Teoria de la mida

Teoria de la mida

Una mida aplica certs subconjunts (pertanyents a una σ-àlgebra) en valors de l'interval [0, ∞].

La teoria de la mida és una branca del anàlisis i de la geometria que investiga les mides, les funcions mesurables i l'integració. És d'importància central en geometria, provabilitat i en estadística.

En matemàtiques, una mida d'un conjunt és una forma sistemàtica i rigorosa d'assignar un número a cada subconjunt apropiat de dit conjunt. Intuitivamente, dit número pot ser interpretat com una certa mida del tamany de dit subconjunt. En este sentit, la mida és una generalisació dels conceptes de "llongitut","àrea", i "volum". Dita generalisació s'estén tant a majors dimensions (en el sentit de "hipervolúmenes") com a conceptes més abstractes, ya que el conjunt sobre el que s'aplica una mida no té per qué ser un subconjunt d'un espai geomètric. Un eixemple seria la mida de Lebesgue: quan s'aplica en un espai Euclídeo ${ℝ}^n$, la mida de Lebesgue assigna els valors convencionals de llongitut, àrea i volum a subconjunts apropiats de l'espai Euclídeo ${ℝ}^n$ n-dimensional. Per eixemple, la mida de Lebesgue en l'interval [0,1] és la llongitut de dit interval en el sentit convencional de la mateixa, específicament, 1.

Tècnicament, una mida és una funció que assigna un número real no-negatiu (o +∞) a certs subconjunts d'un conjunt X. La mida complix una série de propietats: deu ser, per eixemple, contable aditiva, en el sentit de que la mida d'un subconjunt 'gran' pugues sempre ser descomposta en un número finito (o contablemente infinit) de subconjunts disjuntos més menuts, de tal modo que la mida siga la suma de les mides de dits subconjunts més menuts.

En general, si es pretén associar un tamany consistent a cada subconjunt d'un conjunt dau i al mateix temps satisfer el restant de axioma d'una mida, les úniques mides que se solen poder definir són eixemples trivials com la mida de conteo. Este problema va ser resolt definint la mida com a aplicable a unes famílies reduïdes de subconjunts, usualment cridats els conjunts mesurables. Les condicions de consistència que deuen complir els membres d'estes famílies queden encapsuladas en el concepte auxiliar de σ-àlgebra. Açò significa que els subconjunts no mesurables, açò és, els subconjunts per als que un no pot definir una mida (siga de Lebesgue o una atra) són molts. Generalment, la llimitació de que hi haja conjunts no mesurables pot interpretar-se com una conseqüència no-trivial del axioma d'elecció.

Per eixemple, en base en dit axioma, la paradoxa de Banach-Tarski senyala que la bola unitat en tres dimensions (açò és, una esfera de ràdio unitat) pot ser descomposta en un número finito de peces (no menys de cinc) tals que poden ser recomposts per a formar dos boles unitàries. Açò és, un pot formar dos esferes de ràdio unitat usant tan sol cinc peces d'una sola esfera de ràdio unitat. Si este és el cas, sembla absurt pretendre definir la mida d'una bola unitària, ya que per subaditividad contable un pot assignar a lo manco dos valors distints a la mateixa. La teoria de la mida demarca les condicions que els conjunts tenen que complir per a ser mesurables.

Definicions

Medida d'un conjunt elemental

La definició d'una medida m sobre un conjunt $E$ requerix la definició d'una série de conceptes previs que induïxen la mida. De forma general, la mida d'un conjunt és un cert número que denota el tamany o la llongitut de dit conjunt. Per supost, la definició de la mida generalisa dita idea i la dota de rigor.

Siga $I$ un interval definit com un subconjunt de $ℝ$ de la forma:

$I=[a,b]=\{x\in ℝ:a\le x\le b\}$

$I=[a,b)=\{x\in ℝ:a\le x<b\}$

$I=(a,b]=\{x\in ℝ:a<x\le b\}$

$I=(a,b)=\{x\in ℝ:a<x<b\}$

a on $a\le b$ són número real.

