Distribució de provabilitat

En teoria de la provabilitat i estadística, la distribució de provabilitat d'una variable aleatòria és una funció que assigna a cada succés definit sobre la variable, la provabilitat de que dit succés ocórrega. La distribució de provabilitat està definida sobre el conjunt de tots els successos i cada u dels successos és el ranc de valors de la variable aleatòria. També pot dir-se que té una relació estreta en les distribucions de freqüència. De fet, una distribució de provabilitats pot comprendre's com una freqüència teòrica, ya que descriu cóm s'espera que varien els resultats.

La distribució de provabilitat està completament especificada per la funció de distribució, el valor de la qual en cada x real és la provabilitat de que la variable aleatòria siga menor o igual que x.

Tipos de variables

Variable aleatòria: És aquella el valor de la qual és el resultat d'un event aleatori. Lo que vol dir que són els resultats que es presenten al encert en qualsevol event o experiment.
Variable aleatòria discreta: És aquella que solament pren certs valors (freqüentment sancers) i que resulta principalment del conteo realisat.
Variable aleatòria contínua: És aquella que resulta generalment de la medició i pot prendre qualsevol valor dins d'un interval donat.^[1]

Divisió de distribucions

Esta divisió es realisa depenent del tipo de variable a estudiar. Les quatre principals (de les que naixen totes les demés) són:

a) Si la variable és una variable discreta (número entero), correspondrà una distribució discreta, de les quals existixen:

Distribució binomial (events independents).
Distribució de Poisson (events independents).
Distribució hipergeométrica (events depenents).

b) Si la variable és contínua (número real), la distribució que es generarà serà una distribució contínua. Eixemples d'elles són:

Ademés, es pot utilisar la «distribució de Poisson com una aproximació de la distribució binomial» quan la mostra per estudiar és gran i la provabilitat d'èxit és menuda. De la combinació dels dos tipos de distribucions anteriors (a i b), sorgix una coneguda com a «distribució normal com una aproximació de la distribució binomial i de Poisson».

Definició de funció de distribució

Artícul principal → Funció de distribució.

Donada una variable aleatòria $X$ , la seua funció de distribució, $F_{X} (x)$ , és

Per simplicitat, quan no hi ha lloc a confusió, sol ometre's el subíndex $X$ i s'escriu, simplement, $F (x)$ . A on en la fòrmula anterior:

P r o b

, és la provabilitat definida sobre un espai de provabilitat i una mida unitària sobre el espai mostral.

μ_{P}

és la mida sobre la σ-àlgebra de conjunts associada a l'espai de provabilitat.

Ω

és el espai mostral, o conjunt de tots els possibles successos aleatoris, sobre el que es definix l'espai de provabilitat en qüestió.

X : Ω \to ℝ

és la variable aleatòria en qüestió, és dir, una funció definida sobre l'espai mostral als número real.

Propietats

Com a conseqüència casi immediata de la definició, la funció de distribució:

És una funció contínua per la dreta.
És una funció monòtona no decreixent.

Ademés, complix

Per a dos número real qualssevol $a$ i $b$ tal que $(a < b)$ , els successos $(X \leq a)$ i $(a < X \leq b)$ són mútuament excloents i la seua unió és el succés $(X \leq b)$ , per #lo que tenim llavors que:

P (X \leq b) = P (X \leq a) + P (a < X \leq b)

P (a < X \leq b) = P (X \leq b) - P (X \leq a)

i finalment

P (a < X \leq b) = F (b) - F (a)

Per lo tant una volta coneguda la funció de distribució $F (x)$ per a tots els valors de la variable aleatòria $x$ coneixerem completament la distribució de provabilitat de la variable.

Per a realisar càlculs és més cómodo conéixer la distribució de provabilitat, i no obstant per a vore una representació gràfica de la provabilitat és més pràctic l'us de la funció de densitat.

Distribucions de variable discreta

Es denomina distribució de variable discreta a aquella que la seua funció de provabilitat solament pren valors positius en un conjunt de valors de $X$ finito o infinit numerable. A dita funció se li crida funció de massa de provabilitat. En este cas la distribució de provabilitat és la suma de la funció de massa, per #lo que tenim llavors que:

F (x) = P (X \leq x) = \sum_{k = - \infty}^{x} f (k)

I, tal com correspon a la definició de distribució de provabilitat, esta expressió representa la suma de totes les provabilitats des de $- \infty$ fins al valor $x$ .

