Pla (geometria)

Pla (geometria)

En geometria, un pla és un objecte ideal que solament posseïx dos dimensions, i conté infinits punts i rectas; és un concepte fonamental de la geometria junt en el punt i la recta.

Una recta continguda en un pla ho dividix en dos semiplanos. Es denomina frontera, vora o orige del semiplano.

Quan es parla d'un pla de polina, s'està parlant de l'objecte geomètric que no posseïx volum, és dir bidimensional, i que conté un número infinit de rectes i punts. No obstant, quan el terme s'utilisa en plural, s'està parlant d'aquell objecte elaborat com una representació gràfica de superfícies en diferents posicions. Els plans són especialment utilisats en ingenieria, arquitectura i disseny, ya que servixen per a diagramar en una superfície plana o en atres superfícies que són regularment tridimensionals.

Un pla queda definit pels següents elements geomètrics:

• Tres punts no alineats.
• Una recta i un punt exterior a ella.

• Dos rectes paraleles o dos rectes que es tallen.

Els plans solen nomenar-se en una lletra de l'alfabet grec.

Sol representar-se gràficament, per a la seua millor visualisació, com una figura delimitada per vores irregulars (per a indicar que el dibuix és una part d'una superfície infinita).

En un sistema de coordenades cartesianes, un punt del pla queda determinat per un parell ordenat, cridats abscissa i ordenada del punt. Per mig d'eixe procediment, a tot punt del pla corresponen sempre dos número real ordenats (abscissa i ordenada), i recíprocament, a un parell ordenat de números correspon un únic punt del pla. Conseqüentment, el sistema cartesiano establix una correspondència biunívoca entre un concepte geomètric com és el dels punts del pla i un concepte algebraic com són els parells ordenats de números. En coordenades polars, per un àngul i una distància. Esta correspondència constituïx el fonament de la geometria analítica.

l'àrea és una mida d'extensió d'una superfície, o d'una figura geomètrica plana, expressada en unitats de mida denominades unitats de superfície. Per a superfícies planes el concepte és més intuïtiu. Qualsevol superfície plana de costats rectes, per eixemple un polígon, pugues triangularse i es pot calcular la seua àrea com sumixca de les àrees de dits triànguls. Ocasionalment s'usa el terme "àrea" com a sinònim de superfície, quan no existix confusió entre el concepte geomètric en sí mateixa (superfície) i la magnitut mètrica associada al concepte geomètric (àrea).

Història

Els llibres I a IV i VI d'Elements de Euclides tractaven de la geometria bidimensional, desenrollant nocions com la semblança de formes, el teorema de Pitágoras (Proposició 47), l'igualtat d'ànguls i àrea, el paralelisme, la suma dels ànguls d'un triàngul i els tres casos en que els triànguls són "iguals" (tenen la mateixa àrea), entre molts atres temes.

Posteriorment, el pla es va descriure en el cridat sistema de coordenades cartesianes, un sistema de coordenades que especifica cada punt de forma única en un pla per mig d'un parell de numèrics coordenades, que són les signes distàncies des del punt a dos rectes perpendicular fixes, mides en la mateixa unitat de llongitut. Cada llínea de referència es diu eix de coordenades o simplement eix del sistema, i el punt a on es troben és el seu orige', normalment en el parell ordenat (0, 0). Les coordenades també poden definir-se com les posicions de les proyeccions perpendiculars del punt sobre els dos eixos, expressades com a distàncies en signe des de l'orige.

L'idea d'este sistema va ser desenrollada en 1637 en escrits de Descartes i independentment per Pierre de Fermat, encara que Fermat també treballava en tres dimensions, i no va publicar el descobriment. Abdós autors varen utilisar un únic eix en els seus tractamentsPlantilla:Fact i tenen una llongitut variable mida en referència a este eix. El concepte d'utilisar un parell d'eixos es va introduir més tart, en acabant de que La Géométrie de Descartes fora traduïda al llatí en 1649 per Frans van Schooten i els seus alumnes. Estos comentaristes varen introduir varis conceptes a l'hora que intentaven aclarir les idees contingudes en l'obra de Descartes.

