Càlcul llògic

El càlcul llògic, o derivació llògica, és un algoritme o sistema llògic que permet inferir o deduir un enunciat verdader a partir d'un atre o uns atres que es tenen com válidamente verdaders.

L'inferència o deducció és una operació llògica que consistix en obtindre un enunciat com a -conclusió- a partir d'un atre -premissa- per mig de l'aplicació de regles d'inferència.

Diem que algú infiere -o deduïx- "T" de "R" si accepta que si "R" té valor de veres V, llavors, necessàriament, "T" té valor de veres V.

Les persones en la nostra tasca diària, utilisem constantment el raonament deductivo; partim d'enunciats empírics -supostament verdaders i vàlits- per a concloure en un atre enunciat que es deriva d'aquells.

La llògica matemàtica, com ciència formal, s'ocupa d'analisar i sistematisar les regles que permeten la transformació d'uns enunciats -premisses- en atres -conclusions- a l'objecte de convertir les operacions deductivas en un càlcul rigorós i eficaç.

En aplicar les regles d'este càlcul llògic als enunciats que formen un argument, prèvia la simbolisació adequada dels enunciats en fòrmules o Expressions ben formades (EBF) construïm un model dins d'un sistema deductivo que, referit al llenguage ordinari, cridem de Càlcul de deducció natural.

La representació gràfica dels símbols (constants llògiques) no està normalisada, lo que du a voltes a certes dificultats d'interpretació.

Sistematisació d'un càlcul

Regles de formació de fòrmules

I.- Una lletra enunciativa (en o sense subíndex) és una EBF (Expressió Ben Formada - en anglés wff o siga «well- formed formula» que significa «fòrmula ben formada»).

II.- Si A és una fòrmula, ¬ A també ho és.

III.- Si A és una EBF i B també, (A / B); (A / B); (A → B); (A ↔ B) també ho són.

IV.- Cap expressió és una fòrmula del Càlcul sino en virtut d'I, II, III.

Nota: A, B,... en mayúscules estan utilisades com metallenguage en el que cada variable expressa qualsevol proposició, atòmica o molecular.

Nota: Per a la definició com a funció llògica de ¬, /, /, →, i ↔, vore Taula de valors de veres

Regles de transformació

R.T.1: Donada una tesis EBF del càlcul, en la que apareixen variables d'enunciats, el resultat de substituir una, algunes o totes eixes variables per expressions ben formades (EBF) del càlcul, serà també una tesis EBF del càlcul. I això en una única restricció, si ben molt important: cada variable ha de ser substituïda sempre que apareix i sempre pel mateix substitut.

Vejam l'eixemple:

1	$[(p\wedge q)\vee r]\to t\vee s$	Regla de Transformació
2	$A\vee r\to B$	a on $A=(p\wedge q)$ ; i a on $B=(t\vee s)$
3	$C\to B$	a on $C=A\vee r$

O viceversa

1	$C\to B$	Regla de Transformació
2	$A\vee r\to B$	a on $A\vee r=C$
3	$[(p\wedge q)\vee r]\to t\vee s$	a on $(p\wedge q)=A$ ; i a on $(t\vee s)=B$

Esta regla rep el nom de regla de substitució

R.T.2: Si X és una tesis EBF del sistema i ho és també X --> I, llavors I és una tesis EBF del sistema.

Esta regla rep el nom de regla de separació

Sobre la base d'estes dos regles, sempre podrem reduir un argument qualsevol a la forma:

$[A\wedge B\wedge C\mathrm{...}\wedge N]⟶Y$

lo que constituïx un esquema d'inferència en el que de la veritat de les premisses A, B, N i el seu producte, podem obtindre la conclusió Y.

Concepte de model

Artícul principal → Teoria de models.

Quan en un Càlcul C, s'establix una "correspondència" de cada símbol en elements determinats individuals distinguibles entre sí, d'un Univers L, real (tal univers L no és un conjunt buit, per les mateixes condicions que hem establit), ENTONCES es diu que L és un MODELO de C.

Vore també

• Proposició
• Càlcul
• Llenguage formal
• Llògica
• Llògica proposicional