Teoria de la provabilitat

La teoria de la provabilitat és una branca de les matemàtiques que estudia els fenomens aleatoris i estocàstics. Els fenomens aleatoris es contraponen als fenomens determinista, els quals són resultats únics i/o previsibles d'experiments realisats baix les mateixes condicions determinades, per eixemple, si es calfa aigua a 100 °C a nivell de la mar s'obtindrà vapor. Els fenomens aleatoris, pel contrari, són aquells que s'obtenen d'experiments realisats, una atra volta, baixe les mateixes condicions determinades pero com a resultat possible posseïxen un conjunt d'alternatives, per eixemple, el llançament d'un dau o d'una moneda.

La teoria de provabilitats s'ocupa d'assignar un cert número a cada possible resultat que puga ocórrer en un experiment aleatori, en la finalitat de quantificar dits resultats i saber si un succés és més provable que un atre.

Molts fenomens naturals són aleatoris, pero existixen alguns com el llançament d'un dau, a on el fenomen no es repetix en les mateixes condicions, degut a que les característiques del material fa que no existixca una simetria del mateix, aixina les repeticions no garantisen una provabilitat definida. En els processos reals que es modelizan per mig de distribucions de provabilitat corresponen a models complexos a on no es coneixen a priori tots els paràmetros que intervenen; esta és una de les raons per les quals la estadística, que busca determinar estos paràmetros, no es reduïx immediatament a la teoria de la provabilitat en sí.

En 1933, el matemàtic soviètic Andréi Kolmogórov va propondre un sistema de #axioma per a la teoria de la provabilitat, basat en la teoria de conjunts i en la teoria de la mida, desenrollada pocs anys abans per Lebesgue, Borel i Frechet entre uns atres.

Esta aproximació axiomàtica que generalisa el marc clàssic de la provabilitat, la qual obedix a la regla de càlcul de casos favorables sobre casos possibles, va permetre la rigorización de molts arguments ya utilisats, aixina com l'estudi de problemes fòra dels marcs clàssics. Actualment, la teoria de la provabilitat troba aplicació en les més variades branques del coneiximent, com pot ser la física (a on correspon mencionar el desenroll de les #difusió i el moviment Browniano), o la economia (a on destaca el model de Black-Scholes per a la valoració d'actius financers).

Com a fonament matemàtic de la estadística, la teoria de la provabilitat és essencial per a moltes activitats humanes que impliquen l'anàlisis quantitatiu de senyes. Els métodos de la teoria de la provabilitat també s'apliquen a les descripcions de sistemes complexos dau només un coneiximent parcial del seu estat, com en la mecànica estadística o la estimació seqüencial. Un gran descobriment de la física de el XX va ser la naturalea provabilística dels fenomens físics a escales atòmiques, descrita en la mecànica quàntica.

Definició de provabilitat

Història

Inicialment, la teoria de la provabilitat considerava principalment successos discrets, i els seus métodos eren principalment combinatòria. En el temps, les consideracions del analític varen obligar a incorporar variables contínues a la teoria.

Açò va culminar en la moderna teoria de la provabilitat, sobre les bases assentades per Andrey Nikolaevich Kolmogorov. Kolmogorov va combinar la noció d'espai mostral, introduïda per Richard von Mises, i la teoria de la mida i va presentar el seu sistema de #axioma de Kolmogorov per a la teoria de la provabilitat en 1933. Açò es va convertir en la major part indiscutible base axiomàtica per a la teoria moderna de la provabilitat; pero, existixen alternatives, com l'adopció de aditividad finita en lloc de contable per Bruno de Finetti. La teoria de la provabilitat es va desenrollar originalment a partir de certs problemes plantejats en el context de jocs d'encert. Inicialment, no existia una teoria axiomàtica ben definida i les definicions inicials de provabilitat es varen basar en l'idea intuïtiva d'un cocient d'ocurrències:

a on A és un succés qualsevol i:

$N$ és el número de voltes que s'ha repetit una acció o observació el resultat de la qual pot donar el succés A o no-A.