Més vesprada, es va pensar en el pla com un camp, en el que dos punts qualssevol podien multiplicar-se i, llevat 0, dividir-se. Açò es va conéixer com pla complex. El pla complex es denomina a voltes pla de Argand perque s'utilisa en els diagrames de Argand. Estos reben el seu nom de Jean-Robert Argand (1768-1822), encara que varen ser descrits per primera volta pel topógrafo i matemàtic danés-noruec Caspar Wessel (1745-1818). Els diagrames de Argand s'utilisen freqüentment per a traçar les posicions del pols i del ceroes d'una funció en el pla complex.

En geometria

Sistemes de coordenades

Artícul principal → Coordenades cartesianes.

En matemàtiques, la geometria analítica (també cridada geometria cartesiana) descriu cada punt de l'espai bidimensional per mig de dos coordenades. Es donen dos eixos de coordenades perpendiculars que es creuen en l'orige. Solen denominar-se x i i. En relació en estos eixos, la posició de qualsevol punt en l'espai bidimensional ve donada per un parell ordenat d'número real, cada número donant la distància d'eixe punt des del orige medit a lo llarc de l'eix donat, que és igual a la distància d'eixe punt des de l'atre eix.

Un atre sistema de coordenades àmpliament utilisat és el sistema de coordenades polars, que especifica un punt en térmens de la seua distància des de l'orige i el seu àngul relatiu a un raig de referència cap a la dreta.

• 
  Sistema de coordenades cartesianes
• 
  Sistema de coordenades polars

Incorporació en l'espai tridimensional

Equació del pla en forma normal

En geometria euclidiana, un pla és una superfície plana de dos dimensions que s'estén indefinidament. Els plans euclídeos sorgixen a sovint com subespacios del espai tridimensional. ${ℝ}^3$. Un eixemple prototípico és una de les parets d'una habitació, infinitament estesa i que se supon infinitesimal prima. Mentres que un parell d'número real ${ℝ}^2$ basta per a descriure punts en un pla, la relació en punts fora del pla requerix una consideració especial per a la seua incrustación en l'espai ambiente ${ℝ}^3$.

Politopos

Artícul principal → Polígon.

En dos dimensions, existixen infinits politopos: els polígons. A continuació es mostren els primers regulars:

Convexo

El símbol de Schläfli $\{n\}$ representa un n-ágono regular.

Nom	Triàngul (2-simplex)	Quadrat (2-orthoplex) (2-gaveta)	Pentágono	Hexàgon	Heptàgon	Octógono
Símbol de Schläfli	{3}	{4}	{5}	{6}	{7}	{8}
Image						Archiu:Regular octagon.svg
Nom	Nonágono	Decágono	Undecágono	Dodecágono	Tridecágono	Tetradecágono
Schläfli	{9}	{10}	{11}	{12}	{13}	{14}
Image	Archiu:Regular nonagon.svg	Archiu:Regular decagon.svg	Archiu:Regular hendecagon.svg	Archiu:Regular dodecagon.svg	Archiu:Regular tridecagon.svg	Archiu:Regular tetradecagon.svg
Nom	Pentadecágono	Hexadecágono	Heptadecágono	Octadecágono	Eneadecágono	Icoságono	...n-gono
Schläfli	{15}	{16}	{17}	{18}	{19}	{20}	{n}
Image	Archiu:Regular pentadecagon.svg	Archiu:Regular hexadecagon.svg	Archiu:Regular heptadecagon.svg	Archiu:Regular octadecagon.svg	Archiu:Regular enneadecagon.svg	Archiu:Regular icosagon.svg

Degenerado (esfèric)

El monógono (o henágono) regular {1} i el digon regular {2} {2} poden considerar-se polígons regulars degenerados i existixen de forma no degenerada en espais no euclidianos com una 2-esfera, un 2-bou, o un cilindre circular recte.

