Elements de Euclides

Archiu:Title page of Sir Henry Billingsley's first English version of Euclid's Elements, 1570 (560x900).jpg

Elements de Euclides

1. redirect Plantilla:Redirige aquí

Els Elements de Euclides (en grec: Στοιχεῖα, stoicheia, i conegut com geometria euclidiana; en grec: Ευκλειδης Γεωμετρια) és un tractat matemàtic i geomètric que es compon de tretze llibres, escrit pel matemàtic i geómetra grec Euclides en Aleixandria. A través d'estos llibres l'autor oferix un tractament definitiu de la geometria de dos dimensions (el pla) i tres dimensions (l'espai).

Història

Encara que l'obra era coneguda en Bizancio, era desconeguda en Europa Occidental fins a al voltant de 1120, quan el monge anglés Adelardo de Bath la va traduir al llatí a partir d'una traducció àrap. En 1482, Erhard Ratdolt va realisar en Venècia la primera impressió llatina de l'obra.

Els Elements és considerat un dels llibres de text més divulgat en l'història i el segon en número d'edicions publicades despuix de la Bíblia (més de 1000). Durant varis sigles, el quadrivium estava inclós en el temari dels estudiants universitaris, i s'exigia el coneiximent d'este text. Encara hui s'utilisa per alguns educadors com a introducció bàsica de la geometria.

En estos tretze volums Euclides recopila gran part del saber matemàtic de la seua época, representats en el sistema axiomàtic conegut com Postulats de Euclides, els quals d'una forma senzilla i llògica donen lloc a la Geometria euclidiana.

Principis fonamentals

En el primer llibre, Euclides desenrolla 48 proposicions a partir de 23 definicions (com punt, llínea i superfície), 5 postulats i 5 nocions comunes (axiomas). Entre estes proposicions es troba la primera demostració general coneguda del teorema de Pitágoras.

Les nocions comunes dels Elements són:

1. Coses iguals a una mateixa cosa són iguals entre sí.
2. Si s'afigen iguals a iguals, els tots són iguals.
3. Si se sostrauen iguals a iguals, els restants són iguals.
4. Les coses que coincidixen una en una atra són iguals entre sí.
5. El tot és major que la part.

Els postulats dels Elements són:

1. Es pot formar una llínea recta que passe per dos punts.
2. Un segment de llínea recta es pot estendre indefinidament en una llínea recta.
3. Donat un segment de llínea recta, pot dibuixar-se un círcul en qualsevol centre i ràdio.
4. Tots els ànguls rectes són iguals entre sí.
5. Postulat de les paraleles. Si una llínea recta curta a atres dos, de tal manera que la suma dels dos ànguls interiors del mateix costat siga menor que dos rectes, les atres dos rectes es tallen, en prolongar-les, pel costat en el que estan els ànguls menors que dos rectes.

Este últim postulat té un equivalent, que és el més usat en els llibres de geometria:

• Per un punt exterior a una recta, es pot traçar una única paralela

cal senyalar que este és el postulat que fa que la geometria siga euclidiana. Negant-ho s'obtenen les #geometria no-euclidianas.

Estos principis bàsics reflectixen l'interés de Euclides per la geometria constructiva, de la mateixa manera que els matemàtics grecs i helenísticos contemporàneus.

Contingut

A pesar de tractar-se d'un treball sobre geometria, el llibre inclou resultats que hui es poden classificar dins de la teoria dels números. Euclides decidix descriure els resultats en teoria de números dins de la geometria perque no va poder desenrollar una aproximació constructiva a la aritmètica.

El contingut dels llibres és el següent:

• Llibres 1 al 4 tracten sobre geometria plana.
• Llibres 5 al 10 tracten sobre raons i proporciones.
• Llibres 11 al 13 tracten sobre geometria dels cossos sòlits.

