Derivada

Derivada

En càlcul diferencial i anàlisis matemàtic, la derivada d'una funció és la raó de canvi instantànea en la que varia el valor de dita funció matemàtica, segons es modifique el valor del seu variable independent. La derivada d'una funció és un concepte local, és dir, es calcula com el llímit de la rapidea de canvi media de la funció en cert interval, quan l'interval considerat per a la variable independent es torna cada volta més menut. Per això es parla del valor de la derivada d'una funció en un punt donat.

Un eixemple habitual apareix en estudiar el moviment: si una funció representa la posició d'un objecte sobre el temps, la seua derivada és la velocitat de dit objecte per a tots els moments. Un avió que realise un vol transatlàntic de 4500 km entre les 12:00 i les 18:00, viaja a una velocitat mija de 750 km/h. No obstant, pot estar viajant a velocitats majors o menors en distints trams de la ruta. En particular, si entre les 15:00 i les 15:30 recorre 400 km, la seua velocitat mija en eixe tram és de 800 km/h. Per a conéixer el seu velocitat instantànea a les 15:20, per eixemple, és necessari calcular la velocitat mija en intervals de temps cada volta menors al voltant d'esta hora: entre les 15:15 i les 15:25, entre les 15:19 i les 15:21.

Llavors el valor de la derivada d'una funció en un punt pot interpretar-se geomètricament, ya que es correspon en la pendent de la recta tangente a la gràfica de la funció en dit punt. La recta tangente és, a la seua volta, la gràfica de la millor aproximació llineal de la funció al voltant de dit punt. La noció de derivada pot generalisar-se per al cas de funcions de més d'una variable en la derivada parcial i el diferencial.

Història de la derivada

Els problemes típics que varen donar orige al càlcul infinitesimal varen començar a plantejar-se en l'época clàssica de la antiga Grècia (III), pero no es varen trobar métodos sistemàtics de resolució fins a dèneu sigles despuix (en el XVII per obra d'Isaac Newton i Gottfried Leibniz).

En lo que atañer a les derivades existixen dos conceptes de tipo geomètric que li varen donar orige:

• El problema de la tangente a una curva (Apolonio de Perge)
• El Teorema dels extrems: màxims i mínims (Pierre de Fermat)

En el seu conjunt varen donar orige a lo que actualment es coneix com càlcul diferencial.

XVII

Els matemàtics varen perdre la por que els grecs els havien tingut als infinitesimals: Johannes Kepler i Bonaventura Cavalieri varen ser els primers en usar-los, varen escomençar a anar un camí que duria en mig sigle al descobriment del càlcul infinitesimal.

A mitan de el XVII les cantitats infinitesimals varen ser cada volta més usades per a resoldre problemes de càlculs de tangentes, àrees, volums; els primers donarien orige al càlcul diferencial, els atres a l'integral.

Newton i Leibniz

Artícul principal → Isaac Newton.

A finals de el XVII es varen sintetisar en dos conceptes els algoritmes usats pels seus predecessors, en lo que hui cridem «derivada» i «integral». L'història de la matemàtica reconeix que Isaac Newton i Gottfried Leibniz són els creadors del càlcul diferencial i integral. Ells varen desenrollar regles per a manipular les derivades (regles de derivació) i Isaac Barrow va demostrar que la derivació i la integració són operacions inverses.

Newton va desenrollar en Cambridge el seu propi método per al càlcul de tangentes. En 1665 va trobar un algoritme per a derivar funcions algebraiques que coincidia en el descobert per Fermat. A finals de 1665 es va dedicar a reestructurar les bases del seu càlcul, intentant deslligar-se dels infinitesimals, i va introduir el concepte de fluxión, que para ell era la velocitat en la que una variable «fluïx» (varia) en el temps.

Gottfried Leibniz, per la seua banda, va formular i va desenrollar el càlcul diferencial en 1675. Va ser el primer en publicar els mateixos resultats que Isaac Newton descobrira 10 anys abans, de manera independent. En la seua investigació, Leibniz va conservar un caràcter geomètric i va tractar a la derivada com un cocient incremental i no com una velocitat, veent el sentit de la seua correspondència en la pendent de la recta, tangente a la curva en dit punt.

