Distribució χ²

En teoria de la provabilitat i en estadística, la distribució Chi al quadrat (també cridada distribució de Pearson o distribució $χ^{2}$ ) en $k \in ℕ$ graus de llibertat és la distribució de la suma del quadrat de $k$ variables aleatòries independents en distribució normal estàndart. La distribució chi quadrada és un cas especial de la distribució gamma i es pot estendre a un número no natural de graus de llibertat. És una de les distribucions de provabilitat més usades en Inferència Estadística, principalment en proves d'hipòtesis i en la construcció d'intervals de confiança.

La distribució chi-quadrat s'utilisa en les proves chi-quadrat comuns de bondat d'ajust d'una distribució observada a una teòrica, l'independència de dos criteris de classificació de senyes qualitatives, i en l'estimació de l'interval de confiança per a una desviació estàndar poblacional d'una distribució normal a partir d'una desviació estàndar mostral. Moltes atres proves estadístiques també utilisen esta distribució, com l'anàlisis d'varianza per rancs de Friedman.

Introducció

La distribució chi-quadrat s'utilisa principalment en les proves d'hipòtesis, i en menor mida per als intervals de confiança per a la varianza de la població quan la distribució subjacent és normal. A diferència d'atres distribucions més conegudes com la distribució normal i la distribució exponencial, la distribució chi-quadrat no s'aplica tan a sovint en la modelización directa de fenomens naturals. Sorgix en les següents proves d'hipòtesis, entre unes atres:

Prova de chi-quadrat d'independència en taules de contingència
Prova chi-quadrat de bondat d'ajust de senyes observades a distribucions hipotètiques
Prova de raó de verosimilitut per a models anidados
Prova de Mantel–Cox en anàlisis de supervivència
Cochran-Mantel-Haenszel test per a taules de contingència estratificadas
Prova de Wald
Prova de puntuació

També és un component de la definició de la t-distribution i la F-distribution utilisades en proves t, anàlisis d'varianza i anàlisis de regressió.

La raó principal per la que la distribució chi-quadrat s'utilisa àmpliament en les proves d'hipòtesis és la seua relació en la distribució normal. Moltes proves d'hipòtesis utilisen un estadístic de prova, com el t-estadístic en una prova t. Per a estes proves d'hipòtesis, a mida que aumenta el tamany de la mostra, $n$ , la distribució mostral de l'estadístic de prova s'aproxima a la distribució normal (teorema del llímit central). Ya que l'estadístic de prova (com $t$ ) es distribuïx asintóticamente en normalitat, sempre que el tamany de la mostra siga suficientment gran, la distribució utilisada per al contrast d'hipòtesis pot aproximar-se per mig d'una distribució normal. La comprovació d'hipòtesis utilisant una distribució normal s'entén be i és relativament fàcil. La distribució chi-quadrat més senzilla és el quadrat d'una distribució normal estàndart. Per lo tant, sempre que es puga utilisar una distribució normal per a una prova d'hipòtesis, es pot utilisar una distribució chi-quadrat.

Supongam que $Z$ és una variable aleatòria muestreada de la distribució normal estàndart, a on la mija és $0$ i la varianza és $1$ : $Z \sim N (0, 1)$ . Considerem ara la variable aleatòria $Q = Z^{2}$ . La distribució de la variable aleatòria $Q$ és un eixemple de distribució chi-quadrat: $Q = Z^{2}$ . El subíndex 1 indica que esta distribució chi-quadrat particular es construïx a partir de només 1 distribució normal estàndart. Es diu que una distribució chi-quadrat construïda elevant al quadrat una única distribució normal estàndart té 1 grau de llibertat. Per lo tant, a mida que aumenta el tamany de la mostra per a una prova d'hipòtesis, la distribució de l'estadística de la prova s'aproxima a una distribució normal. De la mateixa manera que els valors extrems de la distribució normal tenen baixa provabilitat (i donen valores p menuts), els valors extrems de la distribució chi-quadrat tenen baixa provabilitat.