Tipos de distribucions de variable discreta

Definides sobre un domini finito

La distribució binomial, que descriu el número d'encerts en una série de n experiments independents en possibles resultats binarios, és dir, de «sí» o «no», tots ells en provabilitat d'encert p i provabilitat de fallo q = 1 − p.
La distribució de Bernoulli, la clàssica binomial, que pren valors «1», en provabilitat p, o «0», en provabilitat q = 1 − p (ensaig de Bernoulli).
La distribució de Rademacher, que pren valors «1» o «-1» en provabilitat 1/2 cada u.
La distribució beta-binomial, que descriu el número d'encerts en una série de n experiments independents en possibles resultats «sí» o «no», cada u d'ells en una provabilitat d'encert variable definida per una beta.
La distribució degenerada en x₀, en la que X pren el valor x₀ en provabilitat 1. A pesar de que no sembla una variable aleatòria, la distribució satisfà tots els requisits per a ser considerada com a tal.
La distribució uniforme discreta, que arreplega un conjunt finito de valors que són resulten ser tots igualment provables. Esta distribució descriu, per eixemple, el comportament aleatori d'una moneda, un dau, o una ruleta de cassino equilibrats (sense biaix).
La distribució hipergeométrica, que medix la provabilitat d'obtindre x (0 ≤ x ≤ d) elements d'una determinada classe formada per d elements pertanyents a una població de N elements, prenent una mostra de n elements de la població sense tongada.
La distribució hipergeométrica no central de Fisher.
La distribució hipergeométrica no central de Wallenius.
La llei de Benford, que descriu la freqüència del primer dígit d'un conjunt de números en notació decimal.

Definides sobre un domini infinit

La distribució binomial negativa o distribució de Pascal, que descriu el número d'ensajos de Bernoulli independents necessaris per a conseguir n encerts, donada una provabilitat individual d'èxit p constant.
La distribució geomètrica, que descriu el número d'intents necessaris fins a conseguir el primer encert.
La distribució beta-binomial negativa, que descriu el número d'experiments del tipo «sí/no» necessaris per a conseguir n encerts, quan la provabilitat d'èxit de cada u dels intents està distribuïda d'acort en una beta.
La distribució binomial negativa estesa.
La distribució de Boltzmann, important en mecànica estadística, que descriu l'ocupació dels nivells d'energia discrets en un sistema en equilibri tèrmic. Varis casos especials són:
- La distribució de Gibbs.
- La distribució de Maxwell-Boltzmann.
La distribució elíptica asimètrica.
La distribució fractal parabòlica.
La distribució hipergeométrica estesa.
La distribució logarítmica.
La distribució logarítmica generalisada.
La distribució de Poisson, que descriu el número d'events individuals que ocorren en un periodo de temps. Existixen diverses variants com la distribució de Poisson desplaçada, la hiperdistribución de Poisson, la distribució binomial de Poisson i la distribució de Conway-Maxwell-Poisson, entre unes atres.
La distribució de Polya-Eggenberger.
La distribució Skellam, que descriu la diferència de dos variables aleatòries independents en distribucions de Poisson de distint valor esperat.
La distribució de Yule-Simon.

La distribució zeta, que utilisa la funció zeta de Riemman per a assignar una provabilitat a cada número natural.
La llei de Zipf, que descriu la freqüència d'utilisació de les paraules d'una llengua.
La llei de Zipf-Mandelbrot és una versió més precisa de l'anterior.

Distribucions de variable contínua

Es denomina variable contínua a aquella que pot prendre qualsevol dels infinits valors existents dins d'un interval. En el cas de variable contínua la distribució de provabilitat és l'integral de la funció de densitat, per #lo que tenim llavors que:

F (x) = P (X \leq x) = \int_{- \infty}^{x} f (t) d t

Tipos de distribucions de variable contínua

Distribucions definides en un interval acotat

La distribució arcoseno, definida en l'interval [a,b].
La distribució beta, definida en l'interval [0, 1], que és útil a l'hora d'estimar provabilitats.
La distribució del coseno alçat, sobre l'interval [μ-s,μ+s].
La distribució degenerada en x₀, en la que X pren el valor x₀ en provabilitat 1. Pot ser considerada tant una distribució discreta com a contínua.
La distribució d'Irwin-Hall o distribució de la suma uniforme, és la distribució corresponent a la suma de n variables aleatòries i. i. d. O(0, 1).
La distribució de Kent, definida sobre la superfície d'una esfera unitària.
La distribució de Kumaraswamy, tan versàtil com la beta, pero en FDC i FDP més simples.
La distribució logarítmica contínua.
La distribució logit-normal en (0, 1).
La distribució normal truncada, sobre l'interval [a, b].
La distribució recíproca, un tipo de distribució inversa.
La distribució triangular, definida en [a, b], de la qual un cas particular és la distribució de la suma de dos variables independents uniformemente distribuïdes (la convolución de dos distribucions uniformes).
La distribució uniforme contínua definida en l'interval tancat [a, b], en el que la densitat de provabilitat és constant.
La distribució rectangular és el cas particular en l'interval [-1/2, 1/2].
La distribució O-quadràtica, definida en [a, b], utilisada per a modelar processos bimodales simètrics.
La distribució von Mises, també cridada distribució normal circular o distribució Tikhonov, definida sobre el círcul unitari.
La distribució von Mises-Fisher, generalisació de l'anterior a una esfera N-dimensional.
La distribució semicircular de Wigner, important en l'estudi de les matrius aleatòries.

