Llògica matemàtica

Llògica matemàtica

La llògica matemàtica, també cridada llògica simbòlica, llògica teorética, llògica formal o llogística, és l'estudi formal i simbòlic de la llògica, i la seua aplicació a algunes àrees de la matemàtica i la ciència. Comprén l'aplicació de les tècniques de la llògica formal a la construcció i el desenroll de les matemàtiques i el raonament matemàtic, i conversamente l'aplicació de tècniques matemàtiques a la representació i l'anàlisis de la llògica formal. L'investigació en llògica matemàtica ha jugat un paper crucial en l'estudi dels fonaments de les matemàtiques.

La llògica matemàtica estudia l'inferència per mig de la construcció de sistemes formals com la llògica proposicional, la llògica de primer orde o la llògica modal. Estos sistemes capturen les característiques essencials de les inferència vàlides en els llenguages naturals, pero en ser estructures formals susceptibles d'anàlisis matemàtic, permeten realisar demostracions rigoroses sobre elles.

La llògica matemàtica se sol dividir en quatre àrees: teoria de models, teoria de la demostració, teoria de conjunts i teoria de la computabilidad. La teoria de la demostració i la teoria de models varen ser el fonament de la llògica matemàtica. La teoria de conjunts es va originar en l'estudi de l'infinit per Georg Cantor i ha segut la font de molts dels temes més desafiants i importants de la llògica matemàtica, des del teorema de Cantor, l'axioma d'elecció i la qüestió de l'independència de la hipòtesis del continu, al debat modern sobre grans axioma cardinals. La llògica matemàtica té estretes conexions en les ciències de la computació. La teoria de la computabilidad captura l'idea de la computació en térmens llògics i aritmètics. Els seus guanys més clàssics són la indecidibilidad del Entscheidungsproblem d'Alan Turing i la seua presentació de la tesis de Church-Turing. Hui en dia, la teoria de la computabilidad s'ocupa principalment del problema més refinat de les classes de complexitat (¿quàn és un problema eficientemente solucionable?) i de la classificació dels graus de insolubilidad.

La llògica matemàtica també estudia les definicions de nocions i objectes matemàtics bàsics com conjunts, números, demostracions i algoritmes. La llògica matemàtica estudia les regles de deducció formals, les capacitats expressives dels diferents llenguages formals i les propietats metalógicas dels mateixos.

En un nivell elemental, la llògica proporciona regles i tècniques per a determinar si és o no vàlit un argument donat dins d'un determinat sistema formal. En un nivell alvançat, la llògica matemàtica s'ocupa de la possibilitat de axiomatizar les teories matemàtiques, de classificar la seua capacitat expressiva, i desenrollar métodos computacionals útils en sistemes formals. La teoria de la demostració i la matemàtica inversa són dos dels raonaments més recents de la llògica matemàtica abstracta. Deu senyalar-se que la llògica matemàtica s'ocupa de sistemes formals que poden no ser equivalents en tots els seus aspectes, per lo que la llògica matemàtica no és un método per a descobrir veritats del món físic real, sino solament una font possible de models llògics aplicables a teories científiques, molt especialment a la matemàtica convencional.

Per una atra part, la llògica matemàtica no estudia el concepte de raonament humà general o el procés creatiu de construcció de demostracions matemàtiques per mig d'arguments rigorosos pero en llenguage informal en alguns signes o diagrames, sino solament de demostracions i raonaments que es poden formalisar per complet.

1. Naturalea i Propòsit

• Doble enfocament: Aplica tècniques de la llògica formal per a construir matemàtiques i, a la seua volta, usa ferramentes matemàtiques per a analisar la llògica.
• Formalisació: Se centra exclusivament en raonaments i demostracions que poden formalisar-se per complet, deixant de costat el raonament humà general o informal.

• Sistemes Formals: Utilisa estructures com la llògica proposicional, la llògica de primer orde i la llògica modal per a capturar l'essència de les inferència vàlides.

2. Les Quatre Àrees Principals

La llògica matemàtica s'organisa en quatre pilars fonamentals:

Àrea	Enfoque Principal
Teoria de Models	Junt en la de demostració, constituïx el fonament original de la disciplina.
Teoria de la Demostració	S'ocupa de l'examen de les proves formals i raonaments abstractes.
Teoria de Conjunts	Originada per Georg Cantor; estudia l'infinit, axioma cardinals i l'hipòtesis del continu.
Teoria de la Computabilidad	Conecta la llògica en l'informàtica; estudia quins problemes són solucionables i la seua complexitat.

