Taula de veres

\begin{matrix} a & b & c = f (a, b) \\ V & V & V \\ V & F & F \\ F & V & F \\ F & F & V \end{matrix}

Una taula de veres, o taula de valors de veritats, és una taula que mostra el valor de veres d'una proposició composta, per a cada combinació de veres que es puga assignar.^[1]

Va ser desenrollada per Charles Sanders Peirce pels anys 1880, pero el format més popular és el que va introduir Ludwig Wittgenstein en el seu Tractatus logico-philosophicus, publicat en 1921.

Definicions en el càlcul llògic

AP

Per a establir un Sistema formal s'establixen les definicions dels operadorés. Les definicions es faran en funció del fi que es pretenga en construir el sistema que faça possible la formalisació d'arguments:

Com raonaments deductivos llògic-llingüístics
Com a construcció d'un sistema matemàtic pur
Com una aplicació llògica en un Circuit de conmutación.

Veritat

Archiu:Caps block 1 Conex 12.svg

Archiu:Caps block 2 Interu 05.svg

Archiu:Caps block 3 Conex 12.svg

El valor verdader es representa en la lletra V; si s'ampra notació numèrica s'expressa en un u: 1; en un circuit elèctric, el circuit està tancat quan està present l'afirmació de V.

\begin{matrix} ⊤ \\ V \end{matrix}

Fals

Archiu:Caps block 5 Conex 12.svg

Archiu:Caps block 6 Interu 06.svg

Archiu:Caps block 7 Conex 12.svg

El valor fals F; si s'ampra notació numèrica s'expressa en un zero: 0; en un circuit elèctric, el circuit està obert.

\begin{matrix} ⊥ \\ F \end{matrix}

Variable

Archiu:Caps block 8 Conex 12.svg

Archiu:Caps block 9 Interu 1A.svg

Archiu:Caps block 10 Conex 12.svg

Per a una variable llògica A, B, C, ... poden ser verdaderes V, o falses F, els operadors fonamentals es definixen aixina:

\begin{matrix} A & A \\ V & V \\ F & F \end{matrix}

Negació

Archiu:Caps block 11 Conex 12.svg

Archiu:Caps block 12 Interu 3A.svg

Archiu:Caps block 13 Conex 12.svg

La negació és un operador que s'eixecuta, sobre un únic valor de veres, tornant el valor contradictori de la proposició considerada.

\begin{matrix} A & \neg A \\ V & F \\ F & V \end{matrix}

Conjunció

Archiu:Caps block 14 Conex 12.svg

Archiu:Caps block 15 Interu 1A.svg

Archiu:Caps block 16 Interu 1B.svg

Archiu:Caps block 17 Conex 12.svg

La conjunció és un operador, que actua sobre dos valors de veres, típicament els valors de veres de dos proposicions, tornant el valor de veres verdader quan abdós proposicions són verdaderes, i fals en qualsevol atre cas. És dir, és verdadera quan abdós són verdaderes.

En térmens més simples, serà verdadera quan les dos proposicions són verdaderes.

La taula de veres de la conjunció és la següent:

\begin{matrix} A & B & A \land B \\ V & V & V \\ V & F & F \\ F & V & F \\ F & F & F \end{matrix}

Que es correspon en la columna 8 de l'algoritme fonamental.

en simbologia "∧" fa referència al conector "i"

Disjunció

Archiu:Caps block 18 Conex 05.svg	Archiu:Caps block 19 Interu 1A.svg	Archiu:Caps block 20 Conex 12.svg	Archiu:Caps block 21 Conex 09.svg
Archiu:Caps block 22 Conex 14.svg	Archiu:Caps block 23 Conex 12.svg	Archiu:Caps block 24 Interu 1B.svg	Archiu:Caps block 25 Conex 14.svg

La disjunció és un operador llògic que actua sobre dos valors de veres, típicament els valors de veres de dos proposicions, tornant el valor de veres verdader quan una de les proposicions és verdadera, o quan abdós ho són, i fals quan abdós són falses.

En térmens més simples, serà verdadera quan per lo manco una de les proposicions és verdadera de lo contrari serà falsa.

La taula de veres de la disjunció és la següent:

\begin{matrix} A & B & A \lor B \\ V & V & V \\ V & F & V \\ F & V & V \\ F & F & F \end{matrix}

Que es correspon en la columna 2 de l'algoritme fonamental.

