Anar al contingut

Procés estocàstic

De L'Enciclopèdia, la wikipedia en valencià
Procés estocàstic
Vore també: Sistema estocàstic


En la teoria de la provabilitat, un procés estocàstic és un concepte matemàtic que servix per a representar magnituts aleatòries que varien en el temps o per a caracterisar una successió de variables aleatòries (estocàstiques) que evolucionen en funció d'una atra variable, generalment el temps.[1] Cada una de les variables aleatòries del procés té la seua pròpia funció de distribució de provabilitat i poden o no estar correlacionadas entre sí.

Cada variable o un grup de variables someses a influències o efectes aleatoris constituïx un procés estocàstic. Un procés estocàstic Xt pot entendre's com una família uniparamétrica de variables aleatòries indexades per mig del temps t. Els processos estocàstics permeten tractar processos dinàmics en els que hi ha certa aleatoriedad. Les aplicacions i l'estudi dels fenomens han inspirat a la seua volta la proposta de nous processos estocàstics.

Eixemples de tals processos estocàstics inclouen el procés de Wiener o procés de moviment browniano,Plantilla:Efn utilisat per Louis Bachelier per a estudiar els canvis de preus en la Bossa de París,[2] i el procés de Poisson, utilisat per A. K. Erlang per a estudiar el número de cridades telefòniques que es produïxen en un determinat periodo de temps.[3] Estos dos processos estocàstics es consideren els més importants i centrals en la teoria dels processos estocàstics,[4] i varen ser descoberts repetida i independentment, tant abans com despuix de Bachelier i Erlang, en diferents entorns i països.[2][5]


El terme funció aleatòria també s'utilisa per a referir-se a un procés estocàstic o aleatori,[6][7] perque un procés estocàstic també pot interpretar-se com un element aleatori en un espai funcional.[8][9] Els térmens processe estocàstic i procés aleatori s'utilisen indistintament, a sovint sense un espai matemàtic específic per al conjunt que indexa les variables aleatòries.[8][10] Pero a sovint estos dos térmens s'utilisen quan les variables aleatòries estan indexades pels sancers o un interval de la recta real.[10] Si les variables aleatòries estan indexades pel pla cartesiano o algun espai euclidiano de dimensions superiors, llavors la colecció de variables aleatòries sol cridar-se camp aleatori.[11] Els valors d'un procés estocàstic no són sempre números i poden ser vectores o atres objectes matemàtics.[9]


Basant-se en les seues propietats matemàtiques, els processos estocàstics poden agrupar-se en vàries categories, que inclou camí aleatori,[12] martingalas,[13] Cadena de Márkov,[14] Procés de Lévyés,[15] Procés gaussiano,[16] camps aleatoris,[17] procés de renovació, i procés de ramificació.[18] L'estudi dels processos estocàstics utilisa coneiximents matemàtics i tècniques de provabilitat, càlcul, àlgebra llineal, teoria de conjunts i topología[19][20][21] aixina com branques del anàlisis matemàtic com el anàlisis real, la teoria de mides, el anàlisis de Fourier i el anàlisis funcional.[22][23][24] La teoria dels processos estocàstics es considera una important contribució a les matemàtiques[25] i seguix sent un tema actiu d'investigació tant per raons teòriques com per les seues aplicacions.[26][27][28]

