Pla de Fano

Archiu:Fano plane.svg

El pla de Fano.

En geometria proyectiva, el pla de Fano (el nom del qual es deu a Gino Fano) és el pla proyectivo finito en el menor número possible de punts i llínees: solament 7 de cada u.

Definicions formals

Coordenades homogénees

Està construït sobre l'espai vectorial $Z_2^3$ i els seus sèt punts poden representar-se com coordenades homogénees utilisant una codificació binaria de números distints de zero, de la següent manera:

(0,0,1)

(0,1,0)

(1,0,0)

(0,1,1)

(1,0,1)

(1,1,0)

(1,1,1)

Definició axiomàtica

Una atra manera de definir el pla de Fano és per mig dels següents axiomas:

1. Cada llínea del pla té a lo manco tres punts.
2. Per cada punt del pla passen a lo manco tres llínees.
3. Per cada parell de punts passa una i solament una llínea.
4. Cada parell de llínees s'unix exactament en un punt.
5. Cada llínea del pla té un màxim de tres punts.
6. Per cada punt del pla passen a lo més tres llínees.

Els dos últims axioma són els que realment determinen un pla de Fano.

Matriu d'incidència

Siga A={1,2,3,4,5,6,7} el conjunt de vèrtiços que conformen el Pla de Fano, llavors este també pot representar-se com el hipergrafo conformat per les hiperaristas {1,2,3}, {1,4,7}, {1,5,6}, {2,4,5}, {2,6,7}, {3,4,6} i {3,5,7}. Una tercera manera de definir el Pla de Fano és, llavors, a través de la matriu d'incidència d'este hipergrafo. És dir, com la matriu booleana:

1 2 3 4 5 6 7

1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1

Referències

• . Online HTML version at http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/.
• .
• .
• Fano Plane en MathWorld.
• Plantilla:Planetmath reference

Vore també

• Geometria finita
• Pla proyectivo