Sumari Contingut de Elements

Llibre	I	II	III	IV	V	VI	VII	VIII	IX	X	XI	XII	XIII	Total
Definicions	23	2	11	7	18	4	22	-	-	16	28	-	-	131
Postulats	5	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	5
Nocions bàsiques	5	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-	5
Proposicions	48	14	37	16	25	33	39	27	36	115	39	18	18	465

Elements de Euclides / Definicions (Llibre primer)

1. Un punt és lo que no té parts.
2. Una llínea és una llongitut sense esgambi.
3. Els extrems d'una llínea són punts.
4. Una llínea recta és aquella que yacer per igual respecte dels punts que estan en ella.
5. Una superfície és lo que solament té llongitut i esgambi.
6. Els extrems d'una superfície són llínees.
7. Una superfície plana és aquella que yacer per igual respecte de les llínees que estan en ella.
8. Un àngul pla és l'inclinament mutu de dos llínees que es troben una a una atra en un pla i no estan en llínea recta.
9. Quan les llínees que comprenen el àngul són rectes, l'àngul es diu rectilíneo.
10. Quan una recta alçada sobre una atra recta forma ànguls adjacents iguals entre sí, cada u dels ànguls iguals és recte i l'alçada es diu perpendicular a aquella sobre la que està.
11. Àngul obtús és el major que un recte.
12. Àngul agut és el menor que un recte.
13. Un llímit és allò que és extrem d'alguna cosa.
14. Una figura és lo contingut per un o varis llímits.
15. Un círcul és una figura plana compresa per una sola llínea de tal modo que totes les rectes dibuixades que cauen sobre ella des d'un punt dels que estan dins de la figura són iguals entre sí.
16. El punt es diu el «centre» del círcul.
17. Un diàmetro del círcul és una recta qualsevol traçada a través del centre i llimitat en abdós sentits per la circumferència del círcul, recta que també dividix el círcul en dos parts iguals.
18. Un semicírcul és la figura compresa entre el diàmetro i la circumferència per ell tallada. I el centre del semicírcul és el mateix que el del círcul.
19. Figures rectilíneas són les compreses per rectes, triláteras les compreses per 3, cuadriláteras les compreses per 4, multiláteras les compreses per més de 4 rectes.
20. Entre les figures triláteras, el triàngul equilátero és la que té els tres costats iguals, triàngul isósceles la que té dos costats iguals, i el triàngul escaleno la que té els tres costats desiguals.
21. Entre les figures triláteras, triàngul rectàngul és la que té un àngul recte, obtusàngul la que té un àngul obtús, acutángulo la que té els tres ànguls aguts.
22. D'entre les figures cuadriláteras, quadrat és la que és equilátera i rectangular, rectàngul la que és rectangular, pero no equilátera, rombo la que és equilátera, pero no rectangular, romboide la que té els ànguls i els costats oposts iguals entre sí, pero no és equilátera ni rectangular; i trapezis les demés figures cuadriláteras.
23. Són rectes paraleles les que estant en el mateix pla i sent prolongades indefinidament en abdós sentits, no es troben una a una atra en cap d'ells.

Elements de Euclides / Postulats (Llibre primer)

1. Postule's el traçar una llínea recta des d'un punt qualsevol fins a un punt qualsevol.
2. I el prolongar contínuament una recta finita en llínea recta.
3. I el descriure un círcul en qualsevol centre i ràdio.
4. I el ser tots els ànguls rectes iguals entre sí.
5. I que si una recta en incidir sobre 2 rectes fa els ànguls interns del mateix costat menors que dos rectes, les dos rectes prolongades indefinidament es trobaran en el costat en el que estan els menors que dos rectes.

Nocions bàsiques (Llibre primer)

1. Si dos elements són iguals a un atre element, són iguals entre sí.
2. Si dos cantitats iguals són sumades a atres iguals, seran iguals.

1. Si dos cantitats iguals són restades a atres iguals, seran iguals.
2. Si dos elements coincidixen un en un atre, són iguals entre sí.
3. El tot és major que una part.

