Fonaments de les matemàtiques

Principia Mathemática, obra de Bertrand Russell i Alfred North Whitehead, representants de la perspectiva filosòfica del Logicismo.

Els fonaments de les matemàtiques són l'estudi de conceptes matemàtics bàsics com números, figures geomètriques, conjunts, funcions, etc. i cóm formen jerarquia d'estructures i conceptes més complexos, especialment les estructures fonamentalment importants que formen el llenguage de les matemàtiques: fòrmules, teories i les seues models, donant un significat a les fòrmules, definicions, proves, algoritmes, etc. també cridats conceptes metamatemáticos, en atenció als aspectes filosòfics i a favorir l'unitat de la matemàtica. La busca pels fonaments de la matemàtica és una pregunta central de la filosofia de les matemàtiques; la naturalea abstracta dels objectes matemàtics presenta desafius filosòfics especials.

Els fonaments de les matemàtiques com un tot no apunten a contindre els fonaments de cada tòpic matemàtic. Generalment, els fonaments d'un camp d'estudi, es referixen a un anàlisis més o menys sistemàtic dels seus conceptes més bàsics, la seua unitat conceptual i el seu ordenament natural o jerarquia de conceptes, els quals podrien ajudar a conectar-los en el restant del coneiximent humà. El desenroll, sorgiment i aclariment dels fonaments pot aparéixer vesprada en l'història d'un camp, i podria no ser vist per alguns com la seua part més interessant.

Les matemàtiques sempre varen jugar un rol especial en el pensament científic, servint des de temps antics com a model de veres i rigor per a l'inquisició racional, donant ferramentes o inclús fonaments per a atres ciències (especialment la física). Pero les matemàtiques ya feya abstracció molt elevades en el XIX, que varen dur paradoxes i nous desafius, exigint un examen més profunt i sistemàtic de la naturalea i del criteri de la veritat matemàtica, aixina com també una unificació de les diverses branques de la matemàtica en un tot coherent.

La busca sistemàtica dels fonaments de les matemàtiques va escomençar al fi de el XIX, i va formar una disciplina matemàtica nova cridada llògica matemàtica, en forts vínculs en la ciència de la computació teòrica. Va ser per mig d'una série de crisis en resultats paradòxics, que els descobriments es varen estabilisar durant el XX en un ampli i coherent cos de coneiximent matemàtic en moltíssims aspectes o components (teoria de conjunts, teoria de models, teoria de proves...), les detallades propietats del qual i possibles variants encara estan en camp d'investigació. El seu alt nivell de sofisticació tècnica va inspirar a molts filòsofs a conjeturar que podrien servir com a model per als fonaments d'atres ciències.

Crisis dels fonaments

La crisis fundacional de la matemàtica (cridada originalment en alemà: Grundlagenkrise der Mathematik) va ser un terme falcat a principis de el XX per a referir-se a la situació teòrica que va dur a una investigació sistemàtica i profunda dels fonaments, que va acabar inaugurant una nova branca de la matemàtica.

Numeroses escoles filosòfiques matemàtiques varen incórrer en dificultats una despuix d'una atra, a mida que l'assunció de que els fonaments de la matemàtica podien ser justificats de manera consistents dins de la pròpia matemàtica va ser posada en dubte pel descobriment de vàries paradoxes (entre elles la célebre paradoxa de Russell).

El terme "paradoxa" no deu ser confòs en el terme contradicció. Una contradicció dins d'una teoria formal és una demostració formal de l'existència d'un absurt com a resultat d'un conjunt de assunció inapropiades (tals com 2 + 2 = 5), un conjunt d'axiomas o teoria que dona lloc a una contradicció es classifica d'inconsistente i deu ser rebujada com a teoria útil (ya que en ella qualsevol proposició acabaria sent demostradora). No obstant, una paradoxa pot referir-se o be a un resultat contraintuitivo pero verdader, o a un argument informal que du a una contradicció, aixina que una teoria candidata a on s'atente la formalisació d'un argument deu inhabilitar a lo manco un dels seus passos; en este cas el problema és trobar una teoria satisfactòria sense contradiccions. Abdós significats poden aplicar si la versió formalisada de l'argument forma la prova d'una veritat sorprenent. Per eixemple, la paradoxa de Russell pot ser expressada com "no hi ha un conjunt que continga a tots els conjunts" (exceptuant algunes teories axiomàtiques marginals).

