Distribució uniforme contínua

En teoria de provabilitat i estadística, la distribució uniforme contínua és una família de distribucions de provabilitat per a variables aleatòries contínues, tals que per a cada membre de la família, tots els intervals d'igual llongitut en la distribució en el seu ranc són igualment provables. El domini està definit per dos paràmetros, $a$ i $b$, que són els seus valors mínim i màxim respectivament.

L'interval pot ser tancat (és dir, $[a,b]$) o obert (és dir, $(a,b)$). Per lo tant, la distribució a sovint s'abrevia $U(a,b),$ a on $U$ significa distribució uniforme. La diferència entre els llímits definix la llongitut de l'interval; tots els intervals de la mateixa llongitut en el soport de la distribució són igualment provables. És la distribució de provabilitat de màxima entropía per a una variable aleatòria $X$ sense més restricció que la d'estar continguda en el soport de la distribució.

Definició

Notació

Si $X$ és una variable aleatòria contínua en distribució uniforme contínua llavors escriurem $X\sim \mathrm{U}(a,b)$ o $X\sim \mathrm{Unif}(a,b)$.

Funció de densitat

Si $X\sim \mathrm{U}(a,b)$ llavors la funció de densitat és:

$f_X(x)=\frac{1}{b-a}$

per a $x\in [a,b]$.

Dit d'una atra forma, la funció de densitat de provabilitat de la distribució uniforme contínua és:

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{b-a}& \text{para }a\le x\le b,\\ 0& \text{para }x<a\text{ o }x>b.\end{array}$

Els valors de $f(x)$ en els dos llímits $a$ i $b$ no solen tindre importància, perque no alteren el valor de ${\int }_c^{d}f(x)dx$ en cap interval $[c,d],$ ni de ${\int }_a^{b}xf(x)dx,$ ni de cap moment superior. A voltes s'elegix que siguen zero, i a voltes s'elegix que siguen $\frac{1}{b-a}.$ Açò últim és apropiat en el context de l'estimació pel método de màxim verosimilitut. En el context del anàlisis de Fourier, es pot prendre el valor de $f(a)$ o $f(b)$ per a ser $\frac{1}{2(b-a)},$ perque llavors la transformada inversa de moltes transformada integrals d'esta funció uniforme tornarà la pròpia funció, en lloc d'una funció que és igual "casi en tots els llocs", és dir. és dir, llevat en un conjunt de punts en medida nula. Ademés, és consistent en la funció signe, que no té tal ambigüitat.

Qualsevol funció de densitat de provabilitat integra a $1,$ per lo que la funció de densitat de provabilitat de la distribució uniforme contínua es representa gràficament com un rectàngul a on b-a és la llongitut de la base i 1/(b-a) és l'altura. A mida que la llongitut de la base aumenta, l'altura (la densitat en qualsevol valor particular dins dels llímits de la distribució) disminuïx.

En térmens de mija $\mu$ i varianza ${\sigma }^2,$ la funció de densitat de provabilitat de la distribució uniforme contínua és:

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{1}{2\sigma \sqrt{3}}& \text{for }-\sigma \sqrt{3}\le x-\mu \le \sigma \sqrt{3},\\ 0& \text{otherwise}.\end{array}$

Funció de distribució

Si $X\sim \mathrm{U}(a,b)$ llavors la funció de distribució és:

$F_X(x)=\{\begin{array}{cc}0& x<a\\ \frac{x-a}{b-a}& a\le x<b\\ 1& x\ge b\end{array}$

la qual és fàcil d'obtindre a partir de la funció de densitat puix

$\begin{array}{c}{F}_X(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}\frac{1}{b-a}du=\frac{1}{b-a}u{|}_a^x=\frac{x-a}{b-a}\end{array}$

<o>Eixemple 1.</o> Us de la funció de distribució uniforme contínua

Per a una variable aleatòria $X\sim U(0,23),$ trobar $P(2<X<18):$

$P(2<X<18)=(18-2)\cdot \frac{1}{23-0}=\frac{16}{23}.$

En una representació gràfica de la funció de distribució uniforme contínua $[f(x)\text{ vs }x],$ l'àrea baix la curva dins dels llímits especificats, i mostrant la provabilitat, és un rectàngul. Per a l'eixemple concret anterior, la base seria 16, i l'altura seria 1/23

<o>Eixemple 2.</o> Utilisant la funció de distribució uniforme contínua (condicional)

Per a una variable aleatòria $X\sim U(0,23),$ trobar $P(X>12|X>8):$

$P(X>12|X>8)=(23-12)\cdot \frac{1}{23-8}=\frac{11}{15}.$

L'eixemple anterior és un cas de provabilitat condicional per a la distribució uniforme contínua: ya que X > 8 és cert, ¿quin és la provabilitat de que X > 12? La provabilitat condicional canvia el espai mostral, per lo que cal calcular un nou interval de llongitut (b-a'), a on $b=23$ i $a^{\prime }=8$. La representació gràfica seguiria l'eixemple 1, a on l'àrea baix la curva dins dels llímits especificats mostra la provabilitat; la base del rectàngul seria 11, i l'altura seria 1/15

Propietats

Si $X$ és una variable aleatòria tal que $X\sim \mathrm{U}(a,b)$ llavors la variable aleatòria $X$ satisfà algunes propietats.

