Àlgebra llineal

El àlgebra llineal és una branca de les matemàtiques que estudia conceptes tals com vectorés, matrius, espai dual, sistemes d'equacions llineals i en el seu enfocament de manera més formal, espais vectorials i els seus transformacions llineals.

Dit d'una atra forma, el Àlgebra llineal és la branca de les matemàtiques que s'ocupa de les equacions llineals com:

$a_1{x}_1+\cdots +a_n{x}_n=b,$

i aplicacions llineals tals com:

$(x_1,\dots ,x_n)\mapsto a_1{x}_1+\cdots +a_n{x}_n,$

i les seues representacions en espais vectorials i a través de matrius.

L'àlgebra llineal és fonamental en casi totes les àrees de les matemàtiques. Per eixemple, l'àlgebra llineal és fonamental en les presentacions modernes de la geometria, inclús per a definir objectes bàsics com llínees, plans i rotacions. Ademés, el anàlisis funcional, una branca de l'anàlisis matemàtic, pot considerar-se bàsicament com l'aplicació de l'àlgebra llineal al espais de funcions.

L'àlgebra llineal també s'utilisa en la majoria de les ciències i camps de la ingenieria, perque permet modelar molts fenomens naturals, i computar eficientemente en dits models. Per als sistemes no llineals, que no poden ser modelats en l'àlgebra llineal, s'utilisa a sovint per a tractar les aproximacions de primer orde, utilisant el fet de que la diferencial d'una 'funció multivariante' en un punt és el mapa llineal que millor aproxima la funció prop d'eixe punt aixina com el anàlisis funcional, les equacions diferencials, la investigació d'operacions, les gràfiques per computadora, la ingenieria entre atres més.

L'història de l'àlgebra llineal moderna es remonta a 1843, quan William Rowan Hamilton (de qui prové l'us del terme vector) va crear els cuaterniones inspirat en els número complejo; i a 1844, quan Hermann Grassmann va publicar el seu llibre Die lineare Ausdehnungslehre (La teoria llineal d'extensió).

Història

El procediment per a resoldre equacions llineals simultànees que ara es denomina eliminació gaussiana apareix en l'antic text matemàtic chinenc Càlcul de barres#Sistema d'equacions llineals; Capítul octau: Matrius rectangulars de Els nou capítuls sobre l'art matemàtic. El seu us s'ilustra en díhuit problemes, en dos a cinc equacions.

Els Sistemes d'equacions llineals varen sorgir en Europa en l'introducció en 1637 per René Descartes de les coordenades en la geometria. De fet, en esta nova geometria, ara cridada geometria cartesiana, les llínees i els plans estan representats per equacions llineals, i calcular les seues interseccions equival a resoldre sistemes d'equacions llineals.

Els primers métodos sistemàtics per a resoldre sistemes llineals utilisaven determinants, considerats per primera volta per Leibniz en 1693. En 1750, Gabriel Cramer els va utilisar per a donar solucions explícites de sistemes llineals, #lo que ara es diu regla de Cramer. Més vesprada, Gauss va descriure encara més el método d'eliminació, que inicialment va ser catalogat com un alvanç en geodèsia.

En 1844 Hermann Grassmann va publicar el seu "Teoria de l'Extensió" que incloïa nous temes fundacionals de lo que hui es diu àlgebra llineal. En 1848, James Joseph Sylvester va introduir el terme matriu, que en llatí significa pancha.

L'àlgebra llineal va créixer en les idees anotades en el pla complex. Per eixemple, dos números w i z en ℂ tenen una diferencia w - z, i els segments de llínea $\overline{wz}$ i $\overline{0(w-z)}$ tenen la mateixa llongitut i direcció. Els segments són equipolentes. El sistema cuatridimensional ℍ de cuaterniones es va iniciar en 1843. El terme vector va ser introduït com a v = x i + i j + z k representant un punt en l'espai. La diferència de cuaterniones p - q també produïx un segment equipolente a la $\overline{pq}.$ Atres sistemes de números hipercomplejos també varen utilisar l'idea d'un espai llineal en una base.

Arthur Cayley va introduir la multiplicació matricial i la matriu inversa en 1856, fent possible el grup llineal general. El mecanisme de representació de grup es va fer disponible per a descriure els número complejo i hipercomplejos. Fonamentalment, Cayley va utilisar una sola lletra per a denotar una matriu, tractant aixina una matriu com un objecte agregat. També es va donar conte de la conexió entre les matrius i els determinants, i va escriure "Hi hauria moltes coses que dir sobre esta teoria de les matrius que deurien, em sembla, precedir a la teoria dels determinants".

Benjamin Peirce va publicar la seua Àlgebra llineal associativa (1872), i el seu fill Charles Sanders Peirce va ampliar el treball posteriorment.