3. Funcions i Aplicacions

• Fundamentación: Juga un paper crucial en l'estudi dels fonaments de les matemàtiques.
• Anàlisis de Llenguages: Estudia les regles de deducció, la capacitat expressiva dels llenguages formals i les seues propietats metalógicas.
• Nivells d'aplicació:
  • Nivell elemental: Proporciona regles per a determinar la validea d'un argument.
  • Nivell alvançat: S'ocupa de la axiomatisació de teories i el desenroll de métodos computacionals.

4. Distincions Importants

Nota: La llògica matemàtica no és una ferramenta per a descobrir veritats sobre el món físic real. La seua funció és proveir models llògics aplicables a teories científiques i matemàtiques.

• Inferència: És l'objecte d'estudi central per mig de la construcció de sistemes que permeten demostracions rigoroses.
• Conexió en la computació: És fonamental per a entendre algoritmes i l'eficiència en la resolució de problemes (classes de complexitat).

Àrees

La Mathematics Subject Classification dividix la llògica matemàtica en les següents àrees:

• Filosòfica i crítica
• Llògica general (que inclou camps com la llògica modal i la llògica borrosa)
• Teoria de models
• Teoria de la computabilidad
• Teoria de conjunts
• Teoria de la demostració i matemàtica constructiva algebraica
• Models no estàndar

En alguns casos hi ha conjunció d'interessos en l'informàtica teòrica, puix molts pioners de l'informàtica, com Alan Turing, varen ser matemàtics i llògics. Aixina, l'estudi de la semàntica dels llenguages de programació procedix de la teoria de models, aixina com també la verificació de programes i el cas particular de la tècnica del model checking. També l'isomorfisme de Churry-Howard entre proves i programes es correspon en la teoria de proves, a on la llògica intuicionista i la llògica llineal són especialment significatives.

Alguns sistemes formals com el càlcul lambda i la llògica combinatòria entre unes atres han devingut en autèntics llenguages de programació, creant nous paradigmes com són la programació funcional i la programació llògica.

Història

L'us més primerenc de matemàtiques i de geometria en relació en la llògica i la filosofia es remonta als grecs antics tals com Euclides, Platón, i Aristóteles. Molts atres filòsofs antics i medievals varen aplicar idees i métodos matemàtics a les seues afirmacions filosòfiques.

En el XVIII es varen fer alguns intents de tractar les operacions llògiques formals d'una manera simbòlica per part d'alguns filòsofs matemàtics com Lambert, pero la seua llabor va permanéixer desconeguda i aïllada. També per part de Leibniz que va desenrollar l'idea d'un calculus ratiocinator, un sistema de regles per a simplificar oracions compostes.

XIX

A partir de la segona mitat de el XIX, la llògica seria revolucionada profundament. En 1847, George Boole va publicar un breu tractat titulat L'anàlisis matemàtic de la llògica, i en 1854 un atre més important titulat Les lleis del pensament. L'idea de Boole va ser construir a la llògica com un càlcul en el que els valors de veres es representen per mig del F (falsetat) i la V (veritat), i als que se'ls apliquen operacions matemàtiques com la suma i la multiplicació.

En l'últim terç de el XIX la llògica va a trobar la seua transformació més profunda de la mà de les investigacions matemàtiques i llògiques, junt en el desenroll de l'investigació de les estructures profundes del llenguage, la llingüística, convertint-se definitivament en una ciència formal. És una ciència formal, ya que estudia les idees i constituïx una ferramenta conceptual per a totes les atres ciències i àrees del coneiximent. i forma part d'un conjunt sistemàtic de coneiximents racionals i coherents, que s'ocupen de l'estudi dels processos llògics i matemàtics,

Al mateix temps, Augustus De Morgan publica en 1847 la seua obra Llògica formal, a on introduïx les lleis de De Morgan i intenta generalisar la noció de silogisme. Un atre important contribuent anglés va ser John Venn, qui en 1881 va publicar el seu llibre Llògica Simbòlica, a on va introduir els famosos diagrames de Venn.

Charles Sanders Peirce i Ernst Schröder també varen fer importants contribucions.