Media

La mija de la variable aleatòria $X$ és

$\mathrm{E}[X]=\frac{a+b}{2}$

Esta es demostra fàcilment utilisant la definició d'esperança matemàtica

$\begin{array}{cc}\mathrm{E}[X]& =\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{x}{b-a}dx\\ & =\frac{1}{b-a}\frac{x^2}{2}{|}_a^b\\ & =\frac{b^2-a^2}{2(b-a)}\\ & =\frac{(b-a)(b+a)}{2(b-a)}\\ & =\frac{a+b}{2}\end{array}$

Si es exponeen un gràfic la funció de densitat d'esta distribució notarà que la mija correspon al punt mig de l'interval $[a,b]$.

Varianza

La varianza de la variable aleatòria $X$ és

$\mathrm{Var}[X]=\mathrm{E}\left[{(X-\mathrm{E}[X])}^2\right]=\underset{a}{\overset{b}{\int }}{(x-\frac{a+b}{2})}^2\frac{dx}{b-a}=\frac{(b-a{)}^2}{12}.$

Moments

El $n$-ésimo moment de la variable aleatòria $X$ està donat per

$\mathrm{E}[X^n]=\frac{b^{n+1}-a^{n+1}}{(n+1)(b-a)}=\frac{1}{n+1}\sum _{k=0}^n{a}^k{b}^{n-k}$

per a $n\in \mathbb{N}$.

Funció generadora de moments

La funció generadora de moments d'esta distribució és

$M_X(t)=\frac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}$

per a valors $t\ne 0$.

Açò es demostra fàcilment utilisant la definició de funció generadora de moments:

$\begin{array}{cc}{M}_X(t)& =\mathrm{E}[e^{tX}]\\ & =\underset{a}{\overset{b}{\int }}{e}^{tx}\frac{1}{b-a}dx\\ & =\frac{1}{b-a}\frac{e^{tx}}{t}{|}_a^b\\ & =\frac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}\\ \end{array}$

Generalisació a conjunts de Borel

Esta distribució pot ser generalisada a conjunts d'intervals més complicats. Si $S$ és un conjunt de Borel de mida finita positiva, la distribució provabilitat uniforme en $S$ es pot especificar definint que la pdf siga nula fora de $S$ i igual a 1/K dins de $S$, a on K és la mida de Lebesgue de $S$.

Estadístiques d'orde

Siga $X_1,X_2,\dots ,X_n$ una mostra independent i identicamente distribuïdes de $U(0,1)$. Siga $X_{(k)}$ el $k$-ésimo estadístic d'orde d'esta mostra. Llavors la distribució de provabilitat de $X_{(k)}$ és una distribució Beta en paràmetros $k$ i $n-k+1$. L'esperança matemàtica és

$\mathrm{E}[X_{(k)}]=\frac{k}{n+1}.$

Açò és útil quan es realisen Q-Q plots.

Les varianza són

$\mathrm{Var}(X_{(k)})=\frac{k(n-k+1)}{(n+1{)}^2(n+2)}.$

Uniformitat

La provabilitat de que una variable aleatòria uniformemente distribuïda es trobe dins d'algun interval de llongitut finita és independent de l'ubicació de l'interval (encara que sí depén del tamany de l'interval), sempre que l'interval estiga contingut en el domini de la distribució.

És possible verificar açò: si $X\sim \mathrm{U}(a,b)$ i $[x,x+l]\subseteq [a,b]$ en $l>0$ fix, llavors

$P[x\le X\le x+l]=\underset{x}{\overset{x+l}{\int }}\frac{1}{b-a}dt=\frac{l}{b-a}$.

la qual cosa només depén de la llongitut de l'interval $l$ i és independent de $x$. Este fet és el que li dona el seu nom a la distribució.

Distribució uniforme estàndar

Si es restringix $a=0$ i $b=1$ llavors la distribució resultant es diu distribució uniforme estàndar. Si $X$ és una variable aleatòria en distribució uniforme estàndar llavors s'escriurà $X\sim \mathrm{U}(0,1)$.

Per a esta distribució en particular, es té que:

Funció de densitat

La funció de densitat per a qualsevol valor $x\in [0,1]$ és simplement la constant $1$, açò és

$f_X(x)=1$

Funció de provabilitat

La funció de provabilitat de $X$ es reduïx a la recta identitat, açò és

$F_X(x)=x$

per a valors de $x\in [0,1]$

Mija i Varianza

La mija i varianza estan donades per

$\mathrm{E}[X]=\frac{1}{2}$

$\mathrm{Var}(X)=\frac{1}{12}$

respectivament.

Simetria

Si $X\sim \mathrm{U}(0,1)$, llavors $1-X\sim \mathrm{U}(0,1)$.

Transformada integral de provabilitat

Si $Y$ és una variable aleatòria contínua en funció de distribució $F_Y$, llavors la variable aleatòria $X=F_Y(Y)\sim \mathrm{U}(0,1)$.