La llongitut de l'interval $I$ es definix com

$|I|=b-a$

Una caixa en ${ℝ}^n$ és el producte cartesiano $B=I_1\times \dots \times I_n$ de n intervals de llongitut qualsevol. El volum de dita caixa queda definit com

$|B|=|I_1|\times \dots \times |I_n|$

Un conjunt elemental I és qualsevol subconjunt de ${ℝ}^n$ format per l'unió d'un número finito de caixes:

$E\subset {ℝ}^n=\bigcup _{i=0}^k{B}_i$

Mida d'un conjunt elemental. Siga $E\subset {ℝ}^n$. Si $E$ es particiona com l'unió finita d'un conjunt disjunto de caixes, $E=B_1\cup \dots \cup B_k$ en $B_i\cap B_j=\mathrm{\varnothing }\mathrm{\forall }i\ne j,i,j=1,\dots ,k$, llavors la cantitat

$m(E)=|B_1|+\dots +|B_k|$

és independent del modo en que es realisa la partició, i se li crida la mida elemental del conjunt I.

Propietats

De la definició de mida elemental se seguixen vàries propietats compartides per totes les mides. En concret:

• $m(E\cup F)=m(E)+m(F)$, $\mathrm{\forall }E,F\text{ tal que }E\cap F=\mathrm{\varnothing }$.
• $m(E_1\cup \dots \cup E_k)=m(E_1)+\dots +m(E_k)$, $\mathrm{\forall }{E}_1,\dots ,E_k\text{tales que}\mathrm{\forall }i\ne j,i,j=1,\dots ,k,E_i\cap E_j=\mathrm{\varnothing }$.

La mida és sempre un número real positiu.

• $m(\mathrm{\varnothing })=0$
• $m(E\cup F)\le m(E)+m(F)$ en el cas de que I i F no siguen necessàriament disjuntos.
• $m(E_1\cup \dots \cup E_k)\le m(E_1)+\dots +m(E_k)$ en el cas de que els conjunts no siguen necessàriament disjuntos.
• $m(E+x)=m(E)$, açò és, la mida és sempre invariante sobre la translació.

Si $E\subset {ℝ}^{n_1}$ i $F\subset {ℝ}^{n_2}$ són abdós conjunts elementals, llavors $E\times F\subset {ℝ}^{n_1+n_2}$ també és elemental, i la seua mida és $m(E\times F)=m(E)m(F)$

Per tant, queda clar que la mida generalisa el concepte de volum d'una caixa, ya que m(B)= |B| per a tota caixa.

Mida de Jordan

Els conjunts elementals són molt restrictius, puix solament poden construir-se en base en intervals. La mida de Jordan és la primera generalisació del concepte de mida. L'idea general és la de demarcar el conjunt I en atres dos conjunts, un que ho inscriu i un atre que ho circumscriu. Dits dos conjunts poden ser expressats com a conjunts elementals, i en el llímit, conforme les caixes que conformen dits conjunts aumenten en número i inscriuen al conjunt I millor, les mides elementals de dits conjunts acabaran per convergir a la mida (de Jordan) de I.

Siga $E\subset {ℝ}^n$ un conjunt acotat a medir. Sean A i B dos conjunts elementals tals que $A\subset E\subset B$. Llavors,

la mida interna de Jordan $m_J(E)$ del conjunt acotat I es definix com

$m_J(E)=\underset{A\subset E}{\sup }\{m(A)\}$

la mida externa de Jordan $m^J(E)$ del conjunt acotat I es definix com

$m^J(E)=\underset{E\subset B}{\inf }\{m(B)\}$

Quan $m_J(E)=m^J(E)$, el conjunt I es diu que és mesurable segons Jordan, i la seua mida $m(E)\equiv m_J(E)=m^J(E)$ es denota com la mida de Jordan.

Propietats

La mida de Jordan complix les següents propietats. Si $E,F\subset {ℝ}^n$ són conjunts mesurables segons Jordan:

Tancament Booleano. Els conjunts $E\cup F,E\cap F,E/F,E-F$ són mesurables segons Jordan.

• $m(E)\ge 0$
• Aditividad finita. Si $E,F$ són disjuntos, llavors $m(E\cup F)=m(E)+m(F)$.
• Monotonicidad. Si $E\subset F$, llavors $m(E)\le m(F)$.
• Subaditividad finita. $m(E\cup F)\le m(E)+m(F)$.
• Invariancia traslacional. $m(E+x)=m(E),\mathrm{\forall }x\in {ℝ}^n$.

