Recta

Recta

En geometria euclidiana, la recta o la llínea recta és una llínea que s'estén en una mateixa direcció; per lo tant, té una sola dimensió i conté un número infinit de punts. Dita recta també es pot descriure com una successió contínua de punts estesos en una sola direcció.

És un dels ents geomètrics fonamentals, junt al punt i el pla. Són considerats conceptes apriorísticos, ya que la seua definició solament és possible a partir de la descripció de les característiques d'atres elements similars. Un eixemple de les dificultats de la definició de la recta a partir de punts és la cridada paradoxa de Zenón de la dicotomia, que ilustrava la desaparició de la recta en dividir-la en punts perque després no hi havia un concepte per a ensamblar dita recta a partir de punts, ya que l'unió de dos punts és un punt. Les rectes se solen denominar en una lletra minúscula.

En geometria analítica les llínees rectes en un pla poden ser expressades per mig d'una equació del tipo i = m x + b, a on x, i són variables en un pla cartesiano. En dita expressió m és denominada la "pendent de la recta" i està relacionada en l'inclinament que pren la recta respecte a un parell d'eixos que definixen el pla, mentres que b és el denominat "terme independent" o "ordenada a l'orige" i és el valor de l'ordenada del punt en el qual la recta curta a l'eix vertical en el pla.

Definicions i postulats de Euclides relacionats en la llínea recta

Euclides, en el seu tractat denominat Els Elements, establix vàries definicions relacionades en la llínea i la llínea recta:

• Una llínea és una llongitut sense esgambi (Llibre I, definició 2).
• Els extrems d'una llínea són punts (Llibre I, definició 3).
• Una llínea recta és aquella que yacer per igual respecte dels punts que estan en ella (Llibre I, definició 4).

Característiques de la recta

• La recta es prolonga indefinidament en abdós sentits.
• En geometria euclidiana, la distància més curta entre dos punts és la llínea recta.
• La recta pot definir-se com el conjunt de punts situats a lo llarc de l'intersecció de dos plans.

Semirrecta

Es diu semirrecta cada una de les dos parts en que queda dividida una recta en ser tallada en qualsevol dels seus punts. És la part d'una recta conformada per tots els punts que s'ubiquen cap a un costat d'un punt fix de la recta, denominat orige, a partir del com s'estén indefinidament en un sol sentit.

Semirrecta oposta

La semirrecta oposta d'una semirrecta és l'atra semirrecta eixida de la recta que definix la primera.

• Cada semirrecta solament té una semirrecta oposta.
• Una semirrecta i la seua semirrecta oposta tenen el mateix orige.

Equació de la recta en el pla

En un pla cartesiano, podem representar una recta per mig d'una equació general definida en dit pla, ya siga per mig de coordenades usant punts i vectores, o be funcions que especifiquen dites coordenades.

Pendent i ordenada a l'orige

Donada una recta per mig d'un punt, $P=(x_1,y_1)$, i una pendent $m$:

Es pot obtindre l'equació de la recta a partir de la fòrmula de la pendent (equació punt-pendent):

$y-y_1=m(x-x_1)$

a on $m$ és la tangente de l'àngul que forma la recta en l'eix d'abscisses X.

Eixemples

a) L'equació de la recta que passa pel punt $A=(-5,3)$ i que té una pendent de $m=6$ és:

Substituint en l'equació anterior tenim:

$y-y_1=m(x-x_1)$

$y-3=6(x-(-5))$

$y-3=6(x+5)$

$y-3=6x+30$

$y=6x+30+3$

$y=6x+33$

Demostració: Es pot observar perfectament que el valor que acompanya a la x és 6, és dir m, que és la pendent de dita recta.

Si ara se substituïx el valor x del punt donat A = (-5,3) en l'equació de la recta obtinguda en el nostre resultat, és dir, -5, es va a obtindre com a resultat i = 3 i viceversa, és dir, si ara se substituïx el valor i del punt donat A = (-5,3) en l'equació de la recta obtinguda en el nostre resultat, és dir, 3, nos va a donar com resultat x = -5.

Si:

$y=6x+33$

per a x = -5 tenim que:

$y=(6(-5))+33$

$y=-30+33$

$y=3$

I si:

$y=6x+33$

para i = 3 tenim que:

$3=6x+33$

$6x=3-33$

$6x=-30$

$x=-\frac{30}{6}$

$x=-5$

b) L'equació de la recta que passa pel punt $A=(2,-4)$ i que té una pendent de $m=-\frac{1}{3}$:

$x+3y+10=0$

Forma simplificada de l'equació de la recta

Si es coneix la pendent m, i el punt a on la recta curta a l'eix d'ordenades és (0, b), podem deduir, partint de l'equació general de la recta, $y-y_1=m(x-x_1)$:

$y-b=m(x-0)$ $y-b=mx$ $y=mx+b$

Esta és la segona forma de l'equació de la recta i s'utilisa quan es coneix la pendent i l'ordenada a l'orige, que cridarem $b$.