El telégraf requeria un sistema explicatiu, i la publicació en 1873 de A Treatise on Electricity and Magnetism va instituir una teoria de camps de forces i va requerir la geometria diferencial per a la seua expressió. L'àlgebra llineal és geometria diferencial plana i servix en els espais tangentes als colectors. Les #simetria electromagnètiques del espaciotiempo s'expressen per mig de les transformacions de Lorentzs, i gran part de l'història de l'àlgebra llineal és la història de les transformacions de Lorentz.

La primera definició moderna i més precisa d'un espai vectorial va ser introduïda per Peano en 1888; en 1900 havia sorgit una teoria de les transformacions llineals dels espais vectorials de dimensió finita. L'àlgebra llineal va prendre la seua forma moderna en la primera mitat de el XX, quan moltes idees i métodos de sigles anteriors es varen generalisar com àlgebra abstracta. El desenroll dels ordenadors va fer que aumentara l'investigació d'algoritmes eficients per a l'eliminació gaussiana i les descomposicions matriciales, i l'àlgebra llineal es va convertir en una ferramenta essencial per a la modelización i les simulacions.

Context general

De manera més formal, l'àlgebra llineal estudia conjunts denominats espais vectorials, els quals consten d'un conjunt de vectores i un conjunt d'escalares que té estructura de camp, en una operació de suma de vectores i una atra de producte entre escalares i vectores que satisfan certes propietats (per eixemple, que la suma és conmutativa).

Estudia també transformacions llineals, que són funcions entre espais vectorials que satisfan les condicions de linealidad:

$T(u+v)=T(u)+T(v),T(r\cdot u)=r\cdot T(u).$

A diferència de l'eixemple desenrollat en la secció anterior, els vectores no necessàriament són n-adas d'escalares, sino que poden ser elements d'un conjunt qualsevol (de fet, a partir de tot conjunt pot construir-se un espai vectorial sobre un camp fix).

Finalment, l'àlgebra llineal estudia també les propietats que apareixen quan s'impon estructura adicional sobre els espais vectorials, sent una de les més freqüents l'existència d'un producte intern (una espècie de producte entre dos vectores) que permet introduir nocions com a llongitut de vectores i àngul entre un parell dels mateixos.

Espais vectorials

Artícul principal → Espai vectorial.

Antecedents

Fins a el XIX, l'àlgebra llineal es presentava a través de sistemes d'equacions llineals i matrius. En la matemàtica moderna, es preferix generalment la presentació a través d'espais vectorials, ya que és més sintètica, més general (no es llimita al cas de dimensió finita) i conceptualment més senzilla, encara que més abstracta.

Algunes operacions bàsiques

Un espai vectorial sobre un camp F, en freqüència el camp dels número real, és un Conjunt V dotat de dos operacions binarias que satisfan els següents #axioma. Els elements de V es diuen vectores, i els elements de F es diuen escalares.

La primera operació, la sumixca de vectores, s'expressa de la següent manera: prenga's dos vectores qualssevol v i w; la suma té com resultat un tercer vector v + w.

La segona operació, multiplicació escalar, s'expressa de la següent manera: prenga's qualsevol escalar a i qualsevol vector v i produïx un nou vector av. Els #axioma que deuen satisfer la suma i la multiplicació escalar són els següents, sent en la llista següent, o, v i w elements arbitraris de V; i a i b són escalares arbitraris en el camp F.

Axioma	Significació
Associativa d'adició	o + (v + w) = (o + v) + w
Conmutativa d'adició	o + v = v + o
Element neutre d'adició	Existix un element 0 en V, cridat el vector zero, o simplement zero, tal que v + 0 = v es complix per a tot v del conjunt V.
Element simètric d'adició	Per a tot v en V, existix un element −v in V, cridat el aditiu invers de v, tal que v + (−v) = 0
Distributividad de la multiplicació escalar sobre la suma vectorial	a(o + v) = ao + av
Distributividad de la multiplicació escalar sobre la suma de camps	(a + b)v = av + bv
Compatibilitat de la multiplicació escalar en la multiplicació de camps	a(bv) = (ab)v
Element d'identitat de la multiplicació escalar	1v = v, a on 1 indica el element neutre de F.

Aplicacions llineals

Artícul principal → Aplicació llineal.

Les aplicacions llineals són mapages entre espais vectorials que preserven l'estructura de l'espai vectorial. Daus dos espais vectorials V i W sobre un camp F, un mapa llineal, també cridat en alguns contexts, transformació llineal o mapage llineal, és un mapa o aplicació

$T:V\to W$

que és compatible en la suma i la multiplicació escalar, és dir

$T(𝐮+𝐯)=T(𝐮)+T(𝐯),T(a𝐯)=aT(𝐯)$

per als vectores o,v in V i escalares a en F.

Açò implica que per a qualsevol vector o, v en V i escalares a, b en F, es té

$T(a𝐮+b𝐯)=T(a𝐮)+T(b𝐯)=aT(𝐮)+bT(𝐯)$

A on V = W són el mateix espai vectorial, un mapa llineal $T:V\to V$ també es coneix com un operador llineal en V.