Nom	Monógono	Dígono
Símbol de Schläfli	{1}	{2}
Image	Archiu:Monogon.svg	Archiu:Digon.svg

Polígons no convexos

Existixen infinits polígons regulars no convexos en dos dimensions, els símbols de les quals de Schläfli consistixen en número racional {n/m}. Es diuen polígons estrela i compartixen la mateixa disposició de vèrtiços dels polígons regulars convexos.

En general, per a qualsevol número natural n, existixen estreles poligonales regulars no convexas de n puntes en símbols de Schläfli {n/m} per a tot m tal que m < n/2 (estrictament parlant {n/m} = {n/(n - m)}) i m i n són coprimos.

Nom	Estrela pentagonal	Heptagrama		Octagrama	Eneagramas		Decagrama	...n-agramas
Símbol de Schläfli	{5/2}	{7/2}	{7/3}	{8/3}	{9/2}	{9/4}	{10/3}	{n/m}
Image	Archiu:Star polygon 5-2.svg	Archiu:Star polygon 7-2.svg	Archiu:Star polygon 7-3.svg	Archiu:Star polygon 8-3.svg	Archiu:Star polygon 9-2.svg	Archiu:Star polygon 9-4.svg	Archiu:Star polygon 10-3.svg

Círcul

Archiu:CIRCLE 1.svg

La hiperesfera en 2 dimensions és un círcul, a voltes cridat 1-esfera (S¹) perque és un colector unidimensional. En un pla euclídeo, té la llongitut 2πr i l'àrea de la seua interior és

$A=\pi r^2$

a on $r$ és el radi.

Atres formes

Existixen infinitat d'atres formes curves en dos dimensions, entre les que destaquen les seccions còniques: l'elipse, la paràbola i la hipérbola.

Propietats del pla ℝ³

En un espai euclidiano tridimensional ℝ³, podem trobar els següents fets (els quals no són necessàriament vàlits per a dimensions majors):

• O be dos plans són paralels, o be es intersecan en una llínea.
• O be una recta és paralela a un pla, o be es interseca en el mateix en un punt, o be està continguda en ell.
• Dos rectes perpendicular a un mateix pla són paraleles entre sí.
• Dos plans perpendiculars a una mateixa recta són paralels entre sí.
• Entre un pla Π qualsevol i una recta no perpendicular al mateix existix solament un pla tal que conté a la recta i és perpendicular al pla Π.
• Entre un pla Π qualsevol i una recta perpendicular al mateix existixen infinits plans tals que contenen a la recta i són perpendiculars al pla Π.

Equació vectorial del pla

Un pla queda definit pels següents elements geomètrics: un punt i dos vectores:

Punt P = (x₁, i₁, z₁)
Vector o = (o_x, o_i, o_z)
Vector v = (a₂, b₂, c₂)

$(x,y,z)=(x_1,y_1,z_1)+m(u_x,u_y,u_z)+n(a_2,b_2,c_2)$

a on

$m$

i

$n$

són escalares.

Esta és la forma vectorial del pla; no obstant, la forma més utilisada és la reduïda, resultat d'igualar a zero el determinant format pels dos vectores i el punt genèric X = (x, i, z) en el punt donat. D'esta manera l'equació del pla és:

$\left|\begin{array}{c}(𝐗-𝐏)\\ 𝐮\\ 𝐯\end{array}\right|=0=>\left|\begin{array}{ccc}x-P_x& y-P_y& z-P_z\\ u_x& u_y& u_z\\ v_x& v_y& v_z\end{array}\right|=0=>Ax+By+Cz+D=0$

A on (A, B, C) és un vector perpendicular al pla i coincidix en el producte vectorial dels vectores o i v. La fòrmula per a trobar l'equació quan no està en l'orige és:

$a(x-h)+b(y-k)+c(z-j)=0$

Estrictament

P = P₀ + mA + nB és l'equació del pla determinat per un punt fix i dos vectores A i B no colineales.