Condicionant

Archiu:Caps block 26 Conex 05.svg	Archiu:Caps block 27 Interu 2A.svg	Archiu:Caps block 28 Interu 1B.svg	Archiu:Caps block 29 Conex 09.svg
Archiu:Caps block 30 Conex 14.svg	Archiu:Caps block 31 Interu 08.svg	Archiu:Caps block 32 Conex 12.svg	Archiu:Caps block 33 Conex 14.svg

El condicionant o condicional material és un operador que actua sobre dos valors de veres, típicament els valors de veres de dos proposicions, tornant el valor de fals solament quan la primera proposició és verdadera i la segona falsa, i verdader en qualsevol atre cas.

La taula de veres del condicional material és la següent:

\begin{matrix} A & B & A \Rightarrow B \\ V & V & V \\ V & F & F \\ F & V & V \\ F & F & V \end{matrix}

Que es correspon en la columna 5 de l'algoritme fonamental.

Bicondicionante

Archiu:Caps block 34 Conex 05.svg	Archiu:Caps block 35 Interu 2A.svg	Archiu:Caps block 36 Interu 2B.svg	Archiu:Caps block 37 Conex 09.svg
Archiu:Caps block 38 Conex 14.svg	Archiu:Caps block 39 Interu 08.svg	Archiu:Caps block 40 Interu 08.svg	Archiu:Caps block 41 Conex 14.svg

La bicondicional és una operació binaria llògica que assigna el valor verdader quan les dos variables són iguals i el valor fals quan són diferents.

La taula de veres del bicondicional és la següent:

\begin{matrix} A & B & A \Leftrightarrow B \\ V & V & V \\ V & F & F \\ F & V & F \\ F & F & V \end{matrix}

Que es correspon en la columna 7 de l'algoritme fonamental.

Número de combinacions

Partint d'un número n de variables, cada una de les quals pot prendre el valor verdader: V, o fals: F, per combinatòria, podem saber que el número total de combinacions: nc, que es poden presentar és:

n c = 2^{n}

el número de combinacions que es poden donar en n variable, cada una de les quals pot prendre un entre dos valors llògics és de dos elevat a n, açò és, el número de combinacions: nc, té creiximent exponencial respecte al número de variable n:

\begin{matrix} n & n c \\ 0 & 1 \\ 1 & 2 \\ 2 & 4 \\ 3 & 8 \\ 4 & 16 \\ 5 & 32 \\ \dots & \dots \\ n & 2^{n} \end{matrix}

Si considerem que un sistema combinacional de n variables binarias, pot presentar un resultat verdader: V, o fals: F, per a cada una de les possibles combinacions d'entrada tenim que es poden construir un número de funcions: nf en n variables d'entrada, a on:

n f = x^{n c} = 2^{2^{n}}

Que dona com resultat la següent taula:

\begin{matrix} n & n f \\ 0 & 2 \\ 1 & 4 \\ 2 & 16 \\ 3 & 256 \\ 4 & 6 5_{.} 536 \\ 5 & 4_{.} 294.967.296 \\ \dots & \dots \\ n & 2^{2^{n}} \end{matrix}

Per a compondre una taula de veres, posarem les n variables en una llínea horisontal, baix d'estes variables desenrollem les distintes combinacions que es poden formar en V i F, donant lloc a les distintes nc, número de combinacions. Normalment solament es representa la funció per a la que es confecciona la taula de veres, i en tot case funcions parcials que ajuden en el seu càlcul, en la figura, es poden vore totes les funcions possibles nf, que poden donar-se per al número de variables donat.

Archiu:Tabla de verdad.svg

Aixina podem vore que per a dos variables binarias: A i B, n= 2 , que poden prendre els valors V i F, es poden desenrollar quatre combinacions: nc= 4, en estos valors es poden definir setze resultats distints, nf= 16, cada una de les quals seria una funció de dos variables binarias. Per a un atre número de variables s'obtindran els resultats corresponents, donat el creiximent exponencial de nf, quan n pren valors majors de quatre o cinc, la representació en un quadro resulta complexa, i si es vol representar les combinacions possibles nf, resulta ya complex per a n= 3.