Un mapa llineal biyectivo entre dos espais vectorials, és dir, cada vector del segon espai s'associa exactament en un en el primer, és un isomorfisme. Ya que un isomorfisme preserva l'estructura llineal, dos espais vectorials isomorfos són "essencialment iguals" des del punt de vista de l'àlgebra llineal, en el sentit de que no poden distinguir-se utilisant les propietats de l'espai vectorial. Una qüestió essencial en l'àlgebra llineal és provar si un mapa llineal és un isomorfisme o no, i, si no és un isomorfisme, trobar el seu ranc (o image) i el conjunt d'elements que són mapeados al vector zero, cridat el núcleu del mapa. Totes estes qüestions poden resoldre's per mig de l'us de la eliminació gaussiana o alguna variant d'este algoritme.

Subespacios, interval i base

Artícul principal → Subespacio vectorial.

L'estudi d'aquells subconjunts d'espais vectorials que són en sí mateixos espais vectorials baixe les operacions induïdes és fonamental, de la mateixa manera que para moltes estructures matemàtiques. Estos subconjunts es denominen subespacios llineals. Més precisament, un subespacio llineal d'un espai vectorial V sobre un camp F és un subconjunt de W of V tal que o + v i ao estan en W, per a tot o, v en W, i tot a in F. Estes condicions són suficients per a implicar que W és un espai vectorial.

Per eixemple, donat un camp llineal $T:V\to W$, la image T(V) de V, i la image inversa T⁻¹(0) de 0, cridada núcleu o kernel, són subespacios llineals de W i V, respectivament.

Una atra forma important de formar un subespacio és considerar les combinacions llineals d'un conjunt S de vectores: el conjunt de totes les sumes

$a_1{𝐯}_1+a_2{𝐯}_2+\cdots +a_k{𝐯}_k,$

a on v₁, v₂, …, v_k estan en S, i a₁, a₂, ..., a_k estan en F formen un subespacio llineal cridat Sistema generador de S. El sistema generador de S és també l'intersecció de tots els subespacios llineals que contenen a S. En atres paraules, és el subespacio llineal, més menut per a la relació d'inclusió, que conté a S.

Un conjunt de vectores és linealmente independent si cap està en l'interval dels demés. De manera equivalent, un conjunt S de vectores és linealmente independent si l'única forma d'expressar el vector zero com una combinació llineal d'elements de S és prendre zero per a cada coeficient $a_i.$

Un conjunt de vectores que comprén un espai vectorial es denomina conjunt d'expansió o sistema generador. Si un conjunt generador S és linealmente depenent (que no és linealmente independent), llavors algun element w de S és en el lapsus dels atres elements de S , i el lapsus seguiria sent el mateix si un remove w de S. Es pot continuar eliminant elements de S fins a obtindre un conjunt d'expansió linealmente independent. Un conjunt linealmente independent que comprén un espai vectorial V es diu base de V. L'importància de les bases radica en el fet de que hi ha junts grups electrogens mínims i grups independents màxims. Més precisament, si S és un conjunt linealmente independent i T és un conjunt d'expansió tal que $S\subseteq T,$, llavors hi ha una base B tal que $S\subseteq B\subseteq T.$

Si dos bases qualssevol d'un espai vectorial V tenen la mateixa cardinalidad que es diu dimensió; est és el Teorema de la dimensió d'espais vectorials. Ademés, dos espais vectorials sobre el mateix camp F són isomorfos si i solament si tenen la mateixa dimensió.

Si alguna base de V (i per lo tant cada base) té un número finito d'elements, V és un espai vectorial de dimensió finita. Si O és un subespacio de V, llavors dim O ≤ dim V. En el cas en el que V és de dimensió finita, l'igualtat de les dimensions implica que O = V.

Si O₁ i O₂ són subespacios de V , llavors

$\dim (U_1+U_2)=\dim U_1+\dim U_2-\dim (U_1\cap U_2),$

a on $U_1+U_2$ denota el lapsus de $U_1\cup U_2.$

Matrius

Artícul principal → Matriu (matemàtiques).

La matriu és una disposició rectangular de números, símbols o expressions, les dimensions de les quals són descrites en les cantitats de files (usualment m) per les de columnes (n) que posseïxen. Les disposicions matriciales són particularment estudiats per l'àlgebra llineal i són prou usats en ciències i ingenieria.

Les matrius permeten la manipulació explícita d'espais vectorials de dimensió finita i mapes llineals . Per tant, la seua teoria és una part essencial de l'àlgebra llineal.

Siga V un espai vectorial de dimensió finita sobre un camp F, i (v₁, v₂, …, v_m) és una base de V, per lo tant m és la dimensió de V). Per definició, d'una base, el mapa

$\begin{array}{cc}(a_1,\dots ,a_m)& \mapsto a_1{𝐯}_1+\cdots a_m{𝐯}_m\\ F^m& \to V\end{array}$

és una biyección de $F^m,$ el conjunt de les seqüències de m elements de V , sobre la V. Est és un isomorfisme d'espais vectorials, si $F^m$ està equipat en la seua estructura estàndar d'espai vectorial, a on la suma de vectores i la multiplicació escalar es realisen component per component.

