Variable aleatòria

Archiu:Random Variable as a Function-en.svg

Variable aleatòria

En provabilitat i estadística, una variable aleatòria és una funció que assigna un valor numèric a cada resultat d'un experiment aleatori. Formalment, es tracta d'una funció definida sobre un espai de provabilitat, els valors de la qual es troben en un conjunt mesurable, usualment un subconjunt dels número real.

Per eixemple, si es llança un dau dos voltes, una variable aleatòria podria assignar a cada resultat de l'experiment (com (2, 5) o (3, 3)) la suma d'abdós valors. Un atre eixemple és la temperatura màxima registrada en una ciutat durant un dia, la qual pot modelar-se com una variable aleatòria contínua.

Les variables aleatòries s'utilisen per a modelar fenomens incerts, ya siga perque l'experiment encara no ha ocorregut o perque la medició és incompleta o subjecta a error. El seu comportament provabilístic es descriu per mig d'una distribució de provabilitat, que assigna una provabilitat a cada possible valor o interval de valors.

Encara que freqüentment prenen valors reals, també existixen variables aleatòries que poden assumir valors llògics, funcions o atres elements pertanyents a un espai mesurable. En contexts més generals, s'utilisa el terme element aleatori per a descriure este tipo d'objectes.

Un concepte estretament relacionat és el de procés estocàstic, que consistix en una família de variables aleatòries indexades, comunament respecte al temps, i que modela l'evolució d'un sistema aleatori a lo llarc de dit paràmetro.

Definició

Concepte intuïtiu

Una variable aleatòria pot concebre's com un valor numèric que està afectat per l'encert. Donada una variable aleatòria no és possible conéixer en certea el valor que prendrà esta en ser medida o determinada, encara que sí es coneix que existix una distribució de provabilitat associada al conjunt de valors possibles. Per eixemple, en una epidèmia de còlera, se sap que una persona qualsevol pot emmalaltir o no (succés), pero no se sap quin dels dos successos va a ocórrer. Solament es pot dir que existix una provabilitat de que la persona emmalaltixca.

Per a treballar de manera sòlida en variables aleatòries en general és necessari considerar un gran número d'experiments aleatoris, per al seu tractament estadístic, quantificar els resultats de modo que s'assigne un número real a cada u dels resultats possibles de l'experiment. D'esta manera s'establix una relació funcional entre elements del espai mostral associat a l'experiment i número real.

Definició formal

Una variable aleatòria (v.a.) $X$ és una funció real definida en espai de provabilitat $(\Omega ,𝒜,P)$, associat a un experiment aleatori.

$X:\Omega \to ℝ$

La definició formal anterior involucra conceptes matemàtics procedents de la teoria de la mida, concretament la noció σ-àlgebra o la de mida de provabilitat. Donat un espai de provabilitat $(\Omega ,𝒜,P)$ i un espai mesurable $(S,\Sigma )$, una aplicació $X:(\Omega ,𝒜,P)\to (S,\Sigma )$ és una variable aleatòria si és una aplicació $𝒜,\Sigma$-mesurable. En l'us ordinari, els punts de $\omega \in \Omega$ no són directament observables, només el valor de la variable en el punt $X(\omega )$ per lo que l'element provabilístic residix en el desconeiximent que es té del punt concret $\omega$ .

En la majoria d'usos pràctics es té que l'espai mesurable d'arribada és $(S,\Sigma )=(ℝ,ℬ(ℝ))$, quedant puix la definició d'esta manera:

Ranc d'una variable aleatòria

Es diu ranc d'una variable aleatòria $X$ i ho denotarem $R_X$, a l'image o ranc de la funció $X$, és dir, al conjunt dels valors reals que esta pot prendre, segons l'aplicació $X$. Dit d'un atre modo, el ranc d'una v.a. és el recorregut de la funció per la que esta queda definida

$R_X=\{x\in ℝ|\mathrm{\exists }\omega \in \Omega :X(\omega )=x\}$

Eixemples

Eixemple 1

Supongam que es llancen dos monedes a l'aire. El espai mostral, açò és, el conjunt de resultats elementals possibles associat a l'experiment, és:

$\Omega =\left\{\text{cc,cx,xc,xx}\right\}$

a on (c representa "ix cara" i x, "ix creu"). Podem assignar llavors a cada succés elemental de l'experiment el número de cares obtingudes. D'esta manera es definiria la variable aleatòria $X$ com la funció