No obstant, la verdadera revolució de la llògica va vindre de la mà de Gottlob Frege, qui freqüentment és considerat com el llògic més important de l'història, junt en Aristóteles. En el seu treball de 1879, la Conceptografía, Frege oferix per primera volta un sistema complet de llògica de predicats i càlcul proposicional. També desenrolla l'idea d'un llenguage formal i definix la noció de prova. Estes idees varen constituir una base teòrica fonamental per al desenroll de les computadores i les ciències de la computació, entre atres coses. Pese a açò, els contemporàneus de Frege varen passar per alt les seues contribucions, provablement a causa de la complicada notació que va desenrollar l'autor. En 1893 i 1903, Frege publica en dos volums Les lleis de l'aritmètica, a on intenta deduir tota la matemàtica a partir de la llògica, en lo que es coneix com el proyecte logicista. El seu sistema i la seua aplicació a la teoria de conjunts, no obstant, contenia una contradicció (la paradoxa de Russell).

Llògica matemàtica va ser el nom donat per Giuseppe Peano per a esta disciplina. En essència, és la llògica d'Aristóteles, pero des del punt de vista d'una nova notació, més abstracta, presa del àlgebra.

XX

En el XX va haver un dels enormes desenrolls en llògica. A partir de el XX, la llògica va passar a estudiar-se pel seu interés intrínsec, i no solament per les seues virtuts com propedéutica, per lo que es va estudiar a nivells molt més abstractes.

En 1910, Bertrand Russell i Alfred North Whitehead publiquen Principia mathematica, un treball monumental en el que conseguixen gran part de la matemàtica a partir de la llògica, evitant caure en les paradoxes en les que va caure Frege. Se suponia que les teories matemàtiques eren tautologia llògiques, i el programa devia mostrar açò per mig d'una reducció de la matemàtica a la llògica. Els autors reconeixen el mèrit de Frege en el prefacio. En contrast en el treball de Frege, Principia mathematica va tindre un èxit rotunt, i va aplegar a considerar-se un dels treballs de no ficció més importants i influents de tot el XX. Principia mathematica utilisa una notació inspirada en la de Giuseppe Peano, part de la qual encara és molt utilisada hui en dia.

En 1912 C. I. Lewis publica Conditionals and the Algebra of Logic, just despuix dels Principia Mathematica de Russell i Whitehead. En 1918 publica A Survey of Symbolic Logic en a on propon un nou condicional més adequat per a arreplegar el significat de l'expressió «si... llavors» del llenguage natural. Lewis ho crida implicació estricta. El nou condicional requerix, per a ser verdader, una relació més forta entre l'antecedent i el conseqüent que el condicional clàssic.

En 1920 David Hilbert va propondre de forma explícita un proyecte d'investigació (en metamatemática, com es va cridar llavors) que va acabar sent conegut com programa de Hilbert. Volia que la matemàtica anara formulada sobre unes bases sòlides i completament llògiques. El proyecte va ser refutado pels teoremes de incompletitud de Gödel. Tant la declaració del programa de Hilbert com la seua refutació per Gödel depenien del seu treball establint el segon àmbit de la llògica matemàtica, l'aplicació de les matemàtiques a la llògica en la forma de la teoria de la demostració. A pesar de la naturalea negativa de les teoremes de la incompletitud, la teorema de la complexitat de Gödel, un resultat en la teoria de models i una atra aplicació de les matemàtiques a la llògica, pot ser entés com una demostració del logismo propenc: tota teoria matemàtica rigorosament definida pot ser capturada exactament per una teoria de primer orde. El càlcul de la prova de Frege és suficient per a descriure tota la matemàtica, encara que no siga equivalent a ella.

L'orige dels models abstractes de computació s'enquadra en els anys 1930 (ans que existiren els ordenadors moderns), en el treball dels llògics Alonzo Church, Kurt Gödel, Stephen Kleene, Emil Leon Post, Haskell Curry i Alan Turing. Estos treballs inicials han tingut una profunda influència, tant en el desenroll teòric com en abundants aspectes de la pràctica de la computació; preveent inclús l'existència d'ordenadors de propòsit general, la possibilitat d'interpretar programes, la dualitat entre software i hardware, i la representació de llenguages per estructures formals basats en regles de producció.

La deducció natural va ser introduïda per Gerhard Gentzen en el seu treball Investigacions sobre l'inferència llògica (Untersuchungen über dones logische Schliessen), publicat en 1934-1935.

En els anys 1940 Alfred Tarski va començar a desenrollar junt als seus discípuls l'àlgebra relacional, en la que poden expressar-se tant la teoria axiomàtica de conjunts com l'aritmètica de Peano. També va desenrollar junt als seus discípuls les àlgebra cilíndriques, que són a la llògica de primer orde lo que l'àlgebra booleana a la llògica proposicional. En 1941 va publicar en anglés un dels manuals de llògica més acreditats, Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences.