Noció de procés

[editar | editar còdic]
  1. ↑ (1 de giner de 2007) Introducció a les séries de temps. Métodos paramètrics, Universitat De Medellin. ISBN 9789589801079.
  2. ↑ 2,0 2,1 (2004) «Una breu història de l'integració estocàstica i les finances matemàtiques: the early years, 1880-1970», Un homenage a Herman Rubin, pp. 75-80. ISBN 978-0-940600-61-4.
  3. ↑ “Consell als erizos, o, Les constants poden variar” (2000). The Mathematical Gazette 84 (500): 197-210. ISSN 0025-5572.
  4. ↑ (2012) Processos puntuals aleatoris en el temps i l'espai, Springer Science & Business Mija, p. 32. ISBN 978-1-4612-3166-0.
  5. ↑ “¿Qué va passar en el caos discret, el procés de Quenouille i la propietat de Markov agut? Some History of Stochastic Point Processes” (2012). International Statistical Review 80 (2): 253-268. ISSN 0306-7734.
  6. ↑ (2010) Teoria dels processos estocàstics: With Applications to Financial Mathematics and Risk Theory, Springer Science & Business Mija, p. 21. ISBN 978-0-387-87862-1.
  7. ↑ Valeriy Skorokhod (2005). aneu=dQkYMjRK3fYC Principis bàsics i aplicacions de la teoria de la provabilitat, Springer Science & Business Mija, p. 42. ISBN 978-3-540-26312-8.
  8. ↑ 8,0 8,1 Olav Kallenberg (2002). aneu=L6fhXh13OyMC Fonaments de la provabilitat moderna, Springer Science & Business Mija, pp. 24-25. ISBN 978-0-387-95313-7.
  9. ↑ 9,0 9,1 John Lamperti (1977). google.com/books?aneu=Pd4cvgAACAAJ Processos estocàstics: un estudi de la teoria matemàtica, Springer-Verlag, pp. 1-2. ISBN 978-3-540-90275-1.
  10. ↑ 10,0 10,1 (2012) Eixercicis de provabilitat: A Guided Tour from Measure Theory to Random Processes, Via Conditioning, Cambridge University Press, p. 175. ISBN 978-1-107-60655-5.
  11. ↑ (2009) aneu=R5BGvQ3ejloC Campos aleatoris i geometria, Springer Science & Business Mija, pp. 7-8. ISBN 978-0-387-48116-6.
  12. ↑ (2010) Random Walk: A Modern Introduction, Cambridge University Press. ISBN 978-1-139-48876-1.
  13. ↑ David Williams (1991). google.com/books?aneu=i9saZ0YSi-AC Probability with Martingales, Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-40605-5.
  14. ↑ (2000) #Difusió, processos de Markov i Martingales: Volume 1, Foundations, Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-71749-7.
  15. ↑ David Applebaum (2004). aneu=q7eDUjdJxIkC Processos de Lévy i càlcul estocàstic, Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83263-2.
  16. ↑ Mikhail Lifshits (2012). aneu=03m2UxI-UYMC Lectures on Gaussian Processes, Springer Science & Business Mija. ISBN 978-3-642-24939-6.
  17. ↑ Robert J. Adler (2010). aneu=ryejJmJAj28C&pg=PA1 The Geometry of Random Fields, SIAM. ISBN 978-0-89871-693-1.
  18. ↑ (2012) aneu=dSDxjX9nmmMC A First Course in Stochastic Processes, Academic Press. ISBN 978-0-08-057041-9.
  19. ↑ Bruce Hajek (2015). google.com/books?aneu=Owy0BgAAQBAJ Processos aleatoris per a ingeniers, Cambridge University Press. ISBN 978-1-316-24124-0.
  20. ↑ (1999) Introducció als métodos analítics matriciales en la modelización estocàstica, SIAM. ISBN 978-0-89871-425-8.
  21. ↑ (2007) Introducció a la teoria dels processos puntuals: Volume II: General Theory and Structure, Springer Science & Business Mija. ISBN 978-0-387-21337-8.
  22. ↑ Patrick Billingsley (2008). com/books?aneu=QyXqOXyxEeIC Provabilitat i mida, Wiley Índia Pvt. Limited. ISBN 978-81-265-1771-8.
  23. ↑ Pierre Brémaud (2014). google.com/books?aneu=dP2JBAAAQBAJ&pg=PA1 Anàlisis de Fourier i processos estocàstics, Springer. ISBN 978-3-319-09590-5.
  24. ↑ Adam Bobrowski (2005). Anàlisis funcional de provabilitat i processos estocàstics: An Introduction, Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83166-6.
  25. ↑ “Processos de Lévy: De la provabilitat a les finances i els grups quàntics” (2004). Notices of the AMS 51 (11): 1336-1347.
  26. ↑ (2011) [https://books. google.com/books?aneu=CyK6KAjwdYkC Surveys in Stochastic Processes], European Mathematical Society. ISBN 978-3-03719-072-2.
  27. ↑ Michel Talagrand (2014). Llímits superiors i inferiors per a processos estocàstics: Modern Methods and Classical Problems, Springer Science & Business Mija, pp. 4-. ISBN 978-3-642-54075-2.
  28. ↑ Paul C. Bressloff (2014). Processos estocàstics en biologia celular, Springer, pp. vii-ix. ISBN 978-3-319-08488-6.

Molts camps utilisen observacions en funció del temps (o, més rarament, d'una variable espacial). En els casos més senzills, estes observacions donen lloc a una curva ben definida. En realitat, des de les ciències de la terra fins a les humanitats, les observacions solen produir-se de forma més o menys errática. Per lo tant, l'interpretació d'estes observacions està subjecta a una certa incertitut, que pot reflectir-se en l'us de provabilitats per a representar-les.

Un procés aleatori generalisa la noció de variable aleatòria utilisada en provabilitat. Es definix com una família de variables aleatòries X(t) associades a tots els valores t ∈ T (a sovint temps).

Des d'un punt de vista estadístic, considerem totes les observacions disponibles x(t) com una realisació del procés, #lo que dona lloc a certes dificultats. Un primer problema es referix al fet de que la duració sobre la que es construïx el procés és generalment infinita, mentres que una realisació comprén una duració finita. Per lo tant, és impossible representar la realitat a la perfecció. Una segona dificultat, molt més greu, és que, a diferència del problema de les variables aleatòries, l'informació disponible sobre un procés es reduïx generalment a una única realisació.