$X:\Omega \to ℝ$

donada per

$\text{cc}\to 2$

$\text{cx},\text{xc}\to 1$

$\text{xx}\to 0$

El recorregut o ranc d'esta funció, R_X, és el conjunt

$R_X=\{0,1,2\}$

Eixemple 2

El nivell $X$ de precipitació registrat un dia concret de l'any, en una ciutat per una estació meteorològica concreta. L'espai mostral que inclou tots els possibles resultats pot representar-se per l'interval $R_X(\Omega )=[0,\mathrm{\infty })$. En este cas l'espai mostral és més complicat perque inclouria especificar l'estat de l'atmòsfera complet (una aproximació seria descriure el conjunt de posicions i velocitats de totes les molècules de l'atmòsfera, que seria una cantitat d'informació monumental o usar un model més o menys complex en térmens de variables macroscòpiques, com els models meteorològics usats actualment).

Podem revisar la série històrica de precipitacions i aproximar la distribució de provabilitat $F_X(x)$ de X i construir una aproximació ${\overline{F}}_X(x)$. Note's que en este cas la distribució de provabilitat no és coneguda, només es coneix la distribució mostral (la série històrica) i es conjectura que la distribució real no s'allunta molt d'esta aproximació $F_X(x)\approx {\overline{F}}_X(x)$. Si la série històrica és suficientment llarga i representa un clima que no diferix significativament de l'actual estes dos últimes funcions diferiran molt poc.

Caracterisació de variables aleatòries

Tipos de variables aleatòries

Per a comprendre d'una manera més àmplia i rigorosa els tipos de variables, és necessari conéixer la definició de conjunt discret. Un conjunt és discret si està format per un número finito d'elements, o si els seus elements es poden enumerar en seqüència de modo que hi haja un primer element, un segon element, un tercer element, i aixina successivament (és dir, un conjunt infinit numerable sense punts d'acumulació). Per a variables en valors en $ℝ$ les variables aleatòries es classifiquen usualment en:

• Variable aleatòria discreta: una v.a. és discreta si el seu recorregut és un conjunt discret. La variable de l'eixemple anterior és discreta. Les seues provabilitats s'arrepleguen en la funció de quantia. (Vegen-se les distribucions de variable discreta).
• Variable aleatòria contínua: una v.a. és contínua si el seu recorregut és un conjunt no numerable. Intuitivamente açò significa que el conjunt de possibles valors de la variable comprén tot un interval d'número real. Per eixemple, la variable que assigna la estatura a una persona extreta d'una determinada població és una variable contínua ya que, teòricament, tot valor entre, posem per cas, 0 i 2,50 m, és possible. (Vegen-se les distribucions de variable contínua).

Les definicions anteriors poden generalisar-se fàcilment a variables aleatòries en valors sobre ${ℝ}^n$ o ${ℂ}^n$. Açò no agota el tipo de variables aleatòries ya que el valor d'una variable aleatòria pot ser també una partició, com succeïx en el procés estocàstic del restaurant chinenc o el conjunt de valors d'una variable aleatòria pot ser un conjunt de funcions com el procés estocàstic de Dirichlet.

Funció de distribució

Artícul principal → Distribució de provabilitat.

Siga $(\Omega ,𝒜,\mathrm{P})$ un espai de provabilitat i $X:\Omega \to ℝ$ una variable aleatòria, la funció de distribució de $X$, denotada per $F_X(x)$ o simplement per $F(x)$, és la funció $F_X:ℝ\to [0,1]$ definida per

$F_X(x)=\mathrm{P}[\{\omega \in \Omega :X(\omega )\le x\}]=\mathrm{P}[X\le x]$

que satisfà les següents tres condicions:

1. $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }F(x)=0$ i $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }F(x)=1$
2. És contínua per la dreta.
3. És monòtona no decreixent.

La distribució de provabilitat d'una v.a. descriu teòricament la forma en que varien els resultats d'un experiment aleatori. Intuitivamente es tractaria d'una llista dels resultats possibles d'un experiment en les provabilitatés que s'esperarien vore associades en cada resultat.

Funció de densitat

Artícul principal → Funció de densitat de provabilitat.

