Distribució normal

Archiu:Normal Distribution PDF.svg

Distribució normal

Vore també: funció gaussiana

En estadística i provabilitat es diu distribució normal, distribució de Gauss, distribució gaussiana, distribució de Laplace-Gauss o normalitat estadística a una gràfica defunció de densitat en forma acampanada i simètrica respecte d'un determinat paràmetro estadístic. Esta curva es coneix com campana de Gauss i és el gràfic d'una funció gaussiana. La seua forma general és:

Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle f(x) = �rac{1}{sqrt{2pisigma^2}} i^{-�rac{(x-mu)^2}{2sigma^2}}}

L'importància d'esta distribució radica que permet modelar certs fenomens que es corresponen en variables aleatòries. Els mecanismes que subyacer a este tipo de fenomens depenen de variables la dispersió dels quals i mides, per la cantitat de factors incontrolables que en ells intervenen, deriven en una distribució de valors en un conjunt central més freqüent, i uns extrems menys habituals.

La distribució normal també és important per la seua relació en l'estimació per mínims quadrats, un dels métodos d'estimació més simples i antics.

La distribució normal també apareix en moltes àrees de la pròpia estadística. Per eixemple, la distribució mostral de les miges mostrals és aproximadament normal, encara quan la distribució de la població de la qual s'extrau la mostra no és normal, sempre que la mostra siga suficientment gran. Ademés, la distribució normal maximizar l'entropía entre totes les distribucions en mija i varianza conegudes, la qual cosa la convertix en l'elecció natural de la distribució subjacent a una llista de senyes resumides en térmens de mija mostral i varianza. La distribució normal és la més estesa en estadística i molts tests estadístics estan basats en una "normalitat" més o menys justificada de la variable aleatòria baix estudi.

No obstant, històricament les distribucions normals s'han generalisat de forma incorrecta en contexts a on no es complix el supòsit de normalitat (és dir, que les senyes subjacents no corresponen a variables que seguixen patrons aleatoris), com el Cocient intelectual, els Efectes del calfament global, o la Riquea en els que la distribució normal és un model de predicció deficient.

En provabilitat, la distribució normal apareix com el llímit de vàries distribucions de provabilitat contínues i discretes.

Història

La distribució normal va ser presentada per primera volta per Abraham de Moivre en un artícul de l'any 1733, que va ser reimpreso en la segona edició de la seua The Doctrine of Chances, de 1738, en el context de certa aproximació de la distribució binomial para grans valors de n. El seu resultat va ser ampliat per Laplace en el seu llibre Teoria analítica de les provabilitats (1812), i en l'actualitat es diu Teorema de De Moivre-Laplace.

Laplace va usar la distribució normal en l'anàlisis d'errors d'experiments. L'important método de mínims quadrats va ser introduït per Legendre en 1805. Gauss, que afirmava haver usat el método des de 1794, ho va justificar rigorosament en 1809 assumint una distribució normal dels errors. El nom de Gauss s'ha associat a esta distribució perque la va usar en profusió quan analisava senyes astronòmiques i alguns autors li atribuïxen un descobriment independent del de De Moivre. Esta atribució del nom de la distribució a una persona distinta del seu primer descobridor és un clar eixemple de la llei de Stigler.

El nom de "campana" ve d'Esprit Jouffret que va usar el terme "bell surface" (superfície campana) per primera volta en 1872 per a una distribució normal bivariante de components independents. El nom de "distribució normal" va ser otorgat independentment per Charres S. Peirce, Francis Galton i Wilhelm Lexis cap a 1875.^{cita requerida} A pesar d'esta terminologia, atres distribucions de provabilitat podrien ser més apropiades en determinats contexts; vejau la discussió sobre incidència, més avall.

Definició formal

La funció de distribució de la distribució normal està definida com seguix:

Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �egin{align} Phi_{mu,sigma^2}(x) &{}=int_{-infty}^x�arphi_{mu,sigma^2}(o),du &{}=�rac{1}{sigmasqrt{2pi}} int_{-infty}^x i^{-�rac{(o - mu)^2}{2sigma^2}}, du,quad xinmathbb{R}. end{align} }

a on:

• $mu$ és la mija (també pot ser la mijana, la moda o el valor esperat, segons aplique)
• $sigma$ és la desviació típica [estàndar és un anglicisme]
• $sigm{a}^2$és la varianza
• Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �arphi} representa la funció de densitat de provabilitat

També podem definir la distribució normal a través de la seua funció de densitat:

Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �egin{align} �arphi_{mu,sigma^2}(x) &{}=�rac{1}{sigmasqrt{2pi}} i^{-�rac{(x - mu)^2}{2sigma^2}},quad xinmathbb{R}. end{align} }

La funció de distribució normal estàndart és un cas especial de la funció a on $mu=0$ i $sigma=1$:

Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle Phi(x) = Phi_{0,1}(x) = �rac{1}{sqrt{2pi}} int_{-infty}^x i^{-�rac{o^2}{2}} , du, quad xinmathbb{R}. }

Esta funció de distribució pot expressar-se en térmens d'una funció especial cridada funció error de la següent forma:

Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle Phi(x) =�rac{1}{2} Bigl[ 1 + operatorname{erf} Bigl( �rac{x}{sqrt{2}} Bigr) Bigr], quad xinmathbb{R}, }

i la pròpia funció de distribució pot, per tant, expressar-se aixina:

Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle Phi_{mu,sigma^2}(x) =�rac{1}{2} Bigl[ 1 + operatorname{erf} Bigl( �rac{x-mu}{sigmasqrt{2}} Bigr) Bigr], quad xinmathbb{R}. }

El complement de la funció de distribució de la normal estàndart, $1-Phi(x)$, es denota en freqüència $Q(x)$, i és referida, a voltes, com simplement funció Q, especialment en texts d'ingenieria. Açò representa la coa de provabilitat de la distribució gaussiana. També s'usen ocasionalment atres definicions de la funció Q, les quals són totes elles transformacions simples de $Phi$.

L'inversa de la funció de distribució de la normal estàndar (funció cuantil) pot expressar-se en térmens de l'inversa de la funció d'error:

$Ph{i}^{-1}(p)=sqrt2;operatorname{erf}^{-1}(2p-1),quadpin(0,1),$

i l'inversa de la funció de distribució pot, per tant, expressar-se com:

$Ph{i}_{mu,sigm{a}^2}^{-1}(p)=mu+sigmaPh{i}^{-1}(p)=mu+sigmasqrt2;operatorname{erf}^{-1}(2p-1),quadpin(0,1).$

Esta funció cuantil es diu a voltes la funció probit. No hi ha una primitiva elemental per a la funció probit. Açò no vol dir merament que no es coneix, sino que s'ha provat l'inexistència de tal funció. Existixen varis métodos exactes per a aproximar la funció cuantil per mig de la distribució normal (vejau funció cuantil).

Els valors Φ(x) poden aproximar-se en molta precisió per distints métodos, tals com integració numèrica, séries de Taylor, séries asintòtiques i fraccions contínues.

Llímit inferior i superior estrictes per a la funció de distribució

Per a grans valors de x la funció de distribució de la normal estàndart $scriptstylePhi(x)$ és molt pròxima a 1 i $scriptstylePhi(-x),=,1,-,Phi(x)$ està molt prop de 0. Els llímits elementals

Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �rac{x}{1+x^2}�arphi(x)<1-Phi(x)<�rac{�arphi(x)}{x}, qquad x>0, }

en térmens de la densitat Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle scriptstyle�arphi} són útils.

Usant el canvie de variable v = o²/2, el llímit superior s'obté com seguix:

Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �egin{align} 1-Phi(x) &=int_x^infty�arphi(o),du &<int_x^infty�rac ux�arphi(o),du =int_{x^2/2}^infty�rac{i^{-v}}{xsqrt{2pi}},dv =-�iggl.�rac{i^{-v}}{xsqrt{2pi}}�iggr|_{x^2/2}^infty =�rac{�arphi(x)}{x}. end{align} }

De forma similar, usant Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle scriptstyle�arphi'(o),{=},-o,�arphi(o)} i la regla del cocient,

Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �egin{align} Bigl(1+�rac1{x^2}Bigr)(1-Phi(x))&=Bigl(1+�rac1{x^2}Bigr)int_x^infty�arphi(o),du &=int_x^infty Bigl(1+�rac1{x^2}Bigr)�arphi(o),du &>int_x^infty Bigl(1+�rac1{o^2}Bigr)�arphi(o),du =-�iggl.�rac{�arphi(o)}o�iggr|_x^infty =�rac{�arphi(x)}x. end{align} }

Resolent per a $scriptstyle1,-,Phi(x),$ proporciona el llímit inferior.

Funcions generatrices

Funció generatriz de moments

La funció generatriz de moments es definix com l'esperança de i^(tX). Per a una distribució normal, la funció generatriz de moments és:

Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle M_X(t) = mathrm{I} left[ i^{tX} ight] = int_{-infty}^{infty} �rac{1}{sigma sqrt{2pi} } i^{-�rac{(x - mu)^2}{2 sigma^2}} i^{tx} , dx = i^{mu t + �rac{sigma^2 t^2}{2}} }

com pot comprovar-se al completar el quadrat en l'exponent.

