Geometria finita

Una geometria finita és un sistema geomètric que té únicament un número finito de punts. Per eixemple, la geometria euclidiana no és finita, ya que la recta de Euclides conté infinits punts, de fet posseïx tants punts com número real. Una geometria finita pot tindre qualsevol número finito de dimensions.

Les geometria finitas poden ser construïdes per mig del àlgebra llineal, com espais vectorials sobre un cos finito, cridades geometria de Galois, o poden ser definides purament per combinatoria. Vàries de les geometria finitas, pero no totes, són geometria de Galois. Per eixemple, tot espai proyectivo finito de tres o més dimensions és isomorfo a un espai proyectivo sobre un cos finito (la proyecció d'un espai vectorial sobre un cos finito), llavors, en este cas no hi ha distinció, pero en la dimensió dos existixen plans proyectivos definits combinatoriamente que no són isomorfos a l'espai proyectivo sobre el cos finito -els plans no desarguesianos- per lo tant en este cas existix una distinció.

Pla finito

Les següents observacions apliquen solament a plans finitos. Hi ha dos tipos de geometria de plans finitos: afí i proyectivo. En un geometria afí, aplica el sentit comú de rectes paraleles. En un pla proyectivo, en contrast, tot parell de rectes es intersecan en un punt únic, i per lo tant no existixen rectes paraleles. Abdós tipos de geometria de finitos plans, afí i proyectivo, poden ser descrites per axioma prou simples.

Afí

Una geometria plana afí és un conjunt no buit $X$ (els elements del qual són cridats "punts"), junt en una colecció no buida $L$ de subconjunts de $X$ (els elements dels quals són cridats "rectes"), tal que:

1. Donats dos punts distints qualssevol, existix una única recta que els conté.
2. El postulat de les paraleles: Donada una recta $\ell$ i un punt $p$ no pertanyent a $\ell$ , existix exactament una recta ${\ell }^{\prime }$ que conté a $p$, tal que $\ell \cap {\ell }^{\prime }=\varnothing .$
3. Existix un conjunt de quatre punts, dels quals tres no pertanyen a una mateixa recta.

L'últim axioma assegura que la geometria no siga trivial (buida o massa simple per a ser interessant, tal com una única recta en un número arbitrari de punts pertanyents a ella), mentres els dos primers especifiquen la naturalea de la geometria.

El pla afí més simple conté solament quatre punts, cridat «pla afí d'orde dos». Ya que no existixen tres punts colineales entre sí, qualsevol parell de punts determina una recta única, i per tant el pla conté sis rectes. Correspon a un tetraedre a on les vores no secantes són considerats «paralels», o un quadrat a on no solament els costats oposts són considerats paralels, sino també les diagonals. De manera més general, un pla afí finito d'orde $n$ té $n^2$ punts i $n^2+n$ rectes,a la seua volta, cada recta conté $n$ punts, i cada punt pertany a $n+1$ rectes.

Proyectivo

Una geometria de plans proyectivos és un conjunt $X$ no buit (els elements del qual són cridats «punts»), junt a una colecció $L$ no buida de subconjunts de $X$ (els elements dels quals són cridats «rectes»), tal que:

1. Donats dos punts distints, existix una única recta que conté a abdós punts.
2. L'intersecció de dos rectes distintes qualssevol conté un únic punt.
3. Existix un conjunt de quatre punts, sense haver tres punts que pertanyguen a la mateixa recta.

Un examen dels dos primers axioma mostra que són casi idèntics, excepto que els punts i les rectes s'han intercanviat. Açò sugerix el principi de dualitat per a geometria de plans proyectivos, lo que significa que qualsevol afirmació verdadera en totes eixes geometria permaneix verdader si canviem punts per rectes i rectes per punts.