Siga $(\Omega ,𝒜,\mathrm{P})$ un espai de provabilitat i $X:\Omega \to ℝ$ una variable aleatòria, la funció de densitat de $X$ denotada típicament per $f_X(x)$ o simplement per $f(x)$, s'utilisa en el propòsit de conéixer cóm es distribuïxen les provabilitats d'un succés o event, en relació en el resultat del succés.

La funció de densitat és la derivada (ordinària o en el sentit de les distribucions) de la funció de distribució de provabilitat $F_X(x)$, o de manera inversa, la funció de distribució és la integral de la funció de densitat:

$F(x)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$

La funció de densitat d'una v.a. determina la concentració de provabilitat al voltant dels valors d'una variable aleatòria contínua.

Funcions de variables aleatòries

Siguen una variable aleatòria $X$ definida sobre $(\Omega ,𝒜,P)$ i $g:ℝ\to ℝ$ una funció mesurable de Borel, llavors $Y=g(X)$ serà també una variable aleatòria sobre $(\Omega ,𝒜,P)$ ya que la composició de funcions mesurables també és mesurable (no obstant, açò no és cert si $g$ és una funció mesurable de Lebesgue). El mateix procediment que permet anar d'un espai de provabilitat $(\Omega ,P)$ a $(ℝ,d{F}_X)$ pot ser utilisat per a obtindre la distribució de $Y$. La funció de distribució acumulada de $Y$ és

$F_Y(y)=\mathrm{P}[g(X)\le y].$

Si la funció $g$ és invertible, és dir $g^{-1}$ existix, i és monòtona creixent llavors l'anterior relació pot ser estesa per a obtindre

$F_Y(y)=\mathrm{P}[g(X)\le y]=\mathrm{P}[X\le g^{-1}(y)]=F_X(g^{-1}(y))$

i, treballant de nou baix les mateixes hipòtesis d'invertibilidad de g i assumint ademés diferenciabilidad, podem trobar la relació entre les funcions de densitat de provabilitat en diferenciar abdós térmens respecte de i, obtenint

$f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))\left|\frac{d{g}^{-1}(y)}{dy}\right|$.

Si $g$ és no invertible pero cada $y$ té un número finito de raïls, llavors la relació prèvia en la funció de densitat de provabilitat pot generalisar-se com

$f_Y(y)=\sum _i{f}_X(g_i^{-1}(y))\left|\frac{d{g}_i^{-1}(y)}{dy}\right|$

a on $x_i=g_i^{-1}(y)$. Les fòrmules de densitat no requerixen que $g$ siga creixent.

Eixemple 1

Siguen $X$ una variable aleatòria contínua i $Y=X^2$ llavors

$F_Y(y)=\mathrm{P}[Y\le y]=\mathrm{P}[X^2\le y]$

Si $y<0$ llavors $\mathrm{P}[X^2=y]=0$ per lo que

$F_Y(y)=0\text{si}y<0$

Si $y\ge 0$ llavors

$\mathrm{P}[X^2\le y]=\mathrm{P}[|X|\le \sqrt{y}]=\mathrm{P}[-\sqrt{y}\le X\le \sqrt{y}]$

per lo tant

$F_Y(y)=F_X(\sqrt{y})-F_X(-\sqrt{y})\text{si}y\ge 0$

Eixemple 2

Siga $X$ una variable aleatòria en funció de distribució acumulada

$F_X(x)=\mathrm{P}[X\le x]=\frac{1}{(1+e^{-x}{)}^{\theta }}$

a on $\theta >0$ és un paràmetro. Considere la variable aleatòria $Y=\ln (1+e^{-X})$ llavors

$F_Y(y)=\mathrm{P}[Y\le y]=\mathrm{P}[\ln (1+e^{-X})\le y]=\mathrm{P}[X\ge -\ln (e^y-1)]$

L'expressió anterior pot ser calculada en térmens de la funció de distribució acumulada de $X$ com

$\begin{array}{cc}{F}_Y(y)& =\mathrm{P}[X\ge -\ln (e^y-1)]\\ & =1-\mathrm{P}[X<-\ln (e^y-1)]\\ & =1-F_X(-\ln (e^y-1))\\ & =1-\frac{1}{(1+e^{\ln (e^y-1)}{)}^{\theta }}\\ & =1-e^{-\theta y}\end{array}$

que correspon a la funció de distribució acumulada de la distribució exponencial.