Transmissió i traduccions a l'espanyol

El text de Euclides es va transmetre per dos vies. En els països cristians es varen fer còpies sobretot durant el Imperi bizantí, a on estava més difòs el coneiximent del grec, pero no estava molt divulgat en eixe àmbit l'estudi de la geometria. Per una atra part, en el món àrap es varen traduir i es varen comentar els Elements i es va mantindre una tradició més viva, encara que menys fidel a Euclides. Els principals traductors a l'àrap varen ser Al-Hajjàj (fl. 786-833) i Ishàq-ben-Hunayn (IX). El musulmà hispà Avicena va escriure un comentari als Elements. La millor traducció al llatí de l'Edat Mija va ser la de Gerardo de Cremona (1114-1187), italià d'orige, pero heretat en Toledo, de que la seua Catedral va aplegar a ser canonge, des de la versió àrap de Thábit ibn Qurra. Pero la versió llatina més divulgada durant la Baixa Edat Mija va ser la de Campano de Novara (XIII); de fet, va ser esta versió la que es va imprimir per primera volta (Venècia, 1482).

La primera versió en castellà va ser la traduïda per Rodrigo Zamorano (Sevilla, 1576). Varen seguir la de Luis Carduchi (1637), la d'Andrés Puig (1672), la de José Saragossa (1678), la de Sebastián Fernández de Medrano (1688), la comentada del matemàtic jesuïta chec Jacobo Kresa (Elements geomètrics de Euclides, els sis primers llibres dels plans, els onzeno i dozeno dels sòlits: en alguns selectes Theoremas de Archimedes, Brusseles, 1689), la de Francisco Larrando de Mauleón (1698), la de Pedro de Ulloa (1706), la del novator Tomás Vicente Tosca (1707), la d'Antonio José Deu i Abella (1723), les de Gaspar Álvarez (1739) i Blas Martínez de Velasco (1747), la traducció de Robert Simson (1774), la de Juan Just García (1782), la de Pedro Giannini (1788) i les ya molt numeroses dels sigles XIX i XX. De les antigues, solament la primera edició, preparada per Zamorano, i una de les últimes, la traducció espanyola de la versió de Robert Simson, tracten de ser una trascripción fidel del text grec. La majoria són adaptacions pedagògiques, més o menys lliures, de l'obra de Euclides. Segons afirma Juan Navarro Loidi,

Les versions renaixentistes o de la Ilustració tenen casi totes els mateixos llibres. Solen incloure els llibres de l'I al VI que tracten de la geometria plana, encara que el llibre V freqüentment ha segut simplificat i convertit en un manual sobre fraccions numèriques aplicades a la geometria. A partir de l'edició de José Saragossa (1678) també solen contindre els dos primers llibres de geometria de l'espai. Pero, en el llibre XII són molt freqüents les #simplificació per a evitar les llargues demostracions pel método de “exhausción”. Generalment estan inspirades en l'idea de llímit de figures introduïda pel belga Tacquet, encara que Saragossa s'inclina per les sumes infinites, tal volta influenciat per Cavalieri.

Edicions modernes són les de Juan David García Bacca, Euclides. Obres completes. Elements de Geometria (Mèxic, 1954-1956), que conté en realitat solament els llibres de l'I al V del text. Francisco Vora, en el volum I dels seus Científics Grecs (Madrit, 1970) va publicar l'obra de Euclides en tots els seus llibres de l'I al XIII per primera volta en castellà; pero en eixa edició, sobretot en el llibre X, s'abrevien molt les demostracions o se substituïxen per atres més modernes, per #lo que no és pròpiament una traducció del text íntegre de Euclides. La primera traducció espanyola completa dels Elements és la de María Luisa Portes Castanys Elements (Madrit: Gredos, 1991, 1994 i 1996) en tres volums.

Bases en obres anteriors

Els estudiosos creuen que els Elements són en gran partix una compilació de proposicions basades en llibres de matemàtics grecs anteriors.

Proclo (412-485 d.Plantilla:NbspC.), matemàtic grec que va viure uns sèt sigles despuix de Euclides, va escriure en el seu comentari sobre els Elements: "Euclides, que va reunir els Elements, arreplegant molts de les teoremes d'Eudoxo de Cnido, perfeccionant molts de Teeteto, i duent també a una demostració irrefutable les coses que només havien segut demostrades de forma alguna cosa vaga pels seus predecessors".

