Bicondicional

Plantilla:Conectivas llògiques En alguns contexts en matemàtiques i llògica, un bicondicional (equivalència o doble implicació, en ocasions parafraseado en espanyol com si i solament si) és un operador llògic binario, és dir, una funció $\leftrightarrow :B\times B\to B$, sent B qualsevol conjunt en $|B|=2$, encara que és comú que es considere a B com $B=\{V,F\}$ o $B=\{0,1\}$. El bicondicional també s'eixercita com conectivo llògic, permetent formular expressions de la forma «P si i solament si Q», que és verdadera en el cas de que abdós components tinguen el mateix valor de veres. En un atre context el bicondicional representa l'equivalència llògica entre dos proposicions.

Definició

El valor de veres d'un bicondicional «p si i solament si q» és verdader quan abdós proposicions (p i q) tenen el mateix valor de veres, és dir, abdós són verdaderes o falses simultàneament; de lo contrari, és fals.

Es té aixina que l'afirmació «p si i solament si q» és llògicament equivalent al parell d'afirmacions «Si p, llavors q», i «si q, llavors p». Escrit utilisant conectivas llògiques :

$p\leftrightarrow q\equiv (p\to q)\wedge (q\to p)$.

De manera més precisa, l'operador bicondicional té la següent taula de veres:

si i solament si

p	q	p ↔ q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

Representació i llectura

Una forma d'expressar el bicondicional és dir que Q és una condició necessària i suficient per a P. També es coneix en el nom de coimplicación.

En espanyol s'usen les abreviatures sii, ssi i syss, de modo que és equivalent p ↔ q a «p sii q». En anglés s'abrevia iff (If and only if).

En Llògica i en matemàtiques els símbols amprats per a denotar el bicondicional són $\leftrightarrow$,$⟺$ i ≡. La notacion $\leftrightarrow$ s'utilisa freqüentment com un conectivo o operador llògic, que permet combinar dos proposicions més simples per a generar una proposició composta de la forma $P\leftrightarrow Q$, mentres que la segona i tercera notació s'ampren casi sempre per a denotar la relació d'equivalència llògica entre dos proposicions llògiques. El significat de cada notació depén fortament del context en que s'utilisen.

Adicionalment, en l'àmbit de la llògica digital, el funcionament de l'operador bicondicional pot emular-se per mig de la porta llògica XNOR, i a la negació de la porta XOR.