Leibniz és l'inventor de diversos símbols matemàtics. A ell es deuen els noms de: càlcul diferencial i càlcul integral, aixina com els símbols de derivada $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ i el símbol de l'integral ∫.

Conceptes i aplicacions

El concepte de derivada és un dels conceptes bàsics del anàlisis matemàtic. Els atres són els de integral definida i indefinida, successió; sobretot, el concepte de llímit. Est és usat per a la definició de qualsevol tipo de derivada i per a l'integral de Riemann, successió convergent i suma d'una série i la continuïtat. Per la seua importància, hi ha un abans i un despuix de tal concepte que biseca les matemàtiques prèvies, com el àlgebra, la trigonometria o la geometria analítica, del càlcul. Segons Albert Einstein, el major aporte que es va obtindre de la derivada va ser la possibilitat de formular diversos problemes de la física per mig d'equacions diferencials ^{cita requerida}.

La derivada és un concepte que té variades aplicacions. S'aplica en aquells casos a on és necessari medir la rapidea en que es produïx el canvi d'una magnitut o situació. És una ferramenta de càlcul fonamental en els estudis de Física, Química i Biologia, o en ciències socials com la Economia i la Sociologia. Per eixemple, quan es referix a la gràfica de dos dimensions de $f$, es considera la derivada com la pendent de la recta tangente del gràfic en el punt $x$. Es pot aproximar la pendent d'esta tangente com el llímit quan la distància entre els dos punts que determinen una recta secante tendix a zero, és dir, es transforma la recta secante en una recta tangente. En esta interpretació, poden determinar-se moltes propietats geomètriques dels gràfics de funcions, tals com monotonia d'una funció (si és creixent o decreixent) i la concavidad o convexidad.

Algunes funcions no tenen derivada en tots o en algun dels seus punts. Per eixemple, una funció no té derivada en els punts en que es té una tangente vertical, una discontinuidad o un punt anguloso. Afortunadament, gran cantitat de les funcions que es consideren en les aplicacions pràctiques són contínues i la seua gràfica és una curva suau, per #lo que és susceptible de derivació.

Les funcions que són diferenciables (derivables si es parla en una sola variable), són aproximables linealmente.

Definicions de derivada

Derivada en un punt a partir de cocients diferencials

La derivada d'una funció $f$ en el punt $a$ és la pendent de la recta tangente a la gràfica de $f$ en el punt $a$. El valor d'esta pendent serà aproximadament igual a la pendent d'una recta secante a la gràfica que passe pel punt $(a,f(a))$ i per un punt propenc $(x,f(x))$; per conveniència sol expressar-se $x=a+h$, a on $h$ és un número propenc a 0. A partir d'estos dos punts es calcula la pendent de la recta secante com

$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$

(Esta expressió es denomina «cocient diferencial» o «cocient de Newton».) A mida que el número $h$ s'acosta a zero, el valor d'esta pendent s'aproximarà millor al de la recta tangente. Açò permet definir la derivada de la funció $f$ en el punt $a$, denotada com $f^{\prime }(a)$, com el llímit d'estos cocients quan $h$ tendix a zero:

$f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$.

No obstant, esta definició només és vàlida quan el llímit és un número real: en els punts $a$ a on el llímit no existix, la funció $f$ no té derivada.

Derivada d'una funció

Una animació que dona una idea intuïtiva de la derivada, ya que el «swing» d'una funció canvia quan canvia l'argument.

Donada una funció $f$, es pot definir una nova funció que, en cada punt $x$, pren el valor de la derivada $f^{\prime }(x)$. Esta funció es denota $f^{\prime }$ i es denomina funció derivada de $f$ o simplement derivada de $f$. Açò és, la derivada de $f$ és la funció donada per

$f^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$.

Esta funció només està definida en els punts del domini de $f$ a on el llímit existix; en atres paraules, el domini de $f^{\prime }$ està contingut en el de $f$.