Este isomorfisme permet representar un vector pel seu image inversa baixe este isomorfisme, és dir per les components d'un vector de coordenades { Displaystyle (a_ {1}, ldots, a_ {m})}{ Displaystyle (a_ {1}, ldots, a_ {m})}o per la matriu de columnes $(a_1,\dots ,a_m)$ o per mig de la matriu vertical

$\left[\begin{array}{c}{a}_1\\ ⋮\\ a_m\end{array}\right].$

Si W és un atre espai vectorial de dimensió finita (possiblement el mateix), en una base $({𝐰}_1,\dots ,{𝐰}_n),$, un mapa llineal f de W a V està ben definit pels seus valors en els elements base, és dir { Displaystyle (f ( mathbf {w} _ {1}), ldots, f ( mathbf {w} _ {n})).}{ Displaystyle (f ( mathbf {w} _ {1}), ldots, f ( mathbf {w} _ {n})).}Per tant, f està ben representada per la llista de les matrius de columna corresponents. És dir, si

$f(w_j)=a_{1,j}{v}_1+\cdots +a_{m,j}{v}_m,$

en j = 1, ..., n, llavors f ve representada per una matriu:

$\left[\begin{array}{ccc}{a}_{1,1}& \cdots & a_{1,n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m,1}& \cdots & a_{m,n}\end{array}\right],$

en m files i n columnes.

La multiplicació de matrius es definix de manera que el producte de dos matrius és la matriu de la composició dels mapes llineals corresponents, i el producte d'una matriu i una matriu columna és la matriu columna que representa el resultat d'aplicar el mapa llineal representat al vector representat. Es deduïx que la teoria dels espais vectorials de dimensió finita i la teoria de les matrius són dos llenguages diferents per a expressar exactament els mateixos conceptes.

Dos matrius que codifiquen la mateixa transformació llineal en bases diferents es diuen matrius similars. Es pot demostrar que dos matrius són similars si i solament si es pot transformar una en l'atra per mig d'operacions elementals de files i columnes. Per a una matriu que representa un mapa llineal de W a V, les operacions de fila corresponen a canvi de bases en V i les operacions de columna corresponen a canvi de bases en W. Tota matriu és similar a una matriu identitat vorejada per files i columnes nules. En térmens d'espais vectorials, açò significa que, per a qualsevol mapa llineal de W a V, hi ha bases tals que una part de la base de W es mapea biyectivamente en una part de la base de V, i que els elements restants de la base de W, si n'hi ha, es mapean a zero. La eliminació gaussiana és l'algoritme bàsic per a trobar estes operacions elementals i demostrar estos resultats.

Sistemes llineals

Artícul principal → Sistema d'equacions llineals.

Un conjunt finito d'equacions llineals en un conjunt finito de variables, per eixemple $x_1,x_2,\dots ,x_n$ or $x,y,\dots ,z$ es diu sistema d'equacions llineals o sistema llineal .

Els sistemes d'equacions llineals constituïxen una part fonamental de l'àlgebra llineal. Històricament, l'àlgebra llineal i la teoria de matrius s'han desenrollat per a resoldre dits sistemes. En la presentació moderna de l'àlgebra llineal per mig d'espais vectorials i matrius, molts problemes poden interpretar-se en térmens de sistemes llineals.

Per eixemple,

és un sistema llineal.

A dit sistema se li pot associar la seua matriu

$M=\left[\begin{array}{ccc}2& 1& -1\\ -3& -1& 2\\ -2& 1& 2\end{array}\right]$

i el seu vector de membre dret

$𝐯=\left[\begin{array}{c}8\\ -11\\ -3\end{array}\right].$

Siga T la transformació llineal associada a la matriu M. Una solució del sistema (Plantilla:EquationNote) és un vector

$𝐗=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$

tal que

$T(𝐗)=𝐯,$

que és un element de l'image inversa de v per T.

Siga (Plantilla:EquationNote) el sistema homogéneu associat, a on els costats drets de les equacions es posen a zero:

Les solucions de (Plantilla:EquationNote) són exactament els elements del núcleu de T o, equivalentemente, M.

La eliminació gaussiana consistix en realisar operacions elementals de files en la matriu aumentada.