Forma segmentaria de l'equació de la recta (equació simètrica)

Recta que talla l'eix ordenat en $b$ i l'abscissa en $a$.

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$.

Equació general de la recta

L'equació general d'una recta està donada per l'expressió $Ax+By+C=0$ en $A,B,C\in ℝ$ i $B\ne 0$, a on $\frac{-A}{B}$ representa la pendent de la recta i $\frac{-C}{B}$ senyala l'ordenada en l'orige, senyes suficients per a representar qualsevol recta en el pla cartesiano.

Equació normal de la recta (primera forma)

La forma normal de la recta (Equació d'Hesse):

$x\cos \omega +y\sin \omega -d=0$

Sent d el valor de la distància entre la recta i l'orige de coordenades, l'àngul omega ω és l'àngul entre la perpendicular a la recta i la part positiva de l'eix d'abscisses.

Si en lloc de l'àngul de la normal ω s'ampra l'àngul de la recta α, entre la recta i l'eix d'abscisses:

$x\sin \alpha -y\cos \alpha +d=0$

Sent d el valor de la distància entre la recta i l'orige de coordenades, l'àngul alfa α és l'àngul entre la recta i la part positiva de l'eix d'abscisses, que la seua tangente expressa el valor de la pendent de la recta.

Equació normal de la recta (segona forma)

$\frac{-(Ax-By-C)}{\sqrt{A^2+B^2}}=0$

Prenent el valor positiu o negatiu de la raïl, segons corresponga.

Fes de rectes que passen per un punt

Per a determinar el fes de les rectes del pla que passen pel punt $P=(x_0,y_0)$ s'usa l'equació

$y=m(x-x_0)+y_0$, a on el paràmetro m pren qualsevol valor real. Esta família de rectes té la característica comuna de passar pel mateix punt, $P$, en pendent diferent.

Recta que passa per dos punts

Si passa per dos punts $(x_1,y_1)$ i $(x_2,y_2)$, a on $x_1\ne x_2$, l'equació de la recta pot expressar-se com:

$y=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)+y_1$

Fòrmules per a trobar "x" i "i" en una recta donada per coordenades.

Tenim una recta $\overline{AB}$ donada per dos punts $A(x_A;y_A)$i $B(x_B;y_B)$, de la qual volem trobar $x$ i $y$ a lo llarc de la mateixa. Obtenim la pendent $m_{\overline{AB}}$i utilisem les fòrmules respectives per a trobar-les:

$m_{\overline{AB}}=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$

$x=\frac{y-y_A}{m_{\overline{AB}}}+x_A$

$y=m_{\overline{AB}}(x-x_A)+y_A$

A on:

$x$ i $y$: ordenada i abscissa a trobar-se;

$x_A$, $y_A$, $x_B$, $y_B$: ordenades i abscisses respectives dels punts A i B de la recta $\overline{AB}$;

$m_{\overline{AB}}$: pendent de la recta $\overline{AB}$.

Fòrmules per a trobar el punt d'intersecció de dos rectes donades pels seus punts de coordenades.

Per a obtindre les coordenades del punt d'intersecció $(x_I;y_I)$ de dos rectes $\overline{AB}$ i $\overline{CD}$, podem utilisar les següents fòrmules.

$x_I=\frac{(m_{\overline{AB}}*x_A)-y_A-(m_{\overline{CD}}*x_C)+y_C}{m_{\overline{AB}}-m_{\overline{CD}}}$

$y_I=m_{\overline{AB}}(x_I-x_A)+y_A$

A on:

$x_I$ i $y_I$: ordenada i abscissa de l'intersecció.

Recta que no passa per l'orige

En coordenades polars una recta que passa a una distancia d > 0, té una equació donada per:

A on la pendent de la recta ve donada per $1/\tan {\theta }_0$.

Rectes notables

• L'equació d'una recta vertical respon a l'equació general $x=x_v$ (constant).

• L'equació d'una recta horisontal respon a l'equació general $y=y_h$ (constant).

• Una recta trigonoidal que passe per l'orige O (0, 0), complirà la condició b = 0, sent la seua equació: $y=(m)(x)$.