Eixemples

Considere la funció quadràtica $f(x)=x^2$ definida per a tot $x\in ℝ$. Es tracta de calcular la derivada d'esta funció aplicant la definició

$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }(x)& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(x+h{)}^2-x^2}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{2xh+h^2}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }(2x+h)\\ & =2x.\end{array}$

Per al cas general $g(x)=x^n$ tindríem

$g^{\prime }(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(x+h{)}^n-x^n}{h}$

Tenint en conte el teorema del binomi;

$(x+h{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^{n-k}{h}^k=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})x^n+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})x^{n-1}h+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})x^{n-2}{h}^2+\cdots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-1})x{h}^{n-1}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})h^n$

Tenim;

$\begin{array}{cc}{g}^{\prime }(x)& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})x^n+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})x^{n-1}h+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})x^{n-2}{h}^2+\cdots +(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-1})x{h}^{n-1}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})h^n-x^n}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{x^n+n{x}^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2}{x}^{n-2}{h}^2+\cdots +nx{h}^{n-1}+h^n-x^n}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{x^n+h(n{x}^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}{x}^{n-2}h+\cdots +nx{h}^{n-2}+h^{n-1})-x^n}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }n{x}^{n-1}+\frac{n(n-1)}{2}{x}^{n-2}h+\cdots +nx{h}^{n-2}+h^{n-1}=n{x}^{n-1}\end{array}$

Continuïtat i diferenciabilidad

Artícul principal → Funció contínua.

La continuïtat és necessària

Per a que una funció siga derivable en un punt és necessari que també siga contínua en eixe punt: intuitivamente, si la gràfica d'una funció està «trencada» en un punt, no hi ha una manera clara de traçar una recta tangente a la gràfica. Més precisament, açò es deu a que, si una funció $f$ no és contínua en un punt $a$, llavors la diferència entre el valor $f(a)$ i el valor en un punt propenc $f(a+h)$ no va a tendir a 0 a mida que la distància $h$ entre els dos punts tendix a 0; de fet, el llímit $\underset{h\to 0}{\lim }f(a+h)-f(a)$ no té per qué estar ben definit si els dos llímits laterals no són iguals. Tant si este llímit no existix com si existix pero és distint de 0, el cocient diferencial

$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

no tindrà un llímit definit.

Com a eixemple de lo que ocorre quan la funció no és contínua, es pot considerar la funció de Heaviside, definida com

$f(x)=\{\begin{array}{cc}1,& \text{si }x\ge 0\\ 0,& \text{si }x<0.\end{array}$

Esta funció no és contínua en $x=0$: el valor de la funció en este punt és 1, pero en tots els punts a la seua esquerra la funció val 0. En este cas, el llímit per l'esquerra de la diferència $\underset{h\to 0^{-}}{\lim }f(0+h)-f(0)$ és igual a 1, per #lo que el cocient diferencial no tindrà un llímit ben definit.

La continuïtat no és suficient

La relació no funciona a l'inversa: el que una funció siga contínua no garantisa la seua derivabilidad. És possible que els llímits laterals siguen iguals pero les derivades laterals no; en este cas concret, la funció presenta un punt anguloso en dit punt.

Un eixemple és la funció valor absolut $f(x)=|x|$, que es definix com

$|x|=\{\begin{array}{cc}x,& \text{si }x\ge 0\\ -x,& \text{si }x<0.\end{array}$

Esta funció és contínua en el punt $x=0$: en este punt la funció pren el valor 0, i per a valors de $x$ infinitament propencs a 0, tant positius com a negatius, el valor de la funció tendix a 0. No obstant, no és derivable: la derivada lateral per la dreta de $x=0$ és igual a 1, mentres que per l'esquerra la derivada lateral val -1. Com les derivades laterals donen resultats diferents, no existix derivada en $x=0$, a pesar de que la funció siga contínua en dit punt.

De manera informal, si el gràfic de la funció té puntes agudes, s'interromp o té bots, no és derivable. No obstant, la funció $f(x)=x|x|$ és diferenciable per a tot x.

Notació

Artícul principal → Notació per a la diferenciació.