Per a zero variables

Un circuit sense variables: n= 0, pot presentar una combinació possible: nc=1, en dos funcions possibles: nf=2. Que serien el circuit tancat permanentment, i el circuit obert permanentment.

\begin{matrix} 1 & 2 \\ f_{1} () & f_{2} () \\ V & F \end{matrix}

En este cas es pot vore dos funcions en zero variables, cas 1 i 2, que no intervé cap variable.

Cada u d'estos circuits admet una única posició i hi ha dos circuits possibles.

Per a una variable

El cas d'una variable binaria: n= 1, que pot presentar dos combinacions possibles: nc=2, en 4 funcions possibles: nf=4.

\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ A & f_{1} (A) & f_{2} (A) & f_{3} (A) & f_{4} (A) \\ V & V & V & F & F \\ F & V & F & V & F \end{matrix}

Es poden vore les quatre funcions, d'una variable, del cas 1 al 4, sent A la variable. Pot vore's que:

f_{1} (A) = f_{1} ()

f_{4} (A) = f_{2} ()

Per a dos variables

Considere's dos variables proposicionals A i B.^[2] Cada una pot prendre un de dos valors de veres: o V (verdader), o F (fals). Per lo tant, els valors de veres de A i de B poden combinar-se de quatre maneres distintes: o abdós són verdaderes; o A és verdadera i B falsa, o A és falsa i B verdadera, o abdós són falses. Açò pot expressar-se en una taula simple:

\begin{matrix} A & B \\ V & V \\ V & F \\ F & V \\ F & F \end{matrix}

Considere's ademés a: f, com una operació o funció llògica que realisa una funció de veres en prendre els valors de veres de A i de B, i tornar un únic valor de veres. Llavors, existixen 16 funcions distintes possibles, i és fàcil construir una taula que mostre qué torna cada funció front a les distintes combinacions de valors de veres de A i de B.

\begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ A & B & f_{1} (A, B) & f_{2} (A, B) & f_{3} (A, B) & f_{4} (A, B) & f_{5} (A, B) & f_{6} (A, B) & f_{7} (A, B) & f_{8} (A, B) \\ V & V & V & V & V & V & V & V & V & V \\ V & F & V & V & V & V & F & F & F & F \\ F & V & V & V & F & F & V & V & F & F \\ F & F & V & F & V & F & V & F & V & F \\ 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 \\ A & B & f_{9} (A, B) & f_{10} (A, B) & f_{11} (A, B) & f_{12} (A, B) & f_{13} (A, B) & f_{14} (A, B) & f_{15} (A, B) & f_{16} (A, B) \\ V & V & F & F & F & F & F & F & F & F \\ V & F & V & V & V & V & F & F & F & F \\ F & V & V & V & F & F & V & V & F & F \\ F & F & V & F & V & F & V & F & V & F \end{matrix}

Les dos primeres columnes de la taula mostren les quatre combinacions possibles de valors de veres de A i de B. Hi ha per lo tant 4 llínees, i les 16 columnes despleguen tots els possibles valors que pot tornar una funció.

D'esta forma podem conéixer mecánicamente, per mig d'algoritme, els possibles valors de veres de qualsevol conexió llògica interpretada com funció, sempre i quan definim els valors que torne la funció.

Es fa necessari, puix, definir les funcions que s'utilisen en la confecció d'un sistema llògic.

D'especial rellevància es consideren les definicions per al Càlcul de deducció natural i les portes llògiques en els circuits electrònics. Pot vore's que:

f_{1} (A, B) = f_{1} (A) = f_{1} ()

f_{16} (A, B) = f_{4} (A) = f_{2} ()

I també que:

f_{4} (A, B) = f_{2} (A)

f_{6} (A, B) = f_{2} (B)

I que:

f_{13} (A, B) = f_{3} (A)

f_{11} (A, B) = f_{3} (B)

Vore també

Notes i referències

↑ Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».
↑ Les lletres A i B són metavariables, és dir pertanyen a un metallenguage respecte a un llenguage-objecte; per això simbolisen qualsevol proposició, atòmica o no, del llenguage de la llògica proposicional.

Bibliografia

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Tabla de verdad» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] Erro en la seqüencia d'órdens: no existix el mòdul «Citas».

[2] Les lletres A i B són metavariables, és dir pertanyen a un metallenguage respecte a un llenguage-objecte; per això simbolisen qualsevol proposició, atòmica o no, del llenguage de la llògica proposicional.

[1]

[2]