Pitágoras (Plantilla:Circa 570-495 a.Plantilla:NbspC.) va ser provablement la font de la major part dels llibres I i II; Hipócrates de Quíos (Plantilla:Circa 470-410 a.Plantilla:NbspC., no confondre en el més conegut Hipócrates de Kos) és la font per al llibre III; i Eudoxo de Cnido (Plantilla:Circa 408-355 a.Plantilla:NbspC.) per al llibre V, mentres que els llibres IV, VI, XI i XII provablement procedixen d'atres matemàtics pitagórico o atenienses. Els Elements poden haver-se basat en un llibre de text anterior d'Hipócrates de Quíos, que també pot haver originat l'us de lletres per a referir-se a les figures.

Influència

La primera edició impresa dels Elements va ser impresa per Erhard Ratdolt en 1482. Els Elements seguixen considerant-se una obra mestra en l'aplicació de la llògica a les matemàtiques. En el context històric, ha demostrat ser enormement influent en moltes àrees de la ciència. Els científics Nicolaus Copernicus, Johannes Kepler, Galileo Galilei, Albert Einstein i Sir Isaac Newton es varen vore influïts pels Elements i varen aplicar els seus coneiximents al seu treball. Matemàtics i filòsofs, com Thomas Hobbes, Baruch Spinoza, Alfred North Whitehead i Bertrand Russell varen intentar crear els seus propis "Elements" fundacionals per a les seues respectives disciplines, adoptant les estructures deductivas axiomatizadas que va introduir l'obra de Euclides.

L'austera bellea de la geometria euclidiana ha segut vista per molts en la cultura occidental com un aguaitó d'un sistema de perfecció i certea d'un atre món. Abraham Lincoln guardava un eixemplar de Euclides en el seu alforja i ho estudiava a altes hores de la nit a la llum d'una llàntia; contava que es va dir a sí mateixa: "Mai podràs ser advocat si no entens lo que significa demostrar; i vaig deixar la meua situació en Springfield, vaig anar a casa del meu pare i em vaig quedar allí fins que vaig poder donar qualsevol proposició dels sis llibres de Euclides a la vista". Edna Saint Vincent Millay va escriure en el seu sonet "Solament Euclides ha mirat la Bellea nueta": "¡Oh hora cegadora, oh sant, terrible dia, quan per primera volta el astil en la seua visió va lluir de llum anatomizada!". Albert Einstein recordava un eixemplar dels Elements i una brúixola magnètica com dos regals que varen tindre una gran influència en ell quan era chiquet, referint-se al Euclides com el "menut llibre sagrat de geometria" la comprensió sintètica del qual va ser una de les majors #satisfacció que va tindre en la seua adolescència.

L'èxit dels Elements es deu principalment a la seua presentació llògica de la major part dels coneiximents matemàtics de que disponia Euclides. Gran part del material no és original de Euclides, encara que moltes de les proves són seues. No obstant, el desenroll sistemàtic del tema per part de Euclides, des d'un menut conjunt d'axiomas fins a resultats profunts, i la coherència del seu enfocament a lo llarc dels Elements, varen fomentar el seu us com a llibre de text durant uns 2000 anys. Els Elements seguixen influint en els llibres de geometria moderns. Ademés, el seu enfocament llògic i axiomàtic i les seues rigoroses demostracions seguixen sent la pedra angular de les matemàtiques.

Vore també

• Postulats de Euclides
• Geometria euclidiana
• Llibre II dels Elements de Euclides
• Teorema de l'àngul exterior

Enllaços externs

Commons

• Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre Elements de Euclides.
• 15px|link=|alt= Wikisource contiene obras originales de o sobre Elements de Euclides.
• Text espanyol en el lloc Euclides.
• Text català en el mateix lloc.
• Text francés, en anotacions en este idioma, en el lloc de Philippe Remacle (1944 - 2011); trad. de François Peyrard (1759 o 1760 - 1822). Ed. de 1804, en París.
  • Llibres: 1; 2; 3; 4; 6; 11; 12.
• Text anglés.

• • Text grec, en índex electrònic, en el Proyecte Perseus.
    • Text grec en Wikisource.
    • Text grec [1] archivat en Wayback Machine. en índex electrònic: facsímil digitalisat del MS D'Orville 301, de la Biblioteca Bodleiana.
• Adaptació a vídeo per Sandy Bultena (en anglés).