Existixen diverses formes per a nomenar a la derivada. Sent f una funció, s'escriu la derivada de la funció $f$ respecte al valor $x$ en varis modos.

Notació de Lagrange

La notació més simple per a diferenciació, en us actual, es deu a Lagrange, i consistix en denotar la derivada d'una funció $f(x)$ com $f^{\prime }(x)$: es llig «f primera de x». Esta notació s'estén a derivades d'orde superior, donant lloc a $f^{″}(x)$ («f segona de x» o «f dos prima de x») per a la derivada segona, i a $f^{‴}(x)$ per a la derivada tercera. La derivada quarta i següents es poden denotar de dos formes:

• en números romans: $f^{\text{IV}}(x)$,
• en números entre paréntesis: $f^{(4)}(x)$.

Esta última opció dona lloc també a la notació $f^{(n)}(x)$ per a denotar la derivada n-ésima de $f$.

Notació de Leibniz

Artícul principal → Notació de Leibniz.

Una atra notació comuna per a la diferenciació és deguda a Leibniz. Per a la funció derivada de $f$, s'escriu:

$\frac{d(f(x))}{dx}.$

També pot trobar-se com $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$, $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$ o $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)$. Es llig «derivada de $y$ ($f$ o $f$ de $x$) sobre $x$». Esta notació té la ventaja de sugerir a la derivada d'una funció sobre una atra com un cocient de diferencials.

En esta notació, es pot escriure la derivada de $f$ en el punt $a$ de dos modos diferents:

${\frac{df}{dx}|}_{x=a}=\left(\frac{d(f(x))}{dx}\right)(a).$

Si $y=f(x)$, es pot escriure la derivada com

$\frac{dy}{dx}$

Les derivades successives s'expressen com

$\frac{d^{n}f}{d{x}^n}$ o $\frac{d^{n}y}{d{x}^n}$

per a l'enèsima derivada de $f$ o de $y$ respectivament. Històricament, açò ve del fet que, per eixemple, la tercera derivada és

$\frac{\mathrm{d}\left(\frac{\mathrm{d}\left(\frac{\mathrm{d}(f(x))}{\mathrm{d}x}\right)}{\mathrm{d}x}\right)}{\mathrm{d}x}$

la qual es pot escriure com

${\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)}^3(f(x))=\frac{{\mathrm{d}}^3}{{\left(\mathrm{d}x\right)}^3}(f(x)).$

La notació de Leibniz és molt útil, por cuanto permet especificar la variable de diferenciació (en el denominador); la qual cosa és pertinent en cas de diferenciació parcial. També facilita recordar la regla de la cadena, perque els térmens «d» semblen cancelar-se simbòlicament:

$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\cdot \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}.$

En la formulació popular del càlcul per mig de llímits, els térmens «d» no poden cancelar-se lliteralment, perque per sí mateixos són indefinits; són definits solament quan s'usen junts per a expressar una derivada. En anàlisis no estàndar, no obstant, es poden vore números infinitesimalés que es cancelen.

Certament, Leibnitz (sí) va considerar la derivada dy/dx com el cocient de dos «infinitésimos» dy i dx, cridats «diferencials». Estos infinitésimos no eren números sino cantitats més menuts que qualsevol número positiu.

Notació de Newton

Artícul principal → Notació de Newton.

La notació de Newton per a la diferenciació respecte al temps, era posar un punt dalt del nom de la funció:

$\dot{x}=x^{\prime }(t)$

$\ddot{x}=x^{\prime \prime }(t)$

i aixina successivament.

Es llig «punt $x$» o «$x$ punt». Actualment està en desús en l'àrea de matemàtiques pures, no obstant se seguix usant en àrees de la física com la mecànica, a on atres notacions de la derivada es poden confondre en la notació de velocitat relativa. S'usa per a definir la derivada temporal d'una variable.

Esta notació de Newton s'usa principalment en mecànica, normalment para derivades que involucren la variable temps, com a variable independent; tals com velocitat i acceleració, i en teoria d'equacions diferencials ordinàries. Usualment solament s'ampra per a les primeres i segones derivades.