Una raó adicional per la que la distribució chi-quadrat s'utilisa àmpliament és que apareix com la distribució de mostres grans de la proves de raó de verosimilitut generalisada (LRT).^[1] Les LRT tenen vàries propietats desijables; en particular, les LRT simples solen proporcionar la major potència per a rebujar la hipòtesis nula (lema de Neyman-Pearson) i açò conduïx també a propietats de optimalidad de les LRT generalisades. No obstant, les aproximacions normal i chi-quadrat només són vàlides asintóticament. Per este motiu, és preferible utilisar la distribució t en lloc de l'aproximació normal o l'aproximació chi-quadrat per a un tamany de mostra menut. De la mateixa manera, en els anàlisis de taules de contingència, l'aproximació chi-quadrat serà pobre per a un tamany de mostra menut, i és preferible utilisar la prova exacta de Fisher. Ramsey demostra que la prova binomial exacta és sempre més potent que l'aproximació normal.^[2]

Lancaster mostra les conexions entre les distribucions binomial, normal i chi-quadrat, com seguix. De Moivre i Laplace varen establir que una distribució binomial podia ser aproximada per una distribució normal. Específicament varen demostrar la normalitat asintòtica de la variable aleatòria

χ = \frac{m - N p}{\sqrt{N p q}}

a on $m$ és el número observat d'èxits en $N$ ensajos, a on la provabilitat d'èxit és $p$ , i $q = 1 - p$ .

Elevant al quadrat abdós costats de l'equació s'obté

$χ^{2} = \frac{(m - N p)^{2}}{N p q}$

Utilisant $N = N p + N (1 - p)$ , $N = m + (N - m)$ , i $q = 1 - p$ , esta equació pot reescriure's com

$χ^{2} = \frac{(m - N p)^{2}}{N p} + \frac{(N - m - N q)^{2}}{N q}$

L'expressió de la dreta és de la forma que Karl Pearson generalisaria a la forma

$χ^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{(O_{i} - E_{i})^{2}}{E_{i}}$

a on

$χ^{2}$ = estadístic de prova acumulatiu de Pearson, que s'aproxima asintóticamente a una distribució $χ^{2}$ ; $O_{i}$ = el número d'observacions de tipo $i$ ; $E_{i} = N p_{i}$ = la freqüència esperada (teòrica) del tipo $i$ , afirmada per l'hipòtesis nula de que la fracció del tipo $i$ en la població és $p_{i}$ ; i $n$ = el número de celes de la taula.

En el cas d'un resultat binomial (llançar una moneda a l'aire), la distribució binomial pot aproximar-se per mig d'una distribució normal (per a $n$ suficientment gran). Ya que el quadrat d'una distribució normal estàndart és la distribució chi-quadrat en un grau de llibertat, la provabilitat d'un resultat com 1 cara en 10 intents pot aproximar-se utilisant directament la distribució normal o la distribució chi-quadrat per a la diferència normalisada al quadrat entre el valor observat i l'esperat. No obstant, molts problemes impliquen més dels dos resultats possibles d'una binomial i, en el seu lloc, requerixen 3 o més categories, lo que dona lloc a la distribució multinomial. De la mateixa manera que de Moivre i Laplace varen buscar i varen trobar l'aproximació normal a la binomial, Pearson va buscar i va trobar una aproximació normal multivariante degenerada a la distribució multinomial (els números de cada categoria sumen el tamany total de la mostra, que es considera fix). Pearson va demostrar que la distribució chi-quadrat sorgia de dita aproximació normal multivariante a la distribució multinomial, tenint molt en conte la dependència estadística (#correlació negatives) entre els números d'observacions en diferents categories.

Definició

Com la suma de normals estàndar

Siguen $Z_{1}, \dots, Z_{k}$ variables aleatòries independents tals que $Z_{i} \sim N (0, 1)$ per a $i = 1, 2, \dots, k$ llavors la variable aleatòria $X$ definida per

\begin{matrix} X & = Z_{1}^{2} + Z_{2}^{2} + \dots + Z_{k}^{2} = \sum_{i = 1}^{k} Z_{i}^{2} \end{matrix}

té una distribució chi quadrada en $k$ graus de llibertat.

Notació

Si la variable aleatòria contínua $X$ té una distribució Chi Quadrada en $k$ graus de llibertat llavors escriurem $X \sim χ_{k}^{2}$ o $X \sim χ^{2} (k)$ .

Funció de densitat

Si $X \sim χ_{k}^{2}$ llavors la funció de densitat de la variable aleatòria $X$ és

f_{X} (x) = \frac{{(\frac{1}{2})}^{\frac{k}{2}}}{Γ (\frac{k}{2})} x^{\frac{k}{2} - 1} e^{- x / 2}

per a $x > 0$ a on $Γ$ és la funció gamma.