Noam Chomsky en 1956 propon una classificació jeràrquica de distints tipos de gramàtiques formals que generen llenguages formals cridada jerarquia de Chomsky.

Si be a la llum dels sistemes contemporàneus la llògica aristotèlica pot semblar equivocada i incompleta, Jan Łukasiewicz va mostrar que, a pesar de les seues grans dificultats, la llògica aristotèlica era consistent, si ben calia interpretar-se com llògica de classes, la qual cosa no és chicoteta modificació. Per això la silogística pràcticament no té us actualment.

Ademés de la llògica proposicional i la llògica de predicats, el XX va vore el desenroll de molts atres sistemes formals; entre els que destaquen les moltes llògiques modals.

Llògiques

Llògica Llògica formal Llògica clàssica Llògica d'orde zero o Llògica proposicional Llògica d'orde superior Llògica de primer orde o llògica de predicats Llògica de segon orde ... Llògica no clàssica Llògica modal Llògica deóntica Llògica doxástica Llògica epistémica Llògica temporal Llògica quàntica Llògica difusa Llògica intuicionista Llògica rellevant Llògica no monotónica ... Llògica informal

Vore també

• Noció primitiva
• Funció indicatriz
• Retroalimentacion
• Cibernètica
• Teoria de sistemes
• Emergència (filosofia)
• Pensament sistémico
• Dinàmica de sistemes
• Mereología
• Sistema complex
• Sistema dinàmic
• Argument
• Llògica informal
• Representació del coneiximent
• Llògica
• Anex:Símbols llògics
• Llògica proposicional
• Fòrmula ben formada

Bibliografia

• Agazzi, Evandro (1986). Llògica simbòlica, Herder. ISBN 9788425401305.
• Enderton, Herbert (2001). A mathematical introduction to logic, 2nd edició, Boston, MA: Academic Press. ISBN 978-0-12-238452-3.
• (1988).«Logic for Mathematicians».Cambridge University Press.Cambridge:
• (1994).«Mathematical Logic».Springer.Nova York:

Bibliografia adicional

Per a estudiants universitaris

• Shawn Hedman, A first course in logic: an introduction to model theory, proof theory, computability, and complexity, Oxford University Press, 2004, Plantilla:Isbn. Covers logics in close relation with computability theory and complexity theory
• van Dalen, Dirk (2013). Logic and Structure, Berlin: Springer. doi:10.1007/978-1-4471-4558-5. ISBN 978-1-4471-4557-8.

Texts per a graduats

• Kleene, Stephen Cole.(1952), Introduction to Metamathematics. New York: Van Nostrand. (Ishi Press: 2009 reprint).
• Kleene, Stephen Cole. (1967), Mathematical Logic. John Wiley. Dover reprint, 2002. Plantilla:Isbn.
• Basic Proof Theory, 2nd edició, Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-77911-1.

Artículs i texts clàssics, i coleccions

• (1959) A Precis of Mathematical Logic, Dordrecht: Springer. doi:10.1007/978-94-017-0592-9. ISBN 9789048183296.
• Burali-Forti, Cessara. A question on transfinite numbers. Reprinted in van Heijenoort 1976, pàg. 104–111
• Cantor, Georg (1874). “Ueber eine Eigenschaft dones Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen”. Journal für die Regne und Angewandte Mathematik 1874 (77): 258–262. doi:10.1515/crll.1874.77.258.