Algunes escoles de pensament en buscar acostar-se a l'enfocament correcte als fonaments de les matemàtiques s'oponien feroçment entre sí. L'escola liderante era l'escola d'enfocament formaliste, de la qual, David Hilbert era el proponente principal, culminant en lo que es coneix com Programa de Hilbert, qui pensava en fonamentar la matemàtica en una chicoteta base d'un sistema llògic sondejat en térmens del finitismo metamatemático. L'oponent principal era l'escola del intuicionismo, liderada per L. E. J. Brouwer, qui resueltamente va descartar el formalisme com un joc fútil en símbols (van Dalen, 2008). La disputa va ser encarniçada. En 1920 Hilbert va triumfar en traure a Brouwer, a qui ell considerava una amenaça a la matemàtica, eliminant-ho del quadro editorial del Mathematische Annalen, la revista líder en matemàtiques en aquella época.

Perspectives filosòfiques

AP

Resum de les tres filosofia matemàtiques principals:

• Platonisme: platonistas, com Kurt Gödel (1906–1978), sostenen que els números són abstractes, objectes necessàriament existents, independents de la ment humana.
• Formalisme matemàtic: formalistes, com David Hilbert (1862–1943), sostenen que la matemàtica no és ni més ni menys que un llenguage matemàtic. Són simplement una série de jocs.
• Intuicionismo: intuicionistas, com L. E. J. Brouwer (1882–1966), sostenen que la matemàtica és una creació de la ment humana. Els números, com a personages de contes de fades, són simplement entitats mentals, que no existirien sense que mai hi haguera algunes ments humanes que pensaren en ells.

A principis de el XX, tres escoles de filosofia de les matemàtiques tenien visions contrapostes sobre els fonaments matemàtics: el formalisme, l'Intuicionismo i el logicismo.

Formalisme

Artícul principal → Formalisme (matemàtica).

La postura dels formalistes, tal com va ser enunciada per David Hilbert (1862–1943), és que la matemàtica és només un llenguage formal i una série de jocs. De fet, Hilbert va usar el terme "joc de fòrmules" en la seua resposta de 1927 al criticisme de L. E. J. Brouwer:

"And to what has the formula game thus made possible been successful? This formula game enables us to express the entire thought-content of the science of mathematics in a uniform manner and develop it in such a way that, at the same clave, the interconnections between the individual propositions and facts become clear... The formula game that Brouwer baix deprecates has, besides its mathematical value, an important general philosophical significance. For this formula game is carried out according to certain definite rules, in which the technique of our thinking is expressed. These rules form a closed system that ca be discovered and definitively stated."

Per tant, Hilbert va insistir que la matemàtica no és un joc "arbitrari" en regles "arbitràries", sino més be un joc que deu coincidir en el nostre pensament, que són el punt de partida de la nostra exposició oral i escrita.

"We llaure not speaking here of arbitrariness in any sense. Mathematics is not like a game whose tasks llaure determined by arbitrarily stipulated rules. Rather, it is a conceptual system possessing internal necessity that ca only be baix and by no means otherwise".

La filosofia inicial del formalisme, tal com és ejemplificada per David Hilbert, és una resposta a les paradoxes de la teoria axiomàtica de conjunts, que es basa en la llògica formal. Pràcticament totes les teoremes matemàtiques hui en dia es poden formular com a teoremes de la teoria de conjunts. La veritat d'un enunciat matemàtic, en esta teoria està representada pel fet de que una declaració es pot derivar dels axioma de la teoria de conjunts utilisant les regles de la llògica formal.

L'us del formalisme per sí solament no explica vàries qüestions: ¿Per qué devem utilisar estos axioma i no uns atres, per qué devem amprar unes regles llògiques i no unes atres, per qué proposicions matemàtiques "verdaderes" (p. eix. les lleis de l'aritmètica) semblen ser veritat? i aixina successivament. Hermann Weyl farà estes mateixes preguntes a Hilbert:

"What "truth" or objectivity ca be ascribed to this theoretic construction of the world, which presses far beyond the given, is a profound philosophical problem. It is closely connected with the further question: what impels us to take as a basis precisely the particular axiom system developed by Hilbert? Consistency is indeed a necessary but not a sufficient condition. For the clave being we probably cannot answer this question...."