Extensió a un número no natural de graus de llibertat

La funció $f_{X} (x)$ del paràgraf anterior està ben definida i és una funció de densitat per a qualsevol $k \in (0, \infty)$ : en efecte, fixat qualsevol número real $k > 0$ , tenim que $f_{X} (x) \geq 0$ i $\int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) d x = 1$ . Una variable aleatòria en esta funció de densitat es diu que té distribució $χ^{2}$ en $k$ graus de llibertat . Òbviament, quan $k$ no és un número natural, l'interpretació del terme graus de llibertat com el número de sumants de variables independents normals estàndart al quadrat es pert, pero es contínua usant eixa expressió.^[3]

Funció de distribució acumulada

Si $X \sim χ_{k}^{2}$ llavors la seua funció de distribució està donada per

F_{X} (x) = \frac{γ (\frac{k}{2}, \frac{x}{2})}{Γ (\frac{k}{2})}

a on $γ (k, z)$ és la funció gamma incompleta.

En particular, quan $k = 2$ llavors esta funció pren la forma

F_{X} (x) = 1 - e^{- x / 2},

just la funció de distribució d'una exponencial en paràmetro $λ = 1 / 2$ . Per lo tant, la distribució $χ_{2}^{2}$ és equivalent a la distribució $E x p (1 / 2)$ .

Propietats

Si $X \sim χ_{k}^{2}$ llavors la variable aleatòria $X$ satisfà algunes propietats.

Media

La mija de la variable aleatòria $X$ és

E [X] = k

Varianza

La varianza de la variable aleatòria $X$ és

Var (X) = 2 k

Funció generadora de moments

La funció generadora de moments de $X$ és

M_{X} (t) = {(\frac{1}{1 - 2 t})}^{k / 2}

per a $2 t < 1$ .

Teorema

Siga $X_{1}, \dots, X_{n}$ una mostra aleatòria provinent d'una població en distribució $N (μ, σ^{2})$ llavors

$\overline{X}$ i el vector $(X_{1} - \overline{X}, \dots, X_{n} - \overline{X})$ són independents.
$\overline{X}$ i $S^{2}$ són independents.
$\frac{(n - 1) S^{2}}{σ^{2}} \sim χ_{n - 1}^{2}$ .
$E [S^{2}] = σ^{2}$ i $Var (S^{2}) = \frac{2 σ^{4}}{n - 1}$ .

a on

\overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

i

S^{2} = \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - \overline{X})}^{2}

són la mija i cuasivarianza de la mostra aleatòria respectivament.

Intervals de confiança per a mostres de la distribució normal

Interval per a la varianza

Sean $X_{1}, \dots, X_{n}$ una mostra aleatòria provinent d'una població en distribució $N (μ, σ^{2})$ a on $μ$ i $σ^{2}$ són desconeguts.

Es té que

\frac{(n - 1) S^{2}}{σ^{2}} \sim χ_{n - 1}^{2}

Sean $χ_{n - 1, α / 2}, χ_{n - 1, 1 - α / 2} \in ℝ$ tals que

P [χ_{n - 1, α / 2} < Y < χ_{n - 1, 1 - α / 2}] = 1 - α

sent $Y \sim χ_{n - 1}^{2}$ llavors

\begin{matrix} P [χ_{n - 1, α / 2} < \frac{(n - 1) S^{2}}{σ^{2}} < χ_{n - 1, 1 - α / 2}] = 1 - α \\ P [\frac{1}{χ_{n - 1, α / 2}} > \frac{σ^{2}}{(n - 1) S^{2}} > \frac{1}{χ_{n - 1, 1 - α / 2}}] = 1 - α \\ P [\frac{(n - 1) S^{2}}{χ_{n - 1, 1 - α / 2}} < σ^{2} < \frac{(n - 1) S^{2}}{χ_{n - 1, α / 2}}] = 1 - α \end{matrix}

per lo tant un interval de $(1 - α) 100 %$ de confiança per a $σ^{2}$ està donat per

(\frac{(n - 1) S^{2}}{χ_{n - 1, 1 - α / 2}}, \frac{(n - 1) S^{2}}{χ_{n - 1, α / 2}})

Distribucions relacionades

La distribució $χ^{2}$ en $k$ graus de llibertat és un cas particular de la distribució gamma puix si

X \sim Γ (\frac{k}{2}, \frac{1}{2})

llavors

X \sim χ_{k}^{2}

.