Equació per mig de vector ortogonal

a.x = 0, a on a és un vector ortogonal i x un punt del pla.

Posició relativa entre dos plans

Si tenim un pla 1 en un punt A i un vector normal 1, i també tenim un pla 2 en un punt B i un vector normal 2.

Les seues posicions relatives poden ser:

• Plans coincidentes: la mateixa direcció dels vectores normals i el punt A pertany al pla 2.
• Plans paralels: si tenen la mateixa direcció els vectores normals i el punt A no pertany al pla 2.
• Plans secantes: si els vectores normals no tenen la mateixa direcció.

Distància d'un punt a un pla

Per a un pla qualsevol $\Pi :ax+by+cz+d=0$ i un punt qualsevol ${𝐩}_1=(x_1,y_1,z_1)$ no necessàriament contingut en dit pla Π, la menor distància entre P₁ i el pla Π és:

$D=\frac{|a{x}_1+b{y}_1+c{z}_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.$

De lo anterior es deduïx que el punt P₁ pertanydrà al pla Π si i solament si D=0.

Si els coeficients a, b i c de l'equació canònica d'un pla qualsevol estan normalisats, açò és quan $\sqrt{a^2+b^2+c^2}=1$, llavors la fòrmula anterior de la distància D es reduïx a:

$D=|a{x}_1+b{y}_1+c{z}_1+d|.$

Semiplano

Artícul principal → Semiplano.

Es diu semiplano, en geometria, cada una de les dos parts en que un pla queda dividit per una recta.

Analíticamente

La inecuación $ax+by+c\ge 0$ determina un semiplano i la seua recta frontera $ax+by+c=0$

La inecuación $ax+by+c>0$ determina un semiplano sense incloure la frontera $ax+by+c=0$. Este semiplano és un conjunt convexo, obert i no acotat.

Partició

La recta d'equació $L=ax+by+c=0$i els semiplanos $S_1=ax+by+c<0$, $S_2=ax+by+c>0$ determinen una partició del pla, de modo que un punt qualsevol d'est està exactament en un, i solament un dels tres conjunts: recta L, semiplanos $S_1$ o $S_2$.

Postulats de la divisió d'un pla

En cada parella de semiplanos que una recta r determina sobre un pla existixen infinits punts tals que:

1. Tot punt del pla pertany a un dels dos semiplanos o a la recta que els determina.
2. Dos punts del mateix semiplano determinen un segment que no talla a la recta r.
3. Dos punts de semiplanos diferents determinen un segment que talla a la recta 'r8.

En topología

En topología, el pla es caracterisa per ser l'únic espai contràctil bidimensional.

La seua dimensió es caracterisa pel fet de que l'eliminació d'un punt del pla deixa un espai que està conectat, pero no simplement conectat.

En teoria de grafos

En teoria de grafos, un grafo pla és un grafo que es pot incrustar en el pla, és dir, que es pot dibuixar en el pla de tal manera que les seues arestes es creuen només en els seus punts extrems. En atres paraules, es pot dibuixar de manera que cap aresta es creue en una atra. Tal dibuix es diu un grafo pla o incrustación plana del grafo. Un grafo pla pot definir-se com un grafo pla en un mapeado des de cada nodo a un punt en un pla, i des de cada aresta a una curva plana en eixe pla, de tal forma que els punts extrems de cada curva són els punts mapeados des dels seus nodos extrems, i totes les curves són disjuntas llevat en els seus punts extrems.

Vore també

• Geometria plana
• Geometria analítica
• Espai euclídeo
• Recta
• Punt
• Superfície (matemàtica)
• Superfície (física)
• Pla proyectivo

Bibliografia

• (2011).«The History of Mathematics / An Introduction».McGraw Hill.

Enllaços externs

• Pla en MathWorld.
• "Reduint la dificultat de la geometria aritmètica i planar" és un manuscrit àrap del sigle XV, que servix com un tutorial sobre geometria plana i l'aritmètica