Mida (matemàtiques)

Archiu:Measure illustration (Vector).svg

Mida (matemàtiques)

En matemàtiques, el concepte de mida és la generalisació i formalisació de les mides geomètriques i atres nocions com la provabilitat dels successos aleatoris. La mida és un concepte fonamental en teoria de la mida i teoria de la provabilitat.

Definició

La terna $(\Omega ,𝒜,\mu )$ es denomina espai de mida.

Eixemples

• Medida contadora: la terna $(\Omega ,𝒫(\Omega ),\mu )$ és un espai de mida, a on:

  $\mu (A)=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\#}A& \text{si }A\ne \mathrm{\varnothing }\\ 0& \text{si }A=\mathrm{\varnothing }\end{array},\mathrm{\forall }A\subseteq \Omega$.

  a on $\mathrm{\#}A$ denota el número d'elements de $A$.

• Mida de Dirac: fixat un element $\omega \in \Omega$ la terna $(\Omega ,𝒫(\Omega ),{\delta }_{\omega })$ és un espai de mida, a on:

  ${\delta }_{\omega }(A)=\{\begin{array}{cc}1& \text{si }\omega \in A\\ 0& \text{si }\omega \notin A\end{array},\mathrm{\forall }A\subseteq \Omega$.

• Mida de Lebesgue: definida en $({ℝ}^n,ℳ)$, (a on $ℳ$ és la $\sigma$-àlgebra de Lebesgue), és l'única mida invariante per translacions que estén la noció de llongitut dels intervals en $ℝ$.

Vore també

• σ-àlgebra.
• Espai mesurable.
• Espai de mida.
• Teoria de la mida.

Referències

Bibliografia

• Thierry Gallouët, Raphaèle Herbin : Mesure, intégration, probabilités, Ellipses, 2013.
• Th. Hawkins, The Lebesgue's Theory of Integration, Madison, 1970.
• A. Michel, Constitution de la théorie moderne de l'intégration, París, 1992.
• Jean-Pascal Ansel, Yves Ducel, Exercices corrigés en théorie de la mesure et de l'intégration, Ellipses 1995, ISBN 2-7298-9550-7.