Producte de mides. Si $E\subset {ℝ}^{n_1}$ i $F\subset {ℝ}^{n_2}$ són abdós conjunts mesurables segons Jordan, llavors $E\times F\subset {ℝ}^{n_1+n_2}$ també és mesurable segons Jordan, i la seua mida de Jordan és $m(E\times F)=m(E)\times m(F)$.

Encara que millora la definició de mida en estendre-la a certs conjunts no elementals, la mida de Jordan no és universalment aplicable, puix es basa en l'idea de poder circumscriure el conjunt I en conjunts elementals externs i interns al mateix; dits conjunts elementals són, per definició, finitos. Açò és problemàtic en molts casos. Per a escomençar, no pot estendre's a conjunts oberts, per als que la demarcació del conjunt I en mides internes i externes queda ambiguamente definida. En general, la mida de Jordan solament es pot aplicar si la frontera topològica del conjunt I té mida externa de Jordan zero. Açò exclou conjunts en fronteres en propietats fractales, pero també conjunts en forats interns. La mida de Lebesgue ve a generalisar a la de Jordan a un número major de conjunts.

Mida de Jordan i integral de Riemann

La mida de Jordan està íntimament relacionada en l'integral de Riemann, de tal modo que les llimitacions de l'integral definida segons Riemann són les pròpies de la mida de Jordan. En concret, si I és un conjunt mesurable segons Jordan entés com l'interval $E=[a,b]$, i definim la funció indicatriz ${\mathrm{𝟏}}_E:[a,b]\to ℝ$ com

${\mathrm{𝟏}}_E(x)=\{\begin{array}{cc}1& \text{si }x\in E,\\ 0& \text{si }x\notin E.\end{array},$

llavors dita funció indicatriz és integrable segons Riemann, i

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}{\mathrm{𝟏}}_E(x)\text{d}x=m(E)$

a on $m(E)$ és la mida de Jordan de l'interval. Açò és, tot interval d'integració segons Riemann induïx una mida de Jordan sobre el mateix.

Ademés, si $f(x)$ és una funció acotada en l'interval $E=[a,b]$, i definim els conjunts acotats positiu $E_{+}$ i negatiu $E_{-}$ com els conjunts mesurables segons Jordan en ${ℝ}^2$:

• $E_{+}=\{(x,y):x\in [a,b];0\le y\le f(x)\}$
• $E_{-}=\{(x,y):x\in [a,b];f(x)\le y\le 0\}$

Llavors l'integral de Riemann de f(x) és

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\text{d}x=m(E_{+})-m(E_{-})$

a on $m(E_{\pm })$ és la mida (bidimensional) de Jordan de $E_{\pm }$. Açò és, la mida de Jordan definix l'àrea (o volum, o llongitut) d'un conjunt, i l'integral de Riemann descriu l'àrea baixe la curva, entesa com la mida de Jordan de l'àrea definida per l'eix abscisses (x=0) i la funció f(x). Si f(x) no és lo suficientment regular, la mida de Jordan de dita àrea no existix, i per tant l'integral de Riemann tampoc. Açò és, les condicions necessàries per a que un conjunt siga integrable segons Riemann i mesurable segons Jordan són les mateixes.

Mida de Lebesgue

La mida de Lebesgue és una generalisació de la mida de Jordan que estén el conjunt de conjunts mesurables (i, per tant, integrables). El problema en la mida de Jordan està relacionat en la definició de mida externa de Jordan, que ve donada per

$m^J(E)=\underset{E\subset B}{\inf }\{m(B)\}$

La aditividad finita permet estendre la mida externa de Jordan com

$m^J(E)=\underset{E\subset B_1\cup \dots \cup B_k}{\inf }\{|B_1|+\dots +|B_k|\}$

Açò vol dir que la mida externa de Jordan és l'ínfim de totes les formes en que es pot cobrir el conjunt I com l'unió finita de caixes elementals.

La mida externa de Lebesgue es definix com l'extensió de la mida externa de Jordan a una successió contable de caixes $(B_i{)}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$,

$m^L(E)=\underset{E\subset \bigcup _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{B}_i}{\inf }\{\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}|B_i|\}$

Clarament, $m^L(E)\le m^J(E)$, puix sempre podrem generar l'unió de caixes finitas que implica Jordan usant un número infinit de caixes de volum zero segons Lebesgue. Pero al mateix temps, $m^L(E)$ pot ser molt menor, i pot ser aplicat a un número molt manco restrictiu de conjunts E.

