Equació de primer grau

Una equació de primer grau o equació llineal és una equació algebraica que involucra solament sumes i restes d'una variable a la primera potència. En l'ensenyança secundària s'aborden en molt émfasis les d'una i dos variables.

En matemàtiques, una equació llineal és una equació que es pot plantejar de la forma $a_{1} x_{1} + l d o t s + a_{n} x_{n} + b = 0,$ a on $x_{1}, l d o t s, x_{n}$ són les variables (o desconegudes), i $b, a_{1}, l d o t s, a_{n}$ són els coeficients, que solen ser número real. Els coeficients poden considerar-se paràmetros de l'equació i poden ser expressions arbitràries, sempre que no continguen cap de les variables. Per a obtindre una equació en sentit, es requerix que els coeficients $a_{1}, l d o t s, a_{n}$ no siguen tots zero.

Alternativament, es pot obtindre una equació llineal igualant a zero un polinomi llineal sobre algun camp, del que es prenen els coeficients.

La solució d'una equació d'este tipo són els valors que, en substituir a les incògnites, fan que l'igualtat siga certa.

En el cas d'equacions llineals d'una sola variable, existix exactament una solució (sempre que $a_{1} i 0$ ). A sovint, el terme equació llineal es referix implícitament a este cas particular, en el que la variable es denomina sensiblement la incògnita.

En el cas d'equacions llineals de dos variables, cada solució pot interpretar-se com les coordenades cartesianas d'un punt del pla euclídeo. Les solucions d'una equació llineal formen una llínea en el pla euclídeo i, a l'inversa, tota recta pot vore's com el conjunt de totes les solucions d'una equació llineal en dos variables. Este és l'orige del terme llineal per a descriure este tipo d'equació. De forma més general, les solucions d'una equació llineal en $n$ variables formen un hiperplano (un subespacio de dimensió $n - 1$ ) en l'espai euclídeo de dimensió $n$ .

Les equacions llineals apareixen en freqüència en totes les branques de les matemàtiques i en les seues aplicacions en física i ingenieria, en part perque els sistema d'equacions no llineals solen estar ben aproximats per equacions llineals.

Este artícul considera el cas d'una equació simple en coeficients del camp dels número reals, per a la que s'estudien les solucions reals. Tot el seu contingut s'aplica a les solucions de complexos i, de forma més general, a les equacions llineals en coeficients i solucions en qualsevol camp. Per al cas de vàries equacions llineals simultànees, vejau sistema d'equacions llineals.

Equació de primer grau en una incògnita

En Argentina, este tipo d'equacions estan incorporats en els Núcleus de #Aprenentage Prioritaris (NAP) per a abordar en els primers anys de l'Educació Secundària per a saber usar estratègies algebraiques per a trobar solucions.^[1] Una equació d'una variable $m x + n = 0$ definida sobre un cos $m a t h b b K$ , és dir, en $m, n, x s u b s e t m a t h b b K, m e q 0$ a on x és la variable, admet la següent solució:

Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle x = - �rac{n}{m}}

La solució d'una equació llineal d'una variable, es pot representar en una gràfica en una recta paralela a l'eix vertical

Quan tant l'incògnita com els coeficients són elements d'un anell que no és un cos, l'assunt és més complicat ya que només existiran solucions quan m dividix a n, si l'anell és un domini d'integritat:

Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle exists k: n = m L'incorporació de dos variables a les equacions llineals produïx que es puguen interpretar relacions matemàtiques entre elles. L'educació secundària aborda este concepte a través de la modelización matemàtica de situacions problemàtiques.<ref>{{Cita web|url=https://www.researchgate.net/publication/266489259_una_aproximacion_a_la_nocion_de_ecuacion_lineal|títul=Una aproximació a la noció d'equació llineal}}</ref> Una de les formes algebraiques més utilisada en les equacions llineals de dos variables és : {{equació|<math> i = m x + n } ;

També es coneix com a forma explícita.

A on $m$ representa la pendent i el valor de $n$ determina el punt a on la recta curta a l'eix I (la ordenada a l'orige).

En el sistema cartesiano les equacions llineals en dos incògnites representen rectas.

Alguns eixemples d'equacions llineals en dos incògnites poden ser els següents: Alguns necessiten de l'utilisació de tècniques algebraiques per a representar-les com la forma explícita de les rectes.^[2]

Formes alternatives

Formes complexes com les anteriors poden reescriure's usant les regles del àlgebra elemental en formes més simples. Les lletres mayúscules representen constants, mentres x i i són variables.

Equació general

A x + B y + C = 0

Ací A i B no són abdós zero. Representa una llínea en el cartesiano. És possible trobar els valors a on x i i s'anulen.

Equació segmentaria o simètrica

Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �rac{x}{I} + �rac{i}{F} = 1}

Ací ni I ni F no poden ser zero. El gràfic d'esta equació curta a l'eix X i a l'eix I en I i F respectivament.