• Dedekind, Richard. Stetigkeit und irrationale Zahlen (en de). English translation as: "Consistency and irrational numbers".
• Dedekind, Richard. Was sind und was sollen die Zahlen?. Two English translations:
  • 1963 (1901). Essays on the Theory of Numbers. Beman, W. W., ed. and trans. Dover.
  • 1996. In From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics, 2 vols, Ewald, William B., ed., Oxford University Press: 787–832.
• Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, Physikalisch-mathematische Klasse (en de), pp. 253–257. Reprinted in English translation as "The notion of 'definite' and the independence of the axiom of choice" in van Heijenoort 1976, pàg. 284–289.
• Frege, Gottlob (1879), Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache dones regnen Denkens. Trobe a. S.: Louis Nebert. Translation: Concept Script, a formal language of pure thought modelled upon that of arithmetic, by S. Bauer-Mengelberg in van Heijenoort 1976.
• Frege, Gottlob (1884), Die Grundlagen der Arithmetik: eine logisch-mathematische Untersuchung über donen Begriff der Zahl. Breslau: W. Koebner. Translation: J. L. Austin, 1974. The Foundations of Arithmetic: A logico-mathematical enquiry into the concept of number, 2nd ed. Blackwell.
• Gentzen, Gerhard. “Die Widerspruchsfreiheit der regnen Zahlentheorie”. Mathematische Annalen 112: 132–213. doi:10.1007/BF01565428. Reprinted in English translation in Gentzen's Collected works, M. E. Szabo, ed., North-Holland, Ámsterdam, 1969.
• Gödel, Kurt. “Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I (On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems)” (de). Monatshefte für Mathematik und Physik 38 (1): 173–198. doi:10.1007/BF01700692.
• Gödel, Kurt. “Über eine bisher noch nicht benützte Erweiterung dones finiten Standpunktes” (de). Dialectica 12 (3–4): 280–287. doi:10.1111/j.1746-8361.1958.tb01464.x. Reprinted in English translation in Gödel's Collected Works, vol II, Solomon Feferman et al., eds. Oxford University Press, 1993.
• From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931, 3rd edició, Cambridge MA: Harvard University Press. ISBN 9780674324497.
• Elements de llògica teòrica (traducció de Grundzüge der theoretischen Logik) (en és), Madrit: Tecnos.
• Hilbert, David. Grundlagen der Geometrie (en de), Leipzig: Teubner. English 1902 edition (The Foundations of Geometry) republished 1980, Open Court, Chicago.

• Hilbert, David. “Probleme der Grundlegung der Mathematik”. Mathematische Annalen 102: 1–9. doi:10.1007/BF01782335. Lecture given at the International Congress of Mathematicians, 3 September 1928. Published in English translation as "The Grounding of Elementary Number Theory", in Mancosu 1998, pp. 266–273.
• Lobachevsky, Nikolai. Geometrishe Untersuchungen zur Theorie der Parellellinien (en de). Reprinted in English translation as
• “Über Möglichkeiten im Relativkalkül” (de) . Mathematische Annalen 76 (4): 447–470. doi:10.1007/BF01458217. ISSN 0025-5831. Translated as "On possibilities in the calculus of relatives" in
• Peano, Giuseppe. Arithmetices principia, nova methodo exposita (en lt). Excerpt reprinted in English translation as "The principles of arithmetic, presented by a new method"in van Heijenoort 1976, pàg. 83–97.
• Richard, Jules (31 de juliol 1905). “Els principes dones mathématiques et li problème dones ensembles” (fr). Revue Générale dones Sciences Pures et Appliquées 16. Reprinted in English translation as "The principles of mathematics and the problems of sets" in van Heijenoort 1976, pàg. 142–144.
• “Logisch-kombinatorische Untersuchungen über die Erfüllbarkeit oder Beweisbarkeit mathematischer Sätze nebst einem Theoreme über dichte Mengen” (de) . Videnskapsselskapet Skrifter, I. Matematisk-naturvidenskabelig Klasse 6: 1–36.
• Soare, Robert Irving. «Computability Theory and Applications: The Art of Classical Computability». University of Chicago.
• Swineshead, Richard. Calculationes Suiseth Anglici (en lt), Papie: Per Franciscum Gyrardengum.
• Tarski, Alfred. A decision method for elementary algebra and geometry, Santa Monica CA: RAND Corporation.
• “Systems of Logic Based on Ordinals” . Proceedings of the London Mathematical Society 45 (2): 161–228. doi:10.1112/plms/s2-45.1.161.
• Weyl, Hermann. Dones Kontinuum. Kritische Untersuchungen über die Grund lagen der Analysis (en de), Leipzig.

• Zermelo, Ernst. “Beweis, donaß jede Menge wohlgeordnet werden kann” (de). Mathematische Annalen 59 (4): 514–516. doi:10.1007/BF01445300. Reprinted in English translation as "Proof that every set ca be well-ordered" in van Heijenoort 1976, pàg. 139–141.
• Zermelo, Ernst. “Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung” (de). Mathematische Annalen 65: 107–128. doi:10.1007/BF01450054. ISSN 0025-5831. Reprinted in English translation as "A new proof of the possibility of a well-ordering" in van Heijenoort 1976, pàg. 183–198.
• Zermelo, Ernst. “Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre”. Mathematische Annalen 65 (2): 261–281. doi:10.1007/BF01449999.

Enllaços externs

• Plantilla:Wikiversidad