un zero del polinomi $p$ és un complex $z$ tal que $p(z)=0$. Un resultat important d'esta definició és que totes les equacions polinòmiques (algebraiques) de grau $n$ tenen exactament $n$ solucions en el cos dels número complejo, açò és, té exactament $n$ complexos $z$ que complixen l'igualtat $p(z)=0$, contats en les seues respectives #multiplicitat. A açò li'l coneix com Teorema Fonamental de l'Àlgebra, i demostra que els complexos són un cos algebraicamente tancat; per açò els matemàtics consideren als número complejo uns números més naturals^{cita requerida} que els número real a l'hora de resoldre equacions.

També es complix que si $z$ és una raïl d'un polinomi $p$ en coeficients reals, llavors el complex conjugat de $z$ també és una raïl de $p$.

Variable complexa o anàlisis complex

Artícul principal → anàlisis complex.

A l'estudi de les funcions de variable complexa li'l coneix com el Anàlisis complex. Té una gran cantitat d'usos com a ferramenta de matemàtiques aplicades aixina com en atres branques de les matemàtiques. El anàlisis complex proveïx algunes importants ferramentes per a la demostració de teoremes inclús en teoria de números; mentres que les funcions reals de variable real, necessiten d'un pla cartesiano per a ser representades; les funcions de variable complexa necessiten un espai de quatre dimensions, lo que les fa especialment difícils de representar. Se solen utilisar ilustracions coloreadas en un espai de tres dimensions per a sugerir la quarta coordenada o animacions en 3D per a representar les quatre.

Equacions diferencials

En equacions diferencials, quan s'estudien les solucions de les equacions diferencials llineals en coeficients constants, és habitual trobar primer les raïls (en general complexes) $\lambda$ del polinomi característic, lo que permet expressar la solució general del sistema en térmens de funcions de base de la forma: $f(x)=e^{\lambda x}$.

Fractales

Artícul principal → Fractal.

Molts objectes fractales, com el conjunt de Mandelbrot, poden obtindre's a partir de propietats de convergència d'una successió d'número complejo. El anàlisis del domini de convergència revela que dits conjunts poden tindre una enorme complexitat autosimilar.

En física

Els número complejo s'usen en ingenieria electrònica i en atres camps per a una descripció adequada de les senyals periòdiques variables (vore Anàlisis de Fourier). En una expressió del tipo $z=r{e}^{i\varphi }$ podem pensar en $r$ com la amplitut i en $\varphi$ com la fase d'una ona sinusoidal d'una freqüència donada. Quan representem una corrent o un voltage de corrent alterna (i per tant en comportament sinusoidal) com la part real d'una funció de variable complexa de la forma $f(t)=z{e}^{i\omega t}$ a on $w$ representa la freqüència angular i l'número complejo $z$ nos dona la fase i l'amplitut, el tractament de totes les fòrmules que rigen les resistències, capacitats i inductorés poden ser unificades introduint resistències imaginàries per a les dos últimes (vore rets elèctriques). Ingeniers elèctrics i físics usen la lletra $j$ per a l'unitat imaginària en lloc de $i$ que està típicament destinada a l'intensitat de corrent.

El camp complex és igualment important en mecànica quàntica la matemàtica subjacent de la qual utilisa Espais de Hilbert de dimensió infinita sobre C (ℂ).^{cita requerida}

En la relativitat especial i la relativitat general, algunes fòrmules per a la mètrica del espai-temps són molt més simples si prenem el temps com una variable imaginària.^{cita requerida}

Generalisacions

• Els número complejo poden generalisar-se donant lloc als números hipercomplejos. El cos dels número complejo és un subcuerpo conmutativo del àlgebra cuaterniónica $ℍ$, que a la seua volta és una subálgebra d'atres #àlgebra més extenses (octoniones, sedeniones):

• Una atra possible generalisació és considerar la complejificación dels números hiperreales:

Vore també

• Pla de Argand
• Conjunt de Mandelbrot
• Conjunt de Julia

Bibliografia

• (1986).«Functions of One Complex Variable I».Springer.

I. M. Yaglom: Número complejo i les seues aplicacions a la geometria'. Editorial URSS Moscou (2009) ISBN 978-5-396-00077-3

Enllaços externs

Commons

• Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre Número complejo.
• Complex Number en MathWorld.
• Els número complejo. Llibre interactiu gratuït de RET Descartes