Funció característica

La funció característica es definix com l'esperança de i^itX, a on i és l'unitat imaginària. D'esta manera, la funció característica s'obté reemplaçant t per it en la funció generatriz de moments. Per a una distribució normal, la funció característica és

Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �egin{align} # Distribució de provabilitat en un entorn de la mija: ## en l'interval <math>[mu-sigma, mu+sigma]} es troba compresa, aproximadament, el 68,26 % de la distribució;

1. 1. en l'interval $[mu-2sigma,mu+2sigma]$ es troba, aproximadament, el 95,44 % de la distribució;
   2. per la seua banda, en l'interval $[mu-3sigma,mu+3sigma]$ es troba compresa, aproximadament, el 99,74 % de la distribució. Estes propietats són de gran utilitat per a l'establiment d'intervals de confiança. Per una atra part, el fet de que pràcticament la totalitat de la distribució es trobe a tres desviacions típiques de la mija justifica els llímits de les taules amprades habitualment en la normal estàndart.
2. Si $XsimmathcalN(mu,sigm{a}^2)$ i $a,binmathbbR$, llavors $aX+bsimmathcalN(amu+b,a^{2}sigm{a}^2)$.
3. Si $XsimmathcalN(m{u}_X,sigm{a}_X^2)$ i $IsimmathcalN(m{u}_I,sigm{a}_I^2)$ són variables aleatòries normals independents, llavors:
   • La seua suma està normalment distribuïda en $O=X+IsimmathcalN(m{u}_X+m{u}_I,sigm{a}_X^2+sigm{a}_I^2)$. Recíprocamente, si dos variables aleatòries independents tenen una suma normalment distribuïda, deuen ser normals (Teorema de Crámer).
   • La seua diferència està normalment distribuïda en $V=X-IsimmathcalN(m{u}_X-m{u}_I,sigm{a}_X^2+sigm{a}_I^2)$.
   • Si les varianza de X i I són iguals, llavors O i V són independents entre sí.
   • La divergència de Kullback-Leibler, Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle D { m KL}( X | I ) = { 1 over 2 } left( log left( { sigma^2_I over sigma^2_X } ight) + �rac{sigma^2_X}{sigma^2_I} + �rac{left(mu_I - mu_X ight)^2}{sigma^2_I} - 1 ight). }
4. Si $XsimmathcalN(0,sigm{a}_X^2)$ i $IsimmathcalN(0,sigm{a}_I^2)$ són variables aleatòries independents normalment distribuïdes, llavors:
   • El seu producte $XI$ seguix una distribució en densitat $p,$ donada per

     Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle p(z) = �rac{1}{pi,sigma_X,sigma_I} ; K_0left(�rac{|z|}{sigma_X,sigma_I} ight),} a on $K_0,$ és una funció de Bessel modificada de segon tipo.

   • El seu cocient seguix una distribució de Cauchy en $X/IsimmathrmCauchy(0,sigm{a}_X/sigm{a}_I),$. D'esta manera la distribució de Cauchy és un tipo especial de distribució cocient.
5. Si $X_1,dots,X_n$ són variables normals estàndart independents, llavors Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle X_1^2 + La distribució normal estàndart està tabulada (habitualment en la forma del valor de la funció de distribució Φ) i les atres distribucions normals poden obtindre's com a transformacions simples, com es descriu més dalt, de la distribució estàndar. D'esta manera es poden usar els valors tabulados de la funció de distribució normal estàndart per a trobar valors de la funció de distribució de qualsevol atra distribució normal. === Moments === Els primers [[Moment centrat|moments]] de la distribució normal són: {| class="wikitable" |- bgcolor="#CCCCCC" ! Número !! Moment !! Moment central !! Cumulante |- | 0 || 1 || 1 || |- | 1 || <math>mu} || 0 || $mu$

|- | 2 || $m{u}^2+sigm{a}^2$ || $sigm{a}^2$ || $sigm{a}^2$ |- | 3 || $m{u}^3+3musigm{a}^2$ || 0 || 0 |- | 4 || $m{u}^4+6m{u}^{2}sigm{a}^2+3sigm{a}^4$ || $3sigm{a}^4$ || 0 |- | 5 || $m{u}^5+10m{u}^{3}sigm{a}^2+15musigm{a}^4$ || 0 || 0 |- | 6 || $m{u}^6+15m{u}^{4}sigm{a}^2+45m{u}^{2}sigm{a}^4+15sigm{a}^6$ || $15sigm{a}^6$ || 0 |- | 7 || $m{u}^7+21m{u}^{5}sigm{a}^2+105m{u}^{3}sigm{a}^4+105musigm{a}^6$ || 0 || 0 |- | 8 || $m{u}^8+28m{u}^{6}sigm{a}^2+210m{u}^{4}sigm{a}^4+420m{u}^{2}sigm{a}^6+105sigm{a}^8$ || $105sigm{a}^8$ || 0 |}

Tots els cumulantes de la distribució normal, més allà del segon, són zero.

