Distribució gamma

Funció de Densitat d'una Gamma.

En teoria de provabilitat i Estadística, la distribució gamma és una distribució en dos paràmetros que pertany a les distribucions de provabilitat contínues. La distribució exponencial, distribució de Erlang i la distribució χ² són casos particulars de la distribució gamma. Hi ha dos diferents parametrisació que solen usar-se

1. En paràmetro de forma $k$ i paràmetro d'escala $\theta$.
2. En paràmetro de forma $\alpha =k$ i paràmetro invers d'escala $\lambda =1/\theta$.

Definició

Notació

Si una variable aleatòria contínua $X$ té distribució gamma en paràmetros $\alpha >0$ i $\lambda >0$ llavors escriurem $X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )$.

Funció de Densitat

Si $X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )$ llavors la seua funció de densitat és

$f_X(x)=\frac{\lambda }{\Gamma (\alpha )}(\lambda x{)}^{\alpha -1}{e}^{-\lambda x}$

per a $x>0$ a on

$\Gamma (\alpha )=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{t}^{\alpha -1}{e}^{-t}dt$

és la funció gamma i satisfà

1. $\Gamma (2)=\Gamma (1)=1$
2. Per a qualsevol $\alpha >0$ es complix que $\Gamma (\alpha +1)=\alpha \Gamma (\alpha )$
3. Si $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$ llavors $\Gamma (n+1)=n!$
4. $\Gamma \left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi }$
5. Si $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$ llavors $\Gamma \left(\frac{n}{2}\right)=\frac{\sqrt{\pi }(n-1)!}{2^{n-1}\left(\frac{n-1}{2}\right)!}$

Funció de Distribució Acumulada

La funció de distribució acumulada d'una variable aleatòria $X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )$ està donada per

$F_X(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{\lambda }{\Gamma (\alpha )}(\lambda y{)}^{\alpha -1}{e}^{-\lambda y}dy$

Si $X$ és una variable aleatòria tal que $X\sim \Gamma (n,\lambda )$ a on $n\in {\mathbb{Z}}^{+}$ (és dir, $X$ té una distribució de Erlang) llavors la seua funció de distribució acumulada està donada per

$\begin{array}{cc}{F}_X(x)& =1-\sum _{k=0}^{n-1}\frac{(\lambda x{)}^k}{k!}{e}^{-\lambda x}\\ & =\sum _{k=n}^{\mathrm{\infty }}\frac{(\lambda x{)}^k}{k!}{e}^{-\lambda x}\end{array}$

Propietats

Si $X$ és una variable aleatòria tal que $X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )$ llavors $X$ satisfà algunes propietats.

Media

La mija de la variable aleatòria $X$ és:

$\text{E}[X]=\alpha /\lambda$

Varianza

La varianza de la variable aleatòria $X$ és

$\text{Var}[X]=\frac{\alpha }{{\lambda }^2}$

Moments

El $n$-ésimo moment de la variable aleatòria $X$ és

$\mathrm{E}[X^n]=\frac{\alpha (\alpha +1)\cdots (\alpha +n-1)}{{\lambda }^n}$

per a $n\in \mathbb{N}$.

Funció generadora de moments

La funció generadora de moments està donada per

$M_X(t)={\left(\frac{\lambda }{\lambda -t}\right)}^{\alpha }$

per a $\lambda >t$.

Suma de Gammas

Si $X_i\sim \Gamma ({\alpha }_i,\lambda )$ per a $i=1,2,\dots ,n$ són variables aleatòries independents llavors

$\sum _{i=1}^n{X}_i\sim \Gamma (\sum _{i=1}^n{\alpha }_i,\lambda )$

Escalar

Si $X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )$ llavors per a qualsevol $c>0$

$cX\sim \Gamma (\alpha ,\lambda /c)$

Mija Logarítmica

Pot demostrar-se que

$\mathrm{E}[\ln (X)]=\psi (\alpha )-\ln (\lambda )$

a on $\psi$ és la funció digamma.

Vore també

• Distribució Exponencial
• Distribució Beta
• Distribució de Erlang
• Distribució χ²