Definides en un interval semi-infinit, usualment [0,∞)

La distribució beta primera.
La distribució de Birnbaum-Saunders, també cridada distribució de resistència a la fatiga de materials, utilisada per a modelar temps de fallo.
La distribució chi.
La distribució chi no central.
La distribució χ² o distribució de Pearson, que és la sumixca de quadrats de n variables aleatòries independents gaussianas. És un cas especial de la gamma, utilisada en problemes de bondat d'ajust.
La distribució chi-quadrada inversa.
La distribució chi-quadrada inversa escalada.
La distribució chi-quadrada no central.
La distribució de Dagum.
La distribució exponencial, que descriu el temps entre dos events consecutius en un procés sense memòria.
La distribució F, que és la raó entre dos variables $𝝌_{n}^{2}$ i $𝝌_{m}^{2}$ independents. S'utilisa, entre atres usos, per a realisar anàlisis d'varianza per mig del test F.
La distribució F no central.
La distribució de Fréchet.
La distribució gamma, que descriu el temps necessari per a que succeïxquen n repeticions d'un event en un procés sense memòria.
La distribució de Erlang, cas especial de la gamma en un paràmetro k sancer, desenrollada per a predir temps d'espera en sistemes de llínees d'espera.
La distribució gamma inversa.
La distribució gamma-Gompertz, que s'utilisa en models per a estimar l'esperança de vida.
La distribució de Gompertz.
La distribució de Gompertz desplaçada.
La distribució de Gumbel tipo-2.
La distribució de Lévy.

Distribucions en les que el logaritmo d'una variable aleatòria està distribuït conforme a una distribució estàndar:

La distribució log-Cauchy.
La distribució log-gamma.

La distribució log-Laplace.
La distribució log-logistic.
La distribució log-normal.
La distribució de Mittag-Leffler.
La distribució de Nakagami.
Variants de la distribució normal o de Gauss:
La distribució normal pleglada.
La distribució semi normal.
La distribució de Gauss inversa, també coneguda com a distribució de Wald.
La distribució de Pareto i la distribució de Pareto generalisada.
La distribució tipo III de Pearson.
La distribució per fases bi-exponencial, comunament usada en farmacocinética.
La distribució per fases bi-Weibull.
La distribució de Rayleigh.
La distribució de mescla de Rayleigh.
La distribució de Rice.
La distribució T² de Hotelling.
La distribució de Weibull o distribució de Rosin-Rammler, per a descriure la distribució de tamanys de determinades partícules.
La distribució Z de Fisher.

Definides en la recta real completa

La distribució de Behrens-Fisher, que sorgix en el problema de Behrens-Fisher.
La distribució de Cauchy, un eixemple de distribució que no té expectativa ni varianza. En física se li crida funció de Lorentz, i s'associa a varis processos.
La distribució de Chernoff.
La distribució estable o distribució asimètrica alfa-estable de Lévy, és una família de distribucions usades i multitut de camps. Les distribucions normal, de Cauchy, de Holtsmark, de Landau i de Lévy pertanyen a esta família.
La distribució estable geomètrica.
La distribució de Fisher-Tippett o distribució del valor extrem generalisada.
La distribució de Gumbel o log-Weibull, cas especial de la Fisher-Tippett.
La distribució de Gumbel tipo-1.
La distribució de Holtsmark, eixemple d'una distribució en expectativa finita pero varianza infinita.
La distribució hiperbòlica.
La distribució secante hiperbòlica.
La distribució LA SEUA de Johnson.
La distribució de Landau.
La distribució de Laplace.
La distribució de Linnik.
La distribució llogística, descrita per la funció llogística.
La distribució llogística generalisada.
La distribució map-Airy.
La distribució normal, també cridada distribució gaussiana o campana de Gauss. Està molt present en multitut de fenomens naturals per la teorema del llímit central: tota variable aleatòria que es puga modelar com la suma de vàries variables independents i idénticamente distribuïdes en expectativa i varianza finita, és aproximadament normal.
La distribució normal generalisada.
La distribució normal asimètrica.
La distribució gaussiana exponencialment modificada, la convolución d'una normal en una exponencial.
La distribució normal-exponencial-gamma.
La distribució gaussiana menys exponencial és la convolución d'una distribució normal en una distribució exponencial (negativa).
La distribució de Voigt, o perfil de Voigt, és la convolución d'una distribució normal i una Cauchy. S'utilisa principalment en espectroscopía.
La distribució tipo IV de Pearson.
La distribució t de Student, útil per a estimar miges desconegudes d'una població gaussiana.
La distribució t no central.

Definides en un domini variable

La distribució de Fisher-Tippett o distribució del valor extrem generalisada, pot estar definida en la recta real completa o en un interval acotat, depenent dels seus paràmetros.
La distribució de Pareto generalisada està definida en un domini que pot estar acotat inferiormente o acotat per abdós extrems.
La distribució lambda de Tukey, pot estar definida en la recta real completa o en un interval acotat, depenent dels seus paràmetros.
La distribució de Wakeby.

Distribucions mixtes discreta/contínua

La distribució gaussiana rectificada, és una distribució normal en la que els valors negatius són substituïts per un valor discret en zero.

Distribucions multivariable

La distribució de Dirichlet, generalisació de la distribució beta.
La fòrmula de mostreig de Ewens o distribució multivariante de Ewens, és la distribució de provabilitat del conjunt de totes les particions d'un sancer n, utilisada en l'anàlisis genètic de poblacions.