Fòrmules generals

Per a una variable centrada, $XsimmathcalN(0,sigm{a}^2)$ els moments d'orde superior vénen daus per

Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle I�ig[X^{n}�ig]= �egin{cases} 0, & ext{si } n ext{ és impar}, dfrac{(2k)!}{2^k k!}, sigma^{2k}, & ext{si } n=2k. end{cases} }

Si $XsimmathcalN(mu,sigm{a}^2)$ i designem per $m_n=I[X^n]$ el moment d'orde $n$, tenim Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle m_n=sigma^n n!sum_{j=0}^{lfloor n/2 floor}�rac{(mu/sigma)^{n-2j}}{2^j j! (n-2j)!} , } a on $lfloorrfloor$ és el màxim número entero no superior (o funció solc) a $r$.

En la mateixa notació també tenim la recurrencia $$m_{n+1}=mu,m_n+nsigm{a}^2{m}_{n-1},quadnge1.qquadqquad(*)$$Quan $sigma=1$, podem escriure l'expressió compacta Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle m_n= i^{-mu^2/2}, �rac{d^n i^{mu^2/2}}{dmu^n}, } a on $d^n(i^{m{u}^2/2})/dm{u}^n$ designa la derivada $n$-ésima de la funció $i^{m{u}^2/2}$ respecte la variable $mu$, en el conveni $d^0(i^{m{u}^2/2})/dm{u}^0=i^{m{u}^2/2}$. Esta fòrmula es demostra provant, per mig de la Regla de Leibniz, que la funció Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle P_n(mu) = i^{-mu^2/2}, �rac{d^n i^{mu^2/2}}{dmu^n} } complix la recurrencia (*), i $P_0(mu)=1$ i $P_1(mu)=mu$.

La Teorema del Llímit Central

Artícul principal → Teorema del llímit central.

El Teorema del llímit central establix que baix certes condicions (com poden ser independents i idénticamente distribuïdes en varianza finita), la suma d'un gran número de variables aleatòries es distribuïx aproximadament com una normal.

L'importància pràctica de la Teorema del llímit central és que la funció de distribució de la normal pot usar-se com a aproximació d'algunes atres funcions de distribució. Per eixemple:

• Una distribució binomial de paràmetros n i p és aproximadament normal per a grans valors de n, i p no massa propenc a 0 o a 1 (alguns llibres recomanen usar esta aproximació solament si np i n(1 − p) són abdós, a lo manco, 5; en este cas es deuria aplicar una correcció de continuïtat).
  La normal aproximada té paràmetros μ = np, σ² = np(1 − p).

• Una distribució de Poisson en paràmetro λ és aproximadament normal per a grans valors de λ.
  La distribució normal aproximada té paràmetros μ = σ² = λ.

L'exactitut d'estes aproximacions depén del propòsit per al que es necessiten i de la taxa de convergència a la distribució normal. Es dona el cas típic de que tals aproximacions són menys precises en les coes de la distribució. El Teorema de Berry-Esséen proporciona un llímit superior general de l'error d'aproximació de la funció de distribució.

Divisibilidad infinita

Artícul principal → Divisibilidad infinita (provabilitat).

Les normals tenen una distribució de provabilitat infinitament divisible: Per a una distribució normal X de mija μ i varianza σ² ≥ 0, és possible trobar n variables aleatòries independents {X₁,...,X_n} cada una en distribució normal de mija μ/n i varianza σ²/n ya que la suma X₁ +. . . + X_n d'estes n variables aleatòries

$X_1+X_2+dots+X_{n}simmathcalN(mu,sigm{a}^2),$

tinga esta específica distribució normal (per a verificar-ho, use's la funció característica de convolución i l'inducció matemàtica).

Estabilitat

Les distribucions normals són estrictament estables.

Desviació típica i intervals de confiança

Al voltant del 68 % dels valors d'una distribució normal estan a una distància σ < 1 (desviació típica) de la mija, μ; al voltant del 95 % dels valors estan a dos desviacions típiques de la mija i al voltant del 99,7 % estan a tres desviacions típiques de la mija. Açò es coneix com la "regla 68-95-99,7" o la "regla empírica".

Per a ser més precisos, l'àrea baix la curva campana entre μ − nσ i μ + nσ en térmens de la funció de distribució normal ve donada per

Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �egin{align}&Phi_{mu,sigma^2}(mu+nsigma)-Phi_{mu,sigma^2}(mu-nsigma) &=Phi(n)-Phi(-n)=2Phi(n)-1=mathrm{erf}�igl(n/sqrt{2},�igr),end{align}}

a on erf és la funció error. Els valors (en 12 decimals) per a n=1, 2,..., 6 són:

$n,$	Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle mathrm{erf}�igl(n/sqrt{2},�igr),}
1	0,682689492137
2	0,954499736104
3	0,997300203937
4	0,999936657516
5	0,999999426697
6	0,999999998027

La següent taula proporciona la relació inversa de múltiples σ corresponents a uns pocs valors usats en freqüència per a l'àrea baix la campana de Gauss. Estos valors són útils per a determinar intervals de confiança per als nivells especificats basats en una curva normalment distribuïda (o estimadorés asintóticamente normals):

Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle mathrm{erf}�igl(n/sqrt{2},�igr)}	$n,$
0,80	1,28155
0,90	1,64485
0,95	1,95996
0,98	2,32635
0,99	2,57583
0,995	2,80703
0,998	3,09023
0,999	3,29052
0,9999	3,8906
0,99999	4,4172

a on el valor a l'esquerra de la taula és la proporció de valors que cauran en l'interval donat i n és un múltiple de la desviació típica que determina l'esgambi de l'interval.