$n_A,$ és el número de voltes que observa A en totes les observacions.

Este tipo de definicions si be varen permetre desenrollar un gran número de propietats, no permetien deduir totes les teoremes i resultats importants que hui formen part de la teoria de la provabilitat. De fet el resultat anterior es pot demostrar rigorosament dins de l'enfocament axiomàtic de la teoria de la provabilitat, baixe certes condicions.

La moderna teoria matemàtica de la provabilitat té les seues raïls en els intents d'analisar jocs d'encert per Gerolamo Cardano en el XVI, i per Pierre de Fermat i Blaise Pascal en el XVII (per eixemple el "problema dels punts"). Christiaan Huygens va publicar un llibre sobre el tema en 1657. En el XIX, #lo que es considera la definició clàssica de provabilitat va ser completada per Pierre Laplace.

La primera axiomatización completa es va deure a Andréi Kolmogórov (qui va usar dit enfocament per eixemple per a deduir el seu "llei 0-1 per a successos coa" i atres resultats relacionats en la convergència de successions aleatòries). La definició axiomàtica de la provabilitat es basa en resultats de la teoria de la mida i en #formalisació de l'idea d'independència provabilística. En este enfocament es partix d'un espai de mida normalisada $(\Omega ,ℳ,{\mu }_P)$ a on $\Omega$ és un conjunt cridat espai de successos (segons el tipo de problema pot ser un conjunt finito, numerable o no-numerable), $ℳ\subset 𝒫(\Omega )$ és una σ-àlgebra de subconjunts de $\Omega$ i ${\mu }_P:ℳ\to ℝ$ és una mida normalisada (és dir, ${\mu }_P(\Omega )=1$). Els successos possibles es consideren com a subconjunts S d'events elementals possibles: $S\in ℳ,S\subset \Omega$ i la provabilitat de cada succés ve donada per la mida de dit conjunt:

L'interpretació d'esta provabilitat és la freqüència promig en la que apareix dit succés si es considera una elecció de mostres aleatòries sobre $\Omega$.

La definició anterior és complicada de representar matemàticament ya que $\Omega$ deguera ser infinit. Una atra manera de definir la provabilitat és de forma axiomàtica açò establint les relacions o propietats que existixen entre els conceptes i operacions que la componen.

Definició clàssica de provabilitat

La provabilitat és la característica d'un event, que fa que existixquen raons per a creure que este es realisarà.

La provabilitat p de que succeïxca un event S d'un total de n casos possibles igualment provables és igual a la raó entre el número d'ocurrències h de dit event (casos favorables) i el número total de casos possibles n.

La provabilitat és un número (valor) que varia entre 0 i 1. Quan l'event és impossible es diu que la seua provabilitat és 0, si l'event és cert i sempre té que ocórrer la seua provabilitat és 1.

La provabilitat de no ocurrència d'un event està donada per q, a on:

Sabem que p és la provabilitat de que ocórrega un event i q és la provabilitat de que no ocórrega, llavors p + q = 1

Simbòlicament l'espai de resultats, que normalment es denota per $\Omega$, és l'espai que consistix en tots els resultats que són possibles. Els resultats, que es denota per ${\omega }_1,{\omega }_2$, etcétera, són elements de l'espai $\Omega$.

Definició axiomàtica

Artícul principal → #Axioma de provabilitat.

Com s'ha alvançat anteriorment la definició axiomàtica de provabilitat és una extensió de la teoria de la mida, en la que s'introduïxen la noció d'independència relativa. Este enfocament permet reproduir els resultats de la teoria clàssica de la provabilitat ademés de resultats nous referits a la convergència de variables aleatòries. Ademés dels processos estocàstics, el càlcul de Itô i les equacions diferencials estocàstiques.

Dins de l'enfocament axiomàtic és possible demostrar que la llei dèbil dels grans números implica que es complirà que:

Açò permet justificar rigorosament l'equació (1) suponent que:

A on s'interpreta $X_i=1$ en provabilitat p i que $X_i=0$ en provabilitat 1-p.