Eixemple 3

Suponga's que $X$ és una variable aleatòria en $X\sim 𝒩(0,1)$ per lo que la seua funció de densitat està donada per

$f_X(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2}$

Considere la variable aleatòria $Y=X^2$, podem la funció de densitat de $Y$ utilisant la fòrmula per al canvi de variable:

$f_Y(y)=\sum _i{f}_X(g_i^{-1}(y))\left|\frac{d{g}_i^{-1}(y)}{dy}\right|$

En este cas el canvi no és monótico puix cada valor de $Y$ té associat dos possibles valors de $X$ (un de positiu i un atre negatiu), no obstant, per simetria, abdós valors es transformaran de forma idèntica, açò és

$f_Y(y)=2f_X(g^{-1}(y))\left|\frac{d{g}^{-1}(y)}{dy}\right|$

La transformació inversa és

$x=g^{-1}(y)=\sqrt{y}$

la seua derivada és

$\frac{d{g}^{-1}(y)}{dy}=\frac{1}{2\sqrt{y}}$

llavors

$\begin{array}{cc}{f}_Y(y)& =2\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{y/2}\frac{1}{2\sqrt{y}}\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi y}}{e}^{-y/2}\end{array}$

que correspon a la funció de densitat de la distribució distribució χ² en un grau de llibertat.

Paràmetros relacionats en una variable aleatòria

Artícul principal → Paràmetro estadístic.

La funció de densitat o la distribució de provabilitat d'una variable aleatòria (v.a.) conté exhaustivament tota l'informació sobre la variable. No obstant, resulta convenient resumir les seues característiques principals en uns quants valors numèrics. Entre estos estan la esperança i la varianza (encara que per a caracterisar completament la distribució de provabilitat es necessiten paràmetros estadístics adicionals).

Esperança

Artícul principal → Esperança matemàtica.

La esperança matemàtica (o simplement esperança) o valor esperat d'una variable aleatòria és la suma del producte de la provabilitat de cada succés pel valor de dit succés. Si tots els successos són d'igual provabilitat llavors l'esperança és la mija aritmètica. Per a una variable aleatòria discreta en soport $x_1,x_2\dots x_n$ i si les seues provabilitats representades per la funció de provabilitat $p(x_i)$ l'esperança es calcula com:

$\mathrm{E}[X]=\sum _{i=1}^n{x}_{i}p(x_i)$

Per a una variable aleatòria contínua l'esperança es calcula per mig de l'integral de tots els valors i la funció de densitat $f(x)$:

$\mathrm{E}[X]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}xf(x)dx$

o

$\mathrm{E}[X]=\underset{\Omega }{\int }X\text{d}P$

L'esperança també se sol simbolisar en $\mu =\mathrm{E}[X]$

El concepte d'esperança s'associa comunament en els jocs d'encert al de benefici mig o benefici esperat a llarc determini.

Varianza

Artícul principal → Varianza.

La varianza és una mida de dispersió d'una variable aleatòria $X$ respecte a la seua esperança $\mathrm{E}[X]$. Es definix com la esperança de la transformació ${(X-𝔼[X])}^2$:

$\sigma =\sqrt{\text{Var}(X)}$

o be

${\sigma }^2=\text{Var}(X)$

Moments d'orde superior

AP Donada una distribució de provabilitat contínua el conjunt dels seus moments caracterisa completament la distribució. Dos d'estos moments ya han aparegut, el valor esperat coincidix en el moment de primer orde, mentres que la varianza pot expressar-se com una combinació del moment de segon orde i el quadrat del moment de primer orde. En general, el moment d'orde n d'una variable aleatòria real en densitat de provabilitat definida casi en tots els llocs es calcula com:

$M_X^{(n)}=\mathrm{E}[X^n]=\underset{ℝ}{\int }{x}^n{f}_X(x)dx$

Estos moments poden obtindre's a partir de les derivades n-ésimas de la funció característica ${\phi }_X(x)$ associada a la variable X:

$\frac{d{\phi }_X^{(n)}(0)}{d{x}^n}=i^n\mathrm{E}[X^n]$

o análogamente la funció generadora de moments:

$M_X^{(n)}(0)=\frac{d^n{M}_X(0)}{dx}$

Vejau també

• Distribució de provabilitat
• Distribució binomial
• Distribució normal
• Esperança matemàtica
• Informació de Fisher
• Varianza

Referències

Enllaços externs

Commons

• Wikimedia Commons alberga contingut multimèdia sobre Variable aleatòria.