Quan k és suficientment gran, com a conseqüència del teorema del llímit central, pot aproximar-se per una distribució normal:

\lim_{k \to \infty} \frac{χ_{k}^{2} (x)}{k} = N_{(1, \sqrt{2 / k})} (x)

Aplicacions

La distribució χ² té moltes aplicacions en inferència estadística. La més coneguda és la denominada prova χ², utilisada com a prova d'independència i com a prova de bon ajust i en l'estimació d'varianza. Pero també està involucrada en el problema d'estimar la mija d'una població normalment distribuïda i en el problema d'estimar la pendent d'una recta de regressió llineal, a través del seu paper en la distribució t de Student.

Apareix també en tots els problemes d'anàlisis d'varianza per la seua relació en la distribució F de Snedecor, que és la distribució del cocient de dos variables aleatòries independents en distribució χ².

Vore açò també

Métodos computacionals

Taula de valors χ² vs valores p

El valor p és la provabilitat d'observar un estadístic de prova "a lo manco" tan gran com en una distribució de chi-quadrat. Per lo tant, ya que la funció de distribució acumulativa (CDF) per als graus de llibertat apropiats (df, de l'anglés degree of freedom) dona la provabilitat d'haver obtingut un valor menys extrem que este punt, restant el valor de CDF d'1 dona el valor p. Un valor p baix, per baix del nivell de significació elegit, indica significació estadística, és dir, evidència suficient per a rebujar l'hipòtesis nula. Un nivell de significancia de 0.05 s'usa a sovint com el punt de brot entre resultats significatius i no significatius.

La següent taula dona un número de valors p que coincidixen en $χ^{2}$ per als primers 10 graus de llibertat.

Graus de llibertat (df)	valor $χ^{2}$ ^[4]
1	0.004	0.02	0.06	0.15	0.46	1.07	1.64	2.71	3.84	6.63	10.83
2	0.10	0.21	0.45	0.71	1.39	2.41	3.22	4.61	5.99	9.21	13.82
3	0.35	0.58	1.01	1.42	2.37	3.66	4.64	6.25	7.81	11.34	16.27
4	0.71	1.06	1.65	2.20	3.36	4.88	5.99	7.78	9.49	13.28	18.47
5	1.14	1.61	2.34	3.00	4.35	6.06	7.29	9.24	11.07	15.09	20.52
6	1.63	2.20	3.07	3.83	5.35	7.23	8.56	10.64	12.59	16.81	22.46
7	2.17	2.83	3.82	4.67	6.35	8.38	9.80	12.02	14.07	18.48	24.32
8	2.73	3.49	4.59	5.53	7.34	9.52	11.03	13.36	15.51	20.09	26.12
9	3.32	4.17	5.38	6.39	8.34	10.66	12.24	14.68	16.92	21.67	27.88
10	3.94	4.87	6.18	7.27	9.34	11.78	13.44	15.99	18.31	23.21	29.59
Valor p (provabilitat)	0.95	0.90	0.80	0.70	0.50	0.30	0.20	0.10	0.05	0.01	0.001

Estos valors es poden calcular evaluant la funció cuantil (també coneguda com "FDC inversa" o "ICDF") de la distribució chi-quadrat;^[5] per eixemple, el $χ 2$ ICDF de $p = 0.05$ i $df = 7$ rendix $2.1673 \approx 2.17$ com en la taula anterior, observant que $1 - p$ és el valor p de la taula.

Història

Esta distribució va ser descrita per primera volta pel geodèsic i estadístic alemà Friedrich Robert Helmert en artículs de 1875–6,^[6]^[7] a on va calcular la distribució mostral de la varianza mostral d'una població normal. Aixina, en alemà, açò es coneixia tradicionalment com Helmert'sche ("Helmertiano") o "distribució de Helmert".

La distribució va ser redescubierta de forma independent pel matemàtic anglés Karl Pearson en el context de la bondat d'ajust, per ad açò va desenrollar el seu prova de chi-quadrat de Pearson, publicada en 1900, en una taula calculada de valors publicats en Plantilla:Harv, recollida en Plantilla:Harv. El nom "chi-quadrat" deriva en última instància de l'abreviatura de Pearson per a l'exponent en una distribució normal multivariada en la lletra grega chi, escrivint $-½χ 2$ per lo que apareixeria en la notació moderna com $-½ x T Σ -1 x$ (Σ sent la matriu d'covarianza).^[8] No obstant, l'idea d'una família de "distribucions de chi-quadrat" no es deu a Pearson, sino que va sorgir com un desenroll posterior per Fisher en la década de 1920.^[6]