Forma paramètrica

$x = U t + x_{0}$
$i = V t + i_{0}$

Dos equacions que deuen complir-se de manera simultànea, cada una en la variable t. Pot convertir-se a la forma general rebujant t en abdós equacions i igualant. En esta representació pot afirmar-se que la recta pansa pel punt

(x_{0}, i_{0})

i forma en l'eix de abcisas un àngul que la seua tangente satisfà: Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle an �lpha = V/O}

Casos especials:

i = F

Un cas especial és la forma estàndar a on

A = 0

i

B = 1

. El gràfic és una llínea horisontal sense intersecció en l'eix X o (si F = 0) coincidente en eixe eix

$x = I$

Un atre cas especial de la forma general a on

A = 1

i

B = 0

. El gràfic és una llínea vertical, interceptant l'eix X en I.

0 = 0

En este cas, totes les variables varen ser cancelades, deixant una equació que és verdadera en tots els casos. La forma original (no una tan trivial com la de l'eixemple), és cridada identitat. El gràfic és tot el pla cartesiano, ya que ho satisfà tot parell d'número real x i i.

Note's que si la manipulació algebraica du a una equació com 1 = 0 llavors l'original és cridada inconsistente, o siga que no es complix per a cap parell de números x i i. Un eixemple podria ser: $3 x + 2 = 3 x$ .

Adicionalment podria haver més de dos variables, en equacions simultànees. Per a més informació véa: Sistema llineal d'equacions.

Equació llineal en l'espai dimensional

Les equacions llineals de vàries variables admeten també interpretacions geomètriques, quan els coeficients de l'equació pertanyen a un cos. Aixina una funció llineal de dos variables de la forma següent

$f (x, i) = a_{1} x + a_{2} i$

representa una recta en un pla. En vàries variables assumint que tant les variables $x_{i} i n m a t h b b K$ i els coeficients $a_{i} i n m a t h b b K$ , a on $m a t h b b K$ és un cos llavors una equació llineal com la següent:

$f (x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}) = a_{1} x_{1} + a_{2} x_{2} + ... + a_{n} x_{n}$

representa un hiperplano de n-1 dimensions en l'espai vectorial n-dimensional $m a t h b b K^{n}$ .

Sistemes d'equacions llineals

Els sistemes d'equacions llineals expressen vàries equacions llineals simultàneament i admeten un tractament matricial. Per a la seua resolució deu haver tantes equacions com a incògnites i el determinant de la matriu ha de ser real i no nul. Geomètricament corresponen a interseccions de llínees en un únic punt (sistema llineal de dos equacions en dos incògnites), plans en una recta (dos equacions llineals de tres incògnites) o un únic punt (tres equacions llineals de tres incògnites). Els casos en els que el determinant de la matriu és nul no posseïxen solució.

Si es consideren n equacions de primer grau linealmente independents definides sobre un cos llavors existix solució única per al sistema si es donen les condicions del teorema de Rouché-Frobenius, que pot ser calculada per mig de la regla de Cramer que és aplicable a qualsevol cos. Si les equacions no són linealmente independents o no es donen les condicions de la teorema la situació és més complicada. Si el sistema es planteja sobre un anell conmutativo que no siga un cos, l'existència de solucions és també més complexes.

Linealidad

AP Una funció definida sobre un espai vectorial és llineal si i solament si es complix en la següent proposició:

A on α és qualsevol escalar. També es diu a f operador llineal.

Equacions llineals de més de dos variables

Sempre es pot supondre que una equació llineal en més de dos variables té la forma

<math>a_1 x_1 + a_2 x_2 +

Des d'un punt de vista concret, un cert número de fenomens físics poden ser modelats per una llei llineal (o llei proporcional). Una equació llineal és l'expressió d'un problema el fenomen del qual pot ser modelat per dita llei.

Aixina mateix, atres fenomens més complexos poden ser modelats tenint en conte una forma llineal:

ya siga transformant-la per mig d'una funció, o canviant la variable; per eixemple, una llei de potència i = Kxⁿ (a on K i n són constants) es transforma en una llei llineal aplicant el logaritmo, ln i = ln K + n ln x;
ya siga per linealización, per eixemple per expansió en série del primer orde.

Vore també

Referències

↑ «NAP Matemàtica, Educació Secundària, Cicle Bàsic» (en és). www.educ.ar. Consultat el 19 d'agost de 2020.
↑ «Equacions llineals en dos incògnites».

Bibliografia

Plantilla:Mathworld
(2008).«College Mathematics for Business, Economics, Life Sciences and the Social Sciences».Pearson.
(2007).«Precalculus:A Concise Course».Houghton Mifflin.
(1925).«Analytic Geometry».D.C. Heath.

Enllaços externs

NAP Matemàtica, Cicle Bàsic
Una aproximació a l'equació llineal
Eixemples de solucions d'equacions llineals de dos variables
Linear algebraic equation i Linear equation en Encyclopedia of Mathematics (anglés)
Linear Equation en MathWorld. (anglés)
Linear equation en PlanetMath (anglés)
Definition:Linear Equation en ProofWiki (anglés)
Plantilla:Springer

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Ecuación de primer grado» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[1] «NAP Matemàtica, Educació Secundària, Cicle Bàsic» (en és). www.educ.ar. Consultat el 19 d'agost de 2020.

[2] «Equacions llineals en dos incògnites».

[1]

[2]