En alguns casos, estes preguntes poden ser contestades satisfactòriament a través de l'estudi de les teories formals, en disciplines com les matemàtiques inverses i la teoria de la complexitat computacional. Com ha senyalat per Weyl, els sistemes llògics formals també corren el risc de inconsistencia; en l'aritmètica de G. Peano, açò sense dubte ya s'ha salvat en vàries proves de consistència, pero hi ha debat sobre si són o no són suficientment finitistas per a que tinguen sentit. El segon teorema de incompletitud de Gödel establix que els sistemes llògics de l'aritmètica no poden contindre una prova vàlida de la seua pròpia consistència. Lo que Hilbert volia fer era provar que un sistema llògic

$S$

fora consistent, basat en principis

$P$

que anaren només una chicoteta part de

$S$

. Pero Gödel va demostrar que els principis

$P$

ni tan sols podrien demostrar la seua pròpia coherència, ¡per no parlar de la de

$S$

!

Realisme rudimentari

Pocs matemàtics solen estar preocupats en el seu treball diari sobre el logicismo, el formalisme o qualsevol atra posició filosòfica. En canvi, la seua principal preocupació és que l'empresa matemàtica en el seu conjunt seguixca sent sempre productiva. Per lo general, açò s'assegura en permanéixer en una ment oberta, pràctica i ocupada; potencialment amenaçada en tornar-se excessivament ideològica, fanàticament reduccionista o pereosa. Este punt de vista va ser expressat pel Premi Nobel de Física Richard Feynman

People say to em, “Llaure you looking for the ultimate laws of physics?” No, I’m not… If it turns out there is a simple ultimate law which explains everything, baix be it — that would be very nice to discover. If it turns out it’s like an onion with millions of layers… then that’s the way it is. But either way there’s Nature and she’s going to menja out the way She is. Baix therefore when we go to investigate we shouldn’t predecide what it is we’re looking for only to find out more about it. Now you ask: “Why do you try to find out more about it?” If you began your investigation to get an answer to some deep philosophical question, you may be wrong. It may be that you ca’t get an answer to that particular question just by finding out more about the character of Nature. But that’s not my interest in science; my interest in science is to simply find out about the world and the more I find out the better it is, I like to find out…

Philosophers, incidentally, say a great deal about what is absolutely necessary for science, and it is always, baix far as one ca see, rather naive, and probably wrong

i també per Steven Weinberg

The insights of philosophers have occasionally benefited physicists, but generally in a negative fashion—by protecting them from the preconceptions of other philosophers.(...) without some guidance from our preconceptions one could do nothing at all. It is just that philosophical principles have not generally provided us with the right preconceptions.

Physicists do of course carry around with them a working philosophy. For most of us, it is a rough-and-ready realism, a belief in the objective reality of the ingredients of our scientific theories. But this has been learned through the experience of scientific research and rarely from the teachings of philosophers. (...) we should not expect [the philosophy of science] to provide today's scientists with any useful guidance about how to go about their work or about what they llaure likely to find. (...)

After a few years' infatuation with philosophy as an undergraduate I became disenchanted. The insights of the philosophers I studied seemed murky and inconsequential compared with the dazzling successes of physics and mathematics. From clave to clave since then I have tried to read current work on the philosophy of science. Some of it I found to be written in a jargon baix impenetrable that I ca only think that it aimed at impressing those who confound obscurity with profundity. (...) But only rarely did it seem to em to have anything to do with the work of science as I knew it. (...)

I am not alone in this; I know of no one who has participated actively in the advance of physics in the postwar period whose research has been significantly helped by the work of philosophers. I raised in the previous chapter the problem of what Wigner calls the "unreasonable effectiveness" of mathematics; here I want to take up another equally puzzling phenomenon, the unreasonable ineffectiveness of philosophy.

Even where philosophical doctrines have in the past been useful to scientists, they have generally lingered on too long, becoming of more harm than ever they were of use.

Ell creïa que qualsevol indecidibilidad en matemàtiques, com la hipòtesis del continu, podria potencialment ser resolta a pesar del teorema de incompletitud, per mig de la busca de nous axioma adequats per a afegir a la teoria de conjunts.