La geometria més chicoteta que satisfà els tres axioma conté sèt punts i hi ha també sèt rectes, ademés cada punt està en tres rectes, i cada recta conté tres punts. Este particular pla proyectivo és cridat a voltes el pla de Fano. Si qualsevol de les rectes és remoguda del pla, junt en els punts de dita recta, el resultat geomètric és el pla afí d'orde dos. El pla de Fano és cridat el «pla proyectivo d'orde dos» degut a que és únic (llevat isomorfisme). En general, el pla proyectivo d'orde $n$ té $n^2+n+1$ punts, de la mateixa manera que el número de rectes.

Una permutació dels sèt punts del pla de Fano que duga punts colineales (punts d'una mateixa recta) a punts colineales és cridada una colinealidad del pla. El grup colineal complet és d'orde 168 i és isomorfo al grup PSL(2,7) ≈ PSL(3,2), el qual en este cas específic és també isomorfo al grup linear general GL(3,2) ≈ PGL(3,2).

Orde

Un pla finito d'orde $n$ és aquell en el qual cada recta té $n$ punts (per a un pla afí), aquell que cada recta té $n+1$ punts (per a un pla proyectivo). Una major pregunta oberta en una geometria finita és:

¿És l'orde d'un pla finito sempre una potència primera?

Esta conjectura pot ser certa, no obstant no ha segut demostrada.

Els plans afins i proyectivos d'orde $n$ existixen sempre que $n$ siga una potència primera (un número primo elevat a un exponent sancer positiu), per mig de l'us de plans afins i proyectivos sobre el cos finito en $n=p^k$ elements. També existixen plans que no deriven de cossos finitos, no obstant els órdens de tots els eixemples mostrats són una potència primera.

La resposta més general a la data, és la teorema de Bruck–Ryser de 1949, el qual afirma:

Si $n$ és un sancer positiu de la forma $4k+1$ o $4k+2$ i $n$ no és igual a la suma dels quadrats de dos sancers, llavors $n$ no pot ser l'orde d'un pla finito.

El sancer més chicotet que no és ni una potència primera, ni és cobert per la teorema de Bruck–Ryser, és 10, ya que 10 és de la forma $4k+2$ i és igual a la suma dels quadrats $1^2$ i $3^2$. La no existència d'un pla finito d'orde 10 va ser provada en una demostració assistida per computadora que va terminar en 1989 (vore Plantilla:Harv para més detalls).

El següent número més chicotet a considerar és 12, que el seu resultat no ha segut demostrat ser fals o verdader.

Espais finitos de 3 o més dimensions

Per a algunes importants diferències entre la geometria de plans finitos i la geometria d'espais de majors dimensions, vore l'espai proyectivo axiomàtic. Per a una discussió general d'espais finitos pluridimensionales, vore, per eixemple, les obres de J.W.P. Hirschfeld.

Espai finito tridimensional

A cada cos K se li associa un espai proyectivo (tridimensional) els punts del qual, rectes i plans poden ser identificats en el primer, segon i tercer subespacio d'un vector tetradimensional sobre el cos K. Hi ha un conjunt de axioma per a espais proyectivos. L'espai proyectivo més chicotet sobre el cos Z/Z2 té 15 punts. 35 rectes i 15 plans. Cada u dels 15 plans conté 7 punts i 7 rectes. Com les geometria, són isomorfos al pla de Fano. Cada punt pertany a 7 rectes i cada recta conté tres punts. Ademés, dos punts diferents pertanyen a exactament una recta i dos plans, els quals es intersecan en una única recta. En 1892, Gino Fano va ser el primer en considerar-ho com una geometria finita: una geometria tridimensional contenint 15 punts, 35 rectes i 15 plans, cada pla contenint 7 punts i 7 rectes.

En la geometria proyectiva sintètica els elements no definits són presos com a punts i rectes. Un pla i un espai tridimensional poden ser definits usant els postulats d'incidència i existència.