$\left[\begin{array}{cc}M& 𝐯\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}2& 1& -1& 8\\ -3& -1& 2& -11\\ -2& 1& 2& -3\end{array}\right]$

per a posar-ho en forma escalonada reduïda. Estes operacions de fila no canvien el conjunt de solucions del sistema d'equacions. En l'eixemple, la forma escalonada reduïda és

$\left[\begin{array}{cc}M& 𝐯\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 2\\ 0& 1& 0& 3\\ 0& 0& 1& -1\end{array}\right],$

mostrant

$\begin{array}{cc}x& =2\\ y& =3\\ z& =-1.\end{array}$

D'esta interpretació matricial dels sistemes llineals es deduïx que els mateixos métodos poden aplicar-se per a resoldre sistemes llineals i per a moltes operacions sobre matrius i transformacions llineals, que inclouen el càlcul del rancs, núcleus, i matriu inversa que el sistema (Plantilla:EquationNote) té la solució única

$\begin{array}{cc}x& =2\\ y& =3\\ z& =-1.\end{array}$

D'esta interpretació matricial dels sistemes llineals es deduïx que els mateixos métodos poden aplicar-se per a resoldre sistemes llineals i per a moltes operacions sobre matrius i transformacions llineals, que inclouen el càlcul del rancs, núcleus i matriu inversa.

Endomorfismes i matrius quadrades

Artícul principal → Matriu quadrada.

Un endomorfisme llineal és un mapa llineal que mapea un espai vectorial V a sí mateixa. Si V té una base de n elements, tal endomorfisme es representa per mig d'una matriu quadrada de tamany n.

Sobre els mapes llineals generals, els endomorfismes llineals i les matrius quadrades tenen algunes propietats específiques que fan que el seu estudi siga una part important de l'àlgebra llineal, que s'usa en moltes parts de les matemàtiques, incloses les transformacions geomètriques , els canvis de coordenades, les formes quadràtiques i moltes atres. de les matemàtiques.

Determinants

Artícul principal → Determinant (matemàtica).

El determinant d'una matriu quadrada A es definix com

$\sum _{\sigma \in S_n}(-1{)}^{\sigma }{a}_{1\sigma (1)}\cdots a_{n\sigma (n)},$

a on

• $S_n$ és el grup de totes les #permutació de n elements,
• $\sigma$ és una permutació i
• i $(-1{)}^{\sigma }$ la paritat de la permutació.

Una matriu és invertible si i solament si el determinant és invertible (és dir, distint de zero si els escalares pertanyen a un camp).

La regla de Cramer és una expressió de forma tancada, en térmens de determinants, de la solució d'un sistema de n equacions llineals en n incògnites. La regla de Cramer és útil per a raonar sobre la solució, pero, llevat para n = 2 o 3, rara volta s'utilisa per a calcular una solució, ya que la eliminació gaussiana és un algoritme més ràpit.

El determinant d'un endomorfisme és el determinant de la matriu que representa l'endomorfisme en térmens d'alguna base ordenada. Esta definició té sentit, ya que este determinant és independent de l'elecció de la base.

Valors propis i vectores propis

Artícul principal → Vector propi i valor propi.

Si f és un endomorfisme llineal d'un espai vectorial V sobre un camp F, un vector propi de f és un vector v de V no nul tal que f(v) = av per a algun escalar a en F. Este escalar a és un valor propi de f.

Si la dimensió de V és finita, i s'ha elegit una base, f i v poden representar-se, respectivament, per una matriu quadrada M i una matriu de columnes z; l'equació que definix els vectores i valors propis es convertix en

$Mz=az.$

Utilisant la matriu identitat I, les entrades de la qual són totes zero, llevat les de la diagonal principal, que són iguals a un, açò pot reescriure's

$(M-aI)z=0.$

Com se supon que z és distint de zero, açò significa que M - aI és una matriu singular, i per tant que el seu determinant $\det (M-aI)$ és igual a zero. Els valors propis són, puix, la raïls del polinomi

$\det (xI-M).$

Si V és de dimensió n, es tracta d'un polinomi mónico de grau n, cridat polinomi característic de la matriu (o de l'endomorfisme), i hi ha, com a màxim, n valores propis.

Si existix una base que consistix solament en vectores propis, la matriu de f en esta base té una estructura molt simple: és una matriu diagonal tal que les entrades en la diagonal principal són valors propis, i les atres entrades són zero. En este cas, es diu que l'endomorfisme i la matriu són diagonalizable. De forma més general, un endomorfisme i una matriu també es diuen diagonalizables, si es convertixen en diagonalizables despuix d'estendre el camp d'escalares. En este sentit estés, si el polinomi característic és square-free, llavors la matriu és diagonalizable.

Una matriu simètrica és sempre diagonalizable. Existixen matrius no diagonalizables, sent la més senzilla

$\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right]$

(no pot ser diagonalizable ya que el seu quadrat és la matriu zero, i el quadrat d'una matriu diagonal no nula mai és zero).

Quan un endomorfisme no és diagonalizable, hi ha bases en les que té una forma simple, encara que no tan simple com la forma diagonal. La forma normal de Frobenius no necessita estendre el camp d'escalares i fa que el polinomi característic siga immediatament llegible sobre la matriu. La forma normal de Jordan requerix estendre el camp d'escalares per a contindre tots els valors propis, i diferix de la forma diagonal solament per algunes entrades que estan just damunt de la diagonal principal i són iguals a 1.

Dualitat

Artícul principal → Espai dual.