Notació de Arbogast

Encara que li la sol cridar «d'Euler», en realitat la va introduir el matemàtic francés Louis François Antoine Arbogast. Estos deuen ser entesos, més que com la pròpia derivada, com un operador diferencial, que té un us en vectores i àlgebra llineal, per lo tant, est és denotat com a D o D̃ (operador Newton-Leibniz). Quan s'aplica a una funció f(x), es definix per mig de $\left(Df\right)\left(x\right)=\frac{df(x)}{dx}=f^{\prime }(x)$.

Per a derivades de grau superior s'usa:

• $D^{2}f$ per a una segona derivada,
• $D^{3}f$ per a una tercera derivada,
• $D^{4}f$ per a una tercera derivada,
• $D^{n}f$ per a una enèsima derivada.

Esta notació també permet explicitar la respectiva variable de la derivada:

• $D_{x}y$ per a la primera derivada,
• $D_x^{2}y$ per a la segona derivada,
• $D_x^{3}y$ per a la tercera derivada,
• $D_x^{n}y$ per a l'enèsima derivada.

Quan f és una funció de diferents variables, és habitual usar $\partial$ en lloc de $D$ com anteriorment establit, pero, de la mateixa forma, els subíndexs del símbol de derivada parcial indiquen la variable corresponent de la derivada:

• ${\partial }_{x}f=\frac{\partial f}{\partial x}$
• ${\partial }_{y}f=\frac{\partial f}{\partial y}$
• ${\partial }_{xx}f=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}$
• ${\partial }_{xy}f=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x\partial y}$
• ${\partial }_{yx}f=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y\partial x}$
• ${\partial }_{yy}f=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$

Té major us en equacions diferencials i àlgebra diferencial.

Càlcul de la derivada

La derivada d'una funció, en principi, pot ser calculada a partir de la definició, expressant el cocient de diferències i calculant el seu llímit. No obstant, salve per a uns pocs casos açò pot resultar laboriós. En la pràctica existixen fòrmules precalculadas per a les derivades de les funcions més simples, mentres que per a les funcions més complicades s'utilisen una série de regles que permeten reduir el problema al càlcul de la derivada de funcions més senzilles. Per eixemple, per a calcular la derivada de la funció $\cos (x^2)$ bastaria en conéixer: la derivada de $x^2$, la derivada de $\cos (x)$, i cóm derivar una composició de funcions.

Derivades de funcions elementals

Artícul principal → Anexe:Derivades.

La major part dels càlculs de derivades requerixen prendre eventualment la derivada d'algunes funcions comunes. La següent taula incompleta proporciona algunes de les més freqüents funcions d'una variable real usades i les seues derivades.

Taula de derivades d'algunes funcions elementals

Funció $f$		Derivada $f^{\prime }$
Funció potencia	Funció constant $f(x)=k,k\in 𝐑$	$f^{\prime }(x)=0$
	Funció identitat $f(x)=x$	$f^{\prime }(x)=1$
	Multiplicació per una constant: $f(x)=k\cdot g(x),k\in 𝐑$	$f^{\prime }(x)=k\cdot g^{\prime }(x)$
	Potència d'exponent natural: $f(x)=x^n,n=0,1,2,3\dots$	$f^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}$
	Funció raïl quadrada $f(x)=\sqrt{x}$	$f^{\prime }(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
	Funció recíproca $f(x)=\frac{1}{x}$	$f^{\prime }(x)=-\frac{1}{x^2}$
	Cas general: $f(x)=x^r,r\in 𝐑$	$f^{\prime }(x)=r{x}^{r-1}$
Funció exponencial	Base $e$: $f(x)=e^x$	$f^{\prime }(x)=e^x$
	Cas general: $f(x)=a^x,a\in 𝐑,a>0$	$f^{\prime }(x)=a^x\ln (a)$
Funció logarítmica	Logaritmo en base $e$: $f(x)=\ln x$	$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x},x>0$
	Cas general: $f(x)={\log }_a(x),a\in 𝐑,a>0$	$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x\ln (a)},x>0$
Funcions trigonométricas	Funció sen: $f(x)=\mathrm{sen}(x)$	$f^{\prime }(x)=\cos (x)$
	Funció coseno: $f(x)=\cos (x)$	$f^{\prime }(x)=-\mathrm{sen}(x)$
	Funció tangente: $f(x)=\tan (x)$	$f^{\prime }(x)={\sec }^2(x)=\frac{1}{{\cos }^2(x)}=1+{\tan }^2(x)$
Funcions trigonométricas inverses	Funció arcoseno: $f(x)=\arcsin (x)$	$f^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
	Funció arcocoseno: $f(x)=\arccos (x)$	$f^{\prime }(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
	Funció arcotangente: $f(x)=\arctan (x)$	$f^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x^2}$
Funcions hiperbòliques	Funció sen hiperbòlic: $f(x)=\sinh (x)$	$f^{\prime }(x)=\cosh (x)$
	Funció coseno hiperbòlic: $f(x)=\cosh (x)$	$f^{\prime }(x)=\sinh (x)$
	Funció tangente hiperbòlica: $f(x)=\tanh (x)$	$f^{\prime }(x)={\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{h}}^2(x)=\frac{1}{{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathrm{h}}^2(x)}$