Postulats d'incidència

1. Si A i B són punts distints, hi ha a lo manco una recta que passa per a i B.

1. Si A i B són punts distints, no hi ha més que una recta que passa per a i B.
2. Si A, B i C són punts no colineales, i D i I són punts distints, tal que B, C i D pertanyen a una mateixa recta i C, A i I pertanyen a una recta, existix un punt F tal que A, B i F pertanyen a una recta i també D, I i F pertanyen a una recta.

   Archiu:Fano3space.png

   Figura 4.

3. Existix a lo manco una recta.
4. Hi ha a lo manco tres punts distints en cada recta.
5. No tots els punts estan en la mateixa recta.
6. No tots els punts estan en el mateix pla.
7. Si E3 és un espai tridimensional, cada punt pertany a S3.

En particular, els postulats de l'1 al 8 són satisfets per punts, rectes i plans de l'espai tridimensional, els punts del qual estan indicats en la figura 4. Este espai tridimensional conté exactament 15 punts. Hi ha també molts espais tridimensional proyectivos finitos molt diferents entre sí, definits per estos postulats.

Espais finitos de n dimensions

En general, per a qualsevol sancer positiu n, una geometria de n espais és cridada «geometria de n dimensions». Una geometria proyectiva tetradimensional pot ser obtinguda reemplaçant el postulat 8 pel següent:

No tots els punts estan en el mateix espai tridimensional.

i agregant un postulat de clausura:

Si E4 és un espai tetradimensional, cada punt pertany a S4.

En general, una geometria proyectiva n-dimensional (n= 4,5, …) pot ser obtinguda reemplaçant el postulat 8 per lo següent:

(i) No tots els punts estan en el mateix E3, E4, …, En-1

(ii) Si En és un espai n-dimensional, cada punt pertany a En

L'estudi d'estos espais pluridimensional ( n > 3) té moltes aplicacions importants en les teories de matemàtica alvançada.

El problema de les colegialas de Kirkman

Estos espais tridimensionals poden ser modelats pel Problema de les colegialas de Kirkman, el qual senyala:

Quinze chiquetes escolars caminen cada dia en cinc grups de tres. Organise el viage de les chiquetes per una semana de modo que, en eixe temps, no hi haja hagut dos chiquetes que caminaren en el mateix grup més d'una volta.

Hi ha 35 combinacions diferents per a que les chiquetes caminen juntes. També hi ha 7 dies de la semana, i 3 chiquetes en cada grup. El diagrama d'este problema proveïx una representació visual de l'espai de Fano. Diagrames d'este problema poden ser trobats ací:

Cada color representa el dia de la semana (sèt colors, blau, vert, groc, púrpura, roig, negre i taronja). La definició d'un espai de Fano afirma que cada recta posseïx tres punts. La figura representa açò en rectes de tres punts cada una. Açò és la base per a la solució de les escolars. Esta figura és per tant rotada 7 voltes. Hi ha 5 rectes diferents per a cada dia, multiplicat per 7 (dies), el resultat és 35. Després, hi ha 15 punts i també 7 rectes que naixen en cada punt. Llavors, açò dona la representació de l'espai de Fano.

Vore també

• Espai vectorial

Referències

• Lynn Margaret Batten : Combinatorics of Finite Geometries. Cambridge University Press
• (1968).«Finite geometries».Springer-Verlag.Berlin, New York:
• (1943).«Projective plans».Transactions of the American Mathematical Society.American Mathematical Society.54(2)

229–277.ISSN 0002-9947.

• Eves, Howard. A Survey of Geometry: Volume One. Boston: Allyn and Bacon Inc., 1963.
• Meserve, Bruce E. Fonamental Concepts of Geometry. New York: Dover Publications, 1983.

• Polster, Burkard. Yea Why Try Her Raw Wet Hat: A Tour of the Smallest Projective Space. Volume 21, Number 2, 1999. ^{[enllaç trencat]}
• “Problem 31: Kirkman's schoolgirl problem” [1]