Una forma llineal és un mapa llineal des d'un espai vectorial $V$ sobre un camp $F$ al camp d'escalares $F$, vist com un espai vectorial sobre sí mateixa. Equipades per l'adició puntual i la multiplicació per un escalar, les formes llineals formen un espai vectorial, cridat espai dual de $V$, i usualment denotat $V^{*}$Plantilla:Harvp o $V^{\prime }$.Plantilla:HarvpPlantilla:Harvp

Mapa llineal d'un espai vectorial al seu camp d'escalares

Si ${𝐯}_1,\dots ,{𝐯}_n$ és una base de $V$ (açò implica que V és de dimensió finita), llavors es pot definir, per a i = 1, . .., n, un mapa llineal $v_i^{*}$ tal que $v_i^{*}({𝐞}_i)=1$ i $v_i^{*}({𝐞}_j)=0$ si j ≠ i. Estos mapes llineals formen una base de $V^{*},$ cridada la base dual de ${𝐯}_1,\dots ,{𝐯}_n.$ (Si V no és de dimensió finita, els $v_i^{*}$ poden definir-se de forma similar; són linealmente independents, pero no formen una base).

Per a $𝐯$ en $V$, el mapa

$f\to f(𝐯)$

és una forma llineal en $V^{*}.$ Açò definix el mapa llineal canònic de $V$ en $V^{**},$ el dual de $V^{*},$ cridat el bidual of $V$. Este mapa canònic és un isomorfisme si $V$ és finito-dimensional, i açò permet identificar $V$ en el seu bidual.

Existix, puix, una simetria completa entre un espai vectorial de dimensió finita i el seu dual. Açò motiva l'us freqüent, en este context, de la notació bra-ket

$⟨f,𝐱⟩$ per a denotar $f(𝐱)$.

Mapa dual

Deixem que

$f:V\to W$

siga un mapa llineal. Per a tota forma llineal h sobre W, la funció composta h ∘ f és una forma llineal sobre V. Açò definix un mapa llineal

$f^{*}:W^{*}\to V^{*}$

entre els espais duals, que es diu el dual o la transposició' de f.

Si V i W són de dimensió finita, i M és la matriu de f en térmens d'algunes bases ordenades, llavors la matriu de $f^{*}$ sobre les bases duals és la transposició $M^{𝖳}$ de M, obtinguda intercanviant files i columnes.

Si els elements dels espais vectorials i els seus duals es representen per mig de vectores columna, esta dualitat pot expressar-se en notació bra-ket per mig de

$⟨h^{𝖳},M𝐯⟩=⟨h^{𝖳}M,𝐯⟩.$

Per a resaltar esta simetria, els dos membres d'esta igualtat s'escriuen a voltes

$⟨h^{𝖳}\mid M\mid 𝐯⟩.$

Espais vectorials d'us comú

Dins dels espais vectorials de dimensió finita, són d'ampli us els dos tipos següents d'espais vectorials:

Vectores en Rⁿ

Este espai vectorial està format pel conjunt de vectores de n dimensions (és dir en n número de components). Podem trobar un eixemple d'ells en els vectores R², que són famosos per representar les coordenades cartesianas: (2,3), (3,4),...

Espai vectorial de polinomis en una mateixa variable

Un eixemple d'espai vectorial està donat per tots els polinomis el grau de la qual és menor o igual a 2 en coeficients reals sobre una variable x.

Eixemples de tals polinomis són:

$4x^2-5x+1,\frac{2x^2}{7}-3,8x+4,5$

La suma de dos polinomis el grau dels quals no excedix a 2 és un atre polinomi el grau del qual no excedix a 2:

$(3x^2-5x+1)+(4x-8)=3x^2-x-7$

El camp d'escalares és naturalment el dels número real, i és possible multiplicar un número per un polinomi:

$5\cdot (2x+3)=10x+15$

a on el resultat novament és un polinomi (és dir, un vector).

Un eixemple de transformació llineal és l'operador derivada D, que assigna a cada polinomi el resultat de derivar-ho:

$D(3x^2-5x+7)=6x-5.$

L'operador derivada satisfà les condicions de linealidad, i encara que és possible demostrar-ho en rigor, simplement ho ilustrem en un eixemple la primera condició de linealidad:

$D((4x^2+5x-3)+(x^2-x-1))=D(5x^2+4x-4)=10x+4$

i per un atre costat:

Qualsevol espai vectorial té una representació en coordenades similar a ${ℝ}^n$, la qual cosa s'obté per mig de l'elecció d'una base (àlgebra) (és dir, un conjunt especial de vectores), i un dels temes recurrents en l'àlgebra llineal és l'elecció de bases apropiades per a que els vectores de coordenades i les matrius que representen les transformacions llineals tinguen formes senzilles o propietats específiques.