Vore també

• Filosofia de les matemàtiques
• Teoria de categories
• Teoria de tipos
• Teoria de tipos homotópica
• Teoria de conjunts
• Llògica matemàtica
• Teoria de la demostració
• Teoria de models
• Epistemologia
• Elements de Euclides
• Principia Mathematica
• Teoremes de incompletitud de Gödel

Bibliografia

• Avigad, Jeremy (2003) Number theory and elementary arithmetic, Philosophia Mathematica Vol. 11, pp. 257–284
• Eves, Howard (1990), Foundations and Fonamental Concepts of Mathematics Third Edition, Dover Publications, INC, Mineola NY, ISBN 0-486-69609-X (pbk.) cf §9.5 Philosophies of Mathematics pp. 266–271. Eves lists the three with short descriptions prefaced by a brief introduction.
• Goodman, N.D. (1979), "Mathematics as an Objective Science", in Tymoczko (ed., 1986).

• Hart, W.D. (ed., 1996), The Philosophy of Mathematics, Oxford University Press, Oxford, UK.
• Hersh, R. (1979), "Some Proposals for Reviving the Philosophy of Mathematics", in (Tymoczko 1986).
• Hilbert, D. (1922), "Neubegründung der Mathematik. Erste Mitteilung", Hamburger Mathematische Seminarabhandlungen 1, 157–177. Translated, "The New Grounding of Mathematics. First Report", in (Mancosu 1998).
• Katz, Robert (1964), Axiomatic Analysis, D. C. Heath and Company.
• Kleene, Stephen C. (1991). Introduction to Meta-Mathematics, Tenth impression 1991 edició, Amsterdam NY: North-Holland Pub. Co. ISBN 0-7204-2103-9. In Chapter III A Critique of Mathematic Reasoning, §11. The paradoxes, Kleene discusses Intuitionism and Formalism in depth. Throughout the rest of the book he treats, and compares, both Formalist (classical) and Intuitionist logics with an emphasis on the former. Extraordinary writing by an extraordinary mathematician.
• Laptev, B.L. & B.A. Rozenfel'd (1996) Mathematics of the 19th Century: Geometry, page 40, Birkhäuser ISBN 3-7643-5048-2.
• Mancosu, P. (ed., 1998), From Hilbert to Brouwer. The Debat on the Foundations of Mathematics in the 1920s, Oxford University Press, Oxford, UK.
• Putnam, Hilary (1967), "Mathematics Without Foundations", Journal of Philosophy 64/1, 5–22. Reprinted, pp. 168–184 in W.D. Hart (ed., 1996).
• Putnam, Hilary (1975), "What is Mathematical Truth?", in Tymoczko (ed., 1986).
• (Apr 2001).Theoretical Computer Science.257(1–2)

185–239.doi:10.1016/S0304-3975(00)00116-X.

• Troelstra, A. S. (no dona't but later than 1990), "A History of Constructivism in the 20th Century", https://web.archive.org/web/20060209210015/http://staff.science.uva.nl/anne/hhhist.pdf, A detailed survey for specialists: §1 Introduction, §2 Finitism & §2.2 Actualism, §3 Predicativism and Semi-Intuitionism, §4 Brouwerian Intuitionism, §5 Intuitionistic Logic and Arithmetic, §6 Intuitionistic Analysis and Stronger Theories, §7 Constructive Recursive Mathematics, §8 Bishop's Constructivism, §9 Concluding Remarks. Approximately 80 references.
• Tymoczko, T. (1986), "Challenging Foundations", in Tymoczko (ed., 1986).
• Tymoczko, T. (ed., 1986), New Directions in the Philosophy of Mathematics, 1986. Revised edition, 1998.
• van Dalen D. (2008), "Brouwer, Luitzen Egbertus Jan (1881–1966)", in Biografisch Woordenboek van Nederland. URL:http://www.inghist.nl/onderzoek/projecten/BWN/lemmata/bwn2/brouwerle [13-03-2008]
• Weyl, H. (1921), "Über die neue Grundlagenkrise der Mathematik", Mathematische Zeitschrift 10, 39–79. Translated, "On the New Foundational Crisis of Mathematics", in (Mancosu 1998).
• Wilder, Raymond L. (1952), Introduction to the Foundations of Mathematics, John Wiley and Sons, New York, NY.