Regles usuals de derivació

Artícul principal → Regles de diferenciació.

En molts casos, el càlcul de llímits complicats per mig de l'aplicació directa del cocient de diferències de Newton pot ser anulat per mig de l'aplicació de regles de diferenciació. Algunes de les regles més bàsiques són les següents:

• Regla de la constant: si f(x) és constant, llavors

$f^{\prime }(x)=0.$

• Regla de la suma:

$(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$, per a tota funció f i g i tot número real $\alpha$ i $\beta$.

• Regla del producte:

$(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$ per a tota funció f i g. Per extensió, açò significa que la derivada d'una constant multiplicada per una funció és la constant multiplicada per la derivada de la funció. Per eixemple, $\frac{d}{dr}\pi r^2=2\pi r.$

• Regla del cocient:

$\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$ per a tota funció f i g per a tots aquells valors tals que g ≠ 0.

• Regla de la cadena: Si $f(x)=h(g(x))$, sent g derivable en x, i h derivable en g(x), llavors

$f^{\prime }(x)=h^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x).$

Eixemple de càlcul

La derivada de

$f(x)=x^4+\mathrm{sen}(x^2)-\ln (x)e^x+7$

és

$\begin{array}{cc}{f}^{\prime }(x)& =4x^{(4-1)}+\frac{d\left(x^2\right)}{dx}\cos (x^2)-\frac{d(\ln x)}{dx}{e}^x-\ln x\frac{d\left(e^x\right)}{dx}+0\\ & =4x^3+2x\cos (x^2)-\frac{1}{x}{e}^x-\ln (x)e^x.\end{array}$

Ací, el segon terme es va calcular usant la regla de la cadena i el tercer usant la regla del producte. Les derivades conegudes de funcions elementals x², x⁴, sen(x), ln(x) i exp(x) = i^x, aixina com la constant 7, també varen ser usades.

Diferenciabilidad

Una funció en domini en un subconjunt dels reals és diferenciable en un punt $x$ si la seua derivada existix en eixe punt; una funció és diferenciable en un interval obert si és diferenciable en tots els punts de l'interval.

Si una funció és diferenciable en un punt $x$, la funció és contínua en eixe punt. No obstant, una funció contínua en $x$, pugues no ser diferenciable en dit punt (punt crític). En atres paraules, diferenciabilidad implica continuïtat, pero no el seu recíproc. Un eixemple d'una funció contínua pero no diferenciable és la Funció de Weierstrass.

La derivada d'una funció diferenciable pot ser, a la seua volta, diferenciable. La derivada d'una primera derivada es diu derivada segona. D'un modo paregut, la derivada d'una derivada segona és la derivada tercera, i aixina successivament. Açò també rep el nom de derivació successiva o derivades d'orde superior.