Generalisació i temes relacionats

ya que l'àlgebra llineal és una teoria molt exitosa, els seus métodos s'han proliferat per atres àrees de la matemàtica: en la teoria de mòduls, que reemplaça al cos en els escalares per un anell; en el àlgebra multilineal, un brega en 'múltiples variables' en un problema de mapage llineal, en el que cada número de les diferents variables es dirigix al concepte de tensor, i inclús en l'àmbit de la programació ya que hui en dia la indexación de pàgines web es basa en métodos de l'àlgebra llineal; en la teoria de l'espectre dels operadors de control de matrius de dimensió infinita, aplicant el anàlisis matemàtic en una teoria que no és purament algebraica. En tots estos casos les dificultats tècniques són molt més grans.

Relació en la geometria

Existix una forta relació entre l'àlgebra llineal i la geometria, que va començar en l'introducció per René Descartes, en 1637, de les coordenades cartesianas. En esta nova (en eixe moment) geometria, ara cridada geometria cartesiana, els punts es representen per mig de coordenades cartesianas, que són seqüències de tres número real (en el cas del espai tridimensional habitual). Els objectes bàsics de la geometria, que són les llínees i els plans es representen per mig d'equacions llineals. Per tant, calcular les interseccions de llínees i plans equival a resoldre sistemes d'equacions llineals. Esta va ser una de les principals motivacions per a desenrollar l'àlgebra llineal.

La majoria de les transformacions geomètriques, com les translacions, rotacions, reflexions, moviments rígits, isometría i proyeccions transformen llínees en llínees. D'això es deduïx que es poden definir, especificar i estudiar en térmens de mapes llineals. Est és també el cas de les #homografia i les transformacions de Möbius, quan es consideren com a transformacions d'un espai proyectivo.

Fins a finals de el XIX, els espais geomètrics es definien per mig de #axioma que relacionaven punts, llínees i plans (geometria sintètica). Al voltant d'esta data, va aparéixer que també es poden definir els espais geomètrics per mig de construccions que impliquen espais vectorials (vejau, per eixemple, Espai proyectivo i Espai afí). S'ha demostrat que els dos enfocaments són essencialment equivalents. En la geometria clàssica, els espais vectorials implicats són espais vectorials sobre els reals, pero les construccions poden estendre's a espais vectorials sobre qualsevol camp, permetent considerar la geometria sobre camps arbitraris, incloent camps finitos.

Actualment, la majoria dels llibres de text introduïxen els espais geomètrics des de l'àlgebra llineal, i la geometria es presenta a sovint, a nivell elemental, com un subcampo de l'àlgebra llineal.

Utilisació i aplicacions

L'àlgebra llineal s'utilisa en casi totes les àrees de les matemàtiques, per #lo que és rellevant en casi tots els àmbits científics que utilisen les matemàtiques. Estes aplicacions poden dividir-se en vàries categories àmplies.

Geometria de l'espai ambiental

El model de l'espai ambiental es basa en la geometria. Les ciències que s'ocupen d'este espai utilisen àmpliament la geometria. És el cas de la mecànica i la robòtica, per a descriure la dinàmica de cossos rígits; la geodèsia per a descriure la forma de la Terra; la perspectiva, la Visió artificial i els gràfics per ordenador, per a descriure la relació entre una escena i la seua representació en el pla; i molts atres dominis científics.

En totes estes aplicacions, la geometria sintètica sol utilisar-se per a descripcions generals i un enfocament qualitatiu, pero per a l'estudi de situacions explícites, cal calcular en coordenades. Açò requerix l'us intensiu de l'àlgebra llineal.

Anàlisis funcional

El Anàlisis funcional estudia els espais de funcions. Estos són espais vectorials en estructura adicional, com els espais de Hilbert. L'àlgebra llineal és, per tant, una part fonamental de l'anàlisis funcional i les seues aplicacions, que inclouen, en particular, la mecànica quàntica (funció d'ona).

Estudi de sistemes complexos

La majoria dels fenomens físics es modelen per mig d'equacions diferencials parcials. Per a resoldre-les, se sol descompondre l'espai en el que es busquen les solucions en menudes cèlules que interactuen entre sí. Per als sistemes llineals esta interacció implica funció llineal. Para sistemes no llineals, esta interacció sol aproximar-se per mig de funcions llineals. En abdós casos, solen intervindre matrius molt grans. Un eixemple típic és la predicció meteorològica, en la que tota la atmòsfera de la Terra es dividix en celes de, per eixemple, 100 km d'ample i 100 m d'alt.

Càlcul científic

Casi tots els càlculs científics impliquen àlgebra llineal. En conseqüència, els algoritmes d'àlgebra llineal han segut altament optimisats. Els BLAS i LAPACK són les implementacions més conegudes. Per a millorar l'eficiència, algunes d'elles configuren els algoritmes automàticament, en temps d'eixecució, per a adaptar-los a les especificidad de l'ordenador (caché tamany, número de núcleus disponible, ...).

Alguns processador, normalment Unitat de processament gràfic (GPU), estan dissenyats en una estructura matricial, per a optimisar les operacions d'àlgebra llineal.