Forma família exponencial

La distribució normal té forma de família exponencial biparamétrica en dos paràmetros naturals, μ i 1/σ², i estadístics naturals X i X². La forma canònica té com a paràmetros $muoversigm{a}^2$ i $1oversigm{a}^2$ i estadístics suficients $sumx$ i $-1over2sum{x}^2.$

Distribució normal complexa

Considere's la variable aleatòria complexa gaussiana

$Z=X+iY,$

a on X i I són variables gaussianas reals i independents en igual varianza $sigm{a}_r^2$. La funció de distribució de la variable conjunta és llavors

Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �rac{1}{2,pi,sigma_r^2} i^{-(x^2+i^2)/(2 sigma_r ^2)}. }

Com $sigm{a}_Z=sqrt2sigm{a}_r$, la funció de distribució resultant per a la variable gaussiana complexa Z és

Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �rac{1}{pi,sigma_Z^2} i^{-|Z|^2!/sigma_Z^2}. }

Distribucions relacionades

• $RsimmathrmRayleigh(sigma),$ és una distribució de Rayleigh si $R=sqrt{X}^2+I^2$ a on $XsimN(0,sigm{a}^2),$ i $IsimN(0,sigm{a}^2),$ són dos distribucions normals independents.
• Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle I sim :<math> L(mu,sigma) = �rac C{sigma^n} expleft(-{sum_{i=1}^n (X_i-mu)^2 over 2sigma^2} ight), quadmuinmathbb{R}, sigma>0, }

en alguna constant C > 0 (de la qual, en general, es permetria inclús que depenguera de X₁,..., X_n, encara que desapareguera en les derivades parcials de la funció de log-verosimilitut respecte als paràmetros tinguts en conte, vejau més avall).

En el método de màxim verosimilitut, els valors de μ i σ que maximizar la funció de verosimilitut es prenen com a estimadors dels paràmetros poblacionals μ i σ.

Habitualment en la maximización d'una funció de dos variables, es podrien considerar derivades parcials. Pero ací s'explota el fet de que el valor de μ que maximizar la funció de verosimilitut en σ fix no depén de σ. No obstant, trobem que eixe valor de μ, llavors se substituïx per μ en la funció de verosimilitut i finalment trobem el valor de σ que maximizar l'expressió resultant.

És evident que la funció de verosimilitut és una funció decreixent de la suma

$su{m}_{i=1}^n(X_i-mu{)}^2.,!$

Aixina que es desija el valor de μ que minimisa esta suma. Siga

$overline{X}_n=(X_1+L^{\prime }estimador<math>overlineX$ de màxim verosimilitut de la mija poblacional μ, és un estimador insesgado de la mija poblacional.

L'estimador de màxim verosimilitut de la varianza és insesgado si assumim que la mija de la població és coneguda a priori, pero en la pràctica açò no ocorre. Quan disponem d'una mostra i no sabem res de la mija o la varianza de la població de la que s'ha extret, com s'assumia en la derivada de màxim verosimilitut de dalt, llavors l'estimador de màxim verosimilitut de la varianza és biaixat. Un estimador insesgado de la varianza σ² és la cuasi varianza mostral:

Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle S^2 = �rac{1}{n-1} sum_{i=1}^n (X_i - overline{X})^2. }

que seguix una distribució Gamma quan les X_i són normals independents i idénticamente distribuïdes:

Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle S^2 sim operatorname{Gamma}left(�rac{n-1}{2},�rac{2 sigma^2}{n-1} ight), }

en mija $operatornameI(S^2)=sigm{a}^2$ i varianza $operatornameVar(S^2)=2sigm{a}^4/(n-1).$

L'estimació de màxim verosimilitut de la desviació típica és la raïl quadrada de l'estimació de màxim verosimilitut de la varianza. No obstant, ni esta, ni la raïl quadrada de la cuasivarianza mostral proporcionen un estimador insesgado per a la desviació típica (vejau estimació insesgada de la desviació típica per a una fòrmula particular per a la distribució normal).

Incidència

Les distribucions aproximadament normals apareixen per doquier, com queda explicat pel teorema central del llímit. Quan en un fenomen se sospita la presència d'un gran número de menudes causes actuant de forma aditiva i independent és raonable pensar que les observacions seran "normals". Hi ha métodos estadístics per a provar empíricamente esta assunció, per eixemple, el test de D'Agostino-Pearson. El test de Kolmogorov-Smirnov, abans àmpliament usat, ara sembla estar desaconsellat.

Hi ha causes que poden actuar de forma multiplicativa (més que aditiva). En este cas, l'assunció de normalitat no està justificada i és el logaritmo de la variable en qüestió el que estaria normalment distribuït. La distribució de les variables directament observades en este cas es denomina log-normal.

Finalment, si hi ha una simple influència externa que té un gran efecte en la variable en consideració, l'assunció de normalitat no està tampoc justificada. Açò és cert inclús si, quan la variable externa es manté constant, les distribucions marginals resultants són, en efecte, normals. La distribució completa serà una superposició de variables normals, que no és en general normal. Això està relacionat en la teoria d'errors (vejau més avall).

A continuació es mostren una llista de situacions que estarien, aproximadament, normalment distribuïdes. Més avall pot trobar-se una discussió detallada de cada una d'elles:

• En problemes de reconte, a on la teorema central del llímit inclou una aproximació de discreta a contínua i a on les distribucions infinitament divisibles i descomponibles estan involucrades, tals com:
  • variables aleatòries binomiales, associades en preguntes sí/no;
  • variables aleatòries de Poisson, associades en events rars;
• En mides fisiològiques de #espècimen biològics:
  • El logaritmo de les mides del tamany de teixits vius (llongitut, altura, superfície de pell, pes);
  • La llongitut d'apèndixs inertes (pèl, garres, coes, dents) de #espècimen biològics en la direcció del creiximent;
  • Atres mides fisiològiques podrien estar normalment distribuïdes, encara que no hi ha raó per a esperar-ho a priori;
• S'assumix en freqüència que els errors de mida estan normalment distribuïts i qualsevol desviació de la normalitat es considera una qüestió que deuria explicar-se;
• Variables financeres, en el model Black-Scholes:
  • Canvis en el logaritmo de taxes de canvi, índexs de preus, índexs d'existències de mercat; estes variables es comporten com l'interés compost, no com l'interés simple, per tant, són multiplicativas;

• • Mentres que el model Black-Scholes presupon normalitat, en realitat estes variables exhibixen coes pesades, com pot vore's en crash de les existències de mercat;
  • Atres variables financeres podrien estar normalment distribuïdes, pero no hi ha raó per a esperar-ho a priori;
• Intensitat de la llum:
  • L'intensitat de la llum làser està normalment distribuïda;
  • La llum tèrmica té una distribució de Bose-Einstein en escales de temps molt breus i una distribució normal en grans escales de temps per la teorema central del llímit.

És rellevant per a la biologia i l'economia el fet de que els sistemes complexos tendixen a mostrar la llei de potències més que normal.

Reconte de fotons

L'intensitat de la llum d'una sola font varia en el temps, aixina com les fluctuacions tèrmiques que poden observar-se si la llum s'analisa a una resolució suficientment alta. La mecànica quàntica interpreta les mides de l'intensitat de la llum com un reconte de fotons, a on la suposició natural du a usar la distribució de Poisson. Quan l'intensitat de la llum s'integra a lo llarc de grans periodos de temps majors que el temps de coherència, l'aproximació Poisson - Normal és apropiada.

Mida d'errors

La normalitat és la assunció central de la teoria matemàtica d'errors. De forma similar en l'ajust de models estadístic, un indicador de la bondat de l'ajust és que l'error residual (aixina és com es diuen els errors en esta circumstància) siga independent i normalment distribuït. L'assunció és que qualsevol desviació de la normalitat necessita ser explicada. En eixe sentit, en abdós, ajust de models i teoria d'errors, la normalitat és l'única observació que no necessita ser explicada, sino que és esperada. No obstant, si les senyes originals no estan normalment distribuïts (per eixemple, si seguixen una distribució de Cauchy, llavors els residus tampoc estaran normalment distribuïts). Este fet és ignorat habitualment en la pràctica.

Les mides repetides de la mateixa cantitat s'espera que cedixquen el pas a resultats que estan agrupats entorn a un valor particular. Si totes les fonts principals d'errors s'han pres en conte, es assumix que l'error que queda deu ser el resultat d'un gran número de molt menuts i aditius efectes i, per tant, normal. Les desviacions de la normalitat s'interpreten com a indicacions d'errors sistemàtics que no han segut presos en conte. Pot debatre's si esta assunció és vàlida.

Una famosa observació atribuïda a Gabriel Lippmann diu:^{cita requerida}

Tot lo món creu en la llei normal dels errors: els matemàtics, perque pensen que és un fet experimental; i els experimentadores, perque suponen que és una teorema matemàtica

Una atra font podria ser Henri Poincaré.

Característiques físiques de #espècimen biològics

Els tamanys dels animals adults seguixen aproximadament una distribució log-normal. L'evidència i explicació basada en models de creiximent va ser publicada per primera volta en el llibre Problemes de creiximent relatiu, de 1932, per Julian Huxley.

Les diferències de tamany per #dimorfisme sexuals o uns atres #polimorfisme d'insectes, com la divisió social de les abelles en obreres, zánganos i reines, per eixemple, fa que la distribució de tamanys es desvie cap a la lognormalidad.

L'assunció de que el tamany llineal dels #espècimen biològics és normal (més que lognormal) nos du a una distribució no normal del pes (posat que el pes o el volum és proporcional al quadrat o la gaveta de la llongitut i les distribucions gaussianas solament mantenen les transformacions llineals). A l'inversa, assumir que el pes seguix una distribució normal implica llongituts no normals. Açò és un problema perque, a priori, no hi ha raó per la que qualsevol d'elles (llongitut, massa corporal o unes atres) deuria estar normalment distribuïda. Les distribucions lognormales, per un atre costat, es mantenen entre potències, aixina que el "problema" es desvanix si s'assumix la lognormalidad.

Per una atra part, hi ha algunes mides biològiques a on s'assumix normalitat, tals com la pressió sanguínea en humans adults. Esta assunció solament és possible despuix de separar a hòmens i dònes en distintes poblacions, cada una de les quals està normalment distribuïda.

Variables financeres

Ya en 1900 Louis Bachelier va propondre representar els preus de canvi usant la distribució normal. Esta aproximació s'ha modificat des de llavors llaugerament. A causa de la naturalea multiplicativa del interés compost, els indicadors financers com a valors de mercat i preus de les matèries primeres exhibixen un "comportament multiplicativo". Com a tals, els seus canvis periòdics (per eixemple, canvis anuals) no són normals, sino lognormalés. Esta és encara l'hipòtesis més comunament acceptada en economia.

No obstant, en realitat les variables financeres exhibixen coes pesades i aixina, l'assunció de normalitat infravalora la provabilitat d'events extrems com #fallida financeres. S'han sugerit correccions a este model per part de matemàtics com Benoît Mandelbrot, qui va observar que els canvis en el logaritmo durant breus periodos de temps (com un dia) s'aproximen be per distribucions que no tenen una varianza finita i, per tant, la teorema central del llímit no pot aplicar-se. Més encara, la suma de molts de tals canvis seguix una distribució de log-Levy.

Distribucions en tests d'inteligència

A voltes, la dificultat i número de preguntes en un test d'inteligència se selecciona de modo que proporcionen resultats normalment distribuïts. Més encara, les puntuacions "en cru" es convertixen a valors que marquen el cocient intelectual ajustant-les a la distribució normal. En qualsevol cas es tracta d'un resultat causat deliberadament per la construcció del test o d'una interpretació de les puntuacions que sugerix normalitat per a la majoria de la població. No obstant, la qüestió sobre si l'inteligència en sí està normalment distribuïda és més complicada perque es tracta d'una variable latent i, per tant, no pot observar-se directament.

Equació de difusió

La funció de densitat de la distribució normal està estretament relacionada en l'equació de difusió (homogénea i isótropo) i, per tant, també en l'equació de calor. Esta equació diferencial parcial descriu el temps d'evolució d'una funció de densitat baix difusió. En particular, la funció de densitat de massa

Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �arphi_{0,t}(x) = �rac{1}{sqrt{2pi t,}}expleft(-�rac{x^2}{2t} ight), }

per a la distribució normal en esperança 0 i varianza t satisfà l'equació de difusió:

Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle �rac{partial}{partial t} �arphi_{0,t}(x) = �rac{1}{2} �rac{partial^2}{partial x^2} �arphi_{0,t}(x). }

Si la densitat de massa per a un temps t = 0 ve donada per la delta de Dirac, la qual cosa significa, essencialment que tota la massa està inicialment concentrada en un punt, llavors la funció de densitat de massa en el temps t tindrà la forma de la funció de densitat de la normal, en varianza creixent linealmente en t. Esta conexió no és coincidència: la difusió es deu a un moviment browniano que queda descrit matemàticament per un procés de Wiener, i tal procés en un temps t també resultarà normal en varianza creixent linealmente en t'.

Més generalment, si la densitat de massa inicial ve donada per una funció φ(x), llavors la densitat de massa en un temps t vindrà donada per la convolución de φ i una funció de densitat normal.

Hidrologia

En la hidrologia es presumix que precipitacions i descàrregues de rius de llarga duració (per eixemple mensuals o anuals) seguixen una distribució normal d'acort al teorema del llímit central.

L'image blava ilustra un eixemple de l'ajust de la distribució normal a senyes de pluja mensual i mostra els intervals de confiança basats en la distribució binomial.

Us en estadística computacional

Generació de valors per a una variable aleatòria normal

Per a simulacions per ordenador és útil, en ocasions, generar valors que podrien seguir una distribució anormal. Hi ha varis métodos i el més bàsic d'ells és invertir la funció de distribució de la normal estàndart per a aixina poder realisar la gràfica.

Es coneixen atres métodos més eficients, un dels quals és la transformació de Box-Muller. Un algoritme inclús més ràpit és l'algoritme zigurat. Abdós es discutixen més avall. Una aproximació simple a estos métodos és programar-los com seguix: simplement sumen-se 12 desviacions uniformes (0,1) i resten-se 6 (la mitat de 12). Açò és prou útil en moltes aplicacions. La suma d'eixos 12 valors seguix la distribució d'Irwin-Hall; són elegits 12 per a donar a la suma una varianza d'un, exactament. Les desviacions aleatòries resultants estan llimitades al ranc (−6, 6) i tenen una densitat que és una doceava secció d'una aproximació polinomial d'undècim orde a la distribució normal.

El método de Box-Muller diu que, si tens dos números aleatoris O i V uniformemente distribuïts en [0, 1], (per eixemple, l'eixida d'un generador de números aleatoris), llavors X i I són dos variables aleatòries estàndar normalment distribuïdes, a on:

Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle X = sqrt{- 2 ln O} , Abramowitz i Stegun (1964) donen la coneguda com "millor aproximació de Hastings" para Φ(''x'') en ''x > 0'' en un error absolut |''ε''(''x'')|&nbsp;<&nbsp;7,5·10⁻⁸ (algoritme [http://www.math.sfu.ca/cbm/aands/page_932.htm 26.2.17]): : <math> Phi(x) = 1 - phi(x)Big(b_1t + b_2t^2 + b_3t^3 + b_4t^4 + b_5t^5Big) + �arepsilon(x), qquad t = �rac{1}{1+b_0x}, }

a on ϕ(x) és la funció de densitat de la distribució normal estàndart,

Erro al representar (erro de sintaxis): {\displaystyle phi(x) = frac{1}{sqrt{2pi}}, i^{- �rac{scriptscriptstyle 1}{scriptscriptstyle 2} x^2} }

i les constants són b₀ = 0,2316419, b₁ = 0,319381530, b₂ = −0,356563782, b₃ = 1,781477937, b₄ = −1,821255978, b₅ = 1,330274429.

La Biblioteca Científica GNU calcula valors de la funció de distribució normal estàndart usant aproximacions per funcions racionals a trossos. Un atre método d'aproximació usa polinomis de tercer grau en intervals. L'artícul sobre el llenguage de programació bc proporciona un eixemple de cóm computar la funció de distribució en GNU bc.

Per a una discussió més detallada sobre cóm calcular la distribució normal, vejau la secció 3.4.1C. de The Art of Computer Programming (L'art de la programació per ordenador), de Knuth.

Vore també

• Carl Friedrich Gauss
• Cocient intelectual
• Desenfoque gaussiano i convolución usant la distribució normal com a núcleu.
• Distribució χ²
• Distribució llogística
• Distribució log-normal
• Distribució normal multivariante
• Distribució t de Student
• Funció gaussiana (campana de Gauss)
• Funció logit
• Funció probit
• Gràfic de provabilitat normal
• Iannis Xenakis, distribució gaussiana en música
• Procés de Gauss
• Prova de Mann-Whitney Método no paramètric que aproxima a una normal
• Taula distribució normal tipificada
• Tamany de la mostra
• Teorema Central del Llímit
• Taules estadístiques

Enllaços externs

• Graficadora de la distribució normal - CalEst en la Web
• Calculadora de distribucions (discretes i contínues) - CalEst en la Web
• Graficadora d'una o vàries distribucions normals - CalEst en la Web
• Àrees baix la curva normal Taula contenint els valors de la funció normal
• Calculadora de provabilitats en una distribució Normal. Permet fer càlculs directes i inversos.

• DynStats: Laboratori estadístic en llínea en calculadora de funcions de distribució [1] archivat en Wayback Machine.
• Taula de la distribució normal Taula de la distribució normal en format PDF
• http://mathworld.wolfram.com/normaldistribution.html

Ajust per software d'una distribució de provabilitat a un conjunt de senyes

• Easy fit [2] archivat en Wayback Machine., "data analysis & simulation"
• ^{[enllaç trencat]}
• ModelRisk, "risk modelling software"
• Ricci distributions, fitting distrubutions with R, Vito Ricci, 2005
• Risksolver, automatically fit distributions and parameters to samples
• StatSoft distribution fitting [3] archivat en Wayback Machine.
• CumFreq, lliure sense cost, inclou la distribució normal, la lognormal, raïl-normal, quadrat-normal, i intervals de confiança a pur de la distribució binomial
• Calculadora Distribució normal
• Calcular la provabilitat d'una distribució normal en R (llenguage de programació)
• Implementació Real en C de l'algoritme Expectation Maximization (EM) per a estimar Gaussian Mixture Models (GMMs).