Distribució de Pareto

En teoria de la provabilitat i en estadística, la distribució Pareto és una distribució de provabilitat contínua en dos paràmetros, que té aplicació en disciplines com la sociologia, la geofísica i l'economia. Va ser formulada per l'ingenier civil, economiste i sociòlec Vilfredo Pareto, encara que en certes àrees d'estudi es fa referència a la llei de Bradford. cal senyalar que l'equivalent discret de la distribució Pareto és la distribució zeta (la llei de Zipf).

Quan la distribució de Pareto és usada en un model sobre la distribució de riquea, el paràmetro $\alpha$ és conegut com índex de Pareto.

Definició

Notació

Si $X$ és una variable aleatòria contínua en distribució Pareto en paràmetros $\alpha >0$ i $x_m>0$ llavors escrivim $X\sim \mathrm{Pareto}(\alpha ,x_m)$.

Funció de densitat

La funció de densitat d'una variable aleatòria $X\sim \mathrm{Pareto}(\alpha ,x_m)$ és

$f_X(x)=\frac{\alpha x_m^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}$

per a $x_m\le x$.

Provabilitat acumulada

La funció de distribució d'una variable aleatòria $X\sim \mathrm{Pareto}(\alpha ,x_m)$ és, per a $x_m\le x$,

$F_X(x)=1-{\left(\frac{x_m}{x}\right)}^{\alpha }$

Propietats

Si $X\sim \mathrm{Pareto}(\alpha ,x_m)$ llavors la variable aleatòria $X$ satisfà algunes propietats.

Media

La mija de la variable aleatòria $X$ és

$\mathrm{E}[X]=\frac{\alpha x_{\mathrm{m}}}{\alpha -1}$

en $\alpha >1$.

Varianza

La varianza de la variable aleatòria $X$

$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X)=\frac{\alpha x_m^2}{(\alpha -1{)}^2(\alpha -2)}$

per a $\alpha >2$.

Moments

El $n$-ésimo moment només està definit per a $n<\alpha$ i en tal cas és

$\mathrm{E}[X^n]=\frac{\alpha x_{\mathrm{m}}^n}{\alpha -n}$

Funció generadora de moments

La funció generadora de moments és

$M_X(t)=\alpha (-x_{\mathrm{m}}t{)}^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-x_{\mathrm{m}}t)$

i està definida per a valors $t<0$.

Cas degenerado

La funció de la delta de Dirac és un cas llímit de la densitat de Pareto:

$\underset{\alpha \to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x;\alpha ,x_{\mathrm{m}})=\delta (x-x_{\mathrm{m}}).$

Distribució simètrica

Pot definir-se una Distribució de Pareto Simètrica segons:

$f(x;\alpha ,x_{\mathrm{m}})=\{\begin{array}{cc}(\alpha x_{\mathrm{m}}^{\alpha }/2)|x{|}^{-\alpha -1}& \text{si }|x|>x_{\mathrm{m}}\\ 0& \text{resto}.\end{array}$

Distribució Generalisada de Pareto

La família de distribucions generalisades de Pareto (GPD) tenen tres paràmetros $\mu ,\sigma$ i $\xi$.

La funció de provabilitat acumulada és

$F_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)=\{\begin{array}{cc}1-{(1+\frac{\xi (x-\mu )}{\sigma })}^{-1/\xi }& \text{si }\xi \ne 0,\\ 1-\exp (-\frac{x-\mu }{\sigma })& \text{si }\xi =0.\end{array}$

Per a $x⩾\mu$, en $\xi ⩾0$, i $x⩽\mu -\sigma /\xi$ en $\xi <0$, a on $\mu \in ℝ$ és el paràmetro localisació, $\sigma >0$ és el paràmetro escala i $\xi \in ℝ$ és el paràmetro forma. Note's que algunes referències prenen el paràmetro forma com $\kappa =-\xi$.

La funció de densitat de provabilitat és:

$f_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)=\frac{1}{\sigma }{(1+\frac{\xi (x-\mu )}{\sigma })}^{(-\frac{1}{\xi }-1)}.$

o

$f_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)=\frac{{\sigma }^{\frac{1}{\xi }}}{{(\sigma +\xi (x-\mu ))}^{\frac{1}{\xi }+1}}.$

de nou, per a $x⩾\mu$, i $x⩽\mu -\sigma /\xi$ si $\xi <0$

Inferència estadística

Estimació de paràmetros

La funció de verosimilitut per als paràmetros de la distribució de Pareto α i x_m, donada una mostra independent x = (x₁, x₂, ..., x_n), és

$L(\alpha ,x_{\mathrm{m}})=\prod _{i=1}^n\alpha \frac{x_{\mathrm{m}}^{\alpha }}{x_i^{\alpha +1}}={\alpha }^n{x}_{\mathrm{m}}^{n\alpha }\prod _{i=1}^n\frac{1}{x_i^{\alpha +1}}.$

Per lo tant, la funció de verosimilitut logarítmic és

$\ell (\alpha ,x_{\mathrm{m}})=n\ln \alpha +n\alpha \ln x_{\mathrm{m}}-(\alpha +1)\sum _{i=1}^n\ln x_i.$

Es pot vore que $\ell (\alpha ,x_{\mathrm{m}})$ és monotonamente ascendent en x_m, és dir, quant major és el valor de x_m, major és el valor de la funció de verosimilitut. Per lo tant, ya que x ≥ x_m, es conclou que

${\hat{x}}_{\mathrm{m}}=\underset{i}{\min }{x}_i.$

Per a calcular l'estimador de α, es calcula la derivada parcial corresponent i es determina on és zero:

$\frac{\partial \ell }{\partial \alpha }=\frac{n}{\alpha }+n\ln x_{\mathrm{m}}-\sum _{i=1}^n\ln x_i=0.$

Per lo tant l'estimador de màxim verosimilitut per a α ess:

$\hat{\alpha }=\frac{n}{\sum _i\ln (x_i/{\hat{x}}_{\mathrm{m}})}.$

L'error estadístic esperat és:

$\sigma =\frac{\hat{\alpha }}{\sqrt{n}}.$

Malik (1970) dona la distribució conjunta exacta de $({\hat{x}}_{\mathrm{m}},\hat{\alpha })$. En particular, ${\hat{x}}_{\mathrm{m}}$ i $\hat{\alpha }$ són independents i ${\hat{x}}_{\mathrm{m}}$ és Pareto en paràmetro d'escala x_m i paràmetro de forma nα, mentres que $\hat{\alpha }$ posseïx una distribució gama inversa en paràmetros de forma i escala n − 1 i nα, respectivament.

Ocurrència i aplicacions

General

Archiu:FitParetoDistr.tif

Aplicació de la distribució de provabilitat acumulada de Pareto a pluges diàries màximes.

Vilfredo Pareto va utilisar originalment esta distribució per a descriure l'assignació de la riquea entre els individus, ya que semblava mostrar prou be la forma en que una major part de la riquea de qualsevol societat és propietat d'un percentage menor de les persones d'eixa societat. També ho va utilisar per a descriure la distribució de la renda. Esta idea s'expressa a voltes de forma més senzilla com el principi de Pareto o la "regla del 80-20", que diu que el 20% de la població controla el 80% de la riquea. No obstant, la regla del 80-20 correspon a un valor particular de α, i de fet, les senyes de Pareto sobre els imposts britànics sobre la renda en la seua Cours d'économie politique indiquen que aproximadament el 30% de la població tenia al voltant del 70% dels ingressos. La funció de densitat de provabilitat (PDF) al principi d'este artícul mostra que la "provabilitat" o fracció de la població que posseïx una menuda cantitat de riquea per persona és prou alta, i després disminuïx constantment a mida que aumenta la riquea. (No obstant, la distribució de Pareto no és realista per a la riquea de l'extrem inferior. De fet, el patrimoni net pot ser inclús negatiu). Esta distribució no es llimita a descriure la riquea o la renda, sino moltes situacions en les que es troba un equilibri en la distribució de lo "menut" a lo "gran". Els següents eixemples es consideren a voltes com una distribució de Pareto aproximada:

• Els tamanys dels assentaments humans (poques ciutats, molts llogarets/pobles)
• Distribució dels tamanys dels archius del tràfic d'Internet que utilisa el protocol TCP (molts archius menuts, pocs archius grans

• Taxes d'error en els Unitats de disc dur
• Clusters de condensado de Bose-Einstein prop del zero absolut

Archiu:FitParetoDistr.tif

Distribució acumulativa de Pareto (Lomax) ajustada a les precipitacions màximes d'un dia utilisant CumFreq, vejau també ajust de distribució

• Els valors de les reserves de petròleu en els jaciments petrolífers (uns pocs grans jaciments, molts menuts jaciments)
• La distribució de la llongitut en els treballs assignats als superordenadores (uns pocs grans, molts menuts)
• La rendabilitat estandardisada dels preus de les accions individuals
• Els tamanys de les partícules d'arena
• El tamany dels meteorits
• La gravetat de les grans pèrdues per decés en el negoci de Segurs, per a certes llínees de negoci com la responsabilitat civil general, l'automòvil comercial i la compensació dels treballadors.
• Cantitat de temps que un usuari en el servici Steam passarà jugant a diferents jocs. (Alguns jocs es juguen molt, pero la majoria no es juguen casi mai) [4]

• En hidrologia la distribució de Pareto s'aplica a events extrems com les precipitacions màximes anuals d'un dia i les descàrregues dels rius. i ademés per a descriure époques de sequia. L'image blava ilustra un eixemple d'ajust de la distribució de Pareto a les precipitacions màximes anuals d'un dia classificades mostrant també la banda de confiança del 90% basada en la distribució binomial. Les senyes de les precipitacions es representen per mig de posició de traçat com a part del anàlisis de la freqüència acumulada.
• En la fiabilitat de la distribució dels servicis elèctrics (el 80% dels minuts dels clients interromputs es produïxen en aproximadament el 20% dels dies d'un any determinat).

Software

Es pot usar software i un programa de computadora per a l'ajust d'una distribució de provabilitat, incloent la de Pareto, a una série de senyes:

• Easy fit [5] archivat en Wayback Machine., "data analysis & simulation"
• ModelRisk, "risk modelling software"
• Ricci distributions, fitting distrubutions with R, Vito Ricci, 2005
• Risksolver, automatically fit distributions and parameters to samples
• StatSoft distribution fitting [6] archivat en Wayback Machine.
• CumFreq, sense cost, inclou intervals de confiança a pur de la distribució binomial

Bibliografia

• Barry C. Arnold (1983). Pareto Distributions, International Co-operative Publishing House, Burtonsville, Maryland. ISBN 0-899974-012-1.
• Christian Kleiber and Samuel Kotz (2003). Statistical Size Distributions in Economics and Actuarial Sciences, New York:Wiley. xi+332 pp. ISBN 0-471-15064-9.
• Lorenz, M. O. (1905). "Methods of measuring the concentration of wealth". Publications of the American Statistical Association. 9: 209–219.

Vore també

• Distribució de Weibull
• Llei de Bradford
• Llei de Gutenberg-Richter
• Efecte Mateo
• Eficiència de Pareto
• Llei de Sturgeon
• Llei de Zipf

Enllaços externs

• Calculadora - Distribució de Pareto