Vejau també

• [[Archiu:{{#switch:Matemàtica|20px|Vore el portal sobre Matemàtica]] Portal:Matemàtica. Contingut relacionat en Matemàtica.

Fonts principals

• (1987).«Elementary Linear Algebra».Wiley.New York:

• «Linear Algebra Done Right».Springer Publishing.
• (1973).«A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields».Houghton Mifflin Company.Boston:
• (1993).«Numerical Analysis».Prindle, Weber and Schmidt.Boston:
• (1996).«Matrix Computations».Johns Hopkins University Press.Baltimore:
• (1974).«Finite-Dimensional Vector Spaces».Springer Publishing.
• (1976).«Introduction to Mathematical Physics».Prentice-Hall.New Jersey:
• «A (Terse) Introduction to Linear Algebra».American Mathematical Society.
• «Advanced Linear Algebra».Springer.

Bibliografia

Història

• Fearnley-Sander, Desmond, "Hermann Grassmann and the Creation of Linear Algebra", American Mathematical Monthly 86 (1979), pp. 809–817.
• (1844).«Die lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik: dargestellt und durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom Magnetismus und die Krystallonomie erläutert».O. Wigand.Leipzig:

Llibres de text introductoris

• (2005).«Elementary Linear Algebra (Applications Version)».Wiley International.
• «Linear Algebra and Matrix Analysis for Statistics».Chapman and Hall/CRC.
• (2004).«Linear Algebra with Applications».Prentice Hall.
• (2007).«Elementary Linear Algebra with Applications».Prentice Hall.
• (2005).«Linear Algebra and Its Applications».Addison Wesley.
• (2006).«Linear Algebra With Applications».Pearson Prentice Hall.

• Murty, Katta G. (2014) Computational and Algorithmic Linear Algebra and n-Dimensional Geometry, World Scientific Publishing, ISBN 978-981-4366-62-5}}. Chapter 1: Systems of Simultaneous Linear Equations
• (2010).«Linear Algebra: A Modern Introduction».Cengage – Brooks/Cole.
• (2010).«A Modern Introduction To Linear Algebra».CRC Press.
• (2008).«Applied Linear Algebra: the decoupling principle».AMS.
• (2016).«Introduction to Linear Algebra».Wellesley-Cambridge Press.
• The Mànega Guide to Linear Algebra (2012), by Shin Takahashi, Iroha Inoue and Trend-Pro Co., Ltd., Plantilla:Isbn

Llibres de text alvançats

• «Matrix Analysis».Springer.
• «Applied Numerical Linear Algebra».SIAM.
• (2007).«Linear Algebra in Action».AMS.
• «Applications of the Theory of Matrius».Dover Publications.
• (1990).«Matrix Theory Vol. 1».American Mathematical Society.
• (2000).«Matrix Theory Vol. 2».American Mathematical Society.
• (1989).«Lectures on Linear Algebra».Dover Publications.
• (2006).«Finite-Dimensional Linear Analysis».Dover Publications.
• «The Linear Algebra a Beginning Graduate Student Ought to Know».Springer.
• «Foundations of Linear Algebra».Kluwer.
• «Linear Algebra».Springer.
• «Finite-Dimensional Vector Spaces».Springer.
• «Linear Algebra».Pearson.
• «Matrix Analysis».Cambridge University Press.
• «Topics in Matrix Analysis».Cambridge University Press.
• «Linear Algebra».Springer.
• (2010).«A Survey of Matrix Theory and Matrix Inequalities».Dover Publications.
• «Matrix Analysis and Applied Linear Algebra».Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM).

• (1990).«An Introduction to Linear Algebra».Dover Publications.
• (2012).«Linear Algebra and Geometry».Springer.
• «Linear algebra».Dover Publications.
• «Applied Linear Algebra and Matrix Analysis».Springer.
• «Linear Algebra».Springer.
• «Numerical Linear Algebra».SIAM.

Enllaços externs

Commons

• Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre Àlgebra llineal.
• Àlgebra llineal per Elmer G. Wiens (anglés)
• Àlgebra Llineal: Conceptes Bàsics
• Introducció a l'Àlgebra Llineal en Context per José Arturo Barreto [1] archivat en Wayback Machine.
• Àlgebra Llineal per René A Hernández-Toledo, 2008
• MIT Linear Algebra Video Lectures,
• International Linear Algebra Society [2] archivat en Wayback Machine.
• Plantilla:Springer
• Linear Algebra on MathWorld
• Matrix and Linear Algebra Terms on Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics
• Earliest Uses of Symbols for Matrius and Vectors on Earliest Uses of Various Mathematical Symbols
• Essence of linear algebra, a video presentation from 3Blue1Brown of the basics of linear algebra, with emphasis on the relationship between the geometric, the matrix and the abstract points of view
• Un Curs d'Àlgebra Llineal en notació associativa i un mòdul per a Python per Marcos Bujosa (en vídeos i notebooks de jupyter)