• Recta secante

• Recta tangente

• Dos rectes qualssevol:

$y=\left(m_1\right)\left(x\right)+b_1$

$y=\left(m_2\right)\left(x\right)+b_2$

seran paraleles si i solament si $m_1=m_2$. Ademés, seran coincidentes quan: $b_1=b_2$

seran perpendiculars si i solament si $m_1=-1/m_2$, és dir: $(m_1)(m_2)=-1$

Rectes en el pla com a espai vectorial i afí

Per mig de dos punts del pla afí

Daus dos punts en el pla, P i Q, sobre una recta, es pot descriure cada punt d'esta (és dir tota la recta) per mig de l'equació:

$P+\lambda \overrightarrow{PQ}$, a on $\lambda$ pot prendre qualsevol valor.

Eixemple

Donats $P=(1,2)$ i $Q=(3,5)$, llavors la recta són els punts $(x,y)$, tals que $x=1+\lambda (3-1)$ i $y=2+\lambda (5-2)$.

Per mig d'un punt i un vector

Donats un punt i un vector en el pla, P i $\overrightarrow{v}$, queda totalment definida una recta per mig de l'equació:

$P+\lambda \overrightarrow{v}$, a on $\lambda$ pot prendre qualsevol valor.

Eixemple

Donats $P=(5,-2)$ i $\overrightarrow{v}=(3,1)$(cridat vector director), llavors la recta són els punts $(x,y)$, tals que $x=5+\lambda (3)$ i $y=-2+\lambda (1)$.

Rectes notables

• L'equació d'una recta vertical posseiria un vector director del tipo $\overrightarrow{v}=(0,1)$.
• L'equació d'una recta horisontal posseiria un vector director del tipo $\overrightarrow{v}=(1,0)$.
• Una recta per l'orige és una recta que passa per l'orige de coordenades en $P=(0,0)\in r$.
• Donades dos rectes qualssevol

$P+{\lambda }_1\overrightarrow{v}$

$Q+{\lambda }_2\overrightarrow{w}$

seran paraleles si i solament si $\overrightarrow{v}=\alpha \overrightarrow{w}$.

seran perpendiculars si i solament si $\overrightarrow{v}$ i $\overrightarrow{w}$ són perpendiculars, és dir, el seu producte escalar és zero.

Rectes com a producte escalar

Tota recta, ya siga de forma implícita, explícita o vectorial, es pot expressar com a producte escalar de vectores:

$(x,y)=(b_x,b_y)+\lambda (u_x,u_y)\iff \lambda =\frac{x-b_x}{u_x}y\lambda =\frac{y-b_y}{u_y}\iff$ $\frac{x-b_x}{u_x}=\frac{y-b_y}{u_y}\iff$ $\frac{x}{u_x}+\frac{-y}{u_y}=\frac{b_x}{u_x}+\frac{-b_y}{u_y}\iff$ $(x,y)\cdot \left(\begin{array}{c}\frac{1}{u_x}\\ \frac{-1}{u_y}\end{array}\right)=\frac{b_x}{u_x}+\frac{-b_y}{u_y}$

és dir, renombrando les constants:

$(x,y)\cdot \left(\begin{array}{c}a\\ b\end{array}\right)=c$

• Si $(x,y)\perp (a,b)\Rightarrow c=0$. Per tant, el vector $(a,b)$ és perpendicular a la recta $ax+by=0$ i a les seues vectores directors, i per tant a totes les seues paraleles.

Equació de la recta en l'espai

Recta determinada per mig d'un sistema d'equacions

Recta en l'espai usant un sistema de 2 equacions i 3 incògnites:

$\{\begin{array}{cccc}x& +y& +z& =4\\ x& -y& +3z& =7\end{array}$

• Esta equació equival a l'intersecció de dos plans en l'espai.

Recta determinada per mig de vectores

Recta en l'espai usant un punt, $p=(p_x,p_y,p_z)$, i un vector, $u=(u_x,u_y,u_z)$:

$(x,y,z)=(p_x,p_y,p_z)+\lambda (u_x,u_y,u_z)$

• Al vector $u$se li crida vector director.

Posicions relatives entre rectes

• Dos rectes seran paraleles si tenen vectores directors paralels.
• Dos rectes seran coincidentes si compartixen a lo manco dos punts diferents.
• Dos rectes es intersecan si no són paraleles i tenen un punt en comú.
• Dos rectes seran coplanarias si estan contingudes en algun pla.
  • Dos rectes són coplanarias si i solament si o be són coincidentes o be es intersecan o be són paraleles.
• Dos rectes es creuen si no són paraleles ni tenen punts comuns.

Vore també

• Punt (geometria)
• Segment
• Recta numèrica
• Recta tangente
• Regressió llineal
• Recta proyectiva
• Pla (geometria)
• Funció llineal

Enllaços externs

• [[Archiu:{{#switch:Matemàtica|20px|Vore el portal sobre Matemàtica]] Portal:Matemàtica. Contingut relacionat en Matemàtica.

Recta en el Viccionari.

• Line en MathWorld.
• La Recta (Espanyol).