Tipos de processos

[editar | editar còdic]

Se sol distinguir entre processos de temps discret i continu, en valors discrets i continus.

Si el conjunt T és contable, es diu procés discret o série temporal, si el conjunt és incontable es diu procés continu. La diferència no és fonamental: en particular, la estacionariedad, la constància de les propietats estadístiques en funció del temps, es definix de la mateixa manera. Ni tan sols es tracta d'una diferència pràctica, ya que els càlculs sobre un procés continu es realisen per mig del mostreig d'una realisació del procés. La diferència està més be en l'actitut cap a l'us d'una única realisació.

Hi ha una diferència alguna cosa més marcada entre els processos de valor continu i els processos de reconte de valor discret. Estos últims substituïxen les integrals utilisades pels primers per sumes algebraiques.

Eixemples

[editar | editar còdic]

Els següents són eixemples dins de l'ampli grup de les séries temporals:

  • senyals de telecomunicació;
  • senyals biomèdiques (electrocardiograma, encefalograma, etc.);
  • senyales sísmiques;
  • el número de taques solars any rere any;
  • l'evolució en el temps de les variables macroeconòmiques d'un paıs;
  • l'evolució de la població d'un municipi any rere any;
  • el temps d'espera en la coa de cada u dels usuaris que van aplegant a una finestreta;
  • el clima, un jagantesc conjunt de processos estocàstics interrelacionados (velocitat del vent, humitat de l'aire, etcétera) que evolucionen en l'espai i en el temps;
  • els processos estocàstics d'orde major a un, com el cas d'una série de temps d'orde 2 i una correlació de zero en les demés observacions.

Casos especials

[editar | editar còdic]
  • Procés estacionario: Un procés és estacionario en sentit estricte si la funció de distribució conjunta de qualsevol subconjunt de variables és constant respecte a un desplaçament en el temps. Es diu que un procés és estacionario en sentit ampli (o débilmente estacionario) quan es verifica que:
  1. La mija teòrica és independent del temps, i
  2. Les autocovarianzas d'orde s solament vénen afectades pel lapsus de temps transcorregut entre els dos periodos i no depenen del temps.

Definició matemàtica

[editar | editar còdic]

Un procés estocàstic es pot definir equivalentemente de dos formes diferents:

  • Com un conjunt de realisacions temporals i un índex aleatori que selecciona una d'elles.
  • Com un conjunt de variables aleatòries Xt, indexades per un índex t,, ya que tinT,, en TsubseteqmathbbR,.

Un procés es diu «de temps continu» si T, és un interval (usualment este interval es pren com [0,infty)) o de "temps discret" si T, és un conjunt numerable (solament pot assumir determinats valors, usualment es pren TsubseteqmathbbN). Les variables aleatòries Xt, prenen valors en un conjunt que es denomina espai provabilístic. Siga (Omega,mathcalB,P) un espai provabilístic. En una mostra aleatòria de tamany n s'observa un succés compost I format per successos elementals omega:

El succés compost és un subconjunt contingut en el espai mostral i és un àlgebra de Borel B. A cada succés omega li correspon un valor d'una variable aleatòria V, de manera que V és funció de omega:

El domini d'esta funció o siga el camp de variabilitat del succés elemental, és l'espai mostral, i el seu recorregut, o siga el de la variable aleatòria, és el camp dels número real. Es diu procés aleatori al valor en (A,mathcalA) d'un element X=(Omega,mathcalB,(Xt)tge0,P), a on para tot tinmathbbR,Xt, és una variable aleatòria del valor en (A,mathcalA).

Si s'observa el succés omega en un moment t de temps:

V=V(omega,t),qquadomegainOmega,tinT,−infty<V<infty.


V definix aixina un procés estocàstic.[1]

Si (mathcalBt)t, és una filtració,[2] es diu procés aleatori adaptat, al valor en (A,mathcalA), d'un element X=(omega,mathcalB,mathcalBt,(Xt)t,P), a on Xt, és una variable aleatòria mathcalBt -mesurable del valor en (A,mathcalA). La funció mathbbRightarrowA:tmapstoXt(omega) es diu la trayectòria associada al succés omega,.

Vore també

[editar | editar còdic]

Plantilla:Div col

Referències

[editar | editar còdic]
  1. ↑ Dagum, Camilo i Estela M. Bee de Dagum(1971) Introducció a l'Econometria: 79-83. Mèxic: Sigle XXI editors, sèptima edició, 1980.
  2. ↑ Es diu "filtració" a una successió {B(t), t∈T} de sub-σ-#àlgebra tal que B(t) està inclosa en B(r) si r < t.


Referències

[editar | editar còdic]
Obtingut de «https://www.lenciclopedia.org/w/index.php?title=Procés_estocàstic&oldid=622209»