Generalisacions del concepte de derivada

El concepte simple de derivada d'una funció real d'una sola variable ha segut generalisat de vàries maneres:

• Per a funcions de vàries variables:
  • Derivada parcial, que s'aplica a funcions reals de vàries variables.
  • Derivada direccional, estén el concepte de derivada parcial.
• En anàlisis complex:
  • Funció holomorfa, que estén el concepte de derivada a cert tipo de funcions de variables complexes.
• En anàlisis funcional:
  • Derivada fraccional, que estén el concepte de derivada d'orde superior a orde r, r no necessita ser necessàriament un número entero com succeïx en les derivades convencionals.
  • Derivada funcional, que s'aplica a funcionals els arguments dels quals són funcions d'un espai vectorial de dimensió no finita.
  • Derivada en el sentit de les distribucions, estén el concepte de derivada a funcions generalisades o distribucions, aixina pot definir-se la derivada d'una funció discontínua com una distribució.
• En geometria diferencial:
  • La Derivació un concepte de geometria diferencial.
• En teoria de la provabilitat i teoria de la mida:
  • Derivada de Malliavin derivada d'un procés estocàstic o variable aleatòria que canvia en el temps.

• • Derivada de Radon-Nikodym usada en teoria de la mida.
• Diferenciabilidad:
  • Diferenciablidad, una atra generalisació possible per a funcions de vàries variables quan existixen derivades contínues en totes direccions és el de:
  • Funció diferenciable, que s'aplica a funcions reals de vàries variables que posseïxen derivades parcials segons qualsevol de les variables (L'argument d'una funció de vàries variables pertany a un espai del tipo ${ℝ}^n$ de dimensió n finita).
  • La Diferenciació en el sentit de Fréchet generalisa el concepte de funció diferenciable a espais de Banach de dimensió infinita.

Conjunt $O_{x,\alpha }^n(h)$ d'Operadors Fraccionales

El càlcul fraccional de conjunts (Fractional Calculus of Sets (FCS)), mencionat per primera volta en l'artícul titulat "Sets of Fractional Operators and Numerical Estimation of the Order of Convergence of a Family of Fractional Fixed-Point Methods", és una metodologia derivada del càlcul fraccional. El concepte principal darrere del FCS és la caracterisació dels elements del càlcul fraccional utilisant conjunts per la gran cantitat d'operadors fraccionales disponibles. Esta metodologia es va originar a partir del desenroll del método de Newton-Raphson fraccional i treballs relacionats posteriors.

Ilustració d'algunes llínees generades pel método de Newton–Raphson fraccional per a la mateixa condició inicial $x_0$ pero en diferents órdens $\alpha$ de l'operador fraccional implementat. Font: Applied Mathematics and Computation

El càlcul fraccional, una branca de les matemàtiques que tracta en derivades d'orde no sancer, va sorgir casi simultàneament en el càlcul tradicional. Esta emergència va ser en part per la notació de Leibniz para derivades d'orde sancer: $\frac{d^n}{d{x}^n}$. Gràcies a esta notació, L’Hopital va poder preguntar en una carta a Leibniz sobre l'interpretació de prendre $n=\frac{1}{2}$ en una derivada. En eixe moment, Leibniz no va poder proporcionar una interpretació física o geomètrica per a esta pregunta, per #lo que simplement va respondre a L’Hopital en una carta que "... és una aparent paradoxa de la qual, algun dia, es derivaran conseqüències útils".

El nom "càlcul fraccional" s'origina a partir d'una pregunta històrica, ya que esta branca de l'anàlisis matemàtic estudia derivades i integrals d'un cert orde $\alpha \in ℝ$. Actualment, el càlcul fraccional carix d'una definició unificada de lo que constituïx una derivada fraccional. En conseqüència, quan no és necessari especificar explícitament la forma d'una derivada fraccional, típicament es denota de la següent manera:

$\frac{d^{\alpha }}{d{x}^{\alpha }}.$

Els operadors fraccionales tenen vàries representacions, pero una de les seues propietats fonamentals és que recuperen els resultats del càlcul tradicional a mida que $\alpha \to n$. Considerant una funció escalar $h:{ℝ}^m\to ℝ$ i la base canònica de ${ℝ}^m$ denotada per $\{{\hat{e}}_k{\}}_{k\ge 1}$, el següent operador fraccional d'orde $\alpha$ es definix utilisant notació d'Einstein:

$o_x^{\alpha }h(x):={\hat{e}}_k{o}_k^{\alpha }h(x).$

Denotant $\underset{k}{\overset{n}{\partial }}$ com la derivada parcial d'orde $n$ sobre el component $k$-ésimo del vector $x$, es definix el següent conjunt d'operadors fraccionales:

$O_{x,\alpha }^n(h):=\{o_x^{\alpha }:\mathrm{\exists }{o}_k^{\alpha }h(x)\text{ y }\underset{\alpha \to n}{\lim }{o}_k^{\alpha }h(x)=\underset{k}{\overset{n}{\partial }}h(x)\mathrm{\forall }k\ge 1\},$

el complement del qual és:

$O_{x,\alpha }^{n,c}(h):=\{o_x^{\alpha }:\mathrm{\exists }{o}_k^{\alpha }h(x)\mathrm{\forall }k\ge 1\text{ y }\underset{\alpha \to n}{\lim }{o}_k^{\alpha }h(x)\ne \underset{k}{\overset{n}{\partial }}h(x)\text{ para al menos un }k\ge 1\}.$

Com a conseqüència, es definix el següent conjunt:

$O_{x,\alpha }^{n,u}(h):=O_{x,\alpha }^n(h)\cup O_{x,\alpha }^{n,c}(h).$

Extensió a Funcions Vectorials

Per a una funció $h:\Omega \subset {ℝ}^m\to {ℝ}^m$, el conjunt es definix com:

${}_m{O}_{x,\alpha }^{n,u}(h):=\{o_x^{\alpha }:o_x^{\alpha }\in O_{x,\alpha }^{n,u}([h{]}_k)\mathrm{\forall }k\le m\},$

a on $[h{]}_k:\Omega \subset {ℝ}^m\to ℝ$ denota el $k$-ésimo component de la funció $h$.

Aplicacions

• Derivada parcial, supongam que estem sobre un pont i observem com varia la concentració de peixos en el temps exactament. Estem en una posició fixa de l'espai, per #lo que es tracta d'una derivada parcial de la concentració sobre el temps mantenint fixes la posició en la direcció "x", "i" o "z".

• Derivada total sobre el temps, supongam que nos movem en una llancha a motor que es mou en el riu en totes direccions, unes voltes en contra de la corrent, unes atres a través i unes atres a favor. En referir la variació de concentració de peixos en el temps, els números que resulten han de reflectir també el moviment de la llancha. La variació de la concentració en el temps correspon a la derivada total.

• Derivada substancial sobre el temps, supongam que anem en una canoa a la que no es comunica energia, sino que simplement sura. En este cas, la velocitat de l'observador és exactament la mateixa que la velocitat de la corrent "v". En referir la variació de la concentració de peixos sobre el temps, els números depenen de la velocitat local de la corrent. Esta derivada és una classe especial de derivada total sobre el temps que es denomina <<derivada substancial>> o, a voltes (més llògicament) derivada seguint al moviment.

Vore també

• Regles de derivació
• Taula de derivades
• Derivació de funcions trigonométricas
• Criteri de la derivada de major orde
• Derivació numèrica
• Integral

Referències

Bibliografia

• Apostol, Tom M. (1967). Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra, 2ª edició, Wiley. ISBN 978-0-471-00005-1.
• Spivak, Michael (1994). Calculus, 3ª edició, Publish or Perish. ISBN 978-0-914098-89-8.
• Stewart (2002). Calculus, 5ª edició, Brooks Cole. ISBN 978-0-534-39339-7.

Enllaços externs

Commons

• Archiu:Commons-logo.svg Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre derivada.

• Derivative en MathWorld.
• Plantilla:Springer
• Calculadora de derivades en solucions passe a pas

Part de l'informació ha segut extreta de la web Derivades.és fundada per Jesús en 2004