Vore també

Referències

↑ Understanding Advanced Statistical Methods, Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1-4665-1210-8.
↑ “Evaluació de l'aproximació normal a la prova binomial” . Journal of Educational Statistics 13 (2): 173-82.
↑ Johnson, Norman L.; Kotz, {{{nom2}}}; Balakrishnan, {{{nom3}}} (1994). Continuous univariate distributions. 1, 2. ed., 3. [print.] - 1994 edició, Wiley, p. pp. 416-417. ISBN 978-0-471-58495-7.
↑ Chi-Squared Test [1] archivat en Wayback Machine. Table B.2. Dr. Jacqueline S. McLaughlin at The Pennsylvania State University. In turn citing: R. A. Fisher and F. Yates, Statistical Tables for Biological Agricultural and Medical Research, 6th ed., Table IV. Two values have been corrected, 7.82 with 7.81 and 4.60 with 4.61
↑ R Tutorial: Chi-squared Distribution
↑ ^6,0 ^6,1 Hald, 1998, 27. Sampling Distributions under Normality.
↑ F. R. Helmert, "Ueber die Wahrscheinlichkeit der Potenzsummen der Beobachtungsfehler und über einige damit im Zusammenhange stehende Fragen", Zeitschrift für Mathematik und Physik 21, 1876, pp. 192–219
↑ R. L. Plackett, Karl Pearson and the Chi-Squared Test, International Statistical Review, 1983, 61f. See also Jeff Miller, Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics.

Bibliografia

Hald, Anders (1998). A history of mathematical statistics from 1750 to 1930, New York: Wiley. ISBN 978-0-471-17912-2.
Elderton, William Palin (1902). “Tables for Testing the Goodness of Fit of Theory to Observation”. Biometrika 1 (2): 155–163. doi:10.1093/biomet/1.2.155.
Plantilla:Springer
Pearson, Karl. “On the probability that two independent distributions of frequency llaure really samples of the same population, with special reference to recent work on the identity of Trypanosome strains”. Biometrika 10: 85–154. doi:10.1093/biomet/10.1.85.

Enllaços externs

Calculadora i la provabilitat d'una distribució de Pearson en R (llenguage de programació)
DynStats [2] archivat en Wayback Machine.: Laboratori estadístic en llínea en calculadora de funcions de distribució

Referències

Este artícul conté una traducció derivada de «Distribución χ²» de Wikipedia en castellà publicada baix la Llicència de documentació lliure de GNU i la Llicència Creative Commons Reconeiximent-CompartirIgual 4.0 Internacional.

[Westfall2013-1] Understanding Advanced Statistical Methods, Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1-4665-1210-8.

[Ramsey1988-2] “Evaluació de l'aproximació normal a la prova binomial” . Journal of Educational Statistics 13 (2): 173-82.

[3] Johnson, Norman L.; Kotz, {{{nom2}}}; Balakrishnan, {{{nom3}}} (1994). Continuous univariate distributions. 1, 2. ed., 3. [print.] - 1994 edició, Wiley, p. pp. 416-417. ISBN 978-0-471-58495-7.

[4] Chi-Squared Test [1] archivat en Wayback Machine. Table B.2. Dr. Jacqueline S. McLaughlin at The Pennsylvania State University. In turn citing: R. A. Fisher and F. Yates, Statistical Tables for Biological Agricultural and Medical Research, 6th ed., Table IV. Two values have been corrected, 7.82 with 7.81 and 4.60 with 4.61

[5] R Tutorial: Chi-squared Distribution

[FOOTNOTEHald1998{{{c}}}633–69227._Sampling_Distributions_under_Normality-6] 6,0 ^6,1 Hald, 1998, 27. Sampling Distributions under Normality.

[7] F. R. Helmert, "Ueber die Wahrscheinlichkeit der Potenzsummen der Beobachtungsfehler und über einige damit im Zusammenhange stehende Fragen", Zeitschrift für Mathematik und Physik 21, 1876, pp. 192–219

[8] R. L. Plackett, Karl Pearson and the Chi-Squared Test, International Statistical Review, 1983, 61f. See also Jeff Miller, Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

Introducció

Definició

Com la suma de normals estàndar

Notació

Funció de densitat

Funció de distribució acumulada

Propietats

Media

Varianza

Funció generadora de moments

Teorema

Intervals de confiança per a mostres de la distribució normal

Interval per a la varianza

Distribucions relacionades

Aplicacions

Métodos computacionals

Taula de valors χ2 vs valores p

Història

Vore també

Referències

Bibliografia

Enllaços externs

Referències

Taula de valors χ² vs valores p