Aplicant este resultat, és possible simular valors aleatoris de qualsevol variable aleatòria contínua a partir de valors aleatoris d'una distribució uniforme en l'interval $[0,1]$: basta aplicar a dits valors l'inversa de la funció de distribució de la variable que volem simular.

Distribucions relacionades

Si $X$ té una distribució uniforme estàndar, és dir, $X\sim \mathrm{U}(0,1)$ llavors:

• $Y=-\ln (X)/\lambda$ té una distribució exponencial en paràmetro $\lambda$, és dir $Y\sim \mathrm{Exponencial}(\lambda )$.
• $Y=1-X^{1/n}$ té una distribució beta en paràmetros $1$ i $n$. (Notar que açò implica que la distribució uniforme estàndar és un cas especial de la distribució beta, en paràmetros 1 i 1).

Relacions en atres funcions

Sempre i quan se seguixquen les mateixes convencions en els punts de transició, la funció densitat de provabilitat pot també ser expressada per mig de la funció escaló de Heaviside:

$f(x)=\frac{\mathrm{H}(x-a)-\mathrm{H}(x-b)}{b-a},$ o en térmens de la funció rectàngul

$f(x)=\frac{1}{b-a}\mathrm{rect}\left(\frac{x-\left(\frac{a+b}{2}\right)}{b-a}\right).$

No existix ambigüitat en el punt de transició de la funció signe. Utilisant la convenció de la mitat del màxim en els punts de transició, la distribució uniforme es pot expressar a partir de la funció signe com:

$f(x)=\frac{\mathrm{sgn}(x-a)-\mathrm{sgn}(x-b)}{2(b-a)}.$

Aplicacions

En estadística, quan s'utilisa un p-valor a modo de prova estadística per a una hipòtesis nula simple, i la distribució de la prova estadística és contínua, llavors la prova estadística esta uniformemente distribuïda entre 0 i 1 si l'hipòtesis nula és verdadera.

Mostreig d'una distribució uniforme

Existixen molts usos en que és útil realisar experiments de simulació. Molts llenguages de programació posseïxen la capacitat de generar números pseudo-aleatoris que estan distribuïts d'acort a una distribució uniforme estàndar.

Si o és un valor muestreado d'una distribució uniforme estàndar, llavors el valor a + (b − a)o posseïx una distribució uniforme parametrizada per a i b, com es va descriure prèviament.

Mostreig d'una distribució arbitrària

La distribució uniforme resulta útil per a muestrear distribucions arbitràries. Un método general és el método de mostreig de transformació inversa, que utilisa la distribució de provabilitat (CDF) de la variable aleatòria objectiu. Este método és molt útil en treballs teòrics. Ya que les simulacions que utilisen este método requerixen invertir la CDF de la variable objectiu, s'han dissenyat métodos alternatius per a aquells casos a on no es coneix el CDF en una forma tancada. Un atre método similar és el mostreig de rebuig.

La distribució normal és un eixemple important en el que el método de la transformada inversa no és eficient. No obstant, existix un método exacte, el Método de Box-Muller, que utilisa la transformada inversa per a convertir dos variables aleatòries uniformes independents en dos variables aleatòries independents distribuïdes normalment.

Error de quantificació

Artícul principal → Quantificació digital.

En la conversió analògic-digital es produïx un error de cuantización. Este error es deu al grosseig o a la truncació. Quan la senyal original és molt major que un least significant bit (LSB), l'error de cuantización no està significativament correlacionado en la senyal, i té una distribució aproximadament uniforme. Per lo tant, el error RMS, per les seues sigles en anglés, s'obté a partir de la varianza d'esta distribució.

Generació de variants aleatòries

Hi ha moltes aplicacions en les que resulta útil realisar experiments de simulació. Molts llenguages de programaciós vénen en implementacions per a generar números pseudoaleatorios que es distribuïxen efectivament segons la distribució uniforme estàndar.

Per un atre costat, els números distribuïts uniformemente s'utilisen a sovint com a base per a la generació de variants aleatòries no uniformes.

Si $u$ és un valor muestreado de la distribució uniforme estàndar, llavors el valor $a+(b-a)u$ seguix la distribució uniforme parametrizada per $a$ i $b,$ com s'ha descrit anteriorment.

Història

Encara que els orígens històrics de la concepció de la distribució uniforme no són concloents, s'especula que el terme "uniforme" va sorgir del concepte d'equiprobabilidad en els jocs de daus (note's que els jocs de daus tindrien discreta i no espai mostral uniforme continu). La equiprobabilidad va ser mencionada en el Liber de Ludo Aleae de Gerolamo Cardano, un manual escrit en el XVI i detallat sobre el càlcul alvançat de provabilitats en relació en els daus.

Vore també

• Distribució uniforme discreta
• Distribució exponencial
• Distribució normal
• Distribució de Poisson
• Distribució beta

Enllaces externs

• Calculadora - Distribució uniforme contínua
• [1] Calcular la provabilitat d'una distribució uniforme en R (llenguage de programació)