Definició moderna

Comença en un conjunt infinit o contable cridat espai mostral, que es relaciona en el conjunt de tots els resultats possibles en sentit clàssic, denotat per $\Omega$. Se supon llavors que per a cada element $x\in \Omega ,$, s'adjunta un valor intrínsec de "provabilitat" $f(x)$, que satisfà les següents propietats:

1. $f(x)\in [0,1]\text{ para todo }x\in \Omega ;$
2. $\sum _{x\in \Omega }f(x)=1.$

És dir, la funció de provabilitat f(x) està entre zero i un per a cada valor de x en l'espai mostral Ω, i la suma de f(x) sobre tots els valores x en l'espai mostral Ω és igual a 1. Un event es definix com qualsevol subconjunt $E$ de l'espai mostral $\Omega$. La provabilitat del succés $E$ es definix com

$P(E)=\sum _{x\in E}f(x).$

Aixina, la provabilitat de tot l'espai mostral és 1, i la provabilitat del succés nul és 0.

La funció $f(x)$ que assigna un punt de l'espai mostral al valor de "provabilitat" es denomina «funció de massa de provabilitat,» abreviada com «pmf». La definició moderna no intenta respondre cóm s'obtenen les funcions de massa de provabilitat; en el seu lloc, construïx una teoria que assumix la seua existència.

Tractament

La majoria de les introduccions a la teoria de la provabilitat tracten per separat les distribucions de provabilitat discretes i les distribucions de provabilitat contínues. El tractament de la provabilitat basat en la teoria de mides comprén les discretes, les contínues, una mescla d'abdós i més.

Motivació

Considerem un experiment que pot produir una série de resultats. El conjunt de tots els resultats es denomina espai mostral de l'experiment. El conjunt de potències de l'espai mostral (o equivalentemente, l'espai de successos) es forma considerant totes les coleccions diferents de resultats possibles. Per eixemple, llançar un dau honest produïx un de sis resultats possibles. Una colecció de resultats possibles correspon a obtindre un número impar. Aixina, el subconjunt {1,3,5} és un element del conjunt de potències de l'espai mostral de les tirades de daus. Estes coleccions es denominen successos. En este cas, {1,3,5} és el succés de que el dau caiga en algun número impar. Si els resultats que realment ocorren cauen en un event donat, es diu que eixe event ha ocorregut.

La provabilitat és una forma d'assignar a cada "succés" un valor entre zero i un, en el requisit de que al succés format per tots els resultats possibles (en el nostre eixemple, el succés {1,2,3,4,5,6}) se li assigne un valor d'un. Per a calificar com una distribució de provabilitat, l'assignació de valors deu satisfer el requisit de que si s'observa una colecció de successos mútuament excloents (successos que no contenen resultats comuns, per eixemple, els successos {1,6}, {3} i {2,4} són tots mútuament excloents), la provabilitat de que ocórrega qualsevol d'estos successos ve donada per la suma de les provabilitats dels successos.

La provabilitat de que ocórrega qualsevol dels successos {1,6}, {3}, o {2,4} és de 5/6. Açò és lo mateix que dir que la provabilitat del succés {1,2,3,4,6} és 5/6. Este succés comprén la possibilitat de que ixca qualsevol número llevat cinc. El succés mútuament excloent {5} té una provabilitat d'1/6, i el succés {1,2,3,4,5,6} té una provabilitat d'1, és dir, certea absoluta.

Quan es fan càlculs utilisant els resultats d'un experiment, és necessari que tots eixos successos elementalss tinguen un número assignat. Per a això s'utilisa una variable aleatòria. Una variable aleatòria és una funció que assigna a cada succés elemental de l'espai mostral un número real. Esta funció sol denotar-se en una lletra mayúscula. En el cas d'un dau, l'assignació d'un número a certs successos elementals pot fer-se utilisant la funció d'identitat. Açò no sempre funciona. Per eixemple, al tirar una moneda els dos resultats possibles són "cara" i "creu". En este eixemple, la variable aleatòria X podria assignar al resultat "cara" el número "0" ($X(cara)=0$) i al resultat "creu" el número "1" ($X(cruz)=1$).