La mida interna de Lebesgue es demostra menys útil: un no gana major poder de mida en estendre la mida interna de Jordan a l'unió contable d'un número infinit de caixes. Pero sí ho guanya definint-la en base en complements. Aixina, la mida interna de Lebesgue es definix com

$m_L(E)=m(A)-m^L(A/E)$

a on A és tot conjunt elemental que continga a I. Per tant, la mida externa de Lebesgue sembla bastar per a establir una mida.

En tot, un conjunt $E\subset {ℝ}^n$ es diu mesurable segons Lebesgue si para tot $ϵ>0$ existix un conjunt obert $U\subset {ℝ}^n$ en $E\subset U$ tal que $m^L(U/E)\le ϵ$. Si I és mesurable segons Lebesgue, llavors $m^L(E)\equiv m(E)$ és la mida de Lebesgue de E.

Relació en la mida elemental

Si I és un conjunt elemental, llavors la mida (exterior) de Lebesgue de I, $m^L(E)$ és igual a la mida elemental de dit conjunt, açò és:

$m(E)=m^L(E)$

Si I és un conjunt mesurable qualsevol, llavors en general

$m(E)\le m^L(E)$

Relació en la mida de Jordan

La mida de Lebesgue de tot conjunt mesurable segons Jordan és igual a la mida de Jordan de dit conjunt. Açò és

$m_J(E)=m^L(E)$

Si I és un conjunt mesurable qualsevol, llavors en general

$m^L(E)\le m^J(E)$

Per tant, se seguix que la mida de Lebesgue està acotada per les mides interna i externa de Jordan:

$m_J(E)\le m^L(E)\le m^J(E)$

Propietats dels conjunts mesurables segons Lebesgue

Un conjunt mesurable segons Lebesgue té associat al mateix una mida de Lebesgue. Pero és possible, a lo manco en principi, tractar d'associar una mida de Lebesgue a conjunts que no són mesurables segons Lebesgue. Açò sol dur a contradiccions o ambigüitats. En tot cas, és necessari distinguir entre les propietats associades als conjunts que són mesurables segons Lebesgue, i les propietats mateixes de la mida de Lebesgue. A continuació, detallem les propietats dels conjunts mesurables segons Lebesgue.

Regularitat exterior

Siga $E\subset {ℝ}^n$ un conjunt qualsevol, i siga O un conjunt obert tal que $E\subset U$. Llavors

$m^L(E)=\underset{E\subset U}{\inf }\{m^L(U)\}$

El revers, açò és, $m^L(U)=\underset{E\subset U}{\inf }\{m^L(E)\}$, és fals.

Existència dels conjunts mesurables segons Lebesgue

Els conjunts mesurables segons Lebesgue són molts. En concret, es pot demostrar que:

Tot conjunt obert és mesurable segons Lebesgue.

Tot conjunt tancat és mesurable segons Lebesgue.

Tot conjunt la mida del qual de Lebesgue és nula és mesurable.

El conjunt buit $\mathrm{\varnothing }$ és mesurable.

Si $E\subset {ℝ}^n$ és mesurable segons Lebesgue, llavors el seu complementari ${ℝ}^n\setminus E$ és mesurable segons Lebesgue.

Si I₁, I₂, I₃, ... és una successió contable de conjunts mesurables segons Lebesgue, la seua unió serà també mesurable segons Lebesgue.

Si I₁, I₂, I₃, ... és una successió contable de conjunts mesurables segons Lebesgue, la seua intersecció serà també mesurable segons Lebesgue.

Vore també

• Estadística
• Integració de Lebesgue
• Mida de Lebesgue
• Espai funcional

Referències

Bibliografia

• Thierry Gallouët, Raphaèle Herbin : Mesure, intégration, probabilités, Ellipses, 2013.
• Th. Hawkins, The Lebesgue's Theory of Integration, Madison, 1970.
• A. Michel, Constitution de la théorie moderne de l'intégration, París, 1992.
• Jean-Pascal Ansel, Yves Ducel, Exercices corrigés en théorie de la mesure et de l'intégration, Ellipses 1995, ISBN 2-7298-9550-7.