Equació de sèptim grau

Gràfic d'un polinomi de grau 7, en 6 punts crítics.

En matemàtiques, una equació de sèptim grau és l'equació de la forma

Una funció de sèptim grau o funció sèptica és una funció de la forma

y (x) = a x^{7} + b x^{6} + c x^{5} + d x^{4} + e x^{3} + f x^{2} + g x + h

a on a ≠ 0.

Els coeficients a, b, c, d, i, f, g, h poden ser tant número entero, número racional, número real, número complejo o, més generalment, els membres de qualsevol conjunt.

Degut a que tenen un grau impar, les funcions de sèptim grau semblen similars a les de tercer o quint grau en ser graficadas, excepto que poden posseir mínims locals i màxims locals adicionals (fins a tres màxims i tres mínims). La derivada d'una funció sèptica és una funció séxtica.

Solucions

Algunes equacions de sèptim grau es poden resoldre per factorización en radicals, pero unes atres no es poden resoldre d'eixa forma. Evariste Galois va desenrollar tècniques per a determinar si una equació donada podria ser resolta pels radicals, lo que va donar lloc al camp de la teoria de Galois. Per mostrar un eixemple d'una equació sèptica irreducible pero solucionable, es pot generalisar la fòrmula de De Moivre per a les equacions de quint grau i obtindre,

x^{7} + 7 a x^{5} + 14 a^{2} x^{3} + 7 a^{3} x + b = 0

,

a on l'equació auxiliar és

y^{2} + b y - a^{7} = 0

.

Açò significa que l'equació sèptica s'obté per mig de l'eliminació d'o i v entre $x = u + v$ , $u v + a = 0$ i $u^{7} + v^{7} + b = 0$ .

En conseqüència, les sèt raïls de l'equació són donades per

x_{k} = ω_{k} \sqrt[7]{y_{1}} + ω_{k}^{6} \sqrt[7]{y_{2}}

a on ω_k és qualsevol de les sèt raïls de l'unitat. El grup de Galois d'esta equació és el grup resoluble màxim d'orde 42. Açò és fàcilment generalisable a qualsevol atre grau k, no necessàriament primer.

Una atra família solucionable és,

x^{7} - 2 x^{6} + (a + 1) x^{5} + (a - 1) x^{4} - a x^{3} - (a + 5) x^{2} - 6 x - 4 = 0

els membres del qual apareixen en la "Base de senyes camps numèrics" de Kluner. El seu discriminante és,

d = - 4^{4} (4 a^{3} + 99 a^{2} - 34 a + 467)^{3}

Note's que d = −467 té número de classe h (d) = 7. El grup de Galois d'estes equacions és el grup diedral d'orde 14.

L'equació de sèptim grau general pot ser resolt en grups de Galois alternantes o simètrics A₇ or S₇. Tals equacions requerixen funcions hiperelípticas associades i les funcions theta de gènero 3 per a la seua solució. No obstant, estes equacions no varen ser estudiades específicament pels matemàtics de el XIX que estudien les solucions de les equacions algebraiques, degut a que les solucions de les equacions de sext grau ya estaven al llímit de les seues capacitats de computació sense computadoras.^[1]

Les equacions de sèptim grau són les equacions d'orde més baix per a les que no és obvi que les seues solucions es poden obtindre per mig de la superposició de funcions contínues de dos variables. El problema 13 de Hilbert era la conjectura de que açò no era possible en el cas general d'equacions de sèptim grau. Vladimir Arnold va resoldre açò en 1957, lo que va demostrar que açò sempre és possible.^[2] No obstant, Arnold en sí considerava que el genuí problema de Hilbert consistia en si les solucions d'estes equacions es poden obtindre per mig de la superposició algebraica de funcions de dos variables (el problema seguix estant obert).^[3]

Grups de Galois

Archiu:Fano plane.svg

Pla de Fano.

Les equacions sèptiques solubles per radicals tenen un grup de Galois que és ya siga el grup cíclico d'orde 7, o el grup diédrico d'orde 14 o un grup metacíclico d'orde 21 o 42.
El grup de Galois L(3, 2) (d'orde 168) està format per les permutació de les 7 etiquetes dels vèrtiços que conserven les 7 "llínees" en el pla de Fano. Les equacions sèptiques en este grup de Galois L(3, 2 ) requerixen funcions elíptiques pero no funcions hiperelípticas per a la seua solució.^[1]
De lo contrari, el grup de Galois d'una funció sèptica és ya siga el grup alternante d'orde 2520 o el grup simètric d'orde 5040.

Vore també

Referències

↑ ^1,0 ^1,1 (2009) Beyond the Quartic Equation (en en), Boston/Basilea/Berlín: Birkhäuser, pp. 143 i 144. ISBN 978-0-8176-4849-7.
↑ Brattka, Vasc (2007). «From Hilbert's 13^th Problem to the theory of neural networks: constructive aspects of Kolmogorov's Superposition Theorem», Kolmogorov's heritage in mathematics (en en), Berlín/Heidelberg/Nova York: Springer, pp. 253–280. ISBN 978-3-540-36349-1.
↑ V.I. Arnold«From Hilbert's Superposition Problem to Dynamical Systems».

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Ecuación de séptimo grado» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[BeyondQuartic-1] 1,0 ^1,1 (2009) Beyond the Quartic Equation (en en), Boston/Basilea/Berlín: Birkhäuser, pp. 143 i 144. ISBN 978-0-8176-4849-7.

[2] Brattka, Vasc (2007). «From Hilbert's 13^th Problem to the theory of neural networks: constructive aspects of Kolmogorov's Superposition Theorem», Kolmogorov's heritage in mathematics (en en), Berlín/Heidelberg/Nova York: Springer, pp. 253–280. ISBN 978-3-540-36349-1.

[3] V.I. Arnold«From Hilbert's Superposition Problem to Dynamical Systems».

[1]

[2]

[3]