Distribucions de provabilitat discretes

Teoria de la provabilitat discreta tracta de successos que ocorren en espais mostrals contables.

Eixemples: Llançament de daus, experiments en malls de cartes, passejada aleatòria i llançament de monedes.

Definició clàssica: Inicialment la provabilitat de que ocórrega un succés es definia com el número de casos favorables per al succés, sobre el número de resultats totals possibles en un espai mostral equiprobable.

Per eixemple, si el succés és "aparició d'un número par en llançar un dau", la provabilitat ve donada per $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$, ya que 3 cares de les 6 tenen número par i cada cara té la mateixa provabilitat d'aparéixer.

Variables aleatòries

Una variable aleatòria és una funció mesurable

que dona un valor numèric a cada succés elemental $\omega \in \Omega$.

Provabilitat discreta

Este tipo de provabilitat, és aquell que pot prendre solament certs valors diferents que són el resultat del conte d'alguna característica d'interés. Més exactament, un problema de provabilitat discreta és un problema definit per un conjunt de variables aleatòries que solament poden prendre un conjunt finito o infinit numerable de valors diferents:

a on:

$\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{d}[\cdot ]$ designa el cardinal o "número d'elements" d'un conjunt.

$X(\Omega )=\{x\in ℝ|\mathrm{\exists }\omega \in \Omega :x=X(\omega )\}$, és el conjunt de tots els possibles valors que pren la variable aleatòria.

Provabilitat contínua

Un problema de provabilitat contínua és un en el que apareixen variables aleatòries capaces de prendre valors en algun interval d'número real (i per tant assumir un conjunt no numerable de valors), per #lo que continuant en la notació anterior:

Funció de distribució de provabilitat

AP La distribució de provabilitat es pot definir per a qualsevol variable aleatòria X, ya siga de tipo continu o discret, per mig de la següent relació:

Per a una variable aleatòria discreta esta funció no és contínua sino constant a trams (sent contínua per la dreta pero no per l'esquerra). Per a una variable aleatòria general la funció de distribució pot descompondre's en una part contínua i una part discreta:

A on $F_X^c(x)$ és una funció absolutament contínua i $F_X^d(x)$ és una funció constant a trams.

Funció de densitat de provabilitat

Artícul principal → Funció de densitat.

La funció de densitat, o densitat de provabilitat d'una variable aleatòria absolutament contínua, és una funció a partir de la qual s'obté la provabilitat de cada valor que pren la variable definida com:

És dir, la seua integral en el cas de variables aleatòries contínues és la distribució de provabilitat. En el cas de variables aleatòries discretes la distribució de provabilitat s'obté a través del sumatorio de la funció de densitat. La noció pot generalisar-se a vàries variables aleatòries.

Teoria de la provabilitat

La teoria de la provabilitat moderna inclou temes de les següents àrees:

• σ-àlgebras, teoria de la mida, medida producte i funcions mesurables
• Variables aleatòries i funciones de distribució
• Convergència de funcions mesurables i convergència dèbil.
• Independència provabilística
• Provabilitat condicionada
• Martingalas i temps de parada
• Lleis dels grans números
• Funcions característiques
• Teorema central del llímit i teorema del valor extrem
• Processos estocàstics

Vejau també

• Distribució de provabilitat
• Epistemologia bayesiana
• Estadística
• Interpretacions de les provabilitats

Bibliografia

• P. Ibarrola, L. Pardo i V. Quesada (1997): Teoria de la Provabilitat, Ed. #Síntesis, ISBN 84-7738-516-5.
• Spiegel, Murray. 1970. Estadística, McGraw-Hill, Mèxic.
• Olav Kallenberg, Probabilistic Symmetries and Invariance Principles. Springer-Verlag, New York (2005). 510 pp. ISBN 0-387-25115-4
• Kallenberg, O., Foundations of Modern Probability, 2nd ed. Springer Séries in Statistics. (2002). 650 pp. ISBN 0-387-95313-2

Enllaços externs

Commons

• Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre Teoria de la provabilitat.