Funció característica

La funció característica d'una variable aleatòria o de la seua distribució de provabilitat és una funció de variable real que pren valors complexos, que permet l'aplicació de métodos analítics (és dir, d'anàlisis funcional) en l'estudi de la provabilitat.

Definició

Donada una variable aleatòria contínua $X$ la seua funció característica, que es denota per mig de ${\phi }_X(t)$ per a $t$ real, és una funció ${\phi }_X:ℝ\to ℂ$ definida com

${\phi }_X(t)=\mathrm{E}\left[e^{itX}\right]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{itx}{f}_X(x)dx$

notar que es fa us de la funció exponencial complexa i $\mathrm{E}$ denota l'esperança matemàtica. Adicionalment, usant les propietats de la funció exponencial complexa, la funció característica es pot reescriure en térmens d'una part real i una imaginària:

$\begin{array}{cc}{\phi }_X(t)& =\mathrm{E}[\cos (tX)]+i\mathrm{E}[\sin (tX)]\\ & =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\cos (tx)f_X(x)dx+i\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\sin (tx)f_X(x)dx\end{array}$

Moments

Quan els moments d'una variable aleatòria existixen, es poden calcular per mig de les derivades de la funció característica. De modo que es pot obtindre derivant formalment a abdós costats de la definició i prenent $t=0$,

i derivant dos voltes i substituint $t=0$ resulta

D'esta manera es poden obtindre expressions que permeten determinar la varianza i esperança de $X$. Análogamente es relacionen moments i derivades d'órdens superiors:

Vore també

• Funció